1. Pensamiento Geométrico y Analítico
Carmen Elisa Ríos Diaz_66929274
Paola Andrea Sánchez
Patiño_34325473
Yoli Yulieth Latorre_1085689178
Grupo 20
Licenciatura en Matemáticas
Universidad Nacional Abierta y a
Distancia
UNAD
2. Álgebra, Trigonometría y
Geometría Analítica
Paso 4: Profundizar y
contextualizar el
conocimiento de la
unidad 3
• Elipse
• Hipérbola
• Parábola
• Circunferencia
3.
4. La elipse
La elipse es el lugar geométrico de un punto que
se mueve en un plano de tal manera que la suma
de sus distancias a dos puntos fijos, situados en el
mismo plano, llamados focos, es una cantidad
constante y mayor que la distancia entre los focos.
5. Se llama eje focal a la recta que pasa por los focos (F
y F’) y que corta a la elipse en dos puntos llamados
vértices (V y V’). La porción del eje focal
comprendida entre los vértices: se llama eje mayor y
su longitud VV ' se designa como 2a. La longitud del
eje focal es FF' = 2c . La recta perpendicular al eje
focal en el centro de la elipse se llama eje normal, y
corta a la curva en dos puntos, A y A’. El segmento
AA' es el eje menor de la elipse y su longitud es 2b.
6. La posición del eje focal
define la posición de la
elipse: horizontal, si su
eje focal es paralelo o
coincide con el eje x
7. vertical, si su eje focal es
paralelo o coincide con el eje y
; o inclinada. Si la posición de
la elipse es inclinada, se
recurre a la rotación de ejes
para analizarla.
8. La elipse es una curva simétrica con respecto a sus dos ejes, que
tiene dos lados rectos: las dos rectas perpendiculares al eje mayor
que pasan por los focos y unen dos puntos de la curva. La elipse
tiene dos directrices: las rectas perpendiculares al eje focal que se
encuentran a la misma distancia de los vértices que los focos,
pero en el lado opuesto, es decir fuera de la elipse.
9. Para determinar la ecuación del lugar geométrico que define a la elipse, en el caso en que la curva tiene
su centro en el origen y su eje focal coincide con el eje x, como los focos se encuentran sobre el eje de
las abscisas, sus coordenadas son F(c, 0), F’(–c, 0), siendo c una constante positiva. Si P(x, y) es un
punto cualquiera de la elipse, de acuerdo con la definición de esta curva P debe satisfacer la condición:
𝑭𝑷 + 𝑭′𝑷 = 𝟐𝒂, 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒂 > 𝒄
10. Al sustituir en la formula para calcular la
distancia de cada segmento se tiene:
(𝒙 − 𝒄)𝟐 + (𝒚 − 𝟎)𝟐 + (𝒙 + 𝒄)𝟐+(𝒚 − 𝟎)𝟐
Que al reemplazarla se tienen las siguientes
características de la elipse:
En el caso de la elipse la excentricidad
siempre será menor a 1 ya que a > c.
11. Cuando el eje focal de la
elipse coincide con el eje y,
la curva es vertical, las
coordenadas de los focos
serán F(0, c), F’(0, –c) y las
de los vértices V(0, a) y V’(0,
–a). En este caso su ecuación
es:
𝒙𝟐
𝒃𝟐
+
𝒚𝟐
𝒂𝟐
= 𝟏
Sus características
son:
12. Cuando una elipse tiene su centro
en otro punto cualquiera (h, k) del
plano y su eje focal es paralelo al
eje x, la ecuación que la define se
encuentran suponiendo que los
ejes se trasladan de manera que
el nuevo origen O’ coincide con el
centro (h, k) de la curva.
13. En este caso su
ecuación es:
(𝒙 − 𝒉)𝟐
𝒂𝟐
+
(𝒚 − 𝒌)𝟐
𝒃𝟐
En este caso solo se modifican las
coordenadas de los focos y de los vértices.
14. Cuando el eje focal es
paralelo al eje y, la elipse es
vertical y su ecuación es:
(𝒙 − 𝒉)𝟐
𝒃𝟐
+
(𝒚 − 𝒌)𝟐
𝒂𝟐
= 𝟏
Sus elementos
son:
15.
16. LA HIPÉRBOLA ES EL
LUGAR GEOMÉTRICO DE UN
PUNTO QUE SE MUEVE EN
UN PLANO DE TAL MANERA
QUE EL VALOR ABSOLUTO
DE LA DIFERENCIA DE SUS
DISTANCIAS A DOS PUNTOS
FIJOS DEL PLANO
LLAMADOS FOCOS, ES
SIEMPRE IGUAL A UNA
CANTIDAD CONSTANTE
17. Se llama eje focal de la
hipérbola a la recta de
longitud 2c que pasa por
los focos F y F’ y que
corta a la curva en dos
puntosV yV’ llamados
vértices. La porciónVV '
del eje focal
comprendida entre los
vértices se llama eje
transverso. El punto
medio del eje transverso
es el centro de la
18. También se definen el eje normal,
que es la recta perpendicular al eje
transverso en C y el eje conjugado,
que es un segmento AA' del eje
normal que tiene a C como punto
medio (más adelante se precisa la
localización de los puntos A y A'). La
hipérbola tiene dos lados rectos que
son las rectas perpendiculares al eje
focal que pasan por los focos y unen
dos puntos de la curva. La hipérbola
es una curva simétrica con respecto
a sus ejes y tiene dos asíntotas que
se cortan en el centro de la
19. La posición del eje focal
define la posición de la
hipérbola: es horizontal, si
su eje focal es paralelo o
coincide con el eje x; es
vertical, si su eje focal es
paralelo o coincide con el
eje y.También puede estar
inclinada en el plano, en
cuyo caso se recurre a la
rotación de ejes para
convertirla a uno de los dos
casos anteriores.
20. Para determinar la ecuación del
lugar geométrico que define a la
hipérbola, en el caso en que la
curva tiene su centro en el origen
y su eje focal coincide con el eje
x, como los focos se encuentran
sobre el eje de las abscisas a c
unidades a la derecha y a la
izquierda del centro, sus
coordenadas son 𝐹 𝑐, 0 ,
𝐹′(−𝑐, 0) donde es una
constante positiva. Si 𝑃(𝑥, 𝑦) es
un punto cualquiera de la
𝑭𝑷 − 𝑭′𝑷 = 𝟐𝒂; 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒂 < 𝒄
𝑭𝑷 − 𝑭′𝑷 = 𝟐𝒂 𝒚 𝑭𝑷 − 𝑭′𝑷 = −𝟐𝒂
Esta expression es
equivalente a
21. Al sustituir en la fórmula para
calcular la distancia de cada
segmento, en ambas expresiones, se
tiene:
(𝒙 − 𝒄)𝟐 + (𝒚 − 𝟎)𝟐 − (𝒙 + 𝒄)𝟐 + (𝒚 − 𝟎)𝟐 = 𝟐𝒂
y
(𝒙 − 𝒄)𝟐 + (𝒚 − 𝟎)𝟐 − (𝒙 + 𝒄)𝟐 + (𝒚 − 𝟎)𝟐 = −𝟐𝒂
22. La ecuación simplificada en cualquiera de los dos casos
queda:
𝒙𝟐
𝒂𝟐
−
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏
En el caso de la hipérbola, las constantes a, b y c están
ligadas por la relación:
𝒃𝟐=𝒄𝟐−𝒂𝟐
Por lo que:
𝒄 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
23. • Del análisis del lugar geomet5rico que define la ecuación
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1 , se obtiene
que:
• 1. Es una curva simétrica con respecto a los ejes coordenados y al origen.
• 2. En el intervalo a x a no existen valores reales para y.
• 3. La longitud de cada lado recto es
2𝑏2
𝑎
• 4. La excentricidad, , 𝑒 =
𝑐
𝑎
, es mayor que la unidad ya que c > a
24. • La hipérbola tiene dos asíntotas. Para el caso que se está presentando, si se
despeja a y de la ecuación
𝒙𝟐
𝒂𝟐 −
𝒚𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏 se obtiene:
𝑦 = ±
𝑏
𝑎
𝑥 1 −
𝑎2
𝑥2
• Si x aumenta indefinidamente, la curva se prolonga hacia el infinito a partir
del vértice y el cociente
𝑎2
𝑥2 tiende a cero, por lo que el radicando tiende al
valor de 1 y la curva se acerca cada vez más a las rectas
𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥, 𝑦 𝑦 = −
𝑏
𝑎
𝑥
Que son las ecuaciones de las dos asíntotas de la hipérbola.
25. En resumen, la
hipérbola cuya
ecuación en la
forma conónica es
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
Es horizontal y tiene
las siguientes
caracteristicas y
elementos:
Aun cuando la hipérbola no intercepta al eje y,
los puntos A (0, b) y A’ (0, –b), se toman como
extremos del eje conjugado.
26. Cuando el eje focal
coincide con el eje y
la hipérbola es
vertical, las
coordenadas de los
focos son F(0, c),
F’(0, –c), las de los
vértices: V(0, a) y
V’(0, –a), y su
ecuación:
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1
Ahora no hay intersección con el eje x, pero los
puntos A (b, 0) y A’ (–b, 0), se consideran los
extremos del eje conjugado.
27. • La ecuación de una hipérbola
cuyo centro no está en el
origen, pero sus ejes son
paralelos a los ejes
coordenados, puede obtenerse
mediante traslación de los ejes
cartesianos de manera que el
origen del sistema coordenado
coincida con el centro de la
curva. Si las coordenadas del
centro de la hipérbola son (h, k)
y su eje transverso es paralelo
al eje x
• Al sustituir en la ecuación se
obtiene
• (𝒙−𝒉)𝟐
𝒂𝟐 −
(𝒚−𝒌)𝟐
𝒃𝟐
Sus características
son:
28. • Si el centro de la
hipérbola está en (h,
k) y el eje focal es
paralelo al eje y, la
ecuación es
• (𝒚−𝒉)𝟐
𝒂𝟐 −
(𝒙−𝒌)𝟐
𝒃𝟐
29.
30. La circunferencia es un
conjunto de puntos (x, y) en
el plano cartesiano que
equidistan a un punto fijo
llamado centro. La distancia
fija se le llama radio.
Por geometría básica se
sabe que la circunferencia es
el perímetro del círculo, ésta
no tiene área, solo longitud y
los parámetros que la
identifican. La circunferencia
se forma cuando el plano
corta horizontalmente el
31. Los parámetros de la
circunferencia son:
• Centro: La coordenada en x se le
denomina h y la de y se le
k. C(h, k)
• Radio: Es la distancia del centro
a cualquier punto de la misma,
representa por R.
Otros parámetros de la
circunferencia, que no inciden
directamente con la ecuación
• Diámetro: D = 2R
• Longitud: L = 2πR
32. A partir de la ecuación
canónica, se puede
tomar un
procedimiento
algebraico para
obtener la ecuación
general de la
33. La ecuación corresponde a una ecuación de segundo grado, donde c y d
están indicando que el centro está fuera del origen de coordenadas.
Cuando c y d son cero, el centro de la circunferencia está en el origen.
Ejemplo: Sea la ecuación canónica de una circunferencia: Hallar la
ecuación general.
Solución:
34.
35. La parábola es un conjunto de puntos en
el plano (x, y) que se encuentran a la
misma distancia de un punto fijo F
llamado foco y una recta D llamada
directriz.
• Los parámetros de la parábola son:
Vértice V (h, k): Donde la curva se
divide en dos partes iguales.
Foco: F: El punto fijo a una distancia
p del vértice, llamada distancia focal.
Eje de Simetría: Una recta que para
por el vértice y es perpendicular a la
directriz.
Directriz D: Recta ubicada a la misma
36. • Ecuación Canónica: (Eje de
Simetría vertical)Toda parábola
con eje de simetría vertical y
vértice en el origen, tiene como
ecuación canónica:
• 𝒙𝟐 = 𝟒 𝒑𝒚
• Ecuación Canónica: (Eje de
Simetría horizontal)
• Toda parábola con eje de simetría
horizontal y vértice en el origen,
tiene como ecuación canónica
• 𝒚𝟐 = 𝟒 𝒑𝒙
37. Ejemplo: Hallar la
ecuación de la
parábola y hacer
bosquejo de la
gráfica, si ésta
el foco en (-3, -2)
directriz tiene
ecuación x = 1.
38.
39. • ¿Qué es la geometría analítica?
La geometría analítica es una rama de las matemáticas
al estudio en profundidad de las figuras geométricas y sus
respectivos datos, tales como áreas, distancias, volúmenes,
puntos de intersección, ángulos de inclinación, etcétera.
emplea técnicas básicas de análisis matemático y de
• Utiliza un sistema de coordenadas conocido como el
Plano Cartesiano, que es bidimensional y está compuesto
por dos ejes: uno de abscisas (eje x) y otro de ordenadas
Allí se pueden estudiar todas las figuras geométricas que
nuestro interés, asignando a cada punto de la misma un
puntual de coordenadas (x, y).
40. Así, los análisis de la geometría analítica
usualmente comprenden la interpretación
matemática de una figura geométrica, es decir,
decir, la formulación de ecuaciones. O bien puede
ser lo contrario: la representación gráfica de una
ecuación matemática. Esta equivalencia se
encuentra plasmada en la fórmula y = f(x), donde
f es una función de algún tipo.
41.
42. La recta o la línea recta es una línea que se extiende
en una misma dirección; por lo tanto, tiene una sola
dimensión y contiene un número infinito de puntos.
Dicha recta también se puede describir como una
sucesión continua de puntos extendidos en una sola
dirección.
44. RECURSOS
BIBLIOGRÁFICOS
• Rondón, J. (2017).Algebra,Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.:
Universidad NacionalAbierta y a Distancia. Páginas 237 – 265. Recuperado de
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583
• Ortiz Ceredo, F. J. Ortiz Ceredo, F. J. y Ortiz Ceredo, F. J. (2018). Matemáticas 3 (2a.
ed.). Grupo Editorial Patria.
https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40539?page=51
• Real, M. (2010). Secciones Cónicas. Recuperado de
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7690
• Circunferencia. Recuperada el día 04 / Nov /2021:
https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia
• Elipse. Recuperada el día 04 / Nov /2021: https://es.wikipedia.org/wiki/Elipse
• Hipérbola. Recuperada el día 04 / Nov /2021:
https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola
• Sistema de ecuaciones lineales. Recuperada el día 04 / Nov /2021:
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales
