Capita Selecta Calculus les 2 GvAlst

1. Captica Selecta Calculus
DT 14-15
Les 2
Gerard van Alst

2. Doelen
• Par. 10.2:
• Berekenen van raaklijnen aan kromme
met parametervoorstellingen.
• Berekenen van oppervlakte onder een
kromme met parametervoorstelling.
• Berekenen van de lengte van de kromme
met parametervoorstelling.

3. Terugkomend op vorige keer:
• In EWA kun je ook de parameterkromme
laten tekenen.
• Daarvoor moet er wel een CDF-player
geïnstalleerd worden.
• We kijken naar: blz. 638 bovenaan:
• Klik evt. op:
• Daarna kan parametervoorstelling
gekozen worden en met t-knop geschoven
worden.

4. Huiswerkbespreking
• Bespreek: 33, 41 van par. 10.1
• Zijn er nog vragen over de andere
opgaven?

5. Par. 10.2: raaklijnen aan krommen.
• Uit de kettingregel volgt:
• Denk hierbij aan:
• y = sin(x(t))
• Uit bovenstaande volgt:
• Hiermee kunnen we raaklijnen bepalen.
dy dy dx
dt dx dt

dy
dy dt
dxdx
dt


6. Raaklijnen (2)
• Bijvoorbeeld:
• Waarbij t (-1,4]
• We bepalen de raaklijn
• in het punt met t =1.
3 2
( ) 3 1x t t t  
( )
1
t
y t
t


(1) 1x  
1
(1)
2
y 

7. Raaklijnen (2)
• We krijgen:
• En
• Dus
• Raaklijn: , punt is (-1,½),
• zodat de raaklijn wordt:
2
'( ) 3 6 , '(1) 3.x t t t zodat x   
2
1 1
'( ) , '(1) .
( 1) 4
y t zodat y
t
 

1
14( 1)
3 12
dy
t
dx
   

1
12
y x b  
1 5
12 12
y x  

8. Oefening.
• Opgave 7:

9. Concaaf up- of downwards.
• Indien we buigpunten willen bepalen, of
de delen van de grafiek willen bepalen
waar de kromme concaaf naar boven (up)
of naar beneden (down) is, dan hebben
we de tweede afgeleiden nodig:
• met
• Zie opgaven (12 o.a.).

10. Ingesloten oppervlakte (1)
• Let op: Hierbij moet x niet “heen en weer”
gaan. Het betreft de oppervlakte
ingesloten door de kromme, tussen x=f( ),
de x-as en x=f( ).

11. Uitleg over formule ingesloten
oppervlakte.
• We schrijven: ( ) '( )
b
a
dx
A y dx y dt y t x t dt
dt
 
 
    

12. Voorbeeld ingesloten oppervlakte
• Bijvoorbeeld:
• Waarbij t (-1,4]
• We bepalen de oppervlakte
• Tussen de punten met t=0 en t=2.
3 2
( ) 3 1x t t t  
( )
1
t
y t
t

 t=2
t=0

13. Voorbeeld ingesloten oppervlakte (2)
• De oppervlakte is gelijk aan:
• De uitkomst is negatief omdat we van een grotere x-
waarde (t=0, x=1) naar een kleinere x-waarde (t=2,
x=-3) gaan. Dat moet dus eigenlijk omgekeerd.
• De oppervlakte is dus gelijk aan 9ln(3)-8 1,8875.
2 2 2 3 2
2
0 0 0
3 6
( ) '( ) (3 6 )
1 1
t t
t t
t t t
y t x t dt t t dt dt
t t
 
 

   
   
22
2 3 2
00
9 9
(3 9 9 ) 9 9ln( 1)
1 2
t
t
t t dt t t t t
t


 
           

8 9ln(3) 1,8875  

14. Opgave over oppervlakte.
• Maak opgave 33:
• De grafiek ziet er als volgt uit:

15. Lengte van kromme.
ix
iy
1i iP P
• Dus =1i iP P
2 2 2 2
( ) ( ) ( '( )) ( '( ))i i i i ix y x t y t t     
2 2 2 2
1
1 1 1
lim lim ( ) ( ) lim ( '( )) ( '( ))
n n n
i i i i i i i
n n n
i i i
L P P x y x t y t t
  
  
         
2 2
( '( )) ( '( ))
t
t
x t y t dt




 

16. Lengte van kromme (2)
• Opmerking: vaak zal de integraal van de
lengte niet op te lossen zijn: de meeste
integralen zijn simpelweg niet uit te
rekenen, maar wel te benaderen.
• Bijvoorbeeld: x(t)=et en y(t)=sin(t), waarbij
t [0,2 ]: stel de integraal op voor de
lengte.
• Opgave 41:

17. Opgaven en huiswerk.
week Boek
2 §10.2 m.u.v. Surface Area
Opgaven
3, 7, 12, 17, 30, 32, 33, 41, 42, 44 (*)
(*): In opgave 44 heb je nogal wat gonioformules
nodig: zie App. D blz. A29. Daarom is deze
opgave vervangen door opgave 42.