1. TEORI ANTRIANTEORI ANTRIAN
Suatu antrian ialah garis tunggu dari nasabah yang
memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayan (fa-
silitas layanan). Antri adalah kejadian yang biasa
dalam kehidupan sehari-hari seperti menunggu di
depan loket untuk mendapatkan tiket kereta api, me-
nunggu pada pompa bensin, pada pintu tol, ketika
akan keluar dari super market dan lain-lain.
Sekarang ini teori antrian banyak diterapkan dalam
bidang bisnis (bank, super market), industri (pelayan-
an ATM, penyimpanan), transportasi (pelabuhan
udara, pelabuhan laut, jasa pos) dan lain-lain.
Suatu antrian ialah garis tunggu dari nasabah yang
memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayan (fa-
silitas layanan). Antri adalah kejadian yang biasa
dalam kehidupan sehari-hari seperti menunggu di
depan loket untuk mendapatkan tiket kereta api, me-
nunggu pada pompa bensin, pada pintu tol, ketika
akan keluar dari super market dan lain-lain.
Sekarang ini teori antrian banyak diterapkan dalam
bidang bisnis (bank, super market), industri (pelayan-
an ATM, penyimpanan), transportasi (pelabuhan
udara, pelabuhan laut, jasa pos) dan lain-lain.
2. KOMPONEN PROSES ANTRIAN
Komponen dasar proses antrian adalah kedatangan,
pelayanan dan antri. Komponen-komponen ini disaji-
kan pada gambar berikut ini.
Sumber
Kedatangan
Antrian Fasilitas Keluar
pelayanan
(1). Kedatangan
Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misal
orang, mobil, atau panggilan telepon untuk dilayani.
Unsur ini sering dinamakan proses input.
3. (2). Pelayanan
Pelayan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari
satu atau lebih pelayan, atau satu atau lebih fasilitas
pelayanan. Contohnya : jalan tol dapat terdiri dari
beberapa pintu tol. Mekanisme pelayanan dapat
hanya terdiri dari dari satu pelayan dalam satu fasi-
litas pelayanan yang ditemui pada loket seperti pada
penjualan tiket di gedung bioskop. Disamping itu,
perlu diketahui cara pelayanan dirampungkan, yang
kadang-kadang merupakan proses rendom.
(3). Antri
Inti dari analisa antrian adalah antri itu sendiri.
Timbulnya antrian terutama tergantung dari sifat
4. Kedatangan dan proses pelayanan. Penentuan antrian
lain yang penting disiplin antri. Disiplin antri adalah
aturan keputusan yang menjelaskan cara melayani,
misalnya : datang awal dilayani dulu (FCFS = First
Come First Served atau FIFO = First In First Out),
yang tiba terakhir yang lebih dulu keluar (LCFS =
Last Come First Out atau LIFO = Last In First Out),
panggilan didasarkan pada peluang secara random
(SIRO = Service In Random Order), prioritas pelaya-
nan diberikan kepada mereka yang mempunyai prio-
ritas lebih tinggi dibandingkan dengan mereka yang
mempunyai prioritas lebih rendah (PS = Priority
Served). Jika tidak ada antrian berarti terdapat
pelayan yang menganggur atau kelebihan fasilitas.
5. STRUKTUR DASAR PROSES ANTRIAN
(1). Satu Saluran Satu Tahap (Single Channel-Single
Phase)
Antrian Pelayan Keluar
(2). Banyak Saluran Satu Tahap (Multi Channel-
(Single Phase)
Antrian Pelayan Keluar
6. (3). Satu Saluran Banyak Tahap (Single Channel-
Multi Phase)
Antrian Pelayan Pelayan Keluar
(4). Banyak Saluran Banyak Tahap (Multi Channel-
Multi Phase)
Antrian Pelayan Pelayan Keluar
7. NOTASI MODEL ANTRIAN
1. Pn = Probabilitas n pengantri dalam sistem
2. L = Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem
3. Lq = Rata-rata banyaknya pengantri dlm antrian
4. W = Rata-rata waktu menunggu dalam sistem
(antri + pelayan)
5. Wq = Rata-rata waktu antri
6. I = Proporsi waktu menganggur pelayan
Banyaknya analisa antrian akhirnya sampai pada per-
tanyaan bagaimana merancang fasilitas pelayanan
atau berapa tingkat pelayanan yg seharusnya disedia
kan. Jika variabel adalah tingkat pelayanan, maka
model hrs mengidentifikasi hubungan antara tingkat
8. pelayanan dengan parameter dan variabel-variabel
yg relevan. Kriteria evaluasi dari model adalah :
Total Expected Cost. Hubungan variabel (tingkat
pelayanan dengan kriteria evaluasi (total expected
cost) ditunjukkan pada gambar berikut.
PelayananTingkat
menungguBiaya
pelayananBiaya
CostTotalEC
9. Total Cost merupakan jumlah dari biaya pelayanan
dan biaya menunggu.
Biaya Pelayanan :
Jika tingkat pelayanan ditambah, biaya pelayanan
akan bertambah. Contohnya jika dibuka dua loket,
biaya akan bertambah sebesar gaji untuk penjaga
loket yang kedua. Jika tingkat pelayanan bertambah,
waktu menganggur pelayan diharapkan bertambah,
sehingga pada tingkat pelayanan tertentu, biaya pe-
layanan dalam masalah antrian hanya memasukkan
biaya waktu menganggur pelayan. Adanya waktu me-
nganggur merupakan opportunity cost karena tidak
mengalokasikan pelayan kegiatan produktif yang lain.
10. Biaya Menunggu
Umumnya terdapat hubungan terbalik antara tingkat
pelayanan dan waktu menunggu. Namun sangat sulit
menyatakan secara eksplisit biaya menunggu per unit
waktu. Biaya menunggu dapat diduga secara seder-
hana sebagai biaya kehilangan keuntungan bagi pengu
saha atau turunnya produktivitas bagi pekerja.
Sehingga model antrian dapat dirumuskan sbb :
Minimumkan : E[Cs] = I.Ci + W.Cw
Keterangan :
E[Cs] = Total Expected Cost utk tingkat pelayanan S
I = Waktu menganggur pelayanan yg diharapkan
Ci = Biaya menganggur pelayan per unit waktu
W = Waktu menunggu yg diharapkan utk semua kedatangan
Cw = Biaya menunggu pengantri per unit waktu
11. Asumsi-asumsi Teori Antrian
1. Model antrian adalah model probabilistik (stokas-
tik) karena unsur-unsur tertentu proses antrian yg
dimasukkan dlm model adalah variabel rendom.
Variabel random ini sering digambarkan dengan
distribusi probabilitas.
Asumsi yg biasa digunakan dalam distribusi keda-
tangan (banyaknya kedatangan per unit waktu)
adalah distribusi Poisson :
r = banyaknya kedatangan
P(r) = probabilitas r kedatangan
A = tingkat kedatangan rata-rata
e = logaritma natural= 2,71828
!
.e
P(r)
-A
r
Ar
=
12. (2). Distribusi Waktu Pelayanan
Waktu pelayanan dalam proses antrian dapat juga se
suai dengan salah satu bentuk distribusi. Asumsi yg
biasa digunakan bagi distribusi waktu pelayanan adlh
distribusi eksponensial negatif, sehingga jika waktu
pelayanan mengikuti distribusi eksponensial negatif,
maka tingkat pelayanan mengikuti distribusi Poisson.
Rumus fungsi kepadatan probabilitas eksponensial
negatif adalah :
t = waktu pelayanan
F(t) = probabilitas kepadatan yg berhubungan dengan t
U = tingkat pelayanan rata-rata
1/U = Waktu pelayanan rata-rata
-Ut
U.eF(t) =
13. (3). Dalam teori antrian, pada umumnya pengantri
diasumsikan dilalayani berdasarkan FCFS.
(4). Sistem yang digunakan dalam teori antrian adlh
keadaan keseimbangan atau disebut dengan
Stady State. Ini berarti ciri-ciri operasi seperti
panjang antrian dan rata-rata waktu menunggu
akan memiliki nilai konstan setelah sistem
berjalan selama suatu periode waktu.
(5). Tingkat pelayanan U harus melebihi tingkat ke-
datangan pengantri A. Jika tidak, antrian akan
makin panjang sehingga tak ada solusi keseimba-
ngan. Hubungan antara tingkat kedatangan A
dan tingkat pelayanan U serta panjang antrian
yg diharapkan ditunjukkan pada gbr berikut.
15. MODEL ANTRIAN (M / M / 1)
Pada model ini kedatangan dan keberangkatan meng-
ikuti distribusi Poisson dengan tingkat A dan U.
Terdapat satu pelayan, kapasitas pelayanan dan
sumber kedatangan tak terbatas. Ini adalah model
antri yang paling sederhana dan merupakan model yg
akan dibahas.
Untuk menentukan semua ukuran prestasi atau ciri-
ciri operasi, dapat dilakukan dengan mudah setelah
diperoleh Pn, yaitu probabilitas n pengantri dalam
sistem. Melalui penurunan matematik yang cukup
panjang, dalam kondisi steady state diperoleh :
Pn = (1 - R). Rn
, dimana (R=A/U)≤ 1 , n=1,2,3,…….
16. Bertolak dari rumus itu dapat diperoleh ciri-ciri ope-
rasi lain :
(1). Probabilitas terdapat k atau lebih pengantri dlm
sistem adalah : Pn ≥k = Rk
.
(2). Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem :
(3). Rata-rata banyaknya pengantri yang sedang antri
(4). Rata-rata waktu menunggu dalam sistem :
R
R
PnL n
−
==
1
.
R
R
Lq
−
=
1
2
AU
W
−
=
1
17. (5). Rata-rata Waktu Antri :
(6). Proporsi waktu menganggur pelayan :
I = 1 - R
Contoh:
Penumpang kereta api pada loket dengan tingkat
rata-rata 20 per jam. Secara rata-rata setiap pe-
numpang dilayanan 2 menit. Setelah sistem berada
dalam steady state, carilah :
a. P4 b. L c. Lq d. W e. Wq
)( AUU
A
Wq
−
=
18. Penyelesaian :
Tingkat kedatangan rata-rata A= 20 per jam, dan
tingkat pelayanan rata-rata U = 30 per jam (60/2=
30), sehingga R = 2/3 (atau A/U = 20/30 = 2/3).
a. P4 = (1 - R). R4
= (1 - 2/3). (2/3)4
= 16/192
R 2/3
b. L = ------ = -------- = 2 penumpang
1 - R 1 - 2/3
R2
4/9
c. Lq = ----- = ------- = 1,33 penumpang
1-R2
1-4/9
d. W = 1/(U-A) = 1/(30-20) = 1/10 jam = 6 menit
19. e. Wq = A/(U(U-A)) = 20/((30)(30-20)) = 4 menit
Misalkan kepala stasiun mengetahui dengan menggan
ti penjaga loket yang ada dengan penjaga yang ter-
ampil, waktu pelayanan berkurang dari rata-rata 2
menit per penumpang menjadi 1,5 menit per penum-
pang (40 penumpang per jam). Namun upah penjaga
terampil adalah Rp 600 per jam, yang berarti dua
kali upah penjaga yang ada. Kepala stasiun juga mem-
perkirakan biaya menunggu adalah Rp 500 per menit.
Haruskah kepala stasiun mengganti penjaga yang
ada dengan penjaga yang lebih terampil ?
