3. Opgaven week 7
5.24a) Gebruik het resultaat van opgave 5.21.
5.24b) Gebruik het “eerlijk delen” principe.
5.24c) De richtingscoëfficiënt is −1 (zie 5.24b)).
5.24d) Stel eerst de poollijn op: 𝑦 = 4𝑥 − 12. De snijpunten van de poollijn
met de parabool zijn
9
2
, 6 en (2, −4). Dan kunnen de raaklijnen in
deze punten opgesteld worden met behulp van “eerlijk delen” (of
door de vergelijking op te stellen door twee gegeven punten).
5.24e) De richtingscoëfficiënt van de corresponderende raaklijn aan de
parabool is −
1
2
. Dan volgt uit opgave 5.21 dat deze raaklijn de
vergelijking 𝑦 = −
1
2
𝑥 − 4 heeft. Deze vergelijking kan geschreven
worden als −8𝑦 = 4(𝑥 + 8). Door het principe van “eerlijk delen”
omgekeerd toe te passen volgt dat het raakpunt gegeven wordt door
(8, −8). De vergelijking van de normaal is dan 𝑦 + 8 = 2(𝑥 − 8), ofwel
2𝑥 − 𝑦 = 24.
3
4. Opgaven week 7
5.28a) Via eerlijk delen: 2 ⋅ 𝑥 + 2 ⋅ 1 ⋅ 𝑦 = 4
5.28b) Richtingscoëfficiënt van corresponderende raaklijn is −
1
2
, dus
vergelijking van normaal is 𝑦 − 1 = 2 𝑥 − 2 , ofwel 2𝑥 − 𝑦 = 1.
5.28c) Stel eerst poollijn op: −2 ⋅ 𝑥 + 2 ⋅ 3 ⋅ 𝑦 = 4, ofwel 𝑥 = 3𝑦 − 2. De
snijpunten van de poollijn met de ellips zijn (−2,0) en
14
11
,
12
11
. Dan
kunnen de raaklijnen weer met eerlijk delen gevonden worden.
5.28d) De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is −2. Laat (𝑥0, 𝑦0) het raakpunt
zijn. Deze heeft vergelijking 𝑥0 𝑥 + 2𝑦0 𝑦 = 4 en dus rc gelijk aan −
𝑥0
2𝑦0
.
Stel deze gelijk aan −2, dan volgt 𝑥0 = 4𝑦0. Substitueer deze vervolgens
in de vergelijking van de ellips: 16𝑦0
2
+ 2𝑦0
2
= 4, waarna volgt
𝑦0 = ±
1
3
2. Hiermee volgen de raaklijnen 𝑦 = −2𝑥 ± 3 2.
4
5. Oefententamen 21-04-2009
1a) Gebruik formule voor afstand tussen punt en lijn (zie formuleblad),
antwoord:
16
5
.
1b) Gebruik formule voor afstand tussen punt en lijn (zie formuleblad):
𝑑 𝑃, 𝑘 = 𝑑(𝑃, 𝑙) voor willekeurig punt 𝑃(𝑥, 𝑦), dan volgen de
vergelijkingen 2𝑥 − 16𝑦 − 15 = 0 en 64𝑥 + 8𝑦 − 155 = 0.
1c) De straal is
16
5
(zie 1a) ), dus 𝑥 − 10 2 + 𝑦 − 1 2 =
256
25
.
2a) Na kwadraat afsplitsen volgt: 𝑥 − 1 2
+ 𝑦 − 2 2
= 5, dus is de
straal gelijk aan 5.
2b) Bereken eerst 𝐴(0,4). Dan volgt met eerlijk delen de raaklijn:
−𝑥 + 2𝑦 = 8.
5
6. Oefententamen 21-04-2009
2c) Vergelijking 𝐶2: 𝑥 − 3 2
+ 𝑦2
= 𝑟2
. Stel de machten ten opzichte
van de cirkels aan elkaar gelijk:
𝑥 − 1 2
+ 𝑦 − 2 2
− 5 = 𝑥 − 3 2
+ 𝑦2
− 𝑟2
, dan volgt de
vergelijking van de machtlijn: 4𝑥 − 4𝑦 − 9 + 𝑟2
= 0. Deze moet
overeenkomen met 𝑦 = 𝑥, zodat 𝑟2
= 9. De vergelijking van 𝐶2 is
dus 𝑥 − 3 2
+ 𝑦2
= 9.
3a) Na kwadraat afsplitsen volgt:
𝑥+7 2
25
+
𝑦−5 2
9
= 1. Dus 𝑎 = 5, 𝑏 = 3
en 𝑐 = 4 (𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
), zodat centrum: (−7,5), brandpunten (−3,5)
en (−11,5). De korte as is 𝑥 = −7 en de lange as is 𝑦 = 5.
3b) Stel eerst poollijn op: 𝑦 =
16
5
. Bereken vervolgens de snijpunten met de
ellips (dit zijn de raakpunten): −3,
16
5
en −11,
16
5
. Daarna volgen de
raaklijn door (−7,0) en −3,
16
5
: 𝑦 =
4
5
𝑥 +
28
5
en de raaklijn door (−7,0)
en −11,
16
5
: 𝑦 = −
4
5
𝑥 −
28
5
.
6
7. Oefententamen 21-04-2009
4) De raaklijn heeft vergelijking 𝑥0 𝑥 = 2𝑦 + 2𝑦0. Hieruit volgt 𝑄(0, 𝑦0).
Dus 𝑃𝑄 = 𝑥0
2
+ 4𝑦0
2
. Stel dit gelijk aan 2 6 en maak gebruik van
𝑥0
2
= 4𝑦0, dan volgt 𝑦0 = 2 of 𝑦0 = −3, waarvan alleen 𝑦0 = 2 een
toegestane oplossing is. We vinden hiermee 𝑃(±2 2, 2).
7
