Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Với 10k bạn có ngay 5 lượt download tài liệu bất kỳ do Garment Space upload Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA VẬT LÝ

VŨ THỊ LAN ANH
ĐỀ TÀI:
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
NIÊN KHÓA: 2008 – 2012
TP. HỒ CHÍ MINH-2012

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:
GVHD: ThS. HOÀNG ĐỖ NGỌC TRẦM
SVTH: VŨ THỊ LAN ANH
NIÊN KHÓA: 2008 – 2012
TP. HỒ CHÍ MINH-2012

3. MỤC LỤC
MỤC LỤC.............................................................................................................1
LỜI CẢM ƠN .......................................................................................................3
MỞ ĐẦU...............................................................................................................4
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT...................................................................9
1.1. Lý thuyết vùng năng lượng...................................................................9
1.1.1. Hoàn cảnh lịch sử .............................................................................9
1.1.2. Mô tả định tính ...............................................................................10
1.1.3. Phương trình Schrödinger cho chuyển động của electron trong
trường thế tuần hoàn của tinh thể...........................................................................11
1.1.4. Lỗ trống ..........................................................................................15
1.2. Bán dẫn hệ thấp chiều và sự hình thành exciton.................................16
1.2.1. Tổng quan về hệ thấp chiều............................................................16
1.2.2. Vật liệu bán dẫn nhiều lớp..............................................................17
1.2.3. Cấu trúc giếng lượng tử 2D............................................................18
1.2.4. Sự hình thành exciton.....................................................................22
CHƯƠNG 2: EXCITON TRUNG HÒA..........................................................24
2.1. Khái niệm............................................................................................24
2.2. Phân loại – tính chất............................................................................25
2.2.1. Exciton Mott-Wannier....................................................................25
2.2.2. Exciton Frenkel...............................................................................26
2.3. Hàm sóng và năng lượng của exciton trung hòa.................................27
2.3.1. Exciton Mott-Wannier....................................................................27

4. 2.3.2. Exciton Frenkel...............................................................................30
2.4. Kết luận...............................................................................................32
2.5. Phương trình Schrödinger cho exciton trung hòa trong từ trường......32
CHƯƠNG 3: EXCITON ÂM...........................................................................37
3.1. Định nghĩa...........................................................................................37
3.2. Phương trình Schrödinger cho exciton âm .........................................38
3.3. Phương trình Schrödinger cho exciton âm trong từ trường đều .........39
KẾT LUẬN.........................................................................................................45
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................46
PHỤ LỤC............................................................................................................49

5. Lời cảm ơn
Để thực hiện được đề tài này, bên cạnh sự nỗ lực cố gắng của bản thân, em
luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và hướng dẫn tận tình từ các thầy cô, sự ủng
hộ nhiệt tình của gia đình, bạn bè.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến:
Ban chủ nhiệm Khoa Vật Lý – Trường Đại học Sư phạm TP. HCM và các
thầy cô trong khoa đã tận tình truyền đạt tri thức và những kinh nghiệm quý báu cho
chúng em trong suốt khóa học.
Thầy Lê Văn Hoàng, người đã mang đến những giờ học cơ lượng tử thú vị,
giúp em có những kiến thức vững chắc khi bắt đầu với luận văn này.
Cô Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, người đã hết lòng hướng dẫn, động viên, và giúp
đỡ em trong suốt thời gian thực hiện và hoàn thành bài luận văn này. Một lần nữa,
em xin chân thành cảm ơn cô!
Sau cùng em xin cảm ơn và kính chúc sức khỏe Hội đồng xét duyệt luận văn
Khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm TP.HCM.
Do thời gian tương đối ngắn, kiến thức của bản thân chưa sâu nên dù đã cố
gắng nhưng luận văn cũng không thể tránh khỏi hạn chế và thiếu sót. Em rất mong
được được sự đóng góp ý kiến, phê bình xây dựng từ phía thầy cô, bạn bè.
Em xin chân thành cảm ơn!
TP. Hồ Chí Minh, 05-2012
Sinh viên thực hiện
Vũ Thị Lan Anh.

6. MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, các nhà vật lý và hóa học ngày càng quan tâm
hơn đến các vật liệu thấp chiều, những lợi ích có được từ chúng cũng đang tăng
đáng kể và dự định sẽ còn hơn thế trong tương lai, đơn cử một lý do sau: chỉ xét
riêng nhu cầu trong ngành điện tử, độ phức tạp của bộ vi xử lý và bộ nhớ của các
con chip ngày càng tăng thể hiện ở chỗ cứ mỗi hai năm mật độ chip lại tăng gấp đôi.
Điều này dẫn đến các thành phần điện tử riêng biệt phải có kích thước cỡ 100 nm
trở xuống, làm một số chiều trong không gian tinh thể bị hạn chế.
Trong các tinh thể thông thường, các phân tử sẽ tương tác với nhau trong
không gian ba chiều (3D – 3 Dimensional). Nhưng nếu một, hai hoặc cả ba chiều bị
hạn chế - hệ quả của việc thu hẹp kích thước vật liệu – thì các hiệu ứng lượng tử bắt
đầu xuất hiện và đóng vai trò quan trọng, nói cách khác, vật liệu hệ thấp chiều thể
hiện những tính chất mà không thấy được trong các tinh thể thông thường, ví dụ
như việc trong phổ hấp thụ xuất hiện những đỉnh hấp thụ lạ, không phải là của các
hạt hoặc các hệ hạt đã biết; vật liệu hệ thấp chiều “hành xử” như thể bên trong
chúng không chỉ chứa các electron rời rạc mà là chứa các “giả hạt” là trạng thái liên
kết của các electron đó. Dựa vào số chiều không bị giới hạn, vật liệu thấp chiều
được chia thành các loại không chiều (0D), một chiều (1D), hai chiều (2D). Các vật
liệu 0D được tìm thấy trong hầu hết các tinh thể nano bán dẫn (chấm lượng tử -
Quantum Dot) và họ fullerene. Các vật liệu 1D tồn tại ở các hình thức khác nhau có
cấu trúc dạng chuỗi, ví dụ ống nano, dây nano, vòng nano, vành nano. Chất liệu cấu
thành chúng có thể là cacbon, phân tử hữu cơ (để tạo thành polyme), kim loại, chất
bán dẫn, hoặc oxit kim loại. Ống nano cacbon là một trong những vật liệu một chiều
được nghiên cứu nhiều nhất. Quá trình nghiên cứu vật liệu 2D bắt đầu với giếng
lượng tử, nhưng giờ đây việc nghiên cứu đã chuyển sang vật liệu có cấu trúc nhiều
lớp với kích thước bề dày cỡ nguyên tử trong đó graphene và cấu trúc bán dẫn siêu

7. mạng (supperlattice) là những khám phá nổi bật trong lĩnh vực đang phát triển
nhanh chóng này. [25]
Đi kèm với nhu cầu sử dụng ngày càng tăng của các vật liệu hệ thấp chiều là
quá trình nghiên cứu không ngừng nghỉ của các nhà vật lý học, thể hiện ở rất nhiều
công trình nghiên cứu gần đây về đặc tính của các vật liệu này trong các ngành khoa
học vật liệu cũng như nỗ lực phát minh và nâng cấp các công cụ tính toán trong các
mô hình lượng tử như phương pháp nhiễu loạn, phương pháp biến phân, phương
pháp toán tử, phương pháp đại số, … [4-7], [10], [11]. Chúng ta đã biết, một trong
những thành tựu lớn của lý thuyết lượng tử trong chất rắn là việc xây dựng sơ đồ
Bloch - vào cuối những năm đầu thế kỷ XX – mô tả chuyển động của các hạt mang
điện là điện tử và lỗ trống. Vượt ra ngoài khuôn khổ đó, năm 1931 Frenkel đã đề
xuất quan điểm về sự tồn tại của một giả hạt – exciton – là trạng thái liên kết của
điện tử và lỗ trống, nhằm giải thích sự xuất hiện các đỉnh (peak) lạ trong phổ hấp
thụ của một số chất bán dẫn thấp chiều [1].
Mặc dù đã gần một thế kỷ trôi qua nhưng cho đến nay, exciton và những tính
chất đặc biệt của nó luôn hấp dẫn các nhà vật lý lý thuyết và thực nghiệm; đồng thời
cũng nhận được sự quan tâm đặc biệt trong quá trình phát triển của vật lý chất rắn.
Điều đó có nhiều nguyên nhân. Trước hết, exciton là mô hình xuất hiện trong tất cả
các chất rắn (trừ kim loại): người ta đã tìm thấy exciton trong các tinh thể halogen
kiềm (vào những năm 30), tinh thể phân tử (vào những năm 40), tinh thể bán dẫn
(vào những năm 50) và cả trong các tinh thể ion, tinh thể khí hiếm và một số liên
kết đất hiếm. Sự tham gia của exciton đã được ghi nhận trong rất nhiều các hiện
tượng vật lý và trong các thí nghiệm quang. Thứ hai, quang phổ của exciton thường
có cấu trúc rõ nét và cho phép nghiên cứu lý thuyết một cách chi tiết. Thứ ba, lý
thuyết về exciton không đơn giản có thể hiểu được bằng cách áp dụng lý thuyết
nguyên tử hay sơ đồ vùng Bloch, mà khá hấp dẫn và lôi cuốn các nhà thực nghiệm
bởi sơ đồ năng lượng giả hydro [9], [17].

8. Các bài toán exciton trong bán dẫn đã được giải cụ thể trong đó nghiệm là
hàm sóng và năng lượng của exciton đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm và bài
toán sẽ gần với thực tế hơn khi xét đến sự tồn tại của trường ngoài. Nghiên cứu cho
thấy có rất nhiều hiệu ứng quang – điện xảy ra đặc biệt khi exciton tồn tại trong bán
dẫn mà trường ngoài xuất hiện như hiệu ứng Stark, sự thay đổi tính dẫn điện, hiện
tượng quang phi tuyến trong pha kết hợp, sự phụ thuộc năng lượng liên kết exciton
vào điện trường và từ trường, hiệu ứng tách vạch Zeeman trong từ trường [23], …
Nhưng không chỉ dừng lại ở đó, với sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật
và công nghệ, thế giới đã chế tạo thành công những lớp vật liệu mỏng kích cỡ
nanomet bằng các phương pháp như MBE (Molecular Beam Epitaxy, tạm dịch “cấy
chùm phân tử”), MOCVD (Metal Organic Chemical Vapor Deposition, tạm dịch
“kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ”) [6], [17], [20]. Các lớp vật liệu này được ghép
với nhau thành cấu trúc nhiều lớp thấp chiều, trở thành một “môi trường” rất tốt để
nghiên cứu các tính chất và hiệu ứng lượng tử của exciton, đơn cử là giếng lượng tử
GaAs/AlxGa1-xAs, (với 𝑥 ≤ 0.45) là một loại vật liệu có cấu trúc tinh thể nhiều lớp
được sử dụng trong hầu hết những nghiên cứu gần đây về exciton bởi những điều
kiện rất thuận lợi mà nó mang lại như việc có thể kiểm soát chặt chẽ nồng độ của
từng loại hạt tải điện bằng cách thay đổi nồng độ Al khi cấy ghép giếng lượng tử.
Cũng chính nhờ loại vật liệu bán dẫn đặc biệt này mà năm 1993 Kheng et al. [10],
[11] đã phát hiện exciton mang điện trong giếng lượng tử CdTe/CdZnTe và sau đó
là trong GaAs/AlGaAs năm 1996 bởi G. Finkelstein et al. [15], A.J. Shields et al.
năm 1997 [8], M. Hayne et al. năm 1999 [18]; và cho đến nay việc nghiên cứu về
exciton mang điện vẫn còn thu hút sự quan tâm đặc biệt của rất nhiều nhóm các nhà
khoa học khi cả thực nghiệm và lý thuyết đều cho thấy sự phụ thuộc của năng lượng
liên kết exciton và sự biến đổi trạng thái spin khi vật liệu thấp chiều được đặt trong
từ trường [12], [18], [20].
Thực tiễn trên đã làm tác giả phát sinh nhu cầu tìm hiểu các vấn đề cơ bản
sau: bản chất của exciton là gì? Có những loại exciton nào? Phương trình
Schrödinger mô tả trạng thái của các loại exciton có dạng như thế nào? Tình hình

9. giải các phương trình đó? v.v... Nghiên cứu các tài liệu liên quan, tác giả nhận thấy,
hầu hết mỗi tài liệu là một công trình đóng góp về một trong rất nhiều vấn đề xoay
quanh exciton nhưng chưa có một tài liệu nào mô tả đầy đủ những thông tin cơ bản
về exciton, đặc biệt là exciton 2D. Vì vậy, mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu
mô hình exciton trung hòa và eaciton âm 2D, nhằm khái quát hóa các kiến thức về
exciton thành một tài liệu mạch lạc và tường minh cho những ai bắt đầu nghiên cứu
vào các bài toán cụ thể của exciton ở các đề tài tiếp theo. Đây cũng là một công việc
quan trọng trong việc tiến hành các nghiên cứu về phương pháp toán tử (Operator
Method – OM) giải phương trình Schrödinger mà giáo viên hướng dẫn luận văn này
đang thực hiện, trong đó các dạng exciton là một trong những đối tượng chính để áp
dụng phương pháp.
Như đã nói ở trên, có nhiều dạng exciton khác nhau: exciton trung hòa (trạng
thái liên kết giữa một electron và một lỗ trống); exciton mang điện bao gồm:
exciton âm (hai electron liên kết với một lỗ trống), exciton dương (một electron liên
kết với hai lỗ trống). Trong đó bài toán exciton trung hòa đã tìm được lời giải chính
xác cho trường hợp có mặt từ trường ngoài với cường độ bất kì bằng phương pháp
toán tử [4]. Bài toán exciton dương khi sử dụng gần đúng Born-Oppenheimer có thể
đưa được phương trình động lực học về dạng phương trình của exciton trung hòa
nên về nguyên tắc có thể giải được. Trường hợp exciton âm là đối tượng đang được
nghiên cứu để áp dụng OM tìm lời giải chính xác. Vì những lý do đó, cũng như
trong giới hạn về thời gian thực hiện luận văn, tác giả xin được phép trình bày tập
trung về exciton trung hòa và exciton âm 2D. Trong quá trình tìm hiểu và thực
hiện luận văn, tác giả cũng đồng thời học được nhiều kĩ năng cần thiết cho việc
nghiên cứu khoa học: tìm kiếm, đọc, phân tích, đánh giá, tổng hợp tài liệu và kĩ
năng trình bày mạch lạc, tường minh trong luận văn.
Nội dung cụ thể:
 Tìm hiểu lý thuyết vùng trong vật lý chất rắn.
 Tìm hiểu phương pháp tạo ra mô hình 2D trong chất bán dẫn.

10.  Phân loại, thiết lập phương trình Schrödinger cho các loại exciton
trung hòa cho hai trường hợp không có từ trường và có từ trường
ngoài đều, các tính chất của exciton trung hòa.
 Thiết lập phương trình Schrödinger cho exciton âm 2D cho hai trường
hợp không có từ trường và có từ trường ngoài đều.
 Tìm hiểu tình hình giải các bài toán exciton.
Phương pháp: tìm kiếm tài liệu, đọc, đánh giá nội dung, phân tích, tổng
hợp, trình bày lại theo một bố cục hợp lý, logic.
Bố cục luận văn: dựa vào mục tiêu và các nội dung trên, trừ phần mở đầu và
phần kết luận, luận văn này được chia thành ba chương, cụ thể như sau:
• Chương I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT. Chương này trình bày các
kiến thức về cấu trúc vùng năng lượng trong chất rắn nhằm dẫn đến sự
hình thành các vùng năng lượng, sau đó là sự xuất hiện của giả hạt “lỗ
trống” khi electron hóa trị bị kích thích lên vùng dẫn và sự xuất hiện
trạng thái liên kết giữa chúng khi khoảng cách giữ chúng bị thu nhỏ lại
bởi sự giam giữ của các hệ thấp chiều – đặc biệt là mô hình cấu trúc
giếng lượng tử 2D – dẫn đến sự hình thành exciton.
• Chương II: EXCITON TRUNG HÒA. Giới thiệu những nét cơ
bản về exciton trung hòa: định nghĩa, phân loại, tính chất, phương trình
Schrödinger trong hai trường hợp không có từ trường và có từ trường
ngoài đều, và tình hình giải các bài toán này.
• Chương III: EXCITON ÂM. Chương này trình bày các kiến
thức về exciton âm: định nghĩa, phương trình Schrödinger cho exciton âm
trong hai trường hợp không có từ trường ngoài và có từ trường ngoài, tình
hình giải các bài toán và một số kết luận thu được từ nghiệm của phương
trình có từ trường ngoài đều.

11. CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong chương này, ở tiểu mục đầu tiên, tác giả trình bày lại lý thuyết vùng
năng lượng nhằm tạo dựng tiền đề cho việc khảo sát trạng thái của exciton ở những
phần sau. Trong phần này sẽ mô tả hoàn cảnh lịch sử hình thành lý thuyết vùng và ý
tưởng của thuyết này một cách định tính, sau đó là giới thiệu phương trình động học
cho chuyển động của electron trong trường thế tuần hoàn của tinh thể với các phép
gần đúng Born-Oppenheimer, gần đúng một electron, gần đúng thế tuần hoàn của
tinh thể (mô hình Kronig-Penney) để dẫn ra nguyên nhân xuất hiện các vùng năng
lượng: chính trường thế tuần hoàn của mạng tinh thể đã làm các mức năng lượng
của electron mở rộng thành các vùng năng lượng – nơi tồn tại các trạng thái khả dĩ
của electron – xen kẽ các vùng cấm [1-3], [17]. Tiếp theo giới thiệu một loại giả hạt
tồn tại trong cấu trúc vùng năng lượng của tinh thể là “lỗ trống” – xuất hiện khi các
electron trong vùng hóa trị nhận kích thích nhảy lên vùng dẫn. Cùng với các
electron, lỗ trống chính là một trong hai thành phần cấu thành exciton – đối tượng
nghiên cứu chính của luận văn này. Lý thuyết và thực nghiệm đều chứng tỏ khi kích
thước tinh thể càng thu nhỏ (các hệ thấp chiều) thì lực tĩnh điện giữa electron và lỗ
trống cũng bắt đầu lớn dần, trạng thái liên kết trở nên bền vững hơn, năng lượng
liên kết đo được do vậy cũng đủ lớn để xuất hiện trạng thái liên kết giữa điện tử và
lỗ trống. Tiểu mục tiếp theo sẽ mô tả về hệ thấp chiều và sự hình thành exciton. Nội
dung của chương này được tham khảo chủ yếu trong các tài liệu [1-3], [17].
1.1. Lý thuyết vùng năng lượng
1.1.1. Hoàn cảnh lịch sử
Mẫu electron tự do của kim loại giúp ta hiểu rõ được bản chất của nhiệt
dung, độ dẫn nhiệt, độ dẫn điện, độ cảm từ và điện động lực học các kim loại. Tuy
nhiên mẫu này tỏ ra còn hạn chế khi không giải thích được một số hiện tượng quan
trọng sau [2]:

12.  Theo mẫu electron tự do, độ dẫn điện của chất rắn tỉ lệ với mật
độ electron, nhưng thực tế có một số kim loại có hóa trị II (như Be, Cd,
Zn, …) hay thậm chí kim loại hóa trị III (như Al, In, …) lại có độ dẫn
điện kém hơn những kim loại hóa trị I (như Ag), mặc dù chúng có mật độ
electron cao hơn.
 Thực tế một số kim loại có hằng số Hall dương, trong khi đó
theo mẫu electron tự do thì hằng số Hall luôn âm.
 Đo đạc thực nghiệm cho thấy mặt Fermi thường không có dạng
hình cầu, điều này trái ngược với mẫu electron tự do, mẫu này khẳng định
mặt Fermi có dạng hình cầu.
 Mẫu electron tự do không giải thích được sự liên hệ giữa các
electron dẫn trong kim loại và các electron hóa trị của nguyên tử tự do.
Từ những hạn chế trên đòi hỏi phải có một lý thuyết mới chặt chẽ hơn có
tính đến sự tương tác giữa electron với mạng tinh thể. Vì thế mà lý thuyết vùng
năng lượng ra đời.
1.1.2. Mô tả định tính
Trong tinh thể vật rắn các electron phân bố theo các vùng năng lượng cách
nhau bởi các miền giá trị năng lượng mà tại đó không tồn tại bất kì electron nào.
Khoảng giá trị năng lượng bị cấm đó gọi là vùng cấm hay khe năng lượng. Sự xuất
hiện của vùng năng lượng là kết quả tương tác của các sóng electron dẫn với các lõi
ion của tinh thể. Để hiểu một cách định tính, ta lấy kim loại đồng (29Cu) làm ví dụ:
Gọi khoảng cách của hai nguyên tử đồng kề nhau trong kim loại đồng là d.
Xét hai nguyên tử đồng đặt cách xa nhau hơn nhiều so với khoảng cách d, nên ta
xem như hai nguyên tử này là độc lập nhau. Mỗi nguyên tử được mô tả với một tập
hợp các trạng thái lượng tử gián đoạn mà đặc trưng bởi bộ bốn số lượng tử (n, l, ml,
ms). Ở trạng thái cơ bản, 29 electron của nguyên tử đồng trung hòa chiếm 29 trạng
thái lần lượt có năng lượng thấp nhất và mỗi trạng thái chỉ chứa một electron duy
nhất, theo nguyên lý loại trừ Pauli.

13. Khi hai nguyên tử được đưa lại gần nhau cỡ khoảng cách d thì các hàm sóng
của chúng bắt đầu xen phủ nhau, và cuối cùng ta có một hệ duy nhất có hai nguyên
tử gồm 2×29 = 58 electron. Việc số electron tăng gấp đôi trong hệ mà vẫn đảm bảo
phải thỏa mãn nguyên lý Pauli dẫn đến việc mỗi mức năng lượng của một nguyên
tử cô lập ban đầu phải tự tách thành hai mức nhỏ cho hệ hai nguyên tử sau đó. Lập
luận tương tự khi ta xét tinh thể đồng có N nguyên tử thì mỗi mức phải tách thành N
mức nhỏ, với N trong thực tế là rất lớn (cùng bậc số Avogadro). Với số lượng
nguyên tử như vậy thì mặc dù các mức năng lượng vẫn là gián đoạn nhưng khoảng
cách giữa các mức là rất bé, nghĩa là mỗi mức năng lượng riêng rẽ đã bị mở rộng
thành vùng năng lượng gồm rất nhiều mức gián đoạn bên trong, và được gọi là vùng
năng lượng. Giữa các vùng năng lượng là các khe, nơi không có sự tồn tại của bất kì
electron nào, gọi là vùng cấm. Điều này cũng được suy ra khi biện luận nghiệm
phương trình Schrödinger của electron trong trường thế của tinh thể [2].
1.1.3. Phương trình Schrödinger cho chuyển động của electron trong
trường thế tuần hoàn của tinh thể
Để mô tả tính chất của electron trong tinh thể cần phải xét một hệ gồm rất
nhiều hạt tương tác với nhau: các electron, các hạt nhân nguyên tử.
Phương trình Schrödinger cho electron trong tinh thể có dạng
𝐻� 𝛹 = 𝐸𝛹,
với 𝐻� = − ∑
ℏ2
2𝑚
∇𝑖
2
𝑖 − ∑
ℏ2
2𝑀
∇2
2
2 +
1
2
∑ ∑
𝑒2
𝑟 𝑖𝑗
𝑗𝑖 + 𝑢( 𝑟𝑖, 𝑅2) + 𝑉0( 𝑅0). (1.1)
Trong đó:
 Số hạng 1: động năng của các electron.
 Số hạng 2: động năng của các hạt nhân.
 Số hạng 3: thế năng tương tác giữa các electron.
 Số hạng 4: thế năng tương tác giữa các electron và hạt nhân.
 Số hạng 5: thế năng tương tác giữa các hạt nhân.

14. Đây là một phương trình rất phức tạp bởi số lượng electron và hạt nhân rất lớn,
cùng bậc số Avogadro (cỡ 1023
), nên khi tính toán, ta phải lập và giải một hệ
phương trình rất lớn, đến mức ngay cả các máy tính mạnh nhất hiện nay cũng không
giải được. Vì thế ta cần chọn một mô hình gần đúng với bài toán đang xét, sao cho
dựa vào đó, bài toán mà ta đang khảo sát sẽ đơn giản hơn. Ta thực hiện các phép
gần đúng cho bài toán nêu trên:
Gần đúng đoạn nhiệt (gần đúng Born-Oppenheimer): giả thiết rằng các lõi
nguyên tử (bao gồm hạt nhân và các electron khác electron hóa trị) đứng yên đối
với nút mạng và chỉ xét chuyển động của electron hóa trị trong trường lực tuần hoàn
của các lõi nguyên tử đó, tức là bỏ qua số hạng 2 trong (1.1). Dù vậy, bài toán vẫn
rất phức tạp vì còn phải xét khoảng 1023
electron tương tác với nhau.
Gần đúng một electron: giả thiết rằng có thể xét chuyển động của từng
electron hóa trị riêng rẽ trong một trường thế 𝑉(𝑟⃗) gây bởi tất cả các electron còn
lại cùng với tất cả các lõi nguyên tử trong tinh thể, tức là gộp số hạng 3, 4 và 5 vào
trường thế 𝑉(𝑟⃗). Do tính đối xứng tịnh tiến của mạng tinh thể nên 𝑉(𝑟⃗) là hàm tuần
hoàn trong không gian với chu kì là một vector mạng
𝑉�𝑟⃗ + 𝑅�⃗� = 𝑉( 𝑟⃗),
với 𝑟⃗ là vector vị trí, 𝑅�⃗ là vector mạng.
Hình 1.1: Thế tuần hoàn do các ion nút mạng gây ra trong tinh thể chất rắn.
𝑉( 𝑟⃗)
R

15. Như vậy, qua hai phép gần đúng ta thu được một hệ phương trình độc lập,
mỗi phương trình mô tả chuyển động của một electron, có dạng
�−
ℏ2
2𝑚
𝛻𝑖
2
+ 𝑉𝑖( 𝑟𝚤��⃗)� 𝛹𝑖( 𝑟𝚤��⃗) = 𝐸𝑖 𝛹𝑖( 𝑟𝚤��⃗), (1.2)
với: 𝑉( 𝑟⃗): thế năng của electron trong trường tuần hoàn của tinh thể.
𝛹(𝑟⃗): hàm sóng của electron.
E: năng lượng của electron.
Tiếp theo, ta chọn mô hình Kronig-Penney để mô tả hàm thế 𝑉( 𝑟⃗) - do tính
đơn giản nhưng vẫn đảm bảo tính tuần hoàn cho hàm thế - và vì sử dụng mô hình
này để tính toán sẽ nhận được lời giải chính xác. Để đơn giản, ta giải (1.2) cho
trường hợp thế tuần hoàn theo một chiều. Trường thế của tinh thể theo một chiều có
dạng
𝑉( 𝑥) = �
0 , 𝑘ℎ𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎,
𝑉0 , 𝑘ℎ𝑖 𝑛𝑅 + 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ ( 𝑛 + 1) 𝑅,
với 𝑅 là chu kì mạng một chiều.
Hình 1.2: Đồ thị hàm thế năng của electron trong mô hình Kronig-Penney.
⟹ �−
ℏ2
2𝑚
𝑑2
𝑑𝑥2
+ 𝑉( 𝑥)� 𝛹( 𝑥) = 𝐸𝛹( 𝑥). (1.3)
Giải (1.3) cho hai trường hợp bên trong và bên ngoài giếng, ta có nghiệm
𝛹1( 𝑥) = 𝐴. 𝑒 𝑖𝑘1 𝑥
+ 𝐵. 𝑒−𝑖𝑘1 𝑥
với 𝑘1
2
=
2𝑚𝐸
ℏ2
,
R
V(x)
Vo

16. 𝛹2( 𝑥) = 𝐶. 𝑒 𝑘2 𝑥
+ 𝐷. 𝑒−𝑘2 𝑥
với 𝑘2
2
=
2𝑚(𝑉0−𝐸)
ℏ2
.
Khi sử dụng các điều kiện biên để tìm các hệ số A, B, C, D, ta thu được:
��
1 1
𝑖𝑘1 −𝑖𝑘1
−𝑒(𝑘2−𝑖𝑘)𝑅
−𝑒−(𝑘2+𝑖𝑘)𝑅
−𝑘2 𝑒(𝑘2−𝑖𝑘)𝑅
𝑘2 𝑒−(𝑘2+𝑖𝑘)𝑅
𝑒 𝑖𝑘1 𝑎
𝑒−𝑖𝑘1 𝑎
𝑖𝑘1 𝑒 𝑖𝑘1 𝑎
−𝑖𝑘1 𝑒−𝑖𝑘1 𝑎
−𝑒 𝑘2 𝑎
−𝑒−𝑘2 𝑎
−𝑘2 𝑒 𝑘2 𝑎
𝑘2 𝑒−𝑘2 𝑎
�� = 0, (1.4)
⟹ cos( 𝑘1 𝑎) . cosh( 𝑘2 𝑏) +
𝑘2
2
− 𝑘1
2
2𝑘1 𝑘2
sin( 𝑘1 𝑎). sinh( 𝑘2 𝑏) = cos( 𝑘. 𝑅). (1.5)
Đây là phương trình rất phức tạp, vì vậy Kronig và Penney đã thực hiện gần đúng,
bằng cách giảm độ rộng của rào thế (cho 𝑏 ⟶ 0) nhưng đồng thời lại tăng V0 (cho
𝑉0 ⟶ ∞) sao cho 𝑉0 𝑏 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Thực hiện các bước gần đúng, ta được
𝑐𝑜𝑠ℎ( 𝑘2 𝑏) ⟶ 1, (1.6)
𝑘2
2
− 𝑘1
2
2𝑘1 𝑘2
. 𝑠𝑖𝑛ℎ( 𝑘2 𝑏) ≈
𝑘2
2𝑘1
𝑘2 𝑏 =
𝑘2
2
𝑎𝑏
2
.
1
𝑘1 𝑎
. (1.7)
Đặt: 𝑃 =
𝑘2
2 𝑎𝑏
2
, từ (1.6) và (1.7), ta có
𝑐𝑜𝑠( 𝑘1 𝑎) + 𝑃.
𝑠𝑖𝑛(𝑘1 𝑎)
𝑘1 𝑎
= 𝑐𝑜𝑠( 𝑘𝑎). (1.8)
Ta tìm nghiệm phương trình (1.8) bằng phương pháp đồ thị, với 𝑢 = 𝑘1 𝑎.

17. Hình 1.3: Đồ thị hàm F(E). Các giá trị được phép của năng lượng E được cho ở các
khoảng hàm hàm F(E) nằm giữa khoảng +1 và −1.
Kết luận: Như vậy phổ năng lượng của electron trong trường tuần hoàn có
cấu trúc vùng. Cần nhấn mạnh là tính gián đoạn của phổ năng lượng electron là hệ
quả của các điều kiện biên, còn sự hình thành các vùng năng lượng là do tính tuần
hoàn của hàm thế.
1.1.4. Lỗ trống
1.1.4.1. Khái niệm lỗ trống
Ở gần không độ tuyệt đối, vùng năng lượng cao nhất bị electron chiếm là
một vùng đầy, gọi là vùng hóa trị. Vùng năng lượng cao hơn là một vùng hoàn toàn
trống gọi là vùng dẫn. Giữa vùng hóa trị và vùng dẫn là vùng cấm, bề rộng vùng
cấm được tính bằng hiệu năng lượng của đáy vùng dẫn và đỉnh vùng hóa trị. Xét
một tinh thể điện môi hoặc bán dẫn ở nhiệt độ cao hơn 0 K hoặc bị chiếu ánh sáng
thích hợp vào tinh thể, một electron ở đỉnh vùng hóa trị nhận được năng lượng sẽ
vượt qua vùng cấm và nhảy lên chiếm phần đáy của vùng dẫn. Trạng thái ở đỉnh
vùng hóa trị không bị electron chiếm gọi là lỗ trống.
�
𝑃
𝑢
� 𝑠𝑖𝑛𝑢 + 𝑐𝑜𝑠𝑢
cos( 𝑘𝑎) = 1
cos( 𝑘𝑎) = −1 𝑢

18. 1.1.4.2. Tính chất của lỗ trống trong mạng tinh thể
 Vector sóng: 𝑘�⃗ℎ = −𝑘�⃗ 𝑒.
 Điện tích: 𝑞ℎ = −𝑞 𝑒.
 Năng lượng: 𝐸ℎ�𝑘�⃗ℎ� = −𝐸𝑒�𝑘�⃗ 𝑒�.
 Khối lượng hiệu dụng của lỗ trống: 𝑚ℎ
∗
= −𝑚 𝑒
∗
.
 Mật độ dòng điện do lỗ trống sinh ra khi chuyển động: 𝚥⃗ℎ = 𝑒𝑣⃗ℎ�𝑘�⃗ℎ�,
với 𝑣⃗ℎ là vận tốc của lỗ trống.
1.2. Bán dẫn hệ thấp chiều và sự hình thành exciton
Sự xuất hiện của lỗ trống ở vùng hóa trị khi electron bị kích thích lên vùng
dẫn gây ra lực hút tĩnh điện giữa electron và lỗ trống. Tương tác này trở nên mạnh
dần khi khoảng cách giữa electron và lỗ trống bị thu hẹp, đến lúc thắng được tương
tác đẩy gây bởi các electron tự do trong tinh thể - tức là năng lượng liên kết của
electron và lỗ trống đủ lớn - thì exciton được hình thành. Các exciton được quan sát
bằng thực nghiệm đầu tiên bởi sự nghiên cứu và chế tạo thành công cấu trúc bán
dẫn hệ thấp chiều.
1.2.1. Tổng quan về hệ thấp chiều
Trong những năm gần đây, các nhà vật lý và hóa học ngày càng quan tâm
hơn đến các vật liệu thấp chiều, những lợi ích có được từ chúng cũng đang tăng
đáng kể và dự định sẽ còn hơn thế trong tương lai, đơn cử một lý do sau: chỉ xét
riêng nhu cầu trong ngành điện tử, độ phức tạp của bộ vi xử lý và bộ nhớ của các
con chip ngày càng tăng thể hiện ở chỗ cứ mỗi hai năm mật độ chip lại tăng gấp đôi.
Điều này dẫn đến các thành phần điện tử riêng biệt phải có kích thước cỡ 100 nm
trở xuống, làm một số chiều trong không gian tinh thể bị hạn chế.
Trong các tinh thể thông thường, các phân tử sẽ tương tác với nhau trong
không gian ba chiều (3D – 3 Dimensional). Nhưng nếu một, hai hoặc cả ba chiều bị
hạn chế – hệ quả của việc thu hẹp kích thước vật liệu – thì các hiệu ứng lượng tử bắt
đầu xuất hiện và đóng vai trò quan trọng, nói cách khác, vật liệu hệ thấp chiều thể

19. hiện những tính chất mà không thấy được trong các tinh thể thông thường, ví dụ
như việc trong phổ hấp thụ xuất hiện những đỉnh hấp thụ lạ, không phải là của các
hạt hoặc các hệ hạt đã biết. Dựa vào số chiều không bị giới hạn, vật liệu thấp chiều
được chia thành các loại không chiều (0D), một chiều (1D), hai chiều (2D). Các vật
liệu 0D được tìm thấy trong hầu hết các tinh thể nano bán dẫn (chấm lượng tử -
Quantum Dot) và họ fullerene. Các vật liệu 1D tồn tại ở các hình thức khác nhau
như các cấu trúc dạng chuỗi, ví dụ ống nano, dây nano, vòng nano, vành nano. Chất
liệu cấu thành chúng có thể là cacbon, phân tử hữu cơ (để tạo thành polyme), kim
loại, chất bán dẫn, hoặc oxit kim loại. Ống nano cacbon là một trong những vật liệu
một chiều được nghiên cứu nhiều nhất. Graphene là một khám phá nổi bật trong
lĩnh vực vật liệu 2D, bên cạnh đó việc nghiên cứu cũng bị hấp dẫn bởi sự chế tạo
thành công một loại bán dẫn cấu trúc nhiều lớp, trong đó các lớp lần lượt đóng vai
trò như các rào thế và hố thế giam giữ các hệ nhiều hạt (còn gọi là giếng lượng tử
2D). [25]
1.2.2. Vật liệu bán dẫn nhiều lớp
Esaki và Tsu là những người đã đề xuất và chế tạo thành công cấu trúc mạng
tuần hoàn – là cấu trúc gồm nhiều lớp xen kẽ nhau của hai loại bán dẫn khác loại
nhưng có hằng số mạng gần bằng nhau độ dày cỡ nm, thường được gọi là siêu mạng
(SL – superlattice) – với hai loại bán dẫn GaAs và AlGaAs [20]. Điều đặc biệt là
các công trình nghiên cứu đều cho cấu trúc siêu mạng GaAs/AlGaAs có những tính
chất khác biệt so với hai loại bán dẫn riêng biệt GaAs và AlGaAs, nổi bật nhất là sự
so sánh về phổ photoluminescence (PL) [17], [20]. Sau đó là sự ra đời của một loạt
các siêu mạng của các loại bán dẫn khác như CdTe/CdZnTe, GaInAs/AlInAs,
InAs/GaSb/AlSb, … với sự tiến bộ song song của các kĩ thuật cấy ghép tinh vi như
(Molecular Beam Epitaxy, tạm dịch “cấy chùm phân tử”), MOCVD (Metal Organic
Chemical Vapor Deposition, tạm dịch “kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ”) có thể
kiểm soát được mật độ hạt tải trong vật liệu để phục vụ các mục đích nghiên cứu
khác nhau như là tạo môi trường vật liệu có mật độ electron cao, hoặc mật độ lỗ

20. trống cao, và cả việc kiểm soát kích thước hạn chế của một chiều nào đó trong chất
bán dẫn [19], [20], [24]….
Lưu ý rằng điều kiện tiên quyết để tạo nên một bán dẫn nhiều lớp hữu dụng
là hai hoặc ba chất bán dẫn thành phần đó phải có hằng số mạng gần bằng nhau. Sự
phù hợp về hằng số mạng rất quan trọng vì bất cứ một sự chênh lệch nào cũng có
thể dẫn đến sự “trật khớp” khi cho các bán dẫn tiếp xúc nhau, và nhiều nghiên cứu
cho thấy các hạt tải – cụ thể là electron – có thể bị tán xạ hoặc xuất hiện các hiệu
ứng ngoài mong muốn gây nhiễu cho kết quả đo đạc [24].
1.2.3. Cấu trúc giếng lượng tử 2D
1.2.3.1. Cấu trúc vùng tại bề mặt tiếp xúc của hai bán dẫn
Ta đã biết, các vật liệu khác nhau có các cấu trúc khe vùng khác nhau. Gọi
𝐸𝑐 và 𝐸𝑣 lần lượt là mức năng lượng tại đáy vùng dẫn và đỉnh vùng hóa trị, bề rộng
khe vùng là 𝐸𝑔 = 𝐸𝑐 − 𝐸𝑣. Xét hai bán dẫn A và B (có hằng số mạng gần bằng
nhau) nhưng cấu trúc khe vùng khác nhau (tức là khác nhau các mức 𝐸𝑐 và 𝐸𝑣), ta
sẽ được một trong những trường hợp cấu trúc vùng năng lượng mới như hình (1.4).
Hình 1.4: Một trong những trường hợp về cấu trúc vùng tại vị trí tiếp giáp giữa loại
chất bán dẫn có hằng số mạng gần bằng nhau. Đây là trường hợp tiếp xúc loại I. [17]
Vùng dẫn
Vùng hóa trị
Bán dẫn A Bán dẫn B
𝐸𝑐
𝐴
𝐸𝑣
𝐴
𝐸𝑐
𝐵
𝐸𝑣
𝐵
∆𝐸𝑐
∆𝐸𝑣
𝐸𝑔
𝐴
𝐸𝑔
𝐵

21. Ta thấy vì bề rộng vùng cấm của hai bán dẫn khác nhau nên đáy của vùng
dẫn cao hơn sẽ có thêm một phần năng lượng bù vào gọi là phần bù vùng dẫn ∆𝐸𝑐
(conduction band offset). Khi hai bán dẫn A và B tiếp xúc với nhau thì phần bù
vùng dẫn sẽ ngăn không cho electron ở gần đáy vùng dẫn của A nhảy sang B, nghĩa
là phần bù vùng dẫn đóng vai trò là một hàng rào thế. Tính chất của hàng rào thế
này khác nhau phụ thuộc vào sự tiếp xúc của hai vùng cấm 𝐸𝑔
𝐴
và 𝐸𝑔
𝐵
. Nếu bề rộng
vùng cấm của chất bán dẫn này nằm lọt trong bề rộng vùng cấm của chất bán dẫn
kia thì ta có tiếp xúc loại I, như hình (1.4), đó là trường hợp tiếp xúc của loại bán
dẫn nhiều lớp GaAs/AlGaAs. Ngược lại, nếu bề rộng vùng cấm của chất bán dẫn
này không chứa hoàn toàn bề rộng của chất bán dẫn kia, ta có tiếp xúc loại II, như
hình (1.5), đây là trường hợp tiếp xúc của loại bán dẫn nhiều lớp InAs/GaSb/AlSb
(tại vùng tiếp xúc InAs/GaSb và AlSb/InAs).
Hình 1.5: Cấu trúc khe năng lượng của loại bán dẫn InAs/GaSb/AlSb. Tại những vị
trí tiếp xúc InAs/GaSb, AlSb/InAs là tiếp xúc loại II, tại vị trí tiếp xúc GaSb/AlSb là tiếp
xúc loại I (đơn vị năng lượng: eV). [17]
Ứng với những cách ghép các lớp khác nhau xen kẽ nhau, ta lại có một siêu
mạng mới với những tính chất vật lý thay đổi.
Vùng
dẫn
Vùng
hóa trị
∆𝐸𝑐 = 0.88 0.50 1.35
∆𝐸𝑣 = -0.51 0.35 -0.13
InAs GaSb AlSb InAs
𝐸𝑔=0.36
𝐸𝑔=0.73 𝐸𝑔=1.58
𝐸𝑔=0.36

22. 1.2.3.2. Bán dẫn nhiều lớp GaAs/AlGaAs
Bán dẫn nhiều lớp GaAs/AlGaAs – là cách viết tắt của GaAs/AlxGa1-xAs –
được tạo nên từ việc ghép các lớp GaAs và AlGaAs xen kẽ nhau trên một mảng
tuần hoàn. Hằng số mạng của GaAs và AlGaAs khác nhau không quá 0,14% nên
người ta thường dùng GaAs/AlGaAs để nghiên cứu. Hơn nữa việc thay đổi thành
phần x trong bán dẫn GaAs/AlxGa1-xAs cho phép ta điều chỉnh được cấu trúc vùng
năng lượng phù hợp mục đích nghiên cứu cũng là một trong những yếu tố rất thuận
lợi cho việc khảo sát chúng, và thường thì 𝑥 ≤0.45 để đảm bảo vẫn là loại bán dẫn
trực tiếp [17]. Cho tới nay, GaAs/AlGaAs vẫn được sử dụng nhiều trong các công
trình nghiên cứu về khí electron trong cấu trúc tinh thể 2D, trong đó vùng GaAs
hoạt động như là hố thế năng còn vùng AlGaAs đóng vai trò là bức tường thế.
Hình 1.6: Cấu trúc siêu mạng GaAs/AlGaAs.
1.2.3.3. Giếng lượng tử GaAs/AlGaAs 2D
Trong phần trên, ta đã phân tích cấu trúc vùng năng lượng tại những vị trí
tiếp giáp giữa hai lớp bán dẫn khác loại. Quan sát năng lượng và cấu trúc phần bù
vùng dẫn được mô tả trong hình 1.7 dưới đây, ta thấy lớp GaAs đóng vai trò như
chất bán dẫn A, còn lớp AlGaAs đóng vai trò như chất bán dẫn B trong hình 1.4.
Tương tự như những lập luận ở trên, khi hai lớp GaAs và AlGaAs cứ xen kẽ được
xếp sát nhau thì electron bị giam nhốt trong vùng dẫn còn lỗ trống bị giam nhốt
AlGaAs
d2d1
GaAs

23. trong vùng hóa trị đầy của lớp GaAs (cấu trúc siêu mạng). Vấn đề ở chỗ, khi lớp
GaAs được cấy rất mỏng (cỡ nm) xen giữa hai lớp AlGaAs thì các hạt tải được xem
như gần đúng chuyển động tự do trong mặt phẳng (2D) vuông góc trục z (mặt phẳng
hình vẽ) hay nói cách khác là chuyển động tự do trong giếng lượng tử 2D vô hạn
(do d2 rất mỏng).
Hình 1.7: Một cấu trúc lớp được vẽ chiều tăng theo trục nằm ngang. Chúng được
đặt sát nhau và luân phiên nhau. Năng lượng E phụ thuộc vào vector sóng của electron lan
truyền trong hai chất bán dẫn.
Hình 1.8: Lớp GaAs đóng vai trò là hố thế, lớp AlGaAs đóng vai trò là rào thế đối
với electron. Cả electron và lỗ trống đều bị giam trong cùng lớp GaAs. Đường nét đứt mô
tả năng lượng của các hạt bị giam.

24. Bài toán khảo sát hạt chuyển động trong hố thế vô hạn một chiều là bài toán
khá quen thuộc và cơ bản trong cơ lượng tử, ta biết rằng, các electron bị giam nhốt
trong giếng một chiều có phổ năng lượng bị gián đoạn, vì vậy ta cũng có kết luận
tương tự cho năng lượng của các hạt tải trong giếng lượng tử GaAs/AlGaAs: năng
lượng electron và lỗ trống trong giếng bị lượng tử hóa.
Ngoài ra, khi kích thước vật liệu bị thu hẹp, nghĩa là độ bất định tọa độ của
các hạt tải trong giếng lượng tử càng giảm (theo phương z, hình 1.8) thì độ bất định
về xung lượng của chúng cũng tăng lên do hệ quả của nguyên lý bất định
Heisenberg, dẫn đến độ tăng năng lượng cực tiểu của các hạt tải; nhờ đó mà năng
lượng liên kết giữa electron và lỗ trống cũng tăng. Điều này lý giải tại sao các hiệu
ứng lượng tử nói chung cũng như bằng chứng về sự tồn tại và tính chất của exciton
(đặc biệt là exciton mang điện) bắt đầu xuất hiện rõ ràng hơn khi vật liệu 3D tiến
dần về giới hạn 2D. Điều này một lần nữa khẳng định tầm quan trọng của vật liệu
thấp chiều trong việc nghiên cứu các hệ hạt lượng tử, mà gần nhất là hệ 2D.
1.2.4. Sự hình thành exciton
Xét chất bán dẫn, electron chịu ảnh hưởng thế tương tác từ rất nhiều “đối
tượng” khác nhau như hạt nhân, lỗ trống, các electron khác. Trong hệ 3D, tương tác
hút giữa electron và lỗ trống không đủ mạnh để thắng được tương tác đẩy giữa các
electron với nhau. Kết quả là năng lượng liên kết giữa chúng rất yếu. Muốn chúng
hút nhau mạnh hơn thì phải làm cách nào đưa electron và lỗ trống “lại gần” nhau
hơn. Ý tưởng nảy ra là tìm cách giam electron trong các giếng thế, nhưng nếu giếng
không đủ sâu thì xác suất để các electron xuyên hầm là rất lớn, việc giam hãm cũng
không hiệu quả. Vậy ta cần chế tạo các giếng thế đủ sâu, hay đơn giản hơn là giếng
có bề rộng đủ hẹp để có thể xem là giếng sâu vô hạn Khi đó electron sẽ bị nhốt
giam trong giếng đó với xác suất xuyên hầm gần như bằng không.
Giếng thế có bề rộng rất hẹp chính là một ý tưởng giúp biến vật liệu 3D về
dạng giả 2D, một giải pháp hữu hiệu của hệ thấp chiều cho việc nghiên cứu exciton.
Lực tương tác tĩnh điện giữa electron ở đáy vùng dẫn và lỗ trống ở đỉnh vùng hóa trị

25. trở nên lớn hơn khi chúng được giam trong các hệ thấp chiều. Khi đó, electron và lỗ
trống không biểu hiện như chúng là các hạt mang điện tự do nữa mà “hành xử” như
thể electron và lỗ trống là một cặp không thể tách rời, người ta gọi trạng thái liên
kết giữa electron và lỗ trống là giả hạt exciton. Giả hạt này được tiên đoán bởi
Frenkel từ thập niên 30 - thế kỉ XX, nhưng phải đến hai thập niên sau đó, chúng
mới được thực nghiệm công nhận sự tồn tại [1], [9].

26. CHƯƠNG 2: EXCITON TRUNG HÒA
Thực nghiệm cho thấy trong phổ hấp thụ của bán dẫn thường xuất hiện
những mũi nhọn hấp thụ mà ta không thể giải thích được nếu bỏ qua tương tác giữa
các hạt dẫn: tương tác giữa electron – electron, electron – lỗ trống, lỗ trống – lỗ
trống. Sự tương tác giữa các hạt dẫn cùng dấu với nhau chỉ dẫn đến sự tán xạ của
chúng và có thể có một vai trò đáng kể khi có nồng độ hạt dẫn rất lớn [6]. Trong khi
đó tương tác hút giữa electron và lỗ trống có thể gây nên những kết quả đáng kể
ngay cả khi nồng độ hạt dẫn nhỏ, đó chính là tương tác của trạng thái exciton trung
hòa. Trong chương này, tác giả trình bày những kiến thức cơ bản về exciton trung
hòa: định nghĩa, phân loại, phương trình Schrödinger cho hai loại exciton trung hòa
khi không có từ trường và khi có từ trường ngoài đều, tình hình giải các bài toán
exciton trung hòa bằng một số phương pháp, các tính chất của exciton trung hòa.
2.1.Khái niệm
Exciton trung hòa là trạng thái liên kết giữa một electron và một lỗ trống
thông qua tương tác tĩnh điện (tương tác Coulomb) trong chất bán dẫn hoặc điện
môi.
Trạng thái này là một giả hạt có khả năng mang và truyền kích thích trong
mạng tinh thể nhưng không lan truyền điện tích. Một electron trong chất bán dẫn
hoặc điện môi hấp thụ một photon và bị kích thích từ vùng hóa trị lên vùng dẫn, bỏ
lại một lỗ trống hưởng ứng điện trái dấu định xứ trong vùng hóa trị, khi đó electron
và lỗ trống này sẽ tương tác với nhau bằng lực tĩnh điện Coulomb, và hình thành
exciton – trạng thái liên kết giữa electron và lỗ trống. Tương tác Coulomb giữa
electron và lỗ trống làm hao tốn một năng lượng nhằm duy trì trạng thái liên kết
giữa chúng, vì thế mức năng lượng của exciton tồn tại thường thấp hơn mức năng
lượng electron bị kích thích, các mức năng lượng này thường thấy ở đáy vùng dẫn.

27. Hình 2.1: Các mức năng lượng exciton.
2.2.Phân loại – tính chất
Exciton trung hòa được phân làm hai loại tùy thuộc vào tính chất của vật liệu
đang xét.
2.2.1. Exciton Mott-Wannier
Trong chất bán dẫn: hằng số điện môi tương đối lớn gây ra thế màn chắn,
làm giảm tương tác Coulomb giữa electron và lỗ trống. Trong trường hợp này, mặc
dù vẫn tương tác với nhau nhưng các electron có thể chuyển động tương đối tự do
khắp không gian mạng, còn các lỗ trống tương ứng cũng có thể di chuyển giữa các
nút mạng. Vì thế mà electron và lỗ trống tương tác với nhau ở khoảng cách lớn hơn
nhiều lần hằng số mạng (nên kích thước của chúng lớn hơn nhiều lần so với kích
thước một nguyên tử hidro), hình 2.2. Khi đó, thế năng của mạng tinh thể sẽ tác
động đáng kể đến chuyển động của điện tử và lỗ trống, làm giảm khối lượng hiệu
dụng của chúng; lại cộng thêm thế màn chắn của môi trường mạng nên năng lượng
liên kết của exciton thường nhỏ hơn nhiều so với năng lượng của hidro (mức trung
bình là 0.1eV). Loại exciton này gọi là exciton Mott-Wannier, đặt tên theo tên hai
nhà vật lý học Nevil Fracis Mott – người Anh và Gregory Wannier – người Thụy
Sĩ. Exciton loại này được thấy trong các tinh thể đồng hóa trị.

28. (a) (b)
Hình 2.2:
(a) Hình ảnh hai nhà Vật lý học Nevil Fracis Mott và Gregory Wannier (từ trái sang).
(b) Exciton Mott-Wannier: liên kết yếu với khoảng cách trung bình giữa electron – lỗ trống
lớn hơn so với hằng số mạng.
2.2.2. Exciton Frenkel
Trong chất cách điện: hằng số điện môi của chất cách điện rất lớn nên điện tử
và lỗ trống tương tác với nhau ở khoảng cách phân tử. Loại exciton này được gọi là
exciton Frenkel, đặt theo tên của Yakov Frenkel – nhà Vật lý học người Nga (còn
gọi là exciton phân tử hay exciton bán kính nhỏ). Do kích cỡ nhỏ, tương tác
Coulomb lớn và bị ảnh hưởng bởi trường mạng nên năng lượng liên kết của nó lớn
(trung bình 1.5eV), hình 2.3.

29. (a) (b)
Hình 2.3:
(a) Hình ảnh nhà Vật lý học người Nga Yakov Frenkel.
(b) Exciton Frenkel: liên kết được biểu diễn định xứ tại một nguyên tử trong một tinh thể
kiểu halogenua.
2.3.Hàm sóng và năng lượng của exciton trung hòa
2.3.1. Exciton Mott-Wannier
Phương trình Schrödinger cho trạng thái liên kết electron – lỗ trống:
�−
ℏ2
2𝑚 𝑒
∗
𝛻𝑒
2
−
ℏ2
2𝑚ℎ
∗ 𝛻ℎ
2
−
𝑒2
𝜀|𝑟𝑒 − 𝑟ℎ|
� 𝛹𝑒𝑥 = 𝐸𝛹𝑒𝑥. (2.1)
Trong đó hai số hạng đầu của toán tử Hamiltonian là thành phần động năng của
electron và lỗ trống, số hạng thứ ba là thế tĩnh điện do tương tác Coulomb giữa
electron và lỗ trống.Ta chuyển từ hệ tọa độ hai biến (𝑟𝑒, 𝑟ℎ) về hệ tọa độ với hai
biến mới (𝑟, 𝑅) với
𝑟 = 𝑟𝑒 − 𝑟ℎ , 𝑅 =
𝑚 𝑒
∗
𝑟𝑒 + 𝑚ℎ
∗
𝑟ℎ
𝑀
,
𝑀 = 𝑚 𝑒
∗
+ 𝑚ℎ
∗
, 𝜇 =
𝑚 𝑒
∗
𝑚ℎ
∗
𝑚 𝑒
∗ + 𝑚ℎ
∗ . (2.2)

30. Ta có
𝜕
𝜕𝑟𝑒
=
𝜕
𝜕𝑅
𝜕𝑅
𝜕𝑟𝑒
+
𝜕
𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝜕𝑟𝑒
=
𝑚 𝑒
∗
𝑀
𝜕
𝜕𝑅
+
𝜕
𝜕𝑟
,
⟹
𝜕2
𝜕𝑟𝑒
2
= 𝛻𝑒
2
= �
𝑚 𝑒
∗
𝑀
𝜕
𝜕𝑅
+
𝜕
𝜕𝑟
�
2
= �
𝑚 𝑒
∗
𝑀
�
2
𝜕2
𝜕𝑅2
+ 2
𝑚 𝑒
∗
𝑀
𝜕2
𝜕𝑅𝜕𝑟
+
𝜕2
𝜕𝑟2
. (2.3)
Tương tự, ta có
𝜕2
𝜕𝑟ℎ
2 = 𝛻ℎ
2
= �
𝑚ℎ
∗
𝑀
𝜕
𝜕𝑅
−
𝜕
𝜕𝑟
�
2
= �
𝑚ℎ
∗
𝑀
�
2
𝜕2
𝜕𝑅2
− 2
𝑚ℎ
∗
𝑀
𝜕2
𝜕𝑅𝜕𝑟
+
𝜕2
𝜕𝑟2
. (2.4)
Thế (2.2), (2.3), (2.4) vào (2.1) và rút gọn, ta được phương trình Schrödinger có
dạng
�−
ℏ2
2𝑀
𝜕2
𝜕𝑅2
−
ℏ2
2𝜇
𝜕2
𝜕𝑟2
−
𝑒2
𝜀𝑟
� 𝛹𝑒𝑥 = 𝐸𝛹𝑒𝑥 , (2.5a)
hay
�−
ℏ2
2𝑀
𝛻𝑅
2
−
ℏ2
2𝜇
𝛻𝑟
2
− 𝑉(𝑟)� 𝛹𝑒𝑥 = 𝐸𝛹𝑒𝑥. (2.5b)
Ta thấy Hamiltonian trong phương trình (2.5b) là hàm gồm các thành phần chứa hai
biến R và r độc lập, sử dụng phương pháp tách biến ta tìm được nghiệm là hàm
sóng và năng lượng của exciton Mott-Wannier. Đặt
𝛹𝑒𝑥( 𝑅, 𝑟) = 𝑓( 𝑅). 𝑔( 𝑟) , 𝐸 = 𝐸 𝑅 + 𝐸𝑟,
thế vào (2.5b) ta được
−𝑔( 𝑟)
ℏ2
2𝑀
𝛻𝑅
2
𝑓( 𝑅) − 𝑓( 𝑅)
ℏ2
2𝜇
𝛻𝑟
2
𝑔( 𝑟) −
𝑒2
𝜀𝑟
𝑓( 𝑅). 𝑔( 𝑟)
= ( 𝐸 𝑅 + 𝐸𝑟) 𝑓( 𝑅). 𝑔( 𝑟). (2.6)

31. ⟹ −
1
𝑓( 𝑅)
ℏ2
2𝑀
𝛻𝑅
2
𝑓( 𝑅) −
1
𝑔( 𝑟)
ℏ2
2𝜇
𝛻𝑟
2
𝑔( 𝑟) −
𝑒2
𝜀𝑟
= 𝐸 𝑅 + 𝐸𝑟, (2.7)
⟹
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ −
1
𝑓( 𝑅)
ℏ2
2𝑀
𝛻𝑅
2
𝑓( 𝑅) = 𝐸 𝑅,
−
1
𝑔( 𝑟)
ℏ2
2𝜇
𝛻𝑟
2
𝑔( 𝑟) −
𝑒2
𝜀𝑟
= 𝐸𝑟,
(2.8)
hay
⟹
⎩
⎨
⎧−
ℏ2
2𝑀
𝛻𝑅
2
𝑓( 𝑅) = 𝐸 𝑅 𝑓( 𝑅), (2.9)
−
ℏ2
2𝜇
𝛻𝑟
2
𝑔( 𝑟) −
𝑒2
𝜀𝑟
= 𝐸𝑟 𝑔( 𝑟). (2.10)
Phương trình (2.9) có nghiệm: 𝑓( 𝑅) = 𝑒 𝑖𝑘𝑅
và 𝐸 𝑅 = ℏ2
𝑘2
/2𝑀. (2.11)
Phương trình (2.10) là dạng phương trình Schrödinger của nguyên tử Hidro nên
dạng hàm sóng 𝑔(𝑟) ta có thể tìm được, còn năng lượng có dạng
𝐸𝑟( 𝑛) = −
𝜇𝑒4
2ℏ2 𝜀2
1
𝑛2
. (2.12)
Từ (2.11) và (2.12), ta thu được hàm sóng và năng lượng của exciton Mott-Wannier
𝛹 𝑛𝑘( 𝑅, 𝑟) = 𝑒 𝑖𝑘𝑅
𝑔( 𝑟), (2.13)
𝐸 𝑛𝑘 =
ℏ2
𝑘2
2𝑀
−
𝜇𝑒4
2ℏ2 𝜀2
1
𝑛2
. (2.14)
Nhận xét: trong biểu thức hàm sóng và năng lượng thu được ở (2.13) và
(2.14), ta nhận thấy trạng thái liên kết exciton phụ thuộc vào vector sóng 𝑘�⃗ và mức
năng lượng thứ n, nên năng lượng của exciton cũng bị lượng tử hóa; ngoài ra biểu
thức năng lượng cũng cho thấy mức năng lượng mà exciton tồn tại thấp hơn mức
năng lượng kích thích của electron tương ứng.

32. 2.3.2. Exciton Frenkel
Về cơ bản, exciton Frenkel là một trạng thái kích thích của một nguyên tử
đơn lẻ, song sự kích thích có thể nhảy từ nguyên tử này sang nguyên tử kia do sự
tương tác giữa các nguyên tử lân cận. Các trạng thái của các exciton Frenkel có
dạng của các sóng lan truyền.
Xét một mẫu tinh thể có N nguyên tử. Gọi 𝛹0𝑗 là hàm sóng mô tả trạng thái
cơ bản của nguyên tử đơn lẻ thứ j, thì trạng thái cơ bản của tinh thể là (chưa xét đến
tương tác giữa các nguyên tử)
𝛹0 = 𝛹01. 𝛹02. 𝛹03 … 𝛹0(𝑁−1). 𝛹0𝑁. (2.15)
Khi một nguyên tử đơn lẻ thứ j bị kích thích thành trạng thái được mô tả bởi hàm
sóng 𝛹′𝑗 thì trạng thái của tinh thể là
𝛹′( 𝑗) = 𝛹01. 𝛹02. 𝛹03 … 𝛹0(𝑗−1) 𝛹′
𝑗
𝛹0(𝑗+1) … 𝛹0(𝑁−1). 𝛹0𝑁. (2.16)
Vì các nguyên tử có vai trò như nhau nên hàm sóng 𝛹′
(𝑗) này có năng lượng
như hàm 𝛹′
(𝑚) ứng với nguyên tử thứ m bất kỳ khác bị kích thích. Trên thực tế,
các nguyên tử có sự tương tác với nhau. Nếu ta xét một nguyên tử bị kích thích và
một nguyên tử không bị kích thích kế cận nhau, khi tương tác, thì năng lượng tương
tác có thể bị truyền từ nguyên tử này sang nguyên tử kia và nguyên tử đang bị kích
thích trước đó sẽ trở về mức năng lượng thấp hơn hoặc về mức năng lượng cơ bản.
Loại kích thích cơ bản như vậy của tinh thể phân tử ứng với trạng thái của chuẩn hạt
exciton, vì tuy chúng tham gia vào quá trình truyền năng lượng nhưng không tham
gia tải điện (nên không tạo thành dòng điện). Hamiltonian cho hệ nguyên tử này
được viết như sau
𝐻� = 𝐻�0 + 𝑇�,
trong đó:

33. 𝐻�0 = � 𝐻� 𝑛
𝑛≠𝑗,𝑗−1,𝑗+1
: là Hamiltonian của các nguyên tử tự do.
𝑇�: toán tử mô tả tương tác giữa nguyên tử thứ j với hai nguyên tử lân
cận (ở đây ta xét là nguyên tử thứ 𝑗 − 1 và 𝑗 + 1).
Cho Hamiltonian tác dụng lên hàm sóng 𝛹′
(𝑗) của hệ, ta được
𝐻� 𝛹′( 𝑗) = 𝜀𝛹′( 𝑗) + 𝑇�𝛹′
𝑗−1 + 𝛹′
𝑗+1�, (2.17)
với 𝜀 là năng lượng của nguyên tử tự do, T là số đo tốc độ truyền kích thích từ
nguyên tử thứ 𝑗 tới các nguyên tử thứ 𝑗 − 1 và 𝑗 + 1.
Nghiệm của phương trình là các sóng có dạng hàm Bloch:
𝛹𝑘 = � 𝛹′𝑗 𝑒 𝑖𝑗𝑘𝑅
𝑗
, (2.18)
với R là hằng số mạng. Cho Hamiltonian tác dụng vào 𝛹 𝑘 ta được
𝐻� 𝛹 𝑘 = � 𝑒 𝑖𝑗𝑘𝑅
𝐻� 𝛹′𝑗
𝑗
= � 𝑒 𝑖𝑗𝑘𝑅
�𝜀𝛹′𝑗 + 𝑇(𝛹′
𝑗−1 + 𝛹′
𝑗+1)�
𝑗
,
⟹ 𝐻� 𝛹 𝑘 = � 𝑒 𝑖𝑗𝑘𝑅[ 𝜀 + 𝑇(𝑒−𝑖𝑘𝑅
+ 𝑒 𝑖𝑘𝑅
)]
𝑗
𝛹′𝑗.
⟹ 𝐻� 𝛹 𝑘 = [ 𝜀 + 𝑇(𝑒−𝑖𝑘𝑅
+ 𝑒 𝑖𝑘𝑅
)] � 𝛹′𝑗 𝑒 𝑖𝑗𝑘𝑅
𝑗
= [ 𝜀 + 2𝑇cos(𝑘𝑅)] 𝛹 𝑘. (2.19)
Từ (2.19) ta suy ra biểu thức năng lượng của exciton Frenkel là
𝐸 𝑘 = 𝜀 + 2𝑇𝑐𝑜𝑠( 𝑘𝑅), (2.20)
với
𝑘 =
2𝜋𝑠
𝑁
; 𝑠 = −
1
2
𝑁, −
1
2
𝑁 + 1, … , −
1
2
𝑁 − 1.

34. Nhận xét: hàm sóng và biểu thức năng lượng của exciton Frenkel cũng phụ
thuộc vào vector sóng 𝑘�⃗ và do các giá trị k gián đoạn nên ta cũng kết luận được
năng lượng exciton Frenkel bị lượng tử hóa.
2.4.Kết luận
Đến đây chúng ta đã có thể có cái nhìn tổng quan về exciton trung hòa.
Chúng có những tính chất chính sau:
 Exciton trung hòa chỉ tham gia vận chuyển năng lượng nhưng
không tham gia tạo dòng điện.
 Chúng chỉ tồn tại trong những vật liệu có hằng số điện môi lớn
hoặc tương đối lớn như chất điện môi và chất bán dẫn, không tồn tại
trong kim loại.
 Hàm sóng mô tả các trạng thái của exciton trung hòa tương tự
như của nguyên tử hidro nhưng năng lượng liên kết của nó nhỏ hơn rất
nhiều nhưng kích thước lại lớn hơn nhiều lần nguyên tử hidro.
 Phổ hấp thụ năng lượng của exciton là phổ gián đoạn, gồm một
dãy các vạch màu như của nguyên tử hidro, vì thế không chỉ có một mức
exciton mà có cả một dải các mức exciton gián đoạn.
2.5.Phương trình Schrödinger cho exciton trung hòa trong từ trường:
Phương trình Schrödinger tổng quát có dạng
𝐻� 𝛹𝑒𝑥 = 𝐸𝛹𝑒𝑥,
trong đó Hamiltonian cho exciton trung hòa trong từ trường có dạng
𝐻� =
1
2𝑚 𝑒
∗
�−𝑖ℏ∇ 𝑒 +
𝑒
𝑐
𝐴⃗ 𝑒�
2
+
1
2𝑚ℎ
∗ �−𝑖ℏ∇ℎ −
𝑒
𝑐
𝐴⃗ℎ�
2
+ 𝑉( 𝑟⃗),
𝐴⃗𝑖 =
1
2
�𝑟⃗𝑖, 𝐵�⃗�: thế vector, xét trường hợp 𝐵�⃗ = (0,0, 𝐵),
𝑉(𝑟⃗) : thế tương tác Coulomb của electron và lỗ trống,

35. 𝑚𝑖
∗
và e : khối lượng hiệu dụng và điện tích của hạt thứ i (gồm
electron và lỗ trống),
𝜀 : hằng số điện môi.
Thực hiện các phép biến đổi (phụ lục A1), ta có
𝐻� = −
ℏ2
2𝑚 𝑒
∗
𝛻𝑒
2
−
ℏ2
2𝑚ℎ
∗ 𝛻ℎ
2
−
𝑒𝐵
2𝑐
𝐿� 𝑧 �
1
𝑚 𝑒
∗
+
1
𝑚ℎ
∗ � −
𝑒2
𝜀| 𝑟𝑒 − 𝑟ℎ|
.
Thực hiện các bước đổi hệ tọa độ như ở trường hợp không có từ trường, ta chuyển
từ hệ tọa độ hai biến (𝑟𝑒, 𝑟ℎ) về hệ tọa độ với hai biến mới (𝑟, 𝑅) với
𝑟 = 𝑟𝑒 − 𝑟ℎ , 𝑅 =
𝑚 𝑒
∗
𝑟𝑒 + 𝑚ℎ
∗
𝑟ℎ
𝑀
,
𝑀 = 𝑚 𝑒
∗
+ 𝑚ℎ
∗
, 𝜇 =
𝑚 𝑒
∗
𝑚ℎ
∗
𝑚 𝑒
∗ + 𝑚ℎ
∗ ,
⟹ 𝐻� = −
ℏ2
2𝑀
𝛻𝑅
2
−
ℏ2
2𝜇
𝛻𝑟
2
−
𝑒2
𝜀𝑟
−
𝑒𝐵𝐿� 𝑧
2𝜇𝑐
.
Nhận xét: Hamiltonian trên là hàm tách biến, thành phần chứa R khá đơn
giản và đã có nghiệm tường minh. Ta xét thành phần chứa r, viết thành phần về
dạng không thứ nguyên với bán kính đơn vị là bán kính Bohr hiệu dụng ro, năng
lượng đơn vị là hằng số Rydberg hiệu dụng Ry và độ mạnh của từ trường so với
trường Coulomb 𝛾 cho thành phần 𝐻�𝑟
𝑟𝑜 =
𝜀ℏ2
𝜇𝑒2
, 𝑅 𝑦 =
𝜇𝑒4
2𝜀2ℏ2
, 𝛾 =
𝜀2
ℏ3
𝐵
𝑐𝑒3 𝜇2
.
Ta được thành phần Hamiltonian biến r không thứ nguyên của exciton trung hòa
trong từ trường là
𝐻�𝑟 = −
𝛻𝑟
2
2
−
1
𝑟
−
𝛾
2
𝐿� 𝑧

36. Dưới đây là nghiệm thu được của nhóm Victor M. Villalba và Ramiro Pino
sử dụng phương pháp biến phân (Variational Method – VM) [22] và nghiệm thu
được bằng số sử dụng phương pháp toán tử (Operator Method – OM) của Giáo viên
hướng dẫn luận văn này [4]. Điểm chung của cả hai kết quả là đều mô tả thế màn
chắn của trường Coulomb bằng mô hình thế Yukawa, xem gần đúng là lỗ trống
đứng yên và áp dụng cho cường độ từ trường bất kì hướng theo trục z.
• Phương pháp biến phân
Đặt 𝑉( 𝑟⃗) =
−𝑒2exp (−𝑘 𝑠 𝑟)
𝜀𝑟
với 𝑘 𝑠 = �
16
3𝜋2
�
1
3
�
𝑟𝑠
𝑎0
�
1/2
𝑘 𝐹.
Đưa Hamiltonian về dạng không thứ nguyên với đơn vị năng lượng là hằng số
Rydberg hiệu dụng 𝑅∗
, đơn vị chiều dài là bán kính Borh hiệu dụng 𝑎 𝑜
𝑅∗
=
𝑚∗
𝑒4
2ℏ2 𝜀2
, 𝑎0 =
𝜀ℏ2
𝑚∗ 𝑒2
,
𝐻� = −∇2
+ 𝛾𝐿 𝑧 −
−2exp (−𝑘 𝑠 𝑟)
𝑟
+
𝛾2
𝑟2
4
,
với 𝛾 là tỉ số của năng lượng từ trường và năng lượng Coulomb
𝛾 =
𝜀2
ℏ3
𝐵
𝑐𝑒3 𝑚∗2
.
 Xét trường hợp 𝛾 = 0, 𝑘 𝑠 = 0
𝛹 𝐻( 𝑟) = 𝐷 𝑚,𝑛 𝑒
−
𝑟
1
2
+𝑛 𝑝+|𝑚|
𝑟|𝑚|
𝐿 �𝑛 𝑝, 2| 𝑚|,
2𝑟
1
2
+ 𝑛 𝑝 + |𝑚|
�,
𝐸 𝐻 =
−1
�
1
2
+ 𝑛 𝑟 + |𝑚|�
2.
 Xét trường hợp 𝛾 rất lớn:
𝛹 𝑂( 𝑟) = 𝐶 𝑚,𝑛 𝑒−
𝛾𝑟2
4 𝑟|𝑚|
𝐿 �𝑛 𝑟, | 𝑚|,
𝛾
2
𝑟2
�,

37. 𝐸 𝑂 = 𝛾(2𝑛 𝑟 + | 𝑚| + 𝑚 + 1).
Cụ thể như sau:
Trạng thái 1s (𝑚 = 0, 𝑛 𝑟 = 0)
𝛹 𝐻(1𝑠) = 4𝑒−2𝑟
𝑟1/2
, 𝐸 𝐻(1𝑠) = −4 +
3
32
𝛾2
.
𝛹 𝑂(1𝑠) = � 𝛾𝑒−(
1
4
)𝛾𝑟2
𝑟1/2
, 𝐸 𝑂(1𝑠) = −�2𝜋𝛾 + 𝛾.
Trạng thái 2p- (𝑚 = −1, 𝑛 𝑟 = 0)
𝛹 𝐻(2𝑝−) = 27/2
3−5/2
𝑒−2𝑟/3
𝑟3/2
, 𝐸 𝐻(2𝑝−) = −
4
9
+
45
16
𝛾2
− 𝛾.
𝛹 𝑂(2𝑝−) =
𝛾
2
𝑒−�
𝛾
4
�𝑟2
𝑟3/2
, 𝐸 𝑂(2𝑝−) = −
1
2
�2𝜋𝛾 + 𝛾.
Ngoài ra còn tính được hàm sóng và năng lượng ở trạng thái 3d-.
• Phương pháp toán tử:
Các bước giải theo phương pháp toán tử được trình bày rất tường minh trong
[4-7]. Dưới đây chỉ xin trình bày lại bảng giá trị năng lượng tính được bằng số.
Phương pháp toán tử cho phép tìm lời giải chính xác bằng số cho bài toán trạng thái
exciton trong từ trường với cường độ bất kỳ. Điều đáng kể là kết quả đưa ra không
những là số liệu chính xác của các mức năng lượng mà mà còn là hàm sóng chính
xác cho bài toán với độ chính xác lên đến 15 chữ số sau dấu phẩy (trong nghiên cứu
gần đây, chưa công bố), đây có thể xem là kỉ lục về độ chính xác cho lời giải bằng
số của bài toán này. Bên cạnh đó, phương pháp cũng cho phép thu được nghiệm
giải tích gần đúng với sai số đều đặn trong toàn miền biến đổi của từ trường. Dưới
đây minh họa một số kết quả thu được của phương pháp [4], phù hợp với kết quả
giải bằng phương pháp biến phân [22] nêu trên, trong đó
𝐸 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑦𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 : là nghiệm giải tích gần đúng bậc 0 trong [4].

38. 𝐸𝑟𝑒𝑓 : là nghiệm tính bằng các biểu thức thu được trong [22].
𝐸 𝑇 : là nghiệm chính xác trong [4].
Bảng 2.1: Năng lượng cho trạng thái cơ bản 1s.
γ ′ 0λ = 0.5λ =
analyticalE
[4] refE
[22] TE [4] analyticalE
[4] refE
[22] TE [4]
0.1 -1.9993404 -1.9994217 -1.9994214636 -1.5548981601 -1.5548981601 -1.5552738822
0.2 -1.9969602 -1.9970796 -1.9970745857 -1.5524109095 -1.5529500 -1.5528669546
0.3 -1.9913470 -1.9914691 -1.9914269106 -1.5466224935 -1.5471047 -1.5470764105
0.4 -1.9795154 -1.9796058 -1.9793773399 -1.5343645277 -1.5347755 -1.5347294673
0.5 -1.9550842 -1.9551597 -1.9541549413 -1.5087802969 -1.5094692 -1.5089149187
0.6 -1.9032110 -1.9033530 -1.8993854746 -1.4556874678 -1.4561377 -1.4529802071
0.7 -1.7839303 -1.7842617 -1.7692184499 -1.3338094575 -1.3343943 -1.3205275304
0.8 -1.4588753 -1.4595871 -1.4602856879 -0.9486455503 -1.0050628 -0.9471189977
0.9 -0.1193149 - 0.1211016 0.1224846917 0.6379326046 0.6422747 0.6407554084
Bảng 2.2: Năng lượng cho trạng thái kích thích 2p-.
γ ′ 0λ = 0.5λ =
analyticalE
[4] refE
[22] TE analyticalE
[4] refE
[22] TE
0.1 -0.2619662505 -0.2619752 -0.2615330453 0.0207781741 0.0007232 0.0014611722
0.2 -0.2814226484 - 0.2814566 -0.2774199458 0.0189831163 0.0089458 0.0133091117
0.3 -0.2796816522 -0.2817971 -0.2692073625 0.0389783961 0.0312390 0.0444672188
0.4 -0.2364009277 -0.2596733 -0.2320129916 0.0995567223 0.0731781 0.1016946583
0.5 -0.1699185714 - 0.2047904 -0.1523265569 0.1834091651 0.1464241 0.1998546703
0.6 - 0.0284012896 - 0.0931016 0.0008997726 0.3421302528 0.2760278 0.3710192286
0.7 0.2846495158 0.1359781 0.3052851731 0.6729716913 0.5235672 0.6938142503
0.8 0.9799507382 0.6752187 1.0062340860 1.3883206504 1.0832436 1.4150763742
0.9 3.2974052504 2.5506244 3.4010745517 3.7312669737 2.9843493 3.8353985755
Ngoài ra còn tính được năng lượng ở mức kích thích 3d. So sánh 𝐸 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑦𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 và 𝐸 𝑇
trong hai bảng trên ta nhận thấy giá trị năng lượng đúng đến chữ số thập phân thứ 5,
tuy nhiên có thể điều chỉnh tốc độ hội tụ bằng cách thay đổi giá trị của một tham số
tự do trong quá trình tính toán. Đó là một ưu điểm rất lớn của phương pháp OM.

39. CHƯƠNG 3: EXCITON ÂM
Exciton mang điện còn được biết đến nhiều với tên gọi khác là trion – là
trạng thái liên kết của ba hạt, hai electron và một lỗ trống hoặc một electron hoặc 2
lỗ trống. Tùy vào thành phần và số lượng hạt tải điện được kết hợp, chúng ta có
exciton âm và exciton dương. Trong phần này, tác giả xin trình bày về exciton âm,
phương trình Schrödinger cho trạng thái liên kết của chúng và một số hiệu ứng
lượng tử của hệ hạt này.
3.1.Định nghĩa
Exciton âm là trạng thái liên kết của hai electron và một lỗ trống.
Tuy rằng trạng thái exciton trung hòa được tiên đoán là tồn tại bởi Frenkel từ
những năm 30 của thế kỉ XX và được thực nghiệm chứng minh rằng chúng tồn tại
thực sự chỉ sau đó hai thập kỉ. Nhưng vào năm 1958, Lampert đã tiên đoán rằng,
trạng thái liên kết của ba hạt sẽ không thể tìm thấy hầu hết các vật liệu, bởi vì năng
lượng liên kết của chúng quá nhỏ trong không gian bán dẫn 3D. Tuy nhiên, những
tiến bộ vượt bậc trong việc cấy ghép thành công các cấu trúc bán dẫn dị thể
(heterostructure) đã mở ra hi vọng trong việc tạo được một “môi trường” thuận lợi
cho việc tìm thấy những bằng chứng cho sự tồn tại của trion – trong đó có exciton
âm – và các hệ nhiều hạt khác. Thực nghiệm cho thấy, việc giảm số chiều giam hãm
các hạt đã làm tăng tương tác Coulomb giữa chúng, dẫn đến việc năng lượng liên
kết của hệ hạt tăng, vì thế mà trạng thái exciton trở nên bền vững hơn và thực
nghiệm cũng đã có những bằng chứng cho sự tồn tại của nó [8-21].

40. 3.2.Phương trình Schrödinger cho exciton âm
Ta có
𝐻� 𝛹𝑒𝑥(−) = 𝐸𝛹𝑒𝑥(−),
trong đó:
𝐻� = − �
ℏ2
2𝑚 𝑒
∗
𝑖=1,2
𝛻𝑖
2
−
ℏ2
2𝑚ℎ
∗ 𝛻ℎ
2
− �
𝑒2
𝜀|𝑟𝑖 − 𝑟ℎ|
𝑖=1,2
+
𝑒2
𝜀|𝑟1 − 𝑟2|
+ 𝑢( 𝑟𝑖, 𝑅2).
Sử dụng gần đúng Born-Oppenheimer, ta giả thiết các lõi nguyên tử đứng
yên đối với các nút mạng nên trên biểu thức Hamiltonian ta có thể bỏ qua số hạng
động năng của lỗ trống (số hạng 2). Ngoài ra thay vì xét tất cả tương tác của
electron, lỗ trống, hạt nhân với nhau, ta có thể xét gần đúng, xem thế tương tác của
một electron với các electron, lỗ trống, và hạt nhân gần đúng là tương tác chỉ của
electron đó với một lỗ trống mang điện tích hiệu dụng 𝑍∗
𝑒. Với cách xét như vậy,
Hamiltonian được viết lại thành
𝐻� = − �
ℏ2
2𝑚 𝑒
∗
𝑖=1,2
𝛻𝑖
2
− �
𝑒2
𝜀𝑟𝑖
𝑖=1,2
+
𝑒2
𝜀|𝑟1 − 𝑟2|
,
hay
𝐻� = −
ℏ2
2𝑚 𝑒
∗
𝛻1
2
−
ℏ2
2𝑚 𝑒
∗
𝛻2
2
−
𝑍∗
𝑒2
𝜀𝑟1
−
𝑍∗
𝑒2
𝜀𝑟2
+
𝑒2
𝜀|𝑟1 − 𝑟2|
.
Viết về dạng không thứ nguyên với bán kính đơn vị là bán kính Bohr hiệu dụng ro
và năng lượng đơn vị là hằng số Rydberg Ry
𝑟𝑜 =
ℏ2
𝑒2 𝑚 𝑒
∗
, 𝑅 𝑦 =
𝑚 𝑒
∗
𝑒4
2𝜀2ℏ2
.
Hamiltonian không thứ nguyên có dạng

41. 𝐻� = −
1
2
𝛻1
2
−
1
2
𝛻2
2
−
𝑍∗
𝑟1
−
𝑍∗
𝑟2
+
1
|𝑟1 − 𝑟2|
.
Phương trình này đã được C. Riva et al [10] dùng phương pháp biến phân
giải cho trường hợp exciton bị giam trong giếng lượng tử GaAs/AlxGa1-xAs với thế
năng của các hạt giam trong giếng được cho bởi: (z là bề rộng giếng theo trục 0z)
𝑉𝑖 = �
0, | 𝑧| < 𝑎/2,
𝑉𝑖, | 𝑧| > 𝑎/2,
(3.1)
với thế năng của từng loại hạt được cho bởi
�
𝑉𝑒 = 0,57(1,155𝑥 + 0,37𝑥2),
𝑉ℎ = 0,43(1,155𝑥 + 0,37𝑥2).
(3.2)
Đo đạc thực nghiệm với tham số 𝑥 = 0.3, hằng số Rydberg hiệu dụng
2𝑅∗
= 11.58 𝑚𝑒𝑉, khối lượng electron hiệu dụng 𝑚 𝑒 = 0.067𝑚 𝑜, khối lượng lỗ
trống hiệu dụng 𝑚ℎ = 0.34𝑚 𝑜, bán kính Borh hiệu dụng 𝑎 𝑜 = 99.3Å, với 𝑚 𝑜 là
khối lượng electron.
3.3.Phương trình Schrödinger cho exciton âm trong từ trường đều
Ta có
𝐻� 𝛹𝑒𝑥(−) = 𝐸𝛹𝑒𝑥(−) ,
trong đó
𝐻� = �
1
2𝑚𝑖
�𝑝⃗𝑖 −
𝑒
𝑐
𝐴⃗𝑖�
2
+ �
𝑒2
𝜀�𝑟⃗𝑖 − 𝑟⃗𝑗�
𝑖<𝑗
3
𝑖=1
,
𝐴⃗𝑖 =
1
2
�𝐵�⃗, 𝑟⃗𝑖�: thế vector,
𝑚𝑖 và e : khối lượng hiệu dụng và điện tích của hạt thứ i,
𝜀 : hằng số điện môi.

42. Sử dụng gần đúng Born-Oppenheimer, ta giả thiết các lõi nguyên tử đứng
yên đối với các nút mạng nên trên biểu thức Hamiltonian ta có thể bỏ qua số hạng
động năng của lỗ trống. Ngoài ra thay vì xét tất cả tương tác của electron, lỗ trống,
hạt nhân với nhau, ta có thể xét gần đúng, xem thế tương tác của một electron với
các electron, lỗ trống, và hạt nhân gần đúng là tương tác chỉ của electron đó với một
lỗ trống mang điện tích hiệu dụng 𝑍∗
𝑒. Với cách xét như vậy, Hamiltonian được
viết lại thành
𝐻� =
1
2𝑚1
�𝑝⃗1 −
𝑒
𝑐
𝐴⃗1�
2
+
1
2𝑚2
�𝑝⃗2 −
𝑒
𝑐
𝐴⃗2�
2
+
𝑒2
𝜀| 𝑟1 − 𝑟2|
−
𝑍∗
𝑒2
𝜀𝑟1
−
𝑍∗
𝑒2
𝜀𝑟2
.
Thực hiện các bước tương tự như phụ lục A.1, ta có
𝐻� = −
ℏ2
2𝑚 𝑒
∗
𝛻1
2
−
ℏ2
2𝑚 𝑒
∗
𝛻2
2
−
𝑒𝐵
2𝑚 𝑒
∗ 𝑐
𝐿� 𝑧1
−
𝑒𝐵
2𝑚 𝑒
∗ 𝑐
𝐿� 𝑧2
+
𝑒2
𝜀| 𝑟1 − 𝑟2|
−
𝑍∗
𝑒2
𝜀𝑟1
−
𝑍∗
𝑒2
𝜀𝑟2
.
Viết Hamiltonian về dạng không thứ nguyên với bán kính đơn vị là bán kính Bohr
hiệu dụng ro, năng lượng đơn vị là hằng số Rydberg hiệu dụng Ry và độ mạnh của
từ trường so với trường Coulomb 𝛾:
𝑟𝑜 =
𝜀ℏ2
𝑚 𝑒
∗ 𝑒2
, 𝑅 𝑦 =
𝑚 𝑒
∗
𝑒4
2𝜀2ℏ2
, 𝛾 =
𝜀2
ℏ3
𝐵
𝑐𝑒3 𝑚 𝑒
∗2.
⟹ 𝐻� = −
∇1
2
2
−
∇2
2
2
−
𝛾
2
�𝐿� 𝑧1
+ 𝐿� 𝑧2
� +
1
| 𝑟1 − 𝑟2|
−
𝑍∗
𝑟1
−
𝑍∗
𝑟2
.
Lời giải cho bài toán exciton âm cũng được giải trong nhiều công trình với
nhiều phương pháp khác nhau. Đơn cử trong luận văn này là kết quả từ việc sử
dụng Phương pháp biến phân được C. Riva et al [12] sử dụng cho trường hợp
exciton bị giam trong giếng lượng tử GaAs/AlxGa1-xAs với thế năng của các hạt
giam trong giếng được cho bởi (3.1) và (3.2) như trên.

43. Ngoài ra phương pháp toán tử cũng đang được nhóm các nhà khoa học Khoa
Vật lý – Trường Đại học Sư phạm TP.HCM đưa vào nghiên cứu để tìm nghiệm
bằng số cho bài toán này.
Trong giới hạn luận văn, tác giả xin nêu ra một số kết luận thu được từ việc
giải phương trình này. Kết luận này được rút ra trong hầu hết các công trình nghiên
cứu exciton trong từ trường cả bằng lý thuyết lẫn thực nghiệm [10], [11], [18], [19],
[21], [22]:
• Các mức năng lượng vả năng lượng liên kết của exciton âm
phụ thuộc vào bề rộng giếng theo chiều bị giam nhốt. Bề rộng càng hẹp
thì năng lượng liên kết của hệ hạt này càng lớn [10], [11].
• Các mức năng lượng và năng lượng liên kết của exciton cũng
phụ thuộc vào cường độ từ trường áp đặt cho hệ. Ngoài ra, khi so sánh
giữa exciton âm và exciton dương, người ta nhận thấy năng lượng liên kết
của exciton dương khi đặt trong từ trường hầu như không đổi, trong khi
năng lượng liên kết của exciton âm khi có từ trường thay đổi rất mạnh, ví
dụ trong thực nghiệm đã đo được năng lượng liên kết exciton âm tăng
hơn 60% tại từ trường B = 7T so với lúc chưa có từ trường. Đó cũng có
thể là lý do exciton âm thu hút nhiều sự quan tâm hơn exciton dương
[19], [21, [22].
• Ngoài ra việc nghiên cứu phổ photoluminescence (PL) của
exciton âm trong từ trường hỗ trợ rất nhiều trong việc nghiên cứu tính
chất của vật liệu hệ thấp chiều [18].

44. KẾT LUẬN
Luận văn đã đạt được các kết quả thỏa mục tiêu đề ra, cụ thể là:
• Tìm hiểu được cơ sở lý thuyết và nguyên nhân hình thành
exciton.
• Giải thích được bản chất exciton là trạng thái liên kết của
electron và lỗ trống.
• Xác định được điều kiện hình thành exciton và hệ vật lý làm
xuất hiện exciton.
• Trình bày được các đặc điểm của exciton: lịch sử, phân loại,
định nghĩa, tính chất cũng như xây dựng được Hamiltonian cho các loại
exciton trong hai trường hợp không có và có từ trường đều, đưa về
phương trình không thứ nguyên.
• Nắm được tình hình giải các bài toán exciton bằng một số
phương pháp.
Hướng phát triển đề tài: Tiếp tục tìm hiểu sâu và chi tiết để hoàn chỉnh bức
tranh về exciton: bổ sung thêm các hiệu ứng thực nghiệm. Tìm hiểu phương pháp
toán tử để có lời giải chính xác cho bài toán exciton âm.

45. Tài liệu tham khảo
TIẾNG VIỆT
[1] Charles Kittel, (Đặng Mộng Lân, Trần Hữu Phát dịch) (1984), “Mở đầu vật lý
chất rắn”, NXB Khoa học và Kỹ thuật.
[2] Nguyễn Thế Khôi, Nguyễn Hữu Mình (1992), “Vật lý chất rắn”, NXB Giáo dục.
[3] Hoàng Dũng (1999), “Nhập môn cơ học lượng tử - Tập 1”, Nhà xuất bản Giáo
dục.
[4] Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2008), “Phương pháp toán tử giải phương trình
Schrödinger cho exciton hai chiều trong từ trường đều với cường độ bất kỳ ”,
Luận văn Thạc sỹ, Khoa Vật lý - Trường Đại học KHTN Tp. Hồ Chí Minh.
[5] Lê Văn Hoàng (2005), “Phổ năng lượng trạng thái exciton của khí điện tử hai
chiều tạo ra do hệ nhiều lớp GaAs/GaAsAl trong từ trường đều”, Đề tài KHCN
cấp bộ B2005.23.72.
[6] Phan Thị Cẩm Nhung (2006), “Bài toán exciton hai chiều trong bán dẫn nhiều
lớp GaAs/AlGaAs đặt trong từ trường”, Luận văn tốt nghiệp, Trường Đại học
Sư phạm TP.HCM.
[7] Trương Mạnh Tuấn (2010), “Phương pháp toán tử cho bài toán exciton hai
chiều”, Luận văn tốt nghiệp, Khoa Vật lý - Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí
Minh.

46. TIẾNG ANH
[8] A.J. Shields, J.L. Osborne, D.M. Whittaker, M.Y. Simmons, M. Pepper and
D.A. Ritchie (1997), “Negatively charged excitons in coupled double quantum
wells”, Phys. Rev. B 55, 1318.
[9] Charles Kittel (1996), “Introduction to Solid State Physics - 7th edition”,
Replika Press Pvt. Ltd. Kundli 131 028.
[10] C.Riva, F.M.Peeters, K.Varga (2000), “Ground state of excitons and charged
excitons in in quantum well”, arXiv:cond-mat/0003015v1 [cond-mat.str-el]
[11] C.Riva, F.M.Peeters, K.Varga (2000), “Excitons and charged excitons in
semiconductor quantumwells”, arXiv:cond-mat/0010450v1 [cond-mat.str-el].
[12] C.Riva, F.M.Peeters, K.Varga (2001), “Magnetic field dependence of the
energy of negatively charged excitons in semiconductor quantumwells”, Phys.
Rev. B 63, 115302.
[13] C.Riva, F.M.Peeters, K.Varga (2001), “Positively charged magneto –
excitons in a semiconductor quantumwells”, arXiv:cond-mat/0105192v1 [cond-
mat.str-el].
[14] F. M. Peeters, C. Riva, K. Varga (2001), “Trions in quantum wells”, Physica
B 300, 139.
[15] G. Finkelstein, H. Shtrikman, and I. Bar-Joseph (1996), “Negatively and
positively charged excitons in GaAl/AlxGa1-xAs quantum wells”, Phys. Rev. B
53, 1709.
[16] Izabela Szlufaska, Arkadiusz Wójs, John J. Quinn (2000), “Negatively
charged excitons and photoluminescence in asymmetric quantum wells”,
arXiv:cond-mat/0009251v1 [cond-mat.mes-hall].
[17] John H. Davies (1998), “The physics of low – dimensional semiconductors”,
Cambridge University press.

47. [18] M. Hayne, C. L. Jones, R. Bogaerts, C. Riva, A. Usher, F. M. Peeters, F.
Herlach, V. V. Moshchalkov, and M. Henini (1999), “Photoluminescence of
negatively charged excitons in high magnetic fields”, Phys. Rev. B 59, 2927.
[19] Shmuel Glasberg, Gleb Finkelstein, Hadas Shtrikman, and Israel Bar-Joseph
(1999), “Comparative study of the negatively and positively charged excitons in
GaAs quantum wells”, Phys. Rev. B 59, (16).
[20] Sylvain Charbonneau, Sylvain Charbonneau (1988), “Transient
photoluminescence spectroscopy of GaAs, ZnSe and GaAs/AlGaAs quantum
wells”, University of Ottawa.
[21] T. Vanhoucke, M. Hayne, V. V. Moshchlkov, M. Henini (2000), “Energy
levels of negatively charged excitons in high magnetic fields”, Solid State Com.
115, 403.
[22] Victor M. Villalba, Ramiro Pino (2002), “Energy spectrum of a two –
dimensional screened donor in a constant magnetic field of arbitrary strength”,
Physica B 315, 289.
[23] Yu.E.Lozovik, I.L.Kurbakov, I.V.Ovchinnikov (2003), “Nonlinear optical
phenomena in coherent phase of 2D exciton system”, Solid State Com. 126, 269.
[24] Yu.A.Ossipyan, Chernogolovka, Russia (2001). “Physics of low –
dimensional structures” , Phys. Low-Dim. Struct. 11.
[25] Zheyuan Chen (2011), “Interaction between 0-Dimensional and 2-
Dimensional Materials”, Columbia University.

48. PHỤ LỤC
A1. Phụ lục: Phương trình Schrödinger không thứ nguyên cho exciton
trung hòa trong từ trường
Ta có:
𝐻� 𝛹𝑒𝑥 = 𝐸𝛹𝑒𝑥 ,
trong đó:
𝐻� =
1
2𝑚 𝑒
∗
�−𝑖ℏ∇ 𝑒 +
𝑒
𝑐
𝐴⃗ 𝑒�
2
+
1
2𝑚ℎ
∗ �−𝑖ℏ∇ℎ −
𝑒
𝑐
𝐴⃗ℎ�
2
−
𝑒2
𝜀| 𝑟𝑒 − 𝑟ℎ|
,
𝐴⃗𝑖 =
1
2
�𝐵�⃗, 𝑟⃗𝑖�: thế vector, xét trường hợp 𝐵�⃗ = (0,0, 𝐵),
𝑉(𝑟⃗) : thế tương tác Coulomb của electron và lỗ trống,
𝑚𝑖
∗
và e : khối lượng hiệu dụng và điện tích của hạt thứ i (gồm electron và lỗ
trống),
𝜀 : hằng số điện môi.
Ta có
𝐴⃗ =
1
2
�𝐵�⃗, 𝑟⃗� =
1
2
𝐵(−𝑦, 𝑥, 0) ⟹ 𝐴⃗2
=
𝐵2
4
( 𝑥2
+ 𝑦2) =
𝐵2
4
𝑟2
,
𝐴 𝑒 =
1
2
𝐵( 𝑟𝑒 − 𝑟ℎ); 𝐴ℎ = −
1
2
𝐵( 𝑟𝑒 − 𝑟ℎ).
Ta tính

49. �−𝑖ℏ𝛻𝑒 +
𝑒
𝑐
𝐴⃗ 𝑒�
2
= �−𝑖ℏ𝛻𝑒 +
𝑒
𝑐
𝐴⃗ 𝑒� �−𝑖ℏ𝛻𝑒 +
𝑒
𝑐
𝐴⃗ 𝑒�,
= −ℏ2
𝛻𝑒
2
− 𝑖ℏ
𝑒
𝑐
�𝛻𝑒 𝐴⃗ 𝑒 + 𝐴⃗ 𝑒 𝛻𝑒� +
𝑒2
𝑐2
�𝐴⃗ 𝑒�
2
.
Xét
𝛻𝑒 𝐴⃗ 𝑒 =
𝜕
𝜕𝑥
𝐴 𝑥 +
𝜕
𝜕𝑦
𝐴 𝑦 +
𝜕
𝜕𝑧
𝐴 𝑧 = 𝑑𝑖𝑣𝐴⃗,
𝐴⃗ 𝑒 𝛻𝑒 = 𝐴 𝑥
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝐴 𝑦
𝜕
𝜕𝑦
+ 𝐴 𝑧
𝜕
𝜕𝑧
,
⟹ −𝑖ℏ
𝑒
𝑐
�𝛻𝑒 𝐴⃗ 𝑒 + 𝐴⃗ 𝑒 𝛻𝑒� = −𝑖ℏ
𝑒
𝑐
�𝑑𝑖𝑣𝐴⃗ + 𝐴⃗ 𝑒 𝛻𝑒�.
Thế vector 𝐴⃗ 𝑒 có thể chọn tùy ý nên ta chọn 𝐴⃗ 𝑒 sao cho 𝑑𝑖𝑣𝐴⃗ 𝑒 = 0, suy ra
⟹ �−𝑖ℏ𝛻𝑒 +
𝑒
𝑐
𝐴⃗ 𝑒�
2
= −ℏ2
𝛻𝑒
2
− 𝑖ℏ
𝑒
𝑐
𝐴⃗ 𝑒 𝛻𝑒 +
𝑒2
𝑐2
�𝐴⃗ 𝑒�
2
,
⟹
1
2𝑚 𝑒
∗
�−𝑖ℏ𝛻𝑒 +
𝑒
𝑐
𝐴⃗ 𝑒�
2
= −
ℏ2
2𝑚 𝑒
∗
𝛻𝑒
2
−
𝑖ℏ𝑒
2𝑚 𝑒
∗ 𝑐
𝐴⃗ 𝑒 𝛻𝑒 +
𝑒2
2𝑚 𝑒
∗ 𝑐2
�𝐴⃗ 𝑒�
2
.
Xét
−
𝑖ℏ𝑒
2𝑚 𝑒
∗ 𝑐
𝐴⃗ 𝑒 𝛻𝑒 = −
𝑖ℏ𝑒𝐵
2𝑚 𝑒
∗ 𝑐
�𝐴 𝑥
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝐴 𝑦
𝜕
𝜕𝑦
+ 𝐴 𝑧
𝜕
𝜕𝑧
�,
= −
𝑖ℏ𝑒𝐵
2𝑚 𝑒
∗ 𝑐
�−𝑦
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑥
𝜕
𝜕𝑦
�,
= −
𝑒𝐵
2𝑚 𝑒
∗ 𝑐
𝐿� 𝑧 .
Thực hiện các bước tương tự cho lỗ trống, rồi thế tất cả vào biểu thức
Hamiltonian, ta được

50. 𝐻� = −
ℏ2
2𝑚 𝑒
∗
𝛻𝑒
2
−
𝑒𝐵
2𝑚 𝑒
∗ 𝑐
𝐿� 𝑧 +
𝑒2
2𝑚 𝑒
∗ 𝑐2
�𝐴⃗ 𝑒�
2
−
ℏ2
2𝑚ℎ
∗ 𝛻ℎ
2
−
𝑒𝐵
2𝑚ℎ
∗
𝑐
𝐿� 𝑧 +
𝑒2
2𝑚ℎ
∗
𝑐2
�𝐴⃗ℎ�
2
−
𝑒2
𝜀| 𝑟𝑒 − 𝑟ℎ|
,
= −
ℏ2
2𝑚 𝑒
∗
𝛻𝑒
2
−
ℏ2
2𝑚ℎ
∗ 𝛻ℎ
2
−
𝑒𝐵
2𝑐
𝐿� 𝑧 �
1
𝑚 𝑒
∗
+
1
𝑚ℎ
∗ � +
𝑒2
2𝑚 𝑒
∗ 𝑐2
�𝐴⃗ 𝑒�
2
+
𝑒2
2𝑚ℎ
∗
𝑐2
�𝐴⃗ℎ�
2
−
𝑒2
𝜀| 𝑟𝑒 − 𝑟ℎ|
.
Nhận xét: số hạng
𝑒2
𝑐2
có bậc quá nhỏ, do đó ta có thể bỏ qua
𝑒2
2𝑚 𝑖
∗ 𝑐2
�𝐴⃗𝑖�
2
,
⟹ 𝐻� = −
ℏ2
2𝑚 𝑒
∗
𝛻𝑒
2
−
ℏ2
2𝑚ℎ
∗ 𝛻ℎ
2
−
𝑒𝐵
2𝑐
𝐿� 𝑧 �
1
𝑚 𝑒
∗
+
1
𝑚ℎ
∗ � −
𝑒2
𝜀| 𝑟𝑒 − 𝑟ℎ|
.
Thực hiện các bước đổi hệ tọa độ như ở trường hợp không có từ trường: ta
chuyển từ hệ tọa độ hai biến (𝑟𝑒, 𝑟ℎ) về hệ tọa độ với hai biến mới (𝑟, 𝑅) với
𝑟 = 𝑟𝑒 − 𝑟ℎ , 𝑅 =
𝑚 𝑒
∗
𝑟𝑒 + 𝑚ℎ
∗
𝑟ℎ
𝑀
,
𝑀 = 𝑚 𝑒
∗
+ 𝑚ℎ
∗
, 𝜇 =
𝑚 𝑒
∗
𝑚ℎ
∗
𝑚 𝑒
∗ + 𝑚ℎ
∗ ,
⟹ 𝐻� = −
ℏ2
2𝑀
𝛻𝑅
2
−
ℏ2
2𝜇
𝛻𝑟
2
−
𝑒2
𝜀𝑟
−
𝑒𝐵𝐿� 𝑧
2𝜇𝑐
.
Ta thấy Hamiltonian trên là hàm tách biến, thành phần chứa R khá đơn giản
và đã có nghiệm tường minh, ta xét thành phần chứa r:
Viết về dạng không thứ nguyên với bán kính đơn vị là Bán kính Bohr hiệu
dụng ro, năng lượng đơn vị là Hằng số Rydberg hiệu dụng Ry và độ mạnh của từ
trường so với trường Coulomb 𝛾 cho thành phần:
𝑟𝑜 =
𝜀ℏ2
𝜇𝑒2
, 𝑅 𝑦 =
𝜇𝑒4
2𝜀2ℏ2
, 𝛾 =
𝜀2
ℏ3
𝐵
𝑐𝑒3 𝜇2

51. Ta được thành phần Hamiltonian của r không thứ nguyên của exciton trung
hòa trong từ trường là:
𝐻�𝑟 = −
𝛻𝑟
2
2
−
1
𝑟
−
𝛾
2
𝐿� 𝑧