Materi Pengantar Analisis Sistem untuk PS Teknologi Industri Pertanian Faperta Unlam

2. Pelanggan menunggu pelayanan di kasir
Penonton menunggu pelayanan di desk
Cineplex XXI
Mahasiswa/i menunggu registrasi dan
pembayaran SPP
Penumpang kapal laut menunggu
pelayanan loket penjualan tiket
Pengendara kendaraan menunggu
pengisian bahan bakar di SPBU
Beberapa produk atau barang menunggu
untuk di selesaikan

3. Sebaran Poisson
Distribusi Poisson sering digunakan
untuk mentukan peluang sebuah
peristiwa yang dalam area kesempatan
tertentu diharapkan sangat jarang
terjadi
 e adalah basis logaritma natural (e = 2.71828...)
 k adalah jumlah kejadian suatu peristiwa
 k! adalah faktorial dari k
 λ adalah bilangan riil positif, atau nilai
harapan peristiwa yang terjadi dalam interval
tertentu.
 Misal, peristiwa yang terjadi rata-rata 2
kali per menit, dan dicari probabilitas jika
terjadi peristiwa k kali dalam interval 10
menit, maka digunakan distribusi poisson
dengan λ = 10×2 = 20.
 Sebagai fungsi k, ini disebut fungsi massa
probabilita

4. Contoh Sebaran Poisson
Sambungan telepon
 Rata-rata ada 1,4 salah
sambung untuk setiap 100
orang penelepon. Contoh
berukuran 200 telah diambil. Peluang terjadi salah sambung adalah
0,9392
 Jika k = banyak kesalahan per
Tugas 1
200 orang penelepon, maka
Peluang seseorang mendapat reaksi
nilai harapan λ = 2,8. buruk setelah disuntik adalah 0,0005.
 Peluang tidak terjadi salah Tentukan peluang dari 4000 orang yang
sambung adalah disuntik mendapat reaksi buruk:
a) Tidak ada
b) Ada 2 orang
c) Lebih dari 2 orang, dan
d) Tentukan berapa orang diharapkan
yang akan mendapat reaksi buruk

5. Stuktur Model Antrian
1. Garis tunggu atau sering disebut antrian (queue)
2. Fasilitas pelayanan (service facility)
1
2
Pelanggan masuk
Ke dalam sistem
Garis tunggu/ Pelanggan keluar
antrian
antrian dari sistem
s antrian
Fasilitas
Pelayanan
STUKTUR SISTEM ANTRIAN

6. CONTOH SISTEM ANTRIAN
Sistem Garis tunggu/antrian Fasilitas
Pesawat menunggu di
Lapangan terbang Landasan pacu
landasan
Bank Nasabah (orang) Teller/CS
Pencucian Mobil Mobil Tempat pencucian mobil
Bongkar muat barang Kapal dan truk Fasilitas bongkar muat
Sistem komputer Program komputer CPU, Printer, dll
Bantuan pengobatan
Orang Ambulance
darurat
Perpustakaan Anggota perpustakaan Pegawai perpustakaan
Registrasi mahasiswa Mahasiswa Pusat registrasi
Skedul sidang pengadilan Kasus yang disidangkan Pengadilan

7. Prosedur Antrian

8. Komponen sistem antrian
• Menggambarkan
• Berapa banyak jumlah
pelanggan kedatangan per
Populasi unit waktu dan
masukan
potensial yang Distribusi
masuk sistem kedatangan dalam periode
antrian waktu tertentu
berturut-turut
dalam waktu
• Pelanggan yang
yang berbeda mana yang akan
dilayani lebih
dulu : a. FCFS
Disiplin
(first come, first
pelayanan
served) b. LCFS
(last come, first
served) c. Acak d.
prioritas
• mengelompokk
an fasilitas
pelayanan
menurut jumlah
Fasilitas
Pelayanan yang tersedia :
• pelanggan a. Single-
Karakter akan channel b.
istik meninggalka • Berapa banyak multiple-
sistem • memaksimum
n sistem jika pelanggan yang channel
lainnya kan jumlah
antrian Kapasitas pelanggan dapat dilayani
penuh, dsb sistem
yang Distribusi per satuan
pelayana
diperkenankan Pelayanan waktu
n
masuk dalam • Berapa lama
sistem setiap pelanggan
dapat dilayani

9. Persamaan dan Notasi
λ
❶ P  n = jumlah pelanggan dalam sistem
μ  Pn = probabilitas kepastian n
pelanggan dalam sistem

Pn  P (1  P)
n λ = jumlah rata-rata pelanggan yang
❷ datang persatuan waktu
 µ = jumlah rata-rata pelanggan yang
P λ dilayani per satuan waktu
❸ L   Po = probabilitas tidak ada pelanggan
1- P μ-λ dalam sistem
 p = tingkat intensitas fasilitas
λ 2
P 2 pelayanan
❹ Lq    L = jumlah rata-rata pelanggan yang
μ(μ - λ) 1- P diharapkan dlm sistem
 Lq = jumlah pelanggan yang
1 diharapkan menunggu dalam antrian
❺ W  W = waktu yang diharapkan oleh
μ-λ 
pelanggan selama dalam sistem
Wq = waktu yang diharapkan oleh
pelanggan selama menunggu dalam antrian
λ
❻ Wq   1/µ = waktu rata-rata pelayanan
μ(μ - λ) 

1/λ
S
= waktu rata-rata antar kedatangan
= jumlah fasilitas pelayanan

10. Contoh
PT GTR mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu operator. Rata-
rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi poisson yaitu 20
kendaraan per jam. Operator dapat melayani rata-rata 25 mobil per jam, dengan
waktu pelayanan setiap mobil mengikuti distribusi probabilitas eksponensial.
Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan operator tersebut
(M/M/1), hitunglah :
1. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan (p)
2. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem (L)
3. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian (Lq)
4. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem
(menunggu pelayanan) (W)
5. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam
antrian (Wq)
Fasilitas
Pelayanan
Kedatangan Mobil antri menunggu Mobil Keluar
mobil, 20 per pelayanan 1 pompa bensin
jam melayani 25 mobil per
jam
SPBU BANJARBARU

11. Penyelesaian
λ = 20 dan µ = 25
1. Tingkat intenstas (kegunaan) pelayanan (p)
λ 20
p   0,80
μ 25
Ini berarti operator:
• sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya, sedangkan
• 20% dari waktunya (1 – p) (idle time) digunakan operator untuk
istirahat, dll
2. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem (L)
λ 20
L   4, atau
μ - λ 25  20
p 0,80
L  4
1 - p 1  0,80
Angka tersebut menunjukkan operator dapat mengharapkan 4 mobil
berada dalam sistem

12. 3. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian (Lq)
λ2 (20) 2 400
Lq     3,20
μ(μ - λ) 25(25  20) 125
Angka tersebut menunjukkan mobil yang menunggu untuk dilayani dalam
antrian sebanyak 3,20 kendaraan
4. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem
(menunggu pelayanan) (W)
1 1 1
W    0,20 jam atau 12 menit
μ - λ 25  20 25
Angka tersebut menunjukkan waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam
sistem selama 12 menit
5. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam
antrian (Wq)
λ 20 20
Wq     0,16 jam atau 9,6 menit
μ(μ - λ) 25(25  20) 125
Angka tersebut menunjukkan waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam
antrian selama 9,6 menit

13. Tugas 2. Hubungan antara L, Lq, W dan Wq
L =λW Buktikan Rumus tersebut
 Lq = λ Wq
 W = Wq + 1/µ
Tugas3.
Manajer sebuah Restoran Fried Chicken, akhir-akhir ini merasa prihatin
dengan antrian drive true yang panjang. Beberapa pelanggannya
mengadu tentang waktu menunggu yang lama, oleh karena itu
manajer mengkhawatirkan kemungkinan kehilangan pelanggan.
Analisis dengan teori antrian diketahui, tingkat kedatangan rata-rata
langganan selama periode puncak adalah 50 orang per jam.
Sistem pelayanan satu per satu dengan waktu rata-rata 1 orang 1
menit.
Pertanyaan :
a) Tingkat kegunaan (intensitas) bagian pelayanan restoran (p) ?
b)Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem (L)
c) Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian (Lq)
d)Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu
pelayanan) (W)
e) Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian (Wq)

14. MULTIPLE-CHANNEL MODEL
(M/M/s)
Dalam Multiple-Channel Model, fasilitas yang dimiliki
lebih dari satu. Huruf (s) menyatakan jumlah fasilitas
pelayanan

15. Contoh
Unit gawat darurat (UGD) rumah sakit berisikan tiga bagian ruangan yang terpisah
untuk setiap kedatangan pasien. Setiap ruangan memiliki satu orang dokter dan satu
orang jururawat. Seorang dokter dan jururawat rata-rata dapat merawat 5 orang pasien
per jam. Apabila pasien yang dihadapi hanya luka-luka ringan, mereka dapat melayani
12 pasien per jam. Laporan statistik pasien rumah sakit tersebut menunjukkan bahwa
kedatangan dan penyelesaian pelayanan mengikuti distribusi Poisson.
Sistem : (M/M/3)
λ = 12 s=3
µ=5 s
p = 12/3(5) = 0,8
s
Pasien menunggu
dalam antrian untuk s
Pasien datang Pasien pergi
berobat
(rata-rata 12 3 saluran pelayanan
setelah menerma
pasien per jam) 1 team mengobati rata-
rata 15 pasien perjam pengobatan
Model UGD

16. µ = rata-rata tingkat pelayanan untuk setiap fasilitas pelayanan
λ
p Lq
μs Wq 
λ
 λ λ 
 s-1 μ( )n ( )s  1
 μ  W  Wq 
Po     μ
 n 0 n! s!(1 - λ ) 

 sμ   λ
L  λW  Lq 
μ
 ( μ )n
λ
 n! ( Po ), jika 0  n  s λ
Pn   λ n Po ( )s p
 μ ( Po ), jika n  s
( ) μ
Lq  
 s!s n-s s!(1 - p)2

17. Penyelesaian
λ s
Po ( ) p 0,20(12 )5 (12 )
μ 5 15  0,20(13,824)(0,80)
Lq  
s!(1 - p)2 12 2
3!(1 - ) 6(0,04)
15
2,21184
Lq   9,216 pasien
0,24
Lq 9,216
Wq    0,768 jam atau 46 menit
λ 12
1 1
W  Wq   0,768   0,968 jam atau 58 menit
μ 5
L  λW  12(0,968)  11,62

18. Model Networks
Sistem Seri
Subsistem 1 Subsistem 2
Sistem Paralel

19. Referensi
 Sujana. 1989. Metode Statistika. Pen. Tarsito Bandung.
508 hal.