2. Inhoud
1) Enkele opgaven week 6
2) Hoofdstuk 5: Kegelsneden (zie ook Stewart, paragraaf 10.5)
i. 5.5.3: Pool en poollijn bij een parabool (opgave 5.24)
ii. 5.5.4: Raaklijnen en poollijnen aan een ellips en een hyperbool (opgave 5.28 en 5.29)
iii. Oefententamen 21-04-2009 (wordt uitgereikt)
2
3. Opgaven week 6
5.15b) De vergelijking is te schrijven als
𝑥−2 2
42
−
𝑦+3 2
14
= 1. Hieruit volgt
dat 𝑎 = 42, 𝑏 = 14 en 𝑐 = 56. Het middelpunt is (2, −3), de
asymptoten hebben de vergelijkingen 𝑦 + 3 = ±
1
3
(𝑥 − 2) en de
toppen zijn 2 ± 42, −3 .
5.15c) De vergelijking is te schrijven als
𝑥−3 2
4
−
𝑦+5 2
3
= 1. Hieruit volgt
dat 𝑎 = 2, 𝑏 = 3 en 𝑐 = 7. Het middelpunt is (3, −5), de
asymptoten hebben de vergelijkingen 𝑦 + 5 = ±
1
2
3 (𝑥 − 3) en de
toppen zijn 3 ± 2, −5 .
3
4. Opgaven week 6
5.18. Stelling
𝑃(𝑥0, 𝑦0) ligt op de parabool 𝑦2
= 4𝑝𝑥, met brandpunt 𝐹(𝑝, 0). 𝑃𝑅 is de loodlijn
uit 𝑃 op de richtlijn, met 𝑅 op de richtlijn. Dan deelt de raaklijn in 𝑃 aan de
parabool de hoek 𝑅𝑃𝐹 middendoor.
Bewijs
Merk op dat te bewijzen is dat de raaklijn de bissectrice is van hoek 𝑅𝑃𝐹. De lijn
𝐹𝑃 heeft vergelijking 𝑦0 𝑥 + 𝑝 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑝 = 0. De lijn 𝑅𝑃 heeft vergelijking
𝑦 = 𝑦0. Zij 𝑄(𝑥, 𝑦) een punt op de bissectrice van hoek 𝑅𝑃𝐹. De vergelijkingen
voor de bissectrices volgen nu uit 𝑑 𝑄, 𝐹𝑃 = 𝑑(𝑄, 𝑅𝑃). Aan te tonen is nu dat
één van deze bissectrices samenvalt met de raaklijn (en dan automatisch de
andere met de normaal). De vergelijking voor de bissectrices wordt
𝑦0 𝑥 + 𝑝 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑝 = 𝑦0
2
+ 𝑝 − 𝑥0
2 𝑦 − 𝑦0 . Er geldt
𝑦0
2
+ 𝑝 − 𝑥0
2
=
𝑦0
2
4𝑝
+ 𝑝
2
, zodat de vergelijking voor de bissectrices over gaat
in 𝑦0 𝑥 + 𝑝 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑝 = ±
𝑦0
2
4𝑝
+ 𝑝 𝑦 − 𝑦0 . Het plusteken in deze
vergelijking blijkt na enig rekenwerk overeen te komen met de normaal en het
minteken met de raaklijn.
4
5. Opgaven week 6
5.22. Stelling
De richtlijn van de parabool is de verzameling punten, waaruit de
twee raaklijnen aan de parabool loodrecht op elkaar staan.
Bewijs
Ga uit van de parabool 𝑦2 = 4𝑝𝑥. De raaklijn met gegeven
richtingscoëfficiënt 𝑚 is 𝑦 = 𝑚𝑥 +
𝑝
𝑚
. De lijn die hier loodrecht op
staat heeft vergelijking 𝑦 = −
1
𝑚
𝑥 + 𝑐. Deze lijn raakt aan de
parabool indien 𝑐 = −𝑚𝑝 (discriminant gelijk aan nul stellen).
Bereken nu het snijpunt van𝑦 = 𝑚𝑥 +
𝑝
𝑚
en 𝑦 = −
1
𝑚
𝑥 − 𝑚𝑝, dan
blijkt 𝑥 = −𝑝. Dit is nu net de richtlijn van de parabool.
5
6. Pool en poollijn bij een parabool
Definitie
De poollijn van punt 𝑃 ten opzichte van een parabool is de lijn door de punten
waar de raaklijnen uit 𝑃 de parabool raken.
Stelling (bewijs valt buiten het kader van dit vak)
De poollijn van 𝑃(𝑥0, 𝑦0) t.o.v. de parabool 𝑦2
= 4𝑝𝑥 heeft de vergelijking
𝑦𝑦0 = 2𝑝(𝑥 + 𝑥0).
Opmerking
De formule voor de poollijn is eenvoudig te onthouden met behulp van het
principe van ‘eerlijk delen’.
6
7. Raaklijn aan ellips en hyperbool
Stelling (bewijs valt buiten het kader van dit vak)
De raaklijn in het punt (𝑥0, 𝑦0) aan de ellips
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 heeft vergelijking
𝑥𝑥0
𝑎2 +
𝑦𝑦0
𝑏2 = 1.
Stelling (bewijs valt buiten het kader van dit vak)
De raaklijn in het punt (𝑥0, 𝑦0) aan de hyperbool
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1 heeft vergelijking
𝑥𝑥0
𝑎2 −
𝑦𝑦0
𝑏2 = 1.
Opmerking
De formules voor de raaklijnen zijn eenvoudig te onthouden met behulp van
het principe van ‘eerlijk delen’.
7
8. Poollijnen aan kegelsneden
Definitie
De poollijn van een punt 𝑃 ten opzichte van een kegelsnede is de lijn die
verkregen wordt door eerlijk delen.
1. Als 𝑃 op de kegelsnede ligt, dan is de poollijn de raaklijn in 𝑃.
2. Als 𝑃 buiten de kegelsnede ligt, dan snijdt de poollijn de kegelsnede in de
raakpunten van de raaklijnen uit 𝑃.
8
