Algebra en Bewijzen les 2 ppt GvAlst

1. Algebra en Bewijzen 1
DT
Les 2
Gerard van Alst
Februari 2015

2. Doelen.
• Delers, priemgetallen: wat zijn dat.
• Bewijsvoering: hoe zetten we een bewijs
op?
• Het vinden van de priemfactorontbinding.

3. Huiswerkbespreking
• Zijn er nog vragen over het huiswerk?
• Bespreking van opgaven: opgave 1.4.4.
en 1.4.5 als dat wenselijk is.

4. Delers.
Voorbeelden.
3 is een deler van 12 want er bestaat een geheel getal
k zo dat 12 = 3 . k, namelijk k = 4.
5 is een deler van 130 want er bestaat een geheel
getal k zo dat 130 = 5 . k, namelijk k = 26.
Opgave 2.2.1
Is 6 een deler van 120? Waarom?
Is 8 een deler van 4?
Schrijf het netjes op, zoals hierboven dus.

5. Delers (2)
• Is -5 een deler van 15?
• Is 4 een deler van 0?
• Is 0 een deler van 4?
• Is 0 een deler van 0?
• Definitie:
• Als een geheel getal n een deler is van een geheel
getal m, dan zeggen we ook wel dat m ‘deelbaar’
is door n.
• Notatie: n|m. Dit wil dus zeggen: n is deler van m.

6. Delers (3)
• Bijvoorbeeld:
8 is een even getal omdat 8 = 2 . 4.
0 is een even getal omdat 0 = 2 . 0.
–6 is een even getal omdat –6 = 2 . (–3).
Opgave 2.2.2
Is 7 een oneven getal?
En 13?
En –5?
Schrijf het netjes op, zoals hierboven dus.

7. Bewijsvoering (1)
• Voor alle natuurlijke getallen n geldt dat
• 1. Vooronderzoek: Onderzoek of bovenstaande geldt
voor een aantal gevallen van n. Kun je het ook
onderzoeken voor n = 100?
• 2. Het Bewijs: zie volgende sheet en blz. 15 van de
reader.

8. Bewijsvoering (2)

9. Bewijsvoering (3) Opgaven
Opgave 2.2.3
Probeer nu zelf het goed bewijs te geven van de bewering: ‘Het
product van twee oneven getallen is weer een oneven getal’ .
Opgave 2.2.6
Onderzoek de volgende beweringen. Bewijs dat ze waar zijn of
dat ze niet waar zijn. We zeggen
dan ook wel: ‘Bewijs of weerleg’ .
a) Voor alle gehele getallen m en n geldt: als 5|m en 5|n, dan
ook 5|(m + n).
d) Voor alle natuurlijke getallen n geldt: als n drie positieve
delers heeft, dan heeft 2n zes positieve delers.
e) f) Voor alle natuurlijke getallen n geldt dat n + 1 een deler is
van n3 + n2 – n – 1.

10. Priemgetallen (1)
• Bijvoorbeeld: 9 is samengesteld, want 9 = 3x3
en 7 is niet samengesteld, dus een priemgetal.
• Later gaan we bewijzen dat er GEEN grootste
priemgetal bestaat: er zijn dus oneindig veel
priemgetallen.

11. Priemgetallen (2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1–
20
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
21–
40
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
41–
60
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
61–
80
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
• Lijst met priemgetallen:

12. Priemgetallen (3)
• Hoe kunnen we deze lijst met alle
priemgetallen vinden?
• Natuurlijk door bij elk getal te onderzoeken
of het deelbaar is door alle getallen kleiner
dan dit getal.
• MAAR het kan ook anders: het zeef van
Eratosthenes:
http://www.kennislink.nl/publicaties/priemg
etallen

13. Zeef van Eratosthenes
1. Hoe werkt het zeef?
2. Begin met 2: dat is een priemgetal.
3. Streep alle veelvouden van 2 door (dat zijn
geen priemgetallen).
4. Ga naar het volgende niet-doorgestreepte
getal : dat is een priemgetal.
5. Streep alle veelvouden van dit getal weer
door.
6. Ga weer naar stap 4: het volgende getal etc.

14. Priemgetallen (4)
• Elk getal is te schrijven als product van
priemgetallen of het is zelf een priemgetal.
• Bijvoorbeeld: 31 is een priemgetal en
63=3x3x7.
• Probeer als product van priemgetallen te
schrijven:
• 210, 268, 1024.

15. Priemfactorontbinding
• Hoe kunnen we een getal schrijven als product van
priemgetallen (=priemfactorontbinding)?
• Bijv. 836.
• Kijk of het getal deelbaar is door 2: 836=2x418.
• Ga verder met het laatste getal: 418. Kijk of het
deelbaar is door 2: ja: 418=2x209. 209:door 3?
Nee. Dan naar het volgende priemgetal: 5: ook
niet. 209 deelbaar door 7? Nee. 209 deelbaar door
11? Ja: 209=11x19.
• Nu verder met 19: 19 is priemgetal.
• Dus 836=2x2x11x19. Dit is de
priemfactorontbinding van 836.

16. Opgave priemfactorontbinding.
• Opgave 2.3.3
• En nu, ontbind systematisch in
priemfactoren:
• 172, 364, 970, 2069.

17. Huiswerk.
• Maak de overige opgaven van paragraaf
2.2 en paragraaf 2.3 tot en met blz. 18.
(t/m opg. 2.3.3)