Integraalrekening 2, DT, 14-15 les 2

1. Integraalrekening 2
Les 2 DT
Gerard van Alst
April 2015

2. Doelen
• paragraaf 7.1: partiële integratie: vervolg.
• paragraaf 7.2: primitieven van gonio-
functies zoals sin2(x), sin3(x).

3. Elke les: 5 minuten met 5 vragen over
standaardafgeleiden en standaardintegralen
• 1. Wat is de afgeleide van arctan(𝑥)?
• 2. Bereken de afgeleide van ln 2𝑥 .
• 3. Wat is de primitieve van
1
1−𝑥2
?
• 4. Wat is de primitieve van 𝑥?
• 5. Wat is de primitieve van 2 𝑥
?

4. Partiële integratie

5. Andere schrijfwijze.
• In het boek worden de volgende notaties
gebruikt:
• Bij (2) wordt gebruikt: v=g(x) en dv=g’(x)dx.
• En ook: u=f(x) en du=f’(x)dx.

6. Vragen over het huiswerk?

7. Opgaven.
• par. 7.1: 26, 28, 37, 57
• Zijn deze gelukt? Anders gaan we ze nu doen!

8. Partiële
integratie
(2)
• Soms
is het
handig
om een
rondje
te
lopen
…..

9. Par. 7.2: primitieven van gonio
• We kijken naar de volgende integralen:
• Probeer ze te berekenen:
2 3 2
sin( )cos ( ) , sin ( ) , sin ( )x x dx x dx x dx  

10. Bespreking
2 3 2
sin( )cos ( ) , sin ( ) , sin ( )x x dx x dx x dx  

11. De primitieve van sin4(x)
• De primitieve van sin4(x) vinden we als
volgt:
• We weten dat cos(2x)=1-2sin2(x), dus
• hiermee zien we:2 1 1
2 2sin ( ) cos(2 ),x x 
4 2 2 21 1
sin ( ) (sin ( )) ( cos(2 ))
2 2
x dx x dx x dx     
21 1 1
( cos(2 ) cos (2 ))
4 2 4
x x dx 

12. Vervolg van sin4(x)
• We zien dus dat we sin4(x) terug kunnen
brengen tot sin of cos(2x).
2 2
2
1 1 1 1
Omdat cos ( ) cos(2 ) is dus ook: cos (2 ) cos(4 ) .
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
We zien dus dat ( cos(2 ) cos (2 )) ( cos(2 ) cos(4 ) )
4 2 4 4 2 8 8
3 1 1 3 1 1
( cos(2 ) cos(4 )) sin(2 ) sin(4 ) (Ga zel
8 2 8 8 4 32
x x x x
x x dx x x dx
x x dx x x x C
   
      
     
 
 f na.)

13. Opgaven
• §7.2: 7, 13.

14. Blz. 473

15. Toelichting
• Denk dus bij de eerste aan: cos3(x) of aan
sin2(x)cos(x), bij de tweede aan sin3(x) en bij
de laatste aan sin4(x) (zie hiervoor).

16. Opgaven.

17. Weten we nog?
2
Bereken tan( ) en cot( ) .
Probeer nu ook: tan ( ) .
x dx x dx
x dx
 


18. Huiswerk
• §7.2: 1, 3, 15, 17, 23, 61, 65

19. Huiswerk
• §7.2: 1, 7, 11, 13, 15, 17, 23, 61, 65.