Integraalrekening 1 les 4

1. Bespreken: §5.4: 11, 59, 61 (extra); §5.5: 13, 21, 45, lesuur 1, les 4
Welkom terug!!!
Bespreken huiswerkopgaven

2. §5.4: 11 (blz. 404)
Bereken
x3
− 2 x
x
dx∫
x3
− 2 x
x
dx∫ =
x3
x
−
2x
1
2
x
dx∫ = x2
− 2x
−1
2
dx∫ =
1
3 x3
− 4x
1
2
+ C = 1
3 x3
− 4 x + C

3. §5.4: 59 (blz. 405)
De snelheidsfunctie (in m/s) is voor een deeltje dat
zich voortbeweegt volgens een rechte lijn. Vind, ten eerste, de
afstand (in m) die het deeltje heeft afgelegd ten opzichte vanaf
het begin en, ten tweede, de afgelegde afstand gedurende het
interval .
Het deeltje beweegt tot 3t - 5 = 0, ofwel achteruit. Dus:
v(t) = 3t − 5
0 ≤ t ≤ 3
d(t) = v(t)dt
0
3
∫ = 3t − 5dt
0
3
∫ = 3
2 t2
− 5t⎡⎣ ⎤⎦0
3
= −1,5meter
t = 5
3
− 3t − 5dt
0
5
3
∫ + 3t − 5dt
5
3
3
∫ = − 3
2 t2
− 5t⎡⎣ ⎤⎦0
5
3 + 3
2 t2
− 5t⎡⎣ ⎤⎦5
3
3
=
− − 4 1
6 − −0 + −1,5 − −4 1
6 = 6 5
6 meter

4. §5.4: 61 (blz. 405) voor jullie
De versnellingsfunctie (in m/s2) is voor een deeltje
dat zich voortbeweegt volgens een rechte lijn. Vind, ten eerste,
de snelheid (in m/s) op tijdstip t en, ten tweede, de afgelegde
afstand gedurende het interval , wetende dat de
snelheid op t = 0 gelijk is aan 5.
Dus:
a(t) = t + 4
0 ≤ t ≤10
v(t) = a(t)∫ dt = t + 4dt∫ = 1
2 t2
+ 4t + C
v(0) = 5}v(0) = 1
2 ⋅02
+ 4 ⋅0 + C = 5
C = 5
v(t) = 1
2 t2
+ 4t + 5

5. §5.4: 61 (blz. 405) voor jullie
De integraal van de snelheidsfunctie is de afstandsfunctie d:
Bij een bepaalde integraal schrijf je de +C niet op.
d(t) = v(t)dt
0
10
∫ = 1
2 t2
+ 4t + 5dt
0
10
∫ = 1
6 t3
+ 2t2
+ 5t⎡⎣ ⎤⎦0
10
= 1
6 ⋅103
+ 2⋅102
+ 5⋅10 − 0
= 416 2
3 meter

6. §5.5: 13 (Blz. 413)
Bereken
Bij een onbepaalde integraal schrijf je de +C wel op.
dx
5 − 3x∫
dx
5 − 3x∫ =
1
5 − 3x
dx∫ =
−3⋅ −1
3
5 − 3x
dx∫ =
−1
3
u
du∫ =
−1
3
1
u
du∫ = −1
3 ln u + C( )= −1
3 ln u + C = −1
3 ln 5 − 3x + C

7. §5.5: 21 (Blz. 413)
Bereken (ln(x))2
x
dx∫
(ln(x))2
x
dx∫ = (u)2
du∫ = 1
3 u3
+ C = 1
3 (ln(x))3
+ C

8. §5.5: 45 (Blz. 413)
Bereken
1+ x
1+ x2
dx∫
1+ x
1+ x2
dx∫ =
1
1+ x2
+
x
1+ x2
dx∫ = tan−1
(x)+
x
1+ x2
dx∫ =
tan−1
(x)+
1
2 ⋅2x
1+ x2
dx∫ = tan−1
(x)+
1
2
u
du∫ =
tan−1
(x)+ 1
2
1
u
du∫ =tan−1
(x)+ 1
2 ln u + C =
tan−1
(x)+ 1
2 ln 1+ x2
+ C

9. lesuur 1-2, les 4
§5.5The Substitution Rule
Chapter 5 Integrals

10. Definite Integrals
Vorige week hebben we het over de primitieve gehad. De
primitieve F van f kunnen we berekenen met .
Dit noemen we een onbepaalde integraal.
Wanneer we grenzen aangeven noemen we het een bepaalde
integraal.
We moeten dan slechts één stapje meer maken door gebruik te
maken van theorema 2 van de calculus:
f (x)dx∫
f (x)dx
a
b
∫ = f (x)dx∫⎡
⎣
⎤
⎦a
b
= F(b)− F(a)

11. Definite Integrals
Ook een gedefinieerde integraal is op te lossen met behulp van
de substitutiemethode.
Maar ook met behulp van theorema 2 van de calculus.
Laten we het eens op beide manieren uitvoeren.

12. Voorbeeld 1
Bepaal
x
1+ 2x
dx
0
4
∫
1
2 ⋅ 1
2 (u −1)
u
du∫ =
x
1+ 2x
dx∫ = 1
4
u −1
u
du∫ =
1
4
u
u
−
1
u
du∫ = 1
4 u
1
2
− u
−
1
2
du∫ = 1
4 (2
3 u
3
2
− 2u
1
2
) =
1
6 u u − 1
2 u = 1
6 (1+ 2x) 1+ 2x − 1
2 1+ 2x + C
x
1+ 2x
dx
0
4
∫ = 1
6 (1+ 2x) 1+ 2x − 1
2 1+ 2x⎡
⎣
⎤
⎦0
4
= 9
3 − − 1
3 = 10
3

13. Definite Integrals
De substitutiemethode voor gedefinieerde integralen zegt:
Als g’ continu is op een interval [a, b] en f is continu op u =
g(x), dan:
Als we op deze manier voorbeeld 1 uitvoeren, dan krijgen we:
We gaan dus niet meer terug naar de variabele x!
f (g(x))g'(x)dx =
a
b
∫ f (u)du
g(a)
g(b)
∫
x
1+ 2x
dx
0
4
∫ =
1
2 ⋅2x
1+ 2x
dx
0
4
∫ =
1
2 ⋅ 1
2 (u −1)
u
du
1
9
∫ = 1
6 u u − 1
2 u⎡
⎣
⎤
⎦1
9
=
1
6 ⋅9⋅ 9 − 1
2 9 − (1
6 − 1
2 ) = 3− − 1
3 = 10
3

14. Voorbeeld 2
Bereken met behulp van de substitutiemethode:
cos(x)⋅sin(sin(x))dx
0
π
2
∫ = sin(u)du
0
1
∫
= −cos(u)[ ]0
1
= −cos(1)− −1
= 1− cos(1)

15. Symmetrie
Als f continu is op een interval [-a, a] en voor iedere x in het
interval geldt f(x) = f(-x) dan noemen we de functie even.
Er geldt dan:
Een waarde 0 is vaak makkelijker in te vullen dan -a.
f (x)dx
−a
a
∫ = 2 f (x)dx
0
a
∫

16. Symmetrie
Als f continu is op een interval [-a, a] en voor iedere x in het
interval geldt f(-x) = -f(x) dan noemen we de functie oneven.
Er geldt dan:
De oppervlaktes van -a tot 0 en van 0 tot a heffen elkaar dan
namelijk op!
f (x)dx
−a
a
∫ = 0

17. Voorbeeld 3
Bereken door gebruik te maken van symmetrie:
Deze functie is oneven met als symmetriepunt x = 1. De grenzen
van de integraal liggen op 3 afstand van 1 dus:
Normaliter mag je ook de functie gewoon uitwerken en
integreren. Maar dit zal niet altijd gaan…
(x2
−1)(x − 3)dx
−2
4
∫ = (x −1)(x +1)(x − 3)dx
−2
4
∫
(x2
−1)(x − 3)dx
−2
4
∫ = 0

18. lesuur 2-3, les 3
H5 Review
Chapter 5 Integrals

19. Review
Ga nu aan de slag met de volgende opdrachten uit de review (dit
is niet het huiswerk):
16, 18, 23, 66 en 70

20. Review 16
y2
1+ y3
0
2
∫ dy = 1
3 ⋅3y2
1+ y3
0
2
∫ dy =
1
3 3y2
1+ y3
0
2
∫ dy = 1
3 u du
0
2
∫ =
1
3
2
3 u
3
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
0
2
= 1
3
2
3 (1+ y3
) 1+ y3⎡
⎣
⎤
⎦0
2
=
1
3
54
3 − 2
3( )= 52
9
Let op, de notatie op deze pagina is officieel onjuist omdat de
grenzen niet mee veranderen.

21. Review 18
sin(3πt)dt
0
1
∫ =
− 1
3π cos(3πt)[ ]0
1
=
− 1
3π cos(3π)− − 1
3π cos(0) =
1
3π + 1
3π = 2
3π

22. Review 23
1− 2x + x2
x2
dx =∫
1
x2
−
2x
x2
+
x2
x2
dx =∫
x−2
− 2⋅
1
x
+1dx =∫
−x−1
− 2ln x + x + C =
−
1
x
− 2ln x + x + C

23. Review 66
h''(u)du =
1
2
∫
h'(u)[ ]1
2
=
h'(2)− h'(1) =
5 − 2 =
3

24. Review 70
lim
n→∞
1
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
1
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
9
+
2
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
9
+
3
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
9
+...
n
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
9
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
lim
n→∞
i
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
9
⋅
1
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
i=1
n
∑ =
x9
dx
0
1
∫ =
1
10 x10
⎡⎣ ⎤⎦0
1
=
1
10 − 0 = 1
10

25. Einde les 4
Huiswerk: §5.5 (vanaf Definite Integrals) en review H5
§5.5: 53, 57, 59, 63, 65, 67, 69, 71, 77; review H5: 2, 3, 7, 13, 22, 26, 37 en 67