Integraalrekening 1 les 2

Bespreken: Appendix E: 10, 20; §5.2: 11, 23, lesuur 1, les 2
Welkom terug!!!
Bespreken huiswerkopgaven

Appendix E: 10
schrijf de som uit: f (xi
)Δxi
=
i=1
n
∑
f (x1
)Δx1
+ f (x2
)Δx2
+...+ f (xn−1
)Δxn−1
+ f (xn
)Δxn
=
Δx f (x1
) + f (x2
) +...+ f (xn−1
) + f (xn
)( )

Appendix E: 20
schrijf in sigma notatie: 1− x + x2
− x3
+...+ (−1)n
xn
=
(−1)i
xi
i=0
n
∑

x
x +10
2
∫ dx ≈
f (xi
)⋅Δx
i=1
n=5
∑ =
f (0 + 1
2
Δx + i⋅Δx)⋅Δx
i=1
n−5
∑ =
Δx⋅ f (0,2) + f (0,6) + f (1) + f (1,4) + f (1,8)( )=
0,4⋅ 1
6
+ 3
8
+ 1
2
+ 7
12
+ 9
14( )= 127
140
(≈ 0,907)
Bereken:
§5.2: 11

lim
n→∞
4
n
1−
3i
n
+
2i2
n2
i=1
n
∑ =
lim
n→∞
4
n
1
i=1
n
∑
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
4
n
3i
ni=1
n
∑
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
4
n
2i2
n2
i=1
n
∑
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
lim
n→∞
4
n
⋅n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
12
n2
⋅
n(n +1)
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
8
n3
⋅
n(n +1)(2n +1)
6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
lim
n→∞
4( )−
12
n2
⋅
n2
+ n
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
8
n3
⋅
2n3
+ 3n2
+ n
6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
lim
n→∞
4( )−
6n2
+ 6n
n2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
16n3
+ 24n2
+8n
6n3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
lim
n→∞
4( )− 6 + 6n−1
( )+ 8
3
+ 4n−1
+ 4
3
n−2
( )=
4 − 6 − 0 + 8
3
+ 0 + 0 = 2
3
Bereken:
§5.2: 23
x2
+ x
−2
0
∫ dx =
lim
n→∞
f (xi
)⋅Δx
i=1
n
∑ =
lim
n→∞
f (−2 + i⋅
2
n
)⋅
2
ni=1
n
∑ =
lim
n→∞
2
n
−2 + i⋅
2
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
i=1
n
∑
2
+ −2 + i⋅
2
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
lim
n→∞
2
n
4 −
8i
n
+
4i2
n2
− 2
i=1
n
∑ +
2i
n
=
lim
n→∞
2
n
2 −
6i
n
+
4i2
n2
i=1
n
∑ =

Nog een stukje van §5.2: 
The Definite Integral
Blijf altijd beseffen dat je al veel oppervlaktes kunt
berekenen:
Als de vraag is bereken , maak dan eerst een
plaatje:
De oppervlakte van een kwart 
cirkel kunnen we wel berekenen 
zonder moeilijke limieten…
1− x2
dx
0
1
∫
1− x2
dx
0
1
∫ =
π ⋅12
4
=
π
4

Properties of the Definite Integral
Er zijn een heleboel rekenregels voor integralen:
f (x)dx
a
b
∫ = − f (x)dx
b
a
∫
f (x)dx
a
a
∫ = 0
cdx
a
b
∫ = c(b − a)
cf (x)dx
a
b
∫ = c f (x)dx
a
b
∫
f (x)− g(x)dx
a
b
∫ = f (x)dx
a
b
∫ − g(x)dx
a
b
∫
f (x)dx
a
c
∫ + f (x)dx =
c
b
∫ f (x)dx
a
b
∫
als f (x) ≥ 0 voor a ≤ x ≤ b, dan f (x)dx ≥ 0
a
b
∫
als f (x) ≥ g(x) voor a ≤ x ≤ b, dan f (x)dx ≥
a
b
∫ g(x)dx
a
b
∫
als m ≤ f (x) ≤ M voor a ≤ x ≤ b,
dan m(b − a) ≤ f (x)dx
a
b
∫ ≤ M(b − a)
f (x)
a
b
∫ + g(x)dx = f (x)dx +
a
b
∫ g(x)
a
b
∫ dx

Voorbeeld 0
Bereken wetende dat (zie voorbeeld 6
van de vorige les).
4 − 3x2
dx
0
2
∫ x2
dx
0
2
∫ =
8
3
4 − 3x2
dx
0
2
∫ = 4dx −
0
2
∫ 3x2
dx
0
2
∫
= 4dx −
0
2
∫ 3 x2
dx
0
2
∫
= 4 ⋅(2 − 0)− 3⋅
8
3
= 8 − 8 = 0

lesuur 1, les 2
sin, cos, tan, sec, csc, cot
voorkennis goniometrische verhoudingen

Eenheidscirkel
Alle goniometrische verhoudingen komen voort uit de
eenheidscirkel:
P
α
sin(α) = yp
cos(α) = xp
tan(α) =
yp
xp
=
sin(α)
cos(α)
csc(α) =
1
sin(α)
sec(α) =
1
cos(α)
cot(α) =
1
tan(α)
=
cos(α)
sin(α)
cos2
(α) + sin2
(α) = 1
1+ tan2
(α) = sec2
(α)
1+ cot2
(α) = csc2
(α)

lesuur 1, les 2
§4.9 Antiderivatives
Chapter 4 Application of Differentiation

Antiderivatives
Het omgekeerde van differentiëren is integreren.
Definitie: 
Als F(x) een functie is en er geldt op een interval I voor alle x dat 
F’(x) = f(x), dan noemen we F de anti-afgeleide ofwel primitieve
van f.
Maar:
F’(x) = [x2]’ = 2x
F’(x) = [x2 + 15]’ = 2x

Antiderivatives
Een constante die we differentiëren valt weg en dus als we het
omgekeerde proces moeten volgen weten we nooit of er een
constante bij heeft gestaan.
Stel f(x) = x2 dan zijn er een  
heleboel functies die de anti- 
afgeleide F van f zouden kunnen 
zijn:
We moeten daarom in meer 
algemene termen de anti- 
afgeleide noteren.

Antiderivatives
Afspraak: 
Als F de anti-afgeleide of primitieve is van f op een interval I.
Dan geldt dat de meest algemene vorm van de anti-afgeleide
van f is: F(x) + C. Waarbij C een willekeurig getal is.
Dus als f(x) = x2, dan is + C. (Want de afgeleide van F
is weer f, ongeacht wat C is.)
F(x) = 1
3
x3

Voorbeeld 1 (voor jullie)
a) Bereken f als je weet dat
want de afgeleide van f is .
b) Bereken f als je weet dat
De functie f is niet direct zichtbaar. Maar het lijkt er op dat hier
de quotiëntregel is toegepast.
Dus:
f '(x) =
2
x2
+ 2x +1
f '(x) = 4sin(4x)
f '(x) = sin(4x)⋅4
f '(x) =
2
x2
+ 2x +1
=
2
(x +1)2
=
(x +1)(1)( )− (x −1)(1)( )
(x +1)2 f (x) =
x −1
x +1
+ C
f (x) = −cos(4x) + C
Meerdere juiste antwoorden…

Antiderivatives
In Calculus 2 hebben we gezien dat de standaard afgeleide van
een machtsfunctie gelijk is aan (n ≠ -1).
Maar wat is dan de anti-afgeleide ofwel primitieve van ?
f (x) = xn
f (x) = xn
f '(x) = n⋅ xn−1

Antiderivatives
Maar wat is dan de anti-afgeleide ofwel primitieve van ?
Wat deden we bij differentiëren: 
functie ☞ getal voor de macht maal exponent ☞ exponent
minus 1 ☞ afgeleide.
Dus nu doen we het omgekeerde: 
functie ☞ exponent plus 1 ☞ getal voor de macht delen door de
nieuwe exponent ☞ primitieve (+C).
f (x) = xn

Antiderivatives
Dus nu doen we het omgekeerde: 
functie ☞ exponent plus 1 ☞ getal voor de macht delen door de
nieuwe exponent ☞ primitieve (+C).
Algemeen: 
De standaard primitieve van is gelijk  
aan de functie (n ≠ -1).
f (x) = xn
F(x) =
1
n +1
xn+1
+ C =
xn+1
n +1
+ C

Standard list of antidifferentiation
formulas
Note: natuurlijk moet er achter iedere primitieve nog + C staan.

Bereken de primitieve van
want:  
 
 
 
 
Let op: dit kan ook makkelijker door de wortel te splitsen.
f (x) = 2ex
+ 3cos(x) − 2x
− 2x = − 2x( )
1
2 exponent plus 1
⎯ →⎯⎯⎯⎯ − 2x( )
3
2
getal voor de macht delen door nieuwe exponent
⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
−1
3
2
2x( )
3
2 ⋅
1
2
=
−1
3
2x( )
3
2 =
−1
3
⋅2x⋅ 2x( )
1
2 = − 2
3
x⋅ 2x
2ex
⎡⎣ ⎤⎦
'
= 2ex
, 3sin(x)⎡⎣ ⎤⎦
'
= 3cos(x) en − 4
3
x 2x⎡
⎣
⎤
⎦
'
= − 2x
F(x) = 2ex
+ 3sin(x) − 4
3
x 2x + C

Gegeven is met . Bereken f(x). 
 
 
 
 
 
Dus:
f ''(x) = x−2
f (1) = 0 en f (2) = 0
f '(x) = −1⋅ x−1
+ C
f (x) = −ln x + Cx + K
f (1) = −ln(1) + C + K = 0
f (2) = −ln(2) + 2C + K = 0
f (1) = 0 + C + K = 0 dus C = −K
f (2) = −ln(2) + 2C − C = 0
−ln(2) = −C
ln(2) = C
f (x) = −ln x + ln(2)x − ln(2)
=
−1
x
+ C

Antiderivatives
Om een top te vinden van een functie stelden we de afgeleide
gelijk aan 0. (Want in een top is de helling gelijk aan 0.)
Dus om van een grafiek een globale grafiek van de primitieve te
maken kijken we eerst naar de nulpunt van de grafiek.
Nieuw: De toppen van de grafiek zijn buigpunten in de globale
grafiek van de primitieve.

Teken op de plaatsen van de nulpunten 
de toppen (let op: maxima of minima).
Teken op de plaatsen van de toppen een 
buigpunt.
Graphs of Antiderivatives

lesuur 2 en 3, les 2
§5.3The FundamentalTheorem of Calculus
Chapter 5 Integrals

The fundamentalTheorem of
Calculus
Vorige week hebben we al gezien dat met behulp van een
integraal de oppervlakte onder een grafiek te berekenen is.
We gaan in de rest van de les verder bouwen op deze theorie.
De oppervlakte V onder een grafiek op een differentieerbaar
interval [a, b] is te berekenen  
met:
We zouden ook best de b kunnen  
laten variëren: g(x) = f (t)dt
a
x
∫
V = f (x)dx
a
b
∫ = f (t)dt
a
b
∫

Calculus
De oppervlakte wordt dus op deze manier een functie, met als
variabele de eindwaarde van het gekozen interval.
Stel f(t) = 2t, dan krijgen we:
We kunnen deze integraal uitrekenen door de theorie uit §4.9
toe te passen (verhoog de macht met 1 en deel 2 door de nieuwe
macht).
Ofwel:
g(x) = 2t dt
a
x
∫
g(x) = 2t dt
a
x
∫ = t2
⎡
⎣
⎤
⎦a
x

Calculus
Om nu de oppervlakte te berekenen moeten we de grenzen nog
invullen in de gekregen primitieve. Stel a = 1 en x = 5.
We moeten beseffen dat een 
integraal altijd vanaf x = 0 
wordt berekent. Dus de opper- 
vlakte op [1,5] is de oppervlakte 
op [0,5] minus de oppervlakte 
op [0,1]:
g(x) = 2t dt
1
5
∫ = t2
⎡
⎣
⎤
⎦1
5
= 52
−12
= 24

Calculus
Algemener: Stel a = 0 en x = x (variabel), dan geldt: 
 
Dit geldt altijd zo (wordt op een complexe manier bewezen op
de pagina’s 387 t/m 389):
Als f is continu op [a, b] dan kan de functie g geschreven
worden als: met a ≦ x ≦ b die ook continu is op 
[a, b] en differentieerbaar op (a, b) en g’(x) = f(x).
g(x) = 2t dt
0
x
∫ = t2
⎡⎣ ⎤⎦0
x
= x2
g(x) = f (t)dt
a
x
∫

Gegeven is
Bereken g’(x).
Omdat: continu is geldt:
g(x) = t2
− sec2
(4t) dt
0
x
∫
f (t) = t2
− sec2
(4t) g'(x) = x2
− sec2
(4x)

Let op de net area en de slope:
Visueel bewijs

Calculus
Indien er geen x staat (op de plaats van b), maar een andere
variabele zullen we goed moeten nadenken over de definitie.
Indien we moeten berekenen is dat niet meer  
’gewoon’ . Maar wat dan wel?
De moeilijke manier is gebruikmakend van de kettingregel.
d
dx
t dt
0
x2
∫
x

Calculus
De kettingregel zegt:
d
dx
t dt
0
x2
∫ =
d
du
t dt ⋅
du
dx0
u
∫ = u ⋅
du
dx
=
u ⋅2x = x2
⋅2x = x⋅2x = 2x2
dy
dx
=
dy
du
⋅
du
dx

Calculus
Maar dit kan makkelijker door gebruik te maken van het
volgende theorema:
Definitie: 
Als f continu is op [a, b], dan geldt: 
waarbij F een primitieve (anti-afgeleide) is van f.  
Ofwel F’(x) = f(x).
Nu volgt:
f (x)dx = F(b) − F(a)
a
b
∫
d
dx
t dt
0
x2
∫ =
d
dx
2
3
x
3
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
0
x2
=
d
dx
2
3
x2
( )
3
2
−
2
3
0( )
3
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
d
dx
2
3
x3⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = 2x2

t
t
dt = t
−1
2
dt =
4
x2
∫4
x2
∫ 2t
1
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
4
x2
= 2 t⎡
⎣
⎤
⎦4
x2
= 2 x2
− 2 4 = 2x − 4
Bereken:
t
t
dt
4
x2
∫

Calculus
Maar waar blijft de constante C eigenlijk? 
 
 
 
Bij een integraal op een bepaald interval [a, b] doet de constante
C er dus niet toe.
Wel als we alleen de primitieve moeten zoeken!
f (x)dx = F(b) − F(a)
a
b
∫ = (g(b) + C) − (g(a) + C)
= g(b) + C − g(a) − C
= g(b) − g(a)

Bereken: (y −1)(2y +1)dy
0
2
∫
(y −1)(2y +1)dy
0
2
∫ = 2y2
− y −1dy
0
2
∫ = 2
3
y3
− 1
2
y2
− y⎡⎣ ⎤⎦0
2
=
(2
3
⋅23
− 1
2
⋅22
− 2) − (2
3
⋅03
− 1
2
⋅02
− 0) = 16
3
− 2 − 2 = 4
3

Bereken:
4
1− x2
1
2
1
2
∫ dx = 4sin−1
(x)⎡
⎣
⎤
⎦1
2
1
2
= 4sin−1 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − 4sin−1 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = 4⋅ 1
4
π − 4⋅ 1
6
π = 1
3
π
4
1− x2
1
2
1
2
∫ dx

Bereken: 
 
De functie is niet continu op het gegeven interval, dus de
integraal bestaat niet!!!
1
x−e
e2
∫ dx = ln x⎡⎣ ⎤⎦−e
e2
= ln e2
( )− ln e( )= 2 −1= 1
1
x−e
e2
∫ dx

Einde les 2
Huiswerk: §4.9 en §5.3
§4.9: 1, 5, 9, 13, 17, 25, 32, 35, 45, 51; §5.3: 7, 19, 25, 26, 27, 41, 45 en 69

Integraalrekening 1 les 2

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Integraalrekening 1 les 2

Similar to Integraalrekening 1 les 2 (20)

More from Bart Habraken

More from Bart Habraken (9)

Integraalrekening 1 les 2