Inleiding Calculus les 3

1. Inleiding calculus
voor Lerarenopleiding Wiskunde
deeltijd
Gerard van Alst
Week 3

2. Spoorboekje
1. Resumé
2. Huiswerk Review of Algebra (17 t/m 28)
Behandel vragen en 25, 26, 27, 28.
3. Uitleg over oplossen van vergelijkingen.
4. Huiswerk Stewart: behandeling.
5. Grafieken van de goniometrische functies.
6. Opgave 83.
7. Review of Algebra (29 t/m 54)
8. Afsluiting

3. Huiswerk bespreking Review of
Algebra
• Opgaven :
• Vragen?
• Opgave 25 t/m 28

4. Verhoudingen mooie hoeken
휋
4
휋
4
1
1
휋
3
휋
6
1
1
1
2
1
2
Hoek 0 흅
ퟔ
흅
ퟒ
흅
ퟑ
흅
ퟐ
sin 0 ½ ½ 2 ½ 3 1
cos 1 ½ 3 ½ 2 ½ 0
tan 0 1/3 3 1 3 Bestaat niet

5. De eenheidscirkel en hoeken daarin
1
θ
푃(푥, 푦)
퐻표푒푘: Ө
푦
푂
푥
1
−푥
−푦
퐻표푒푘: −Ө
퐻표푒푘: π − Ө
퐻표푒푘: π + Ө

6. Verhoudingen willekeurige hoek
푟
θ
푃(푥, 푦)
푥
푦
푂
sin
cos
tan
y
r
x
r
y
x






푟 = 1
θ
푃 푥, 푦 =(푐표푠휃 , 푠푖푛휃)
푥
푦
푂
sin
cos
tan
y projectie y as
x projectie x as
y
x



  
  


7. Formules
• cos(x+y)= cos(x) cos(y) – sin(x) sin(y)
• sin(x+y)=sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
• sin(-x) = - sin(x)
• cos(-x) = cos(x)
• tan(x) = sin(x) / cos(x)
• cot(x) = 1 / tan(x), sec(x) = 1/cos(x), csc(x)=
1/sin(x)
• cos2(x) + sin2(x) = 1 (pythagoras)

8. Voor wie….
• Nog meer wil weten, of nog meer achtergrond
zoekt over deze stof, kan kijken in 5VWO wisB-boeken:
bijvoorbeeld VWO WisB deel 2 van
Getal en Ruimte. Daarin wordt een hoofdstuk
gewijd aan deze stof.

9. Machientjes
Juwelier Parel verkoopt armbanden op maat:
Schakeltjes kosten €0,70 per cm en de sluiting kost €1,20.
• Dit geeft een lineair verband aan.
• Om de prijs uit te rekenen moeten we het volgende
doen:
In formulevorm:
• Prijs = 1,20 + 0,70 x aantal cm schakels.
Dit wordt ook wel een woordformule genoemd.

10. Omkering
Maar je kan ook het aantal schakels uitrekenen
die je voor een bedrag kan kopen
• Daarvoor maak je gebruik van een
omkeermachientje (inverse bewerkingen)
Aantal cm schakels : 0,70 - 1,20 (sluiting) Prijs

11. Hoe pas je dat hier toe?
• Voorbeeld:
• 2 sin2(x) = 1 (opg 67)
• x -> sin(x) -> (sin(x))2-> 2 x (sin(x))2 -> 1
• Dus sin(x) = + of -
1
2
, x =
1
4
휋, 1
1
4
π,
3
4
휋, 1
3
4
휋
x Sin kwadraat) x2 1
x + of - :2 1
wortel
Sin-inv

12. Bespreking opgaven 41 t/m 71
• Algemene tips voor het oplossen van dit soort
vergelijkingen:
1. Kijk of de vergelijking direct op te lossen is
(machientjes): zie vorige sheet.
2. Werk zoveel mogelijk toe naar sin(x) en cos(x).
3. Werk zoveel mogelijk de breuken weg : bijvoorbeeld
sin(x)/cos(x) = … , dan is sin(x) = … x cos(x).
4. Kijk of je iets herkent: bijvoorbeeld sin2(x)+cos2(x)=1
of iets van verdubbelingsformules sin(2x), cos(2x).

13. Grafieken
Sin(x)
Cos(x)

14. Toepassing
• Op de volgende dia een toepassing van sinus
en cosinus: de daglengte.
• De grafiek is duidelijk een sinus-achtige
grafiek.

15. Tijden van zonsopkomst (dunne kromme links) en zonsondergang (dunne kromme
rechts) voor De Bilt. De tijden staan aan de bovenzijde en aan de onderzijde van het
diagram; ze zijn opgegeven in onze wintertijd, de Midden-Europese tijd (MET); van 28
maart tot en met 30 oktober 2010 geldt de zomertijd en moet er dus een uur bij geteld
worden. De laatste zonsopkomst vindt plaats op 29 december; de vroegste op 17 juni.
De vroegste zonsondergang is op 13 december; de laatste op 24 juni. De dikke
slingerlijn in het midden geeft het tijdstip waarop de zon precies in het zuiden staat. De
horizontale lijnen komen overeen met de datum die aan de linkerzijde van zo'n lijn is
aangegeven; de daglente staat aan de rechterzijde van een 'datumlijn'. Bron: KNMI.

16. Grafieken
Tan(x)

17. Grafieken
Sin(x) en 1/sin(x)=csc(x):

18. Grafieken
Cos(x) en sec(x):

19. Opgave
• Maak opgave 83. (App. D)
• Dit gaat over de Cosinus-regel (Law of
Cosines).
• a2 = b2 + c2 -2bc cos(α)
• Dus als we de hoek
tussen twee zijdes weten
en de zijdes ook, dan kunnen we de lengte
van de derde zijde uitrekenen. Als de hoek 90
graden is, dan volgt Pythagoras.

20. Huiswerk
3 Goniometrie deel 2, Appendix
D: Graphs of Trigonometric
Functions
Factoring Boek Appendix D: 73, 75, 76,
83, 84, 85, 87, 88 ,89
Review of Algebra: 29 t/m 54
week Boek
Review of
Algebra Huiswerk