Integraalrekening 2, Les 3, GvAlst, ppt, DT 1415

1. Integraalrekening 2
Les 3 DT
Gerard van Alst
April 2015

2. Doelen
• Paragraaf 7.3: gonio-substitutie als je het
niet verwacht: alleen de eerste.
• Paragraaf 7.4: breuksplitsing.

3. Elke les: 5 minuten met 5 vragen over
standaardafgeleiden en standaardintegralen
• 1. Wat is de afgeleide van arccos(𝑥)?
• 2. Bereken de afgeleide van ln 1 + 𝑥 .
• 3. Wat is de primitieve van
1
1+𝑥2?
• 4. Wat is de primitieve van
1
𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
?
• 5. Wat is de primitieve van cos(𝑥)?

4. Weten we nog?
2
Bereken tan( ) en cot( ) .
Probeer nu ook: tan ( ) .
x dx x dx
x dx
 


5. Paragraaf 7.3
• Je ziet: nogal bewerkelijk!
2
2 2 2
2 2
We bekijken: 1 . Dit heeft alles met een cirkel te maken. Waarom?
We substitueren: sin( ), dan krijgen we: 1 1 sin ( ) cos ( ) en cos( ) , dus
1
1 cos( )cos( ) cos ( ) ( cos(2 )
2
x dx
x t x t t dx t dt
x dx t t dt t dt t

     
   

  
2
1 1 1
) sin(2 )
2 4 2
1 1 1 1
sin( )cos( ) 1 arcsin( )
2 2 2 2
dt t t C
t t t C x x x C
    
      


6. Par. 7.3 (2)
• We hebben nu een voorbeeld van de
eerste substitutie gezien. De andere twee
substituties doen we niet.

7. Opgave.
• Maak:

8. Par. 7.4: Breuksplitsing
• Waarom willen we dit?
• Dus:

9. De techniek.
• Stel 𝑓 𝑥 =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
, waarbij 𝑃(𝑥) en
𝑄(𝑥) polynomen zijn.
• Dan:
• 1. Als de graad van P groter of gelijk is
aan de graad van Q: deel dan uit.
• 2. Zoek de nulpunten van Q(x) en ontbind
Q(x) zoveel als mogelijk is.
• We onderscheiden verschillende gevallen.

10. De techniek (2)
• Geval 1: Q(x) is product van verschillende
lineaire factoren.
• Geval 2: Q(x) is product van lineaire factoren,
maar er zitten dezelfde tussen.
• Geval 3: Q(x) is product van lineaire factoren
en irreducibele (enkelvoudige) kwadratische
factoren.
• Geval 4: Q(x) is product van lineaire factoren
en irreducibele meervoudige kwadratische
factoren. Dit geval hoeven jullie niet te kennen.

11. Voorbeelden:
• Geval 1: Q(x)=(x-2)(x+3).
• Geval 2: Q(x)=x2(x+4).
• Geval 3: Q(x)=(x-1)(x+1)(x2+1). Een
irreducibele factor is een factor zonder dat
die verder te ontbinden is: x2+1 heeft geen
nulpunten (ga na!), en is dus niet verder te
ontbinden.
• Geval 4: Q(x)=(x2+1)3.

12. Oefening.
• Welk geval betreft het?
• A. Q(x)=x3+x.
• B. Q(x)=x2-5x+6
• C. Q(x)=x3-4x2+4x
• D. Q(x)=x4-1
• E. Q(x)=(x-1)3

13. Geval 1.
• Bijvoorbeeld: Q(x)=(x-2)(x+3).
• In dat geval is
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
te schrijven als
𝐴
𝑥−2
+
𝐵
𝑥+3
.
• Bijvoorbeeld:
1
𝑥2+𝑥−6
.
• We zoeken nu A en B:
1
𝑥2+𝑥−6
=
1
(𝑥−2)(𝑥+3)
=
𝐴
𝑥−2
+
𝐵
𝑥+3
. Vermenigvuldig aan beide kanten
met 𝑥 − 2 𝑥 + 3 :
• 1 = 𝐴 𝑥 + 3 + 𝐵 𝑥 − 2 = 𝐴 + 𝐵 𝑥 + (3𝐴 −
2𝐵)

14. Geval 1 (vervolg)
• Dus 𝐴 + 𝐵 = 0 en 3𝐴 − 2𝐵 = 1.
• Hieruit volgt: 𝐴 = −𝐵 en 5𝐴 = 1.
• Dus 𝐴 =
1
5
en 𝐵 = −
1
5
.
• Nu is
1
𝑥2+𝑥−6
=
1
5
𝑥−2
−
1
5
𝑥+3
, zodat
•
1
𝑥2+𝑥−6
𝑑𝑥 = (
1
5
𝑥−2
−
1
5
𝑥+3
)𝑑𝑥 =
1
5
ln( 𝑥 −

15. Geval 2.
• Bijvoorbeeld: Q(x)=x(x-1)2.
• Dan:
3
𝑥(𝑥−1)2 =
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥−1
+
𝐶
(𝑥−1)2.
• Daarna verder uitwerken: A, B, C vinden.
• Dan kunnen we de gevonden functie
integreren.

16. Opgaven.
• §7.4: 7, 9, 11, 15, 17, 19.

17. Huiswerk
• §7.3: 1, 2, 6, 29.
• En de opgaven van paragraaf 7.4:§7.4: 7,
9, 11, 15, 17, 19.

18. Huiswerk
• §7.3: 1, 2, 6, 29
§7.4: 7, 9, 11, 15, 17, 19.