Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ ngành vật lí với đề tài: Nghiên cứu tính chất điện tử của graphene biến dạng với các liên kết đan xen 50000452

1. ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
· · · ♦ · · ·
TRẦN THỊ HOÀI THƯƠNG
NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT ĐIỆN TỬ
CỦA GRAPHENE BIẾN DẠNG
VỚI CÁC LIÊN KẾT ĐAN XEN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN NGỌC HIẾU
Thừa Thiên Huế - năm 2017
i

2. LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được
các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kỳ một công trình nghiên cứu nào khác.
Tác giả
Trần Thị Hoài Thương
ii

3. LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đến thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Ngọc Hiếu đã tận tình hướng dẫn
và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài.
Qua đây, tôi cũng xin gửi lời cám ơn chân thành đến Ban giám hiệu,
Phòng Đào tạo Sau đại học, quý thầy cô giáo Khoa Vật lý trường Đại học
Sư phạm, Đại học Huế và quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy đã giúp đỡ
tôi trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng, tôi xin cám ơn gia đình, bạn bè và các bạn học viên Cao
học khóa 24 đã động viên, góp ý, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong
thời gian qua để tôi hoàn thành luận văn này.
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả
Trần Thị Hoài Thương
iii

4. MỤC LỤC
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời cảm ơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1: Các vấn đề tổng quan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 2: Mô hình và phương pháp nghiên cứu. . . . . . . . . . 11
2.1. Cấu trúc nguyên tử của graphene với các liên kết đan xen . . . 11
2.2. Mô tả biến dạng của graphene bằng lý thuyết biến dạng đồng nhất
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Áp dụng mô hình điện tử liên kết mạnh để khảo sát tính chất điện
tử của graphene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chương 3: Tính chất điện tử của graphene biến dạng . . . . 25
3.1. Tính toán cấu trúc vùng năng lượng của graphene với các liên kết
C–C đan xen (bond alternation) kiểu quinoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Ảnh hưởng của biến dạng lên tính chất điện tử của graphene với
các liên kết C–C đan xen có chiều dài khác nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . 29
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1

5. DANH SÁCH HÌNH VẼ
1.1 Mô hình graphene với mạng lục giác trong không gian . . . . . 7
1.2 Cấu trúc vùng năng lượng của graphene . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Cấu trúc của graphene với các liên kết đan xen có độ dài
liên kết C–C khác nhau là a và b . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Lực căng T đặt vào mạng graphene . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1 Sự xuất hiện vùng cấm của graphene biến dạng . . . . . . . . 30
3.2 Đồ thị đường đồng mức biểu diễn cho E(kx, ky) chiếu lên
mặt phẳng (kx, ky) trong các trường hợp: (a) Khi chưa có
biến dạng, (b) θ = 0, ε = 5%, δ = 0, 02 , (c) θ = π
4 , ε =
10%, δ = 0, 02. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Mặt cắt của cấu trúc năng lượng dọc theo ky = 0 . . . . . . . 31
3.4 Sự phụ thuộc năng lượng vùng cấm của graphene với các
liên kết đan xen vào độ biến dạng ε . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Sự phụ thuộc năng lượng vùng cấm của graphene với các
liên kết đan xen vào góc lệch θ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6 Sự phụ thuộc năng lượng vùng cấm của graphene với các
liên kết đan xen vào độ lệch chiều dài liên kết δ . . . . . . . . 34
3.7 Sự phụ thuộc kF của graphene liên kết đan xen vào độ biến
dạng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2

6. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Sự phát triển mạnh mẽ của nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật công
nghệ đã làm cho đời sống xã hội toàn cầu có nhiều diện mạo mới. Hiện nay
trên thế giới đang hình thành một khoa học và công nghệ mới, có nhiều
triển vọng và dự đoán sẽ có tác động mạnh mẽ đến tất cả các lĩnh vực
khoa học, kỹ thuật cũng như đời sống kinh tế - xã hội của thế kỷ XXI. Đó
là khoa học và công nghệ nano. Khoa học nano là ngành khoa học nghiên
cứu về các hiện tượng và sự can thiệp vào vật liệu tại các quy mô nguyên
tử, phân tử và đại phân tử. Tại các quy mô đó, tính chất của vật liệu khác
hẳn với tính chất của chúng tại các quy mô lớn hơn. Công nghệ nano là
việc thiết kế, phân tích đặc trưng, chế tạo và ứng dụng các cấu trúc, thiết
bị, và hệ thống bằng việc điều khiển hình dáng và kích thước trên quy mô
nanomet. Vật liệu nano là đối tượng của hai lĩnh vực là khoa học nano
và công nghệ nano, nó liên kết hai lĩnh vực trên với nhau. Kích thước
của vật liệu nano trải một khoảng khá rộng, từ vài nm đến vài trăm nm.
Công nghệ nano nói chung và vật liệu carbon có cấu trúc nano nói riêng
đã và đang có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn góp phần phục vụ đời
sống con người. Trong lĩnh vực công nghệ nano chúng ta đã tìm ra được
thêm một loại vật liệu mới có tiềm năng ứng dụng cao, đó là graphene.
Graphene là một loại vật liệu có cấu trúc gồm các nguyên tử carbon sắp
xếp trong mặt phẳng hai chiều, đơn lớp nguyên tử và có cấu trúc lục giác
giống với hình tổ ong do sự lai hóa sp2
[1]. Mỗi nguyên tử carbon hình
thành ba liên kết σ với các nguyên tử carbon lân cận gần nhất từ ba điện
tử hóa trị. Các liên kết cộng hóa trị C–C gần giống với các liên kết trong
kim cương làm cho graphene có những tính chất cơ, nhiệt, điện, quang
. . . rất đặc biệt. Ngay từ những năm 1946, P.R. Wallace đã đưa ra cấu trúc
vùng năng lượng của graphene trong lý thuyết, và đã nêu lên những đặc
tính dị thường của loại vật liệu này [2]. Tuy nhiên vào thời điểm đó các
nhà khoa học không tin rằng có thể tồn tại một tấm graphene hai chiều
chỉ có bề dày một nguyên tử. Đến năm 2004, hai nhà vật lý A.K Geim
3

7. và K.S Novoselov thuộc trường đại học Machester ở Anh đã tạo ra được
graphene bằng thực nghiệm với tấm băng keo văn phòng [1] và thành công
với công trình nghiên cứu về vật liệu graphene và các tính chất nổi bật
của chúng, kể từ đó dạng vật liệu này đã và đang thu hút được sự quan
tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học kể cả lý thuyết, thực nghiệm lẫn
ứng dụng trên thế giới. Do tính linh động điện tử cao [3] và dẫn nhiệt
tốt [4] graphene được công nhận là một trong những vật liệu quan trọng
để tạo ra các thiết bị điện tử thế hệ tiếp theo và sẽ tạo bước đột phá lớn
trong nhiều lĩnh vực của khoa học. Graphene là chất liệu bền nhất từng
đo được [5]. Biến dạng nhỏ có thể dễ dàng tác động lên graphene trong
phòng thí nghiệm. Biến dạng có thể ảnh hưởng quan trọng tới tính chất
điện tử của vật liệu. Sự thay đổi tính chất điện tử dưới ảnh hưởng của
biến dạng có thể đem lại nhiều tính chất mới có thể áp dụng được trong
các thiết bị nano [6]. Ở Việt Nam, do điều kiện tiến hành nghiên cứu thực
nghiệm về graphene còn hạn chế nên lựa chọn phương pháp nghiên cứu
lý thuyết là cần thiết, phù hợp với chuyên ngành đào tạo và tình hình cơ
sở vật chất của hiện có của cơ sở đào tạo. Vì những lí do trên tôi quyết
định chọn đề tài "Nghiên cứu tính chất điện tử của graphene biến dạng
với các liên kết đan xen" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình.
2. Mục đích đề tài
Khảo sát tính chất điện tử của graphene biến dạng với các liên kết
đan xen bằng cách kết hợp lý thuyết biến dạng đồng nhất và mô hình
điện tử liên kết mạnh.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu tính chất điện tử của graphene biến dạng
với các liên kết đan xen.
4. Phạm vi nghiên cứu
Chỉ nghiên cứu graphene khi có mặt của biến dạng nhỏ (nhỏ hơn
10%).
4

8. 5. Phương pháp nghiên cứu
Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp kết
hợp lý thuyết biến dạng đồng nhất và mô hình điện tử liên kết mạnh.
6. Bố cục luận văn
Luận văn gồm có 3 phần chính.
- Phần mở đầu: Trình bày lí do chọn đề tài, mục đích của đề tài, đối
tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu.
- Phần nội dung: Bao gồm 3 chương:
Chương 1: Các vấn đề tổng quan.
Chương 2: Mô hình và phương pháp nghiên cứu
Chương 3: Tính chất điện tử của graphene biến dạng
- Phần kết luận: Trình bày các kết quả đạt được của luận văn và đề
xuất hướng phát triển nghiên cứu.
5

9. CHƯƠNG 1
CÁC VẤN ĐỀ TỔNG QUAN
Vật liệu nano carbon là đối tượng được rất nhiều nhà khoa học cả lý
thuyết lẫn thực nghiệm nghiên cứu, đặc biệt là trong hai thập niên gần
đây. Với những tính chất vật lý dị thường, vật liệu nano carbon được kỳ
vọng sẽ đem lại nhiều ứng dụng trong các thiết bị nano, đặc biệt là thiết
bị điện tử nano, và graphene [1] là một trong số chúng. Graphene là một
lớp carbon hợp thành một mạng hình lục giác (mạng tổ ong như biểu diễn
ở hình 1.1), với chiều dài các liên kết C–C là 0,142 nm. Nó là chất liệu kết
tinh hai chiều thật sự đầu tiên và nó là đại diện của một họ hoàn toàn
mới của các vật liệu hai chiều.
Graphene trên thực tế là trong suốt. Trong vùng quang học, nó hấp
thụ chỉ 2, 3% ánh sáng [7]. Trái với các hệ 2D nhiệt độ thấp xây dựng
trên chất bán dẫn, graphene vẫn duy trì các tính chất 2D của nó ở nhiệt
độ phòng. Graphene còn có một vài tính chất hấp dẫn khác nữa, về căn
bản, nó cứng hơn thép, rất dễ kéo căng, và có thể dùng làm một chất
dẫn dẻo. Độ dẫn nhiệt của nó cao hơn nhiều so với độ dẫn nhiệt của bạc.
Tính chất điện tử của graphene hơi khác với các chất liệu ba chiều thông
thường. Mặt Fermi của nó được đặc trưng bởi sáu hình nón kép, như thể
hiện trên hình 1.2 [8].
Tính chất điện tử là một trong những tính chất quan trọng của vật
liệu. Khi hiểu rõ các tính chất điện tử cũng như các trạng thái của điện
tử, chúng ta có thể tìm ra được nhiều phương pháp để ứng dụng các vật
liệu đó trong các thiết bị quang - điện tử. Với cấu trúc phẳng và có thể
điều khiển được độ dẫn bằng nhiều cách [9] nên graphene mở ra rất nhiều
triển vọng cho các ứng dụng thực tế.
Trong graphene, mức Fermi nằm ở giao điểm của những hình nón
này. Vì mật độ các trạng thái của chất liệu bằng không tại điểm đó, nên
độ dẫn điện của graphene nguyên chất khá thấp và vào cỡ lượng tử độ
dẫn, hệ số tỉ lệ chính xác thì vẫn còn tranh cãi. Tuy nhiên, mức Fermi
đó có thể thay đổi bởi một điện trường để cho chất liệu trở thành hoặc
là chất pha tạp loại n hoặc pha tạp loại p tùy thuộc vào sự phân cực của
6

10. điện trường đặt vào. Graphene pha tạp chất có độ dẫn điện khá cao, ở
nhiệt độ phòng nó có thể cao hơn cả độ dẫn của đồng. Ở gần mức Fermi,
quan hệ khuếch tán đối với electron và lỗ trống là tuyến tính. Vì khối
lượng hiệu dụng được cho bởi độ cong của các dải năng lượng nên điều
này tương ứng với khối lượng hiệu dụng bằng không. Phương trình mô
tả các trạng thái kích thích trong graphene giống hệt phương trình Dirac
cho các fermion không khối lượng chuyển động ở một tốc độ không đổi.
Vì thế, giao điểm của các hình nón trên được gọi là các điểm Dirac.
Graphene được xem là vật liệu có nhiều tiềm năng và ứng dụng trong
khoa học công nghệ, đặc biệt là lĩnh vực điện tử nano [9–11]. Bên cạnh
nghiên cứu các tính chất đăc biệt của nó, các nhà khoa học còn quan tâm
đến sự biến dạng lên graphene có những tính chất mới hấp dẫn. Ở thang
nano, tác dụng biến dạng là nhỏ nhưng cũng ảnh hưởng lên các tính chất
Hình 1.1: Mô hình graphene với mạng lục giác trong không gian
Hình 1.2: Cấu trúc vùng năng lượng của graphene
7

11. khác của vật liệu. Những nghiên cứu gần đây cho thấy khi graphene bị
biến dạng nói chung, độ rộng vùng cấm có thể mở ra trong một mô hình
thuần túy liên kết mạnh. Điều này đem lại nhiều tính chất vật lý mới cho
graphene và những ứng dụng vượt trội của nó trong công nghệ vi mạch
điện tử. Hiểu biết về tính chất điện tử của graphene biến dạng mở ra
nhiều khả năng ưu việt, trong tương lai, vật liệu này có thể được sử dụng
để chế tạo các vi mạch điện tử thế hệ mới, khiến máy tính hoặc điện thoại
di động truyền dữ liệu với tốc độ cao hơn rất nhiều.
Trong graphene, các nguyên tử carbon liên kết với nhau bởi liên kết
C–C theo hình lục giác. Với cấu trúc như vậy có thể xuất hiện nhiều kiểu
biến dạng như tác động lực kéo (nén), biến dạng do các liên kết đan xen
có chiều dài liên kết C–C không bằng nhau. Với sự biến đổi về cấu trúc
hình học, nghĩa là biến dạng, có thể làm xuất hiện nhiều tính chất mới.
Tính chất điện tử là một trong những tính chất quan trọng của bất kỳ
vật liệu nào khi khảo sát chúng. Khi nắm rõ tính chất điện tử, chúng ta
có thể thấy vận dụng những tính toán lý thuyết vào thực tiễn trong công
nghệ vật liệu. Bên cạnh graphene biến dạng, đã có rất nhiều công trình
nghiên cứu về vật liệu nano và sự ảnh hưởng của biến dạng lên chúng.
Chẳng hạn như ống nano carbon, dưới ảnh hưởng của biến dạng trục, khi
năng lượng của ống nano carbon zigzag thay đổi một cách tuyến tính đối
với độ biến dạng [1] tuy nhiên ống nano carbon armchair lại không bị ảnh
hưởng. Đối với graphene có cấu trúc Kekule, độ rộng khe năng lượng biến
đổi gần như tuyến tính với độ biến dạng của các liên kết C–C. Gần đây,
sự thay đổi của các tham số cấu trúc như độ dài của các liên kết C-C
cũng đã được tính toán. Liên kết đan xen có chiều dài không bằng nhau
cũng ảnh hưởng đến tính chất điện tử của vật liệu.
Cấu trúc vùng năng lượng điện tử của graphene đã được nghiên cứu
từ rất sớm [2]. Tuy nhiên, graphene đặc biệt được chú ý từ năm 2004, sau
khi đơn lớp graphite được bóc tách thành công [1]. Bằng nhiều phương
pháp khác nhau, tính chất điện tử và truyền dẫn của graphene đã được
nghiên cứu [9, 12, 13]. Ảnh hưởng của biến dạng trục lên tính chất điện
tử của graphene cũng đã được nhiều nhóm nghiên cứu [14, 15]. Sử dụng
cả lý thuyết phiếm hàm mật độ và gần đúng liên kết mạnh, nhóm của
8

12. Ribeiro đã nghiên cứu ảnh hưởng của biến dạng trục lên cấu trúc vùng
năng lượng điện tử cũng như sự thay đổi giá trị của các tham số nhảy
nút (hopping parameter) trong graphene [16]. Các tính toán này đã chỉ
ra rằng, các tham số nhảy nút chẳng những phụ thuộc vào cường độ và
hướng của biến dạng mà còn phụ thuộc rất lớn vào khoảng cách giữa các
nguyên tử carbon, nghĩa là chiều dài liên kết C–C.
Sử dụng mô hình liên kết mạnh, Reich và các cộng sự đã nghiên cứu
một cách chi tiết tính chất điện tử của graphene [12]. Các tính toán này
đã chỉ ra rằng, tính chất điện tử của graphene phụ thuộc vào tham số
nhảy nút (hopping parameter) của mạng lục giác. Tương tác giữa các
nguyên tử carbon trong mạng lục giác cũng đóng vai trò quan trọng trong
khảo sát cấu trúc vùng năng lượng của điện tử của graphene. Cũng bằng
phương pháp liên kết mạnh và lý thuyết đàn hồi tuyến tính, khi không
xét đến tương tác electron-phonon, nhóm của Pereira đã quan sát được
sự xuất hiện khe năng lượng trong graphene [15]. Tuy nhiên, trong giới
hạn biến dạng không quá 20%, khe năng lượng này là tương đối nhỏ.
Trước đây, vật liệu nano carbon với các liên kết đan xen đã được
nhiều nhóm nghiên cứu. Tính chất điện tử của ống nano với các kiểu liên
kết đan xen đã được nghiên cứu bằng mô hình điện tử liên kết mạnh [17].
Các tính toán này đã chỉ ra rằng đã có sự xuất hiện vùng cấm trong ống
nano carbon khi có mặt của các liên kết đan xen kiểu Kekule trong mạng
lục giác của nó. Bên cạnh đó, bằng cách kết hợp giữa mô phỏng lượng tử
và tính toán bằng mô hình điện tử liên kết chặt, nhóm của Poklonski đã
nghiên cứu ảnh hưởng của các liên kết đan xen trong ống nano carbon
lên tính chất điện tử và sự chuyển pha cấu trúc cũng như sự chuyển pha
bán dẫn – kim loại trong ống nano carbon [18–21]. Sự hiện diện của các
liên kết đan xen trong một hệ một chiều khác của vật liệu carbon, đó là
dải nano graphene, cũng đã được nghiên cứu bằng các phương pháp khác
nhau. [22–24]
Với sự quan trọng của biến dạng trong các ứng dụng của graphene,
luận văn này tập trung vào ảnh hưởng của biến dạng lên tính chất điện tử
của graphene biến dạng với các liên kết đan xen. Chúng tôi sử dụng mô
hình điện tử liên kết mạnh để khảo sát tính chất điện tử của graphene và
9

13. mô tả biến dạng của graphene bằng lý thuyết biến dạng đồng nhất. Tính
toán một cách hoàn chỉnh cấu trúc vùng năng lượng của graphene với các
liên kết C–C đan xen có chiều dài khác nhau. Ảnh hưởng của biến dạng
lên tính chất điện tử của graphene với các liên kết đan xen có chiều dài
khác nhau sẽ được khảo sát và nghiên cứu.
10

14. CHƯƠNG 2
MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN
CỨU
2.1. Cấu trúc nguyên tử của graphene với các liên kết đan xen
Mạng lục giác của graphene lý tưởng được hình thành từ các nguyên
tử carbon với chiều dài liên kết giữa hai nguyên tử carbon lân cận là
a0 = 0, 142 nm. Nội dung của luận văn tập trung nghiên cứu graphene
với các liên kết đan xen có chiều dài liên kết C–C khác nhau.
Xét cấu trúc nguyên tử của graphene với các liên kết đan xen được
hình thành từ hai liên kết C–C có chiều dài khác nhau là a và b như biểu
diễn ở hình 2.1. Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Các vector liên kết giữa
hai nguyên tử carbon liền kề được xác định như sau:
r01 = (1; 0)a,
r02 = −
1
2
;
√
3
2
b,
r03 = −
1
2
; −
√
3
2
b.
(2.1)
Ô cơ sở của graphene với các liên kết đan xen gồm hai nguyên tử
Hình 2.1: Cấu trúc của graphene với các liên kết đan xen có độ dài liên kết C–C khác
nhau là a và b
11

15. carbon. Ta có thể chọn vector cơ sở như trên hình 2.1, các vector này
được xác định bằng
a01 = r01 − r02 =
2a + b
2
; −
b
√
3
2
,
a02 = r01 − r03 =
2a + b
2
;
b
√
3
2
.
(2.2)
Với a và b là độ dài liên kết C–C. Chiều dài vector cơ sở là:
|a01| = |a02| =
2a + b
2
2
+
b
√
3
2
2
= a2 + ab + b2. (2.3)
Diện tích ô cơ sở
S = |a01 × a02| =
√
3b(2a + b)
2
. (2.4)
Để xác định ác vector cơ sở mạng đảo ta sử dụng công thức [25]
aibj = 2πδij với δij =
1 khi i = j
0 khi i = j
Theo đó
a1b1 = 2π; a2b1 = 0
a1b2 = 0; a2b2 = 2π
Ta được
b1 =
2π
b (2a + b)
; −
2π
b
√
3
,
b2 =
2π
b (2a + b)
;
2π
b
√
3
.
(2.5)
2.2. Mô tả biến dạng của graphene bằng lý thuyết biến dạng
đồng nhất
Xét trường hợp một bản mỏng graphene bị kéo giãn hoặc nén với lực
căng phẳng đồng đều, giống như minh họa ở hình 2.2 tấm graphene được
kéo căng đồng đều dọc theo một hướng xác định. Trục tọa độ được chọn
12

16. Hình 2.2: Lực căng T đặt vào mạng graphene
sao cho trục Ox trùng với hướng zigzag của mạng. Tọa độ lực căng T
được xác định như sau [15]
T = T cos (θ) ex + T sin (θ) ey. (2.6)
Đối với một số chất rắn, định luật Hooke suy rộng cho ứng suất εij và độ
biến dạng τij có dạng:
τij = Cijklεkl, εij = Sijklτkl. (2.7)
Ở đây Cijkl(Sijkl) là thành phần của tensor độ cứng. Vì chúng ta chỉ xét
các trạng thái của ứng suất phẳng nên có thể quy về theo hai đại lượng
tensor ứng suất và tensor độ biến dạng. Các thành phần Cijkl phụ thuộc
vào cách chọn hệ trục tọa độ Descartes riêng. Từ việc phân tích sự biến
dạng và nhằm thuận tiện hơn trong việc tính toán, ta chọn hệ tọa độ mới
Ox y , khi đó trục Ox trùng với phương của lực căng như hình 2.2, lúc
này ta được hệ thức đơn giản hơn T = Tex :
εij = Sijklτkl = TSijklδkxδlx. (2.8)
Ta cho rằng chỉ năm thành phần thuận là độc lập trong mạng graphite
(tức là thành phần Sxxyy, Syyyy, Sxxzz, Szzzz, Syzyz ) [26], thành phần độ biến
dạng khác không là:
εxx = TSxxxx, εyy = TSxxyy, (2.9)
thể hiện sự biến dạng theo chiều dọc và sự co Poisson theo chiều ngang.
Nếu chúng ta đặt biến dạng căng là ε = TSxxxx, tensor độ biến dạng có
13

17. thể được viết dưới dạng hệ số Poisson, σ = −
Sxxxy
Sxxxx
:
¯ε = ε
−σ 0
0 1
. (2.10)
Khi hệ thống các hình lục giác dưới ứng suất phẳng trong mặt phẳng
nền, các thành phần đàn hồi độc lập trong hệ thống tọa độ, có nghĩa là
nếu ta thay đổi hệ trục tọa độ thì các thành phần đàn hồi vẫn không thay
đổi. Điều này cho thấy graphene là đàn hồi đẳng hướng [27]. Đề cập đến
việc ứng suất gây ra trên graphene bởi hoạt động cơ học trên chất nền,
thông số có liên quan trong biến dạng căng thực tế là ứng suất ε thay vì
lực căng T. Vì thế ε được xem như tham số điều hưởng. Mạng được định
hướng với sự liên quan của các trục tọa độ của hệ, khi mạng graphene
được định hướng theo trục Oxy tensor ứng suất cần được quay để tìm
được thông tin về độ biến dạng liên kết. Tensor ứng suất biến dạng trong
hệ tọa độ mạng là [15]
¯ε = ε
cos2
θ − σsin2
θ (1 + σ) cos θ sin θ
(1 + σ) cos θ sin θ sin2
θ − σcos2
θ
, (2.11)
trong đó σ là hệ số Poisson (σ = 0, 165) [26], θ góc hợp bởi vector lực đặt
vào trục Ox.
Nếu r0i đại diện cho một vector tổng quát trong mặt phẳng graphene
trong không gian khi chưa có biến dạng, theo lý thuyết biến dạng đồng
nhất khi có biến dạng thì các vector tương ứng biến đổi theo biểu thức
sau [15]
ri = (1 + ¯ε) r0i. (2.12)
Trong biểu thức (2.11) để đơn giản ta biểu diễn tensor biến dạng dưới
dạng sau
¯ε =
ε11 ε12
ε21 ε22
, (2.13)
14

18. trong đó các thành phần εij (εij 1) của tensor biến dạng là
ε11 = εcos2
θ − σεsin2
θ
ε12 = (1 + σ)ε cos θ sin θ
ε21 = (1 + σ)ε cos θ sin θ
ε22 = εsin2
θ − σεcos2
θ.
(2.14)
ε11 = εcos2
θ − σεsin2
θ = 1
2ε (1 − σ) + 1
2ε (1 + σ) cos 2θ,
ε12 = ε21 = (1 + σ)ε cos θ sin θ = 1
2ε (1 + σ) sin 2θ,
ε22 = εsin2
θ − σεcos2
θ = 1
2ε (1 − σ) − 1
2ε (1 + σ) cos 2θ.
(2.15)
Suy ra
(1 + ¯ε) =
1 0
0 1
+
ε11 ε12
ε21 ε22
=
1 + ε11 ε12
ε21 1 + ε22
. (2.16)
Trong hình 2.1, tọa độ các vector lân cận khi chưa có biến dạng là
r01 = (1; 0) a; r02 = −
1
2
;
√
3
2
b; r02 = −
1
2
; −
√
3
2
b. (2.17)
Từ (2.12) và (2.17) ta tính được các vector r1, r2, r3 như sau:
r1 = (1 + ¯ε) r01
=a(1, 0)
1 + ε11 ε12
ε21 1 + ε22
= a (1 + ε11) i + aε12j, (2.18)
r2 = (1 + ¯ε) r02
= b −
1
2
;
√
3
2
1 + ε11 ε12
ε21 1 + ε22
=
b
2
√
3ε21 − (1 + ε11) i +
b
2
√
3 (1 + ε22) − ε12 j,
(2.19)
15

19. r3 = (1 + ¯ε) r03
=b −
1
2
; −
√
3
2
1 + ε11 ε12
ε21 1 + ε22
=
b
2
−
√
3ε21 − (1 + ε11) i −
b
2
√
3 (1 + ε22) + ε12 j.
(2.20)
Các thành phần εij 1 nên sử dụng các phép biến đổi gần đúng ta tính
được độ dài các vector liên kết
|r1| = a (1 + ε11)2
+ ε2
12
= a 1 + 2ε11 + ε2
11 + ε2
12
a (1 + ε11) , (2.21)
|r2| = b −
√
3
2
ε21 −
1
2
(1 + ε11)
2
+ −
√
3
2
(1 + ε22) −
1
2
ε12
2
= b
3
4
ε2
21 +
1
4
+
1
4
ε2
11 +
1
2
ε11 −
√
3
2
ε21 +
√
3
2
ε21ε11
+
3
4
+
3
4
ε2
22 +
1
4
ε2
12 +
3
2
ε22 +
√
3
2
ε12 +
√
3
2
ε12ε22
1/2
b 1 +
1
2
ε11 +
√
3
2
ε12 +
3
2
ε22
1/2
b
1
2
+
1
4
ε11 +
√
3
4
ε12 +
3
4
ε22 , (2.22)
16

20. |r3| = b
√
3
2
ε21 −
1
2
(1 + ε11)
2
+
√
3
2
(1 + ε22) −
1
2
ε12
2
= b
3
4
ε2
21 +
1
4
+
1
4
ε2
11 +
1
2
ε11 −
√
3
2
ε21 −
√
3
2
ε21ε11
+
3
4
+
3
4
ε2
22 −
1
4
ε2
12 +
3
2
ε22 −
√
3
2
ε12 −
√
3
2
ε12ε22
1/2
b 1 +
1
2
ε11 −
√
3
2
ε12 +
3
2
ε22
1/2
b
1
2
+
1
4
ε11 −
√
3
4
ε12 +
3
4
ε22 . (2.23)
Ta tính được các vector cơ sở biến dạng
a1 = r1 − r2
= [a (1 + ε11) i + aε12j] −
b
2
√
3ε21 − (1 + ε11) i +
b
2
√
3 (1 + ε22) − ε12 j
= a +
b
2
(1 + ε11) −
b
√
3
2
ε21 i+ −
b
√
3
2
1 + ε22 −
1
√
3
ε12 + aε12 j,
(2.24)
a2 = r1 − r3
= [a (1 + ε11) i + aε12j] − −
b
2
√
3ε21 − (1 + ε11) i −
b
2
√
3 (1 + ε22) − ε12 j
= a +
b
2
(1 + ε11) +
b
√
3
2
ε21 i+
b
√
3
2
1 + ε22 +
1
√
3
ε12 + aε12 j.
(2.25)
17

21. Chiều dài các vector cơ sở biến dạng là
|a1| = a +
b
2
(1 + ε11) −
b
√
3
2
ε21
2
+ −
b
√
3
2
1 + ε22 −
1
√
3
ε12 + aε12
2
= a +
b
2
2
+ a +
b
2
2
ε2
11 +
3b2
4
ε2
21 + 2 a +
b
2
2
ε11
− b
√
3 a +
b
2
ε21 − b
√
3 a +
b
2
ε11ε21 +
3b2
4
+ a −
b
√
3
2
2
ε2
22
+
b2
4
ε2
12 − b
√
3 a −
b
√
3
2
ε22 + b a −
b
√
3
2
ε12ε22 −
b2
√
3
2
ε12
1/2
a +
b
2
2
+ 2 a +
b
2
2
ε11 − b
√
3 a +
b
2
ε21
+
3b2
4
− b
√
3 a −
b
√
3
2
ε22 −
b2
√
3
2
ε12
1/2
1
2
a +
b
2
2
+
3b2
4
+ a +
b
2
2
ε11 −
b
√
3
2
a +
b
2
ε21
−
b
√
3
2
a −
b
√
3
2
ε22 −
b2
√
3
4
ε12,
(2.26)
18

22. |a2| = a +
b
2
(1 + ε11) +
b
√
3
2
ε21
2
+
b
√
3
2
1 + ε22 +
1
√
3
ε12 + aε12
2
= a +
b
2
2
+ a +
b
2
2
ε2
11 +
3b2
4
ε2
21 + 2 a +
b
2
2
ε11
+ b
√
3 a +
b
2
ε21 + b
√
3 a +
b
2
ε11ε21 +
3b2
4
+ a +
b
√
3
2
2
ε2
22
+
b2
4
ε2
12 + b
√
3 a −
b
√
3
2
ε22 + b a +
b
√
3
2
ε12ε22 +
b2
√
3
2
ε12
1/2
a +
b
2
2
+ 2 a +
b
2
2
ε11 + b
√
3 a +
b
2
ε21
+
3b2
4
+ b
√
3 a +
b
√
3
2
ε22 +
b2
√
3
2
ε12
1/2
1
2
a +
b
2
2
+
3b2
4
+ a +
b
2
2
ε11 +
b
√
3
2
a +
b
2
ε21
+
b
√
3
2
a +
b
√
3
2
ε22 +
b2
√
3
4
ε12.
(2.27)
Chu kỳ tịnh tiến của graphene biến dạng
T = |a1 + a2|
= a +
b
2
(1 + ε11) −
b
√
3
2
ε21 + a +
b
2
(1 + ε11) +
b
√
3
2
ε21
= (2a + b) (1 + ε11) . (2.28)
19

23. 2.3. Áp dụng mô hình điện tử liên kết mạnh để khảo sát tính
chất điện tử của graphene
Phương pháp liên kết mạnh là một trong những phương pháp cơ bản
để khảo sát tính chất điện tử trong vật rắn. Đối với graphene các điện tử
nằm ở lớp vỏ nguyên tử có các nút mạng, chúng liên kết chặt chẽ với lõi
nguyên tử, lúc đó điện tử không chuyển động tự do trong mạng. Phương
pháp gần đúng electron tự do không được áp dụng một cách tiện lợi.
Trong trường hợp này ta dùng phương pháp liên kết mạnh. Ngoài việc
đơn giản hơn trong tính toán, phương pháp liên kết mạnh còn cung cấp
cho ta rất nhiều tính chất về điện tử, cấu trúc và mức năng lượng của
điện tử. Trong luận văn này, các tính toán cấu trúc điện tử được sử dụng
phương pháp liên kết mạnh.
Graphene có cấu trúc mạng tinh thể. Trong đó các nguyên tử carbon
có sự sắp xếp lặp đi lặp lại tuần hoàn theo chu kỳ, trong không gian tính
chất này thường được gọi là đối xứng tịnh tiến hay tuần hoàn tịnh tiến.
Do sự đối xứng tịnh tiến của các ô cơ sở theo hướng của các vector mạng
ai (i = 1, 2, 3), nên bất kỳ hàm sóng ψ nào của mạng cũng thỏa mãn định
lý Bloch: [8] [28]
Tai
= eikai
ψ, (i = 1, 2, 3) (2.29)
trong đó, Tai
là một phép tịnh tiến dọc theo vector mạng ai, và k là vector
sóng. [29], [30]
Có nhiều dạng hàm của ψ thỏa mãn phương trình (2.29). Để đơn giản
cho việc tính toán, người ta thường chọn các dạng hàm của ψ là dạng hàm
sóng tổ hợp tuyến tính của các sóng phẳng. Do tính chất tuần hoàn của
mạng graphene nên thế năng tinh thể cũng có tính tuần hoàn, dưới tác
dụng của thế năng tuần hoàn hàm sóng điện tử cũng có dạng tuần hoàn.
Khi nghiên cứu về biến dạng graphene người ta thường dùng hàm Bloch
liên kết mạnh φj(k, r) dựa trên obitan nguyên tử thứ i trong ô đơn vị có
dạng [8]:
φj(k, r) =
1
√
N
N
R
eikR
ϕj(r − R), (2.30)
với j = 1, 2, ..., n; R là vị trí của nguyên tử, ϕj là hàm sóng của nguyên
tử trong trạng thái j, n là số hàm nguyên tử trong ô đơn vị và chúng ta
20

24. có n hàm Bloch trong vật rắn đối với một vector k cho trước, N là số ô
đơn vị. 1√
N
là hệ số chuẩn hóa.
Hàm sóng ϕj(r − R) trong phương trình (2.30) là hàm Wannier, nó phụ
thuộc vào vị trí chứ không phụ thuộc vào vector sóng k. Hàm Wannier
được xác định như sau:
k
e−ikR
φi (k, r) =
1
√
N
N
k,R
eik(R−R )
ϕj(r − R)
=
√
N
R
δRR ϕj(r − R) =
√
Nϕj(r − R)
⇒ ϕj(r − R) =
1
√
N k
eikR
ϕi(k, r).
Xét những hàm liên kết mạnh của phương trình (2.30) để đưa ra
những hàm Bloch. Đối với hàm φj(k, r) với N (≈ 1024
) ô cơ sở của hàm
sóng ϕj có trọng số phụ thuộc vào hệ số pha eikR
và sau đó tổng hợp
trên các vector mạng R của toàn bộ tinh thể. Khi sử dụng các nguyên
tử obitan trong các hàm Bloch, số hàm cơ bản n có thể nhỏ hơn so với
số sóng phẳng. Từ đó chúng ta có thể dễ dàng chuyển đổi công thức cho
nhiều tính chất vật lý khi sử dụng phương pháp liên kết mạnh này.
Sau đây chúng ta xem xét các hàm liên kết mạnh trong phương trình
(2.30) đại diện cho hàm Bloch.
Từ phương trình (2.29) và phương trình (2.30) ta có
φj(k, r + a) =
1
√
N
N
R
eikR
ϕj(r + a − R),
φj(k, r + a) =eika 1
√
N
N
R
eik(R−a)
ϕj(r − (R − a)),
φj(k, r + a) = eika
φj(k, r), (2.31)
trong đó chúng ta sử dụng điều kiện biên tuần hoàn cho M ≡ N1/3
những
vetor đơn vị theo mỗi hướng của vector ai, ta có:
φj(k, r + Mai) = φj(k, r) (i = 1, 2, 3) , (2.32)
Tương ứng với điều kiện biên áp đặt lên vector tịnh tiến TMai
= 1. Từ
điều kiện biên này, yếu tố pha xuất hiện trong (2.30) thỏa mãn eikMai
= 1.
21

25. Từ đó vector sóng k liên hệ với số nguyên p như sau
k =
2pπ
Mai
, (p = 0, 1, ..., M − 1) , (i = 1, 2, 3) . (2.33)
Trong không gian ba chiều, theo 3 hướng x, y, z vector k có các thành
phần kx, ky, kz. Do M3
= N vector sóng tồn tại trong vùng Brillouin thứ
nhất nên ki có thể xem như đại lượng biến thiên liên tục.
Hàm riêng ψj(k, r) với j = 1, 2..., n trong chất rắn được biểu diễn
bằng một tổ hợp tuyến tính những hàm Bloch φj (k, r) như sau [8]
ψj(k, r) =
n
j =1
Cjj (k)φj (k, r), (2.34)
với n là số hàm Bloch, Cjj (k) là hệ số đã được xác định. Do hàm sóng
ψj(k, r) cũng thỏa mãn định lý Bloch nên phép lấy tổng theo (2.34) chỉ
đúng đối với những obitan φj (k, r) với cùng một giá trị của k.
Trị riêng năng lượng Ej(k) tương ứng với obitan thứ j, (j = 1, 2, ..., n)
là một hàm theo k, xác định bởi:
Ej(k) =
ψj| ˆH |ψj
ψj| ψj
=
ψ∗
j
ˆHψjdr
ψ∗
j ψjdr
, (2.35)
với H là Hamitonian của tinh thể.
Ei(k) =
n
j,j =1
C∗
ijCij φj
ˆH φj
n
j,j =1
C∗
ijCij φj |φj
=
n
j,j =1
C∗
ijCij
ˆHij (k)
n
j,j =1
C∗
ijCij Sij (k)
, (2.36)
trong đó những tích phân trên những obitan Bloch Hij (k) và Sij (k) lần
lượt gọi là ma trận tích phân dịch chuyển và ma trận tích phân chồng phủ
tương ứng như sau:
Hij (k) = φj
ˆH φj , Sij (k) = φj |φj , (2.37)
với j, j = 1, n
Ei(k) là một hàm tuần hoàn trong không gian đảo và có thể được mô tả
chi tiết trong vùng Brillouin thứ nhất. Đối với mạng graphene hai chiều,
việc xác định hệ thức tán sắc trở nên phức tạp, do đó Ei(k) chỉ được mô
22

26. tả trên một số nhất định có tính đối xứng cao trong vùng Brillouin. Như
vậy, để xác định phổ năng lượng Ei(k) (hay cấu trúc vùng năng lượng)
trong mạng graphene, ta cần xác định tọa độ các vector đơn vị, các điểm
đối xứng đặc biệt trong không gian mạng thuận và mạng đảo. Với mỗi
giá trị cho trước của vector sóng, xác định các ma trận dịch chuyển (H)
và ma trận chồng phủ (S), từ đó giải phương trình liên quan đến các đại
lượng trên, ta thu được các giá trị năng lượng tương ứng Ei(k).
Khi cố định các giá trị của các ma trận tích phân n × n Hij (k) và
Sij (k) trong phương trình (2.37) cho một giá trị vector sóng k nhất định,
ta có thể xác định giá trị cực tiểu của Ei(k) thông qua hệ số C∗
ij. Lưu ý
rằng C∗
ij cũng là một hàm của k, và do đó C∗
ij cũng được xác định ứng
với mỗi k. Khi lấy đạo hàm riêng cho C∗
ij trong khi cố định các hệ số
Cij , C∗
ij , Cij, chúng ta có được điều kiện cực tiểu cục bộ như sau:
∂Ei(k)
∂C∗
ij
=
N
j =1
Hij (k)Cij
N
j,j =1
Sij (k)C∗
ijCij
−
N
j,j =1
Hij (k)C∗
ijCij
N
j,j =1
Sij (k)C∗
ijCij
2 −
N
j =1
Sij (k)Cij = 0.
(2.38)
Khi nhân vào cả hai vế của phương trình (2.38) với
N
j,j =1
Sij (k)C∗
ijCij và
thay thế biểu thức của Ei(k) trong phương trình (2.36) vào số hạng thứ
hai của phương trình (2.38) chúng ta có được
N
j =1
Hij (k)Cij = Ei(k)
N
j =1
Sij (k)Cij , (2.39)
với Ci là một ma trận cột gồm N yếu tố
Ci =





Ci1
Ci2
...
CiN





.
Phương trình (2.39) trở thành
HCi = Ei(k)SCi. (2.40)
23

27. Chuyển hết về phía trái của phương trình (2.40), ta có được
[H − Ei(k)S] Ci = 0. (2.41)
Nếu ma trận nghịch đảo của [H − Ei(k)S] tồn tại, ta nhân cả hai vế của
phương trình (2.41) với [H − Ei(k)S]−1
ta có được
Ci = 0, (2.42)
trong đó 0 được biểu diễn là vector 0 nghĩa là không có hàm sóng nào tồn
tại. Do đó, muốn cho trong tinh thể tồn tại hàm sóng, thì phải không tồn
tại ma trận nghịch đảo, Có nghĩa là phù hợp với điều kiện:
det [H − ES] = 0. (2.43)
Phương trình (2.43) gọi là phương trình thế kỷ, và là một phương trình cấp
n, nghiệm của phương trình cho ta n trị riêng của Ei(k) (i = 1, 2, ..., n)
đối với mỗi giá trị k. Sử dụng biểu thức của Ei(k) trong phương trình
(2.36) với các hệ số Ci xem như một hàm của k được xác định. Để có
được phổ tán sắc năng lượng (hoặc các dải năng lượng) Ei(k), ta sẽ giải
phương trình thế kỉ (2.43), cho một số điểm k có tính đối xứng cao. Trị
riêng Ei(k) là một hàm tuần hoàn trong mạng đảo, có thể được mô tả
trong vùng Brillouin thứ nhất. Trong vật rắn hai chiều hoặc ba chiều, rất
khó để thu được phổ tán sắc năng lượng trên toàn bộ các giá trị của k, và
do đó chúng ta vẽ đồ thị Ei(k) dọc theo những hướng đối xứng cao trong
vùng Brillouin.
24

28. CHƯƠNG 3
TÍNH CHẤT ĐIỆN TỬ CỦA GRAPHENE
BIẾN DẠNG
3.1. Tính toán cấu trúc vùng năng lượng của graphene với các
liên kết C–C đan xen (bond alternation) kiểu quinoid
Để tìm được cấu trúc vùng năng lượng trong trường hợp graphene
với các liên kết đan xen, ta giải phương trình thế kỷ (2.43)
det [H − ES] = 0.
Trong phương pháp liên kết mạnh, ma trận H ở đây là một ma trận vuông
cấp 2 được cho bởi [8]
H =
HAA HAB
H∗
AB HBB
; S =
SAA SAB
S∗
AB SBB
. (3.1)
Ma trận tích phân dịch chuyển gồm các thành phần:
HAA = HBB = 0,
HAB = t1.eikr1
+ t2.eikr2
+ t3.eikr3
,
H∗
AB = t1.e−ikr1
+ t2.e−ikr2
+ t3.e−ikr3
.
(3.2)
Ta thấy HAA = HBB do tính đối xứng của hai mạng thành phần. HAB, H∗
AB
là liên hợp Hermite.
Sij(k) = φi| φj = δij =
1 khi i = j
0 khi i = j
Ta được ma trận tích phân chồng phủ
S =
1 0
0 1
,
25

29. Vì vậy ta có
H − ES =
HAA HAB
H∗
AA HBB
− E
1 0
0 1
=
0 HAB
H∗
AA 0
−
E 0
0 E
=
−E HAB
H∗
AA − E
.
Thay vào phương trình thế kỷ (2.43) ta được
det
−E HAB
H∗
AB − E
= (−E)2
− HABH∗
AB = 0
⇔ E2
= HABH∗
AB. (3.3)
Thay (3.2) vào (3.3)
E2
= [t1 exp(ikr1) + t2 exp(ikr2) + t3 exp(ikr3)]
× [t1 exp(−ikr1) + t2 exp(−ikr2) + t3 exp(−ikr3)] ,
E2
= t2
1 + t2
2 + t2
3
+ t1t2 [t1 exp(ikr1 − ikr2) + exp(ikr2 − ikr1)]
+ t2t3 [exp(ikr2 − ikr3) + exp(ikr3 − ikr2)]
+ t1t3 [exp(ikr3 − ikr1) + exp(ikr1 − ikr3)] ,
E2
= t2
1 + t2
2 + t2
3
+ 2t1t2
exp [ik(r1 − r2)] + exp [−ik(r1 − r2)]
2
+ 2t2t3
exp [ik(r2 − r3)] + exp [−ik(r2 − r3)]
2
+ 2t1t3
exp [ik(r3 − r1)] + exp [−ik(r3 − r1)]
2
,
26

30. E2
= t2
1 + t2
2 + t2
3 + 2t1t2 cos [k(r1 − r2)]
+2t2t3 cos [k(r2 − r3)] + 2t1t3 cos [k(r3 − r1)]} ,
Suy ra [2,15]
E(k) = ± t2
1 + t2
2 + t2
3 + 2t1t2 cos [k (r1 − r2)]
+ 2t2t3 cos [k (r2 − r3)] + 2t1t3 cos [k (r3 − r1)]}1/2
. (3.4)
trong đó k = (kx; ky) là vector sóng hai chiều.
Sự phụ thuộc của các tham số nhảy nút ti vào độ dài của các liên kết
được cho bởi công thức Harrison [31]
ti = t0
a0
|ri|
2
, (3.5)
trong đó a0 = 0, 142 nm và t0 = 2, 6 eV [12].
Kết hợp các phương trình (2.21),(2.22),(2.23) và phương trình (3.5)
ta được
t1 = t0
a2
0
a2(1 + ε11)2 ,
t2 = t0
a2
0
b2 1 + 1
4ε11 −
√
3
2 ε12 + 3
4ε22
2 ,
t3 = t0
a2
0
b2 1 + 1
4ε11 +
√
3
2 ε12 + 3
4ε22
2 .
(3.6)
Để biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng E(k) vào các thành phần
vector sóng kx, ky, ta lần lượt tính các thành phần trong phương trình
(3.4).
r1 − r2 = a +
b
2
(1 + ε11) −
b
√
3
2
ε21 i + −
b
√
3
2
1 + ε22 −
1
√
3
ε12 + aε12 j,
r2 − r3 = b
√
3ε21i + b
√
3 (1 + ε22) j,
r3 − r1 = − a +
b
2
(1 + ε11) −
b
√
3
2
ε21 i −
b
√
3
2
1 + ε22 +
1
√
3
ε12 + aε12 j.
(3.7)
27

31. k (r1 − r2) = a +
b
2
(1 + ε11) −
b
√
3
2
ε21 kx
+ −
b
√
3
2
1 + ε22 −
1
√
3
ε12 + aε12 ky,
k (r2 − r3) = b
√
3ε21kx + b
√
3 (1 + ε22) ky,
k (r3 − r1) = − a +
b
2
(1 + ε11) −
b
√
3
2
ε21 kx
−
b
√
3
2
1 + ε22 +
1
√
3
ε12 + aε12 ky.
(3.8)
Thay các kết quả (3.8) vào (3.4) ta được
E (kx, ky) = ± t2
1 + t2
2 + t2
3
+ 2t1t2 cos a +
b
2
(1 + ε11) −
b
√
3
2
ε21 kx
+ −
b
√
3
2
1 + ε22 −
1
√
3
ε12 + aε12 ky
+ 2t2t3 cos b
√
3ε21kx + b
√
3 (1 + ε22) ky
+ 2t1t3 cos − a +
b
2
(1 + ε11) −
b
√
3
2
ε21 kx
−
b
√
3
2
1 + ε22 +
1
√
3
ε12 + aε12 ky
1/2
.
(3.9)
Biểu thức trên chính là biểu thức giải tích mô tả sự phụ thuộc của
phổ năng lượng vào các tham số biến dạng. Với lí thuyết biến dạng đồng
nhất và phương pháp liên kết mạnh ta thấy rằng biến dạng có ảnh hưởng
lên cấu trúc nguyên tử của graphene, từ đó gây ra ảnh hưởng lên cấu trúc
năng lượng và tính chất điện tử của nó.
28

32. 3.2. Ảnh hưởng của biến dạng lên tính chất điện tử của graphene
với các liên kết C–C đan xen có chiều dài khác nhau
Trong mô hình graphene với các liên kết đan xen, giả thuyết rằng sự
thay đổi chiều dài liên kết do biến dạng được cho bởi công thức [22]
a = a0 + δ
b = a0 − δ
(3.10)
trong đó δ có thể âm hoặc dương. Bằng phương pháp số ta đã tìm được
nghiệm E theo vector sóng k, tức là tìm được biểu thức của E phụ thuộc
vào hai thành phần kx và ky của vector sóng k. Cách chọn giá trị δ như công
thức (3.10) là phù hợp với các tính toán bằng mô phỏng lượng tử trong
dải nano graphene (hệ nano carbon một chiều có cấu trúc phẳng). [20,24]
Theo biểu thức (3.9) năng lượng có hai giá trị đối nhau nên cấu trúc
năng lượng sẽ có dạng đối xứng nhau qua mặt phẳng ứng với E = 0. Khi
đó ta thấy xuất hiện khe năng lượng Eg hay còn gọi là năng lượng vùng
cấm. Eg được xác định từ đỉnh vùng hóa trị (thuộc phần E(kx, ky) < 0
đến đáy vùng dẫn (thuộc phần E(kx, ky) > 0). Dựa vào sự biến đổi độ
rộng khe năng lượng Eg của graphene biến dạng với các liên kết đan xen
sẽ cho ta biết được sự ảnh hưởng của độ biến dạng và liên kết đan xen
lên tính chất điện tử của graphene. Bây giờ ta cần khảo sát sự phụ thuộc
của khe năng lượng vào các thông số biến dạng để xác định tính chất điện
tử của graphene biến dạng. Trong luận văn này, chúng tôi chỉ nghiên cứu
graphene với sự có mặt của biến dạng nhỏ ε ≤ 10% và 0 ≤ θ ≤ π/2.
Với trạng thái ban đầu khi chưa biến dạng, graphene là bán kim loại
không có vùng cấm. Tính toán của chúng ta chỉ ra rằng, với sự có mặt của
độ biến dạng hoặc liên kết đan xen, graphene có thể trở thành chất bán
dẫn với một khe năng lượng nhỏ được mở ra tại điểm K như thể hiện ở
hình 3.1. Một trong những nhược điểm khi ứng dụng graphene vào trong
các linh kiện và thiết bị điện tử đó là graphene không có vùng cấm. Do
đó, việc tìm cách để làm xuất hiện vùng cấm trong graphene có ý nghĩa
đặc biệt quan trọng trong việc ứng dụng chúng vào các thiết bị điện tử.
Thực tế các nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng, có nhiều cách để làm xuất
hiện vùng cấm trong graphene như sử dụng điện trường ngoài hay đặt
graphene trên các đế bán dẫn [32–34]. Tuy nhiên, về mặt lý thuyết, việc
29

33. Hình 3.1: Sự xuất hiện vùng cấm của graphene biến dạng
sử dụng biến dạng cơ học để tạo vùng cấm trong graphene là cách đơn
giản nhất.
Ứng với cùng một vector trạng thái k sẽ xác định hai giá trị năng
lượng riêng đối xứng nhau. Thực tế biểu thức (3.9) xác định phương trình
của hai mặt năng lượng đối xứng nhau qua mặt phẳng E = 0. Theo đồ
thị đường đồng mức biểu diễn cho E(kx, ky) chiếu lên mặt phẳng (kx, ky)
những vùng có màu sáng thì năng lượng càng cao, và ngược lại những
vùng có màu càng tối thì năng lượng càng thấp. Theo hình (3.2a), xuất
hiện vùng tối ứng với 6 đỉnh của hình lục giác của vùng Brillouin (K và
K ), các đỉnh đó gọi là điểm Dirac. Khi thay đổi các thông số biến dạng
(góc lệch θ, độ biến dạng ε, độ lệch chiều dài liên kết δ) độ sáng tối có
thay đổi nghĩa là năng lượng đã thay đổi. Chúng ta thấy rằng, bên cạnh
sự thay đổi của năng lượng, đặc biệt là miền gần mức Fermi, biến dạng và
sự thay đổi cấu trúc hình học của graphene được gây bởi các liên kết đan
xen đương nhiên sẽ dẫn đến sự thay đổi diện tích của các vùng Brilloiun.
Bên cạnh đó, biến dạng còn có thể làm thay đổi dạng đối xứng của cấu
trúc vùng năng lượng điện tử của grphene [xem hình 3.2(c)]. Ảnh hưởng
của biến dạng và các liên kết đan xen lên độ rộng vùng cấm sẽ được thảo
30

34. Hình 3.2: Đồ thị đường đồng mức biểu diễn cho E(kx, ky) chiếu lên mặt phẳng (kx, ky)
trong các trường hợp: (a) Khi chưa có biến dạng, (b) θ = 0, ε = 5%, δ = 0, 02 , (c)
θ = π
4
, ε = 10%, δ = 0, 02.
luận một cách định lượng ở bên dưới.
Trong hình 3.3 mô tả mặt cắt của cấu trúc năng lượng của graphene
với liên kết đan xen dọc theo ky = 0. Giá trị năng lượng thấp nhất tương
ứng với vị trí điểm K trong không gian mạng đảo. Với mỗi giá trị độ biến
dạng khác nhau sẽ cho các điểm K tại các vị trí kx khác nhau. Các tính
toán của chúng tôi đã chỉ ra rằng, độ rộng vùng cấm graphene vẫn giữ
bằng 0 khi chịu biến dạng theo hướng θ = 0 và θ = π/2. Theo hai hướng
Hình 3.3: Mặt cắt của cấu trúc năng lượng dọc theo ky = 0
31

35. này, độ rộng vùng cấm của graphene không phụ thuộc vào cấu trúc đan
xen trong mạng lục giác của nó.
Sự phụ thuộc của năng lượng vùng cấm của graphene vào độ biến
dạng ε và liên kết đan xen (độ lệch chiều dài liên kết δ) được chỉ ra trong
các hình 3.4 và 3.5. Như một ví dụ, trên hình 3.4 biểu diễn sự phụ thuộc
của khe năng lượng của graphene có các liên kết đan xen với δ = 0, 02 ˚A
vào độ biến dạng ε và hướng biến dạng θ. Chúng ta thấy rằng, với ε ≥ 0
hoặc ε ≤ 0 riêng lẻ, năng lượng vùng cấm phụ thuộc tuyến tính vào độ
biến dạng ε được chỉ ra trong hình 3.4. Chúng ta cũng dễ dàng thấy rằng,
giá trị của vùng cấm Eg gần như đối xứng với nhau qua trục thẳng đứng
đi qua điểm ε = 0 (sự chênh lệch về Eg không đáng kể). Bên cạnh đó khi
giữ nguyên độ biến dạng nhưng khác nhau về độ lệch chiều đài liên kết
δ, năng lượng vùng cấm là lớn nhất theo hướng lực căng θ = π/4. Hình
3.4 cũng chỉ ra rằng, graphene với các liên kết đan xen có độ rộng luôn
luôn bằng không trong trường hợp nó bị biến dạng dọc theo trục armchair
(θ = 0) hoặc bị biến dạng dọc theo trục zigzag (θ = π/2).
Hình 3.5 biểu diễn dự phụ thuộc của khe năng lượng Eg vào hướng
của biến dạng tại một số giá trị của ε và δ. Chúng ta dễ dàng thấy rằng,
Hình 3.4: Sự phụ thuộc năng lượng vùng cấm của graphene với các liên kết đan xen vào
độ biến dạng ε
32

36. graphene có vùng cấm lớn nhất tương ứng với θ = π/4. Năng lượng vùng
cấm đối xứng qua một đường thẳng đứng đi qua điểm tại θ = π/4. Từ
hình 3.5, chúng ta thấy rằng ảnh hưởng của liên kết đan xen vào năng
lượng vùng cấm của graphene biến dạng là không đáng kể. Chẳng hạn,
tại ε = 7% và θ = π/4, năng lượng vùng cấm của graphene biến dạng với
δ = 0 ˚A và δ = 0, 03 ˚A lần lượt là 1,39 eV và 1,41 eV. Trong trường hợp
này sự khác nhau năng lượng vùng cấm là rất nhỏ mặc dù δ = 0, 03 ˚A
là tương đối lớn. Không giống với vật liệu nano carbon một chiều, chẳng
hạn như ống nano carbon và dải nano graphene. Cấu trúc hình học và
biến dạng trục ảnh hưởng rất lớn đến tính chất điện tử và truyền dẫn
của ống nano carbon [18] [20] và dải nano graphene [23,24,35]. Đặc biệt
năng lượng vùng cấm của chúng phụ thuộc mạnh vào sự sai khác độ dài
liên kết, liên kết đan xen trong ống nano carbon và dải nano graphene.
Bên cạnh đó, liên kết đan xen có vai trò quan trọng trong sự xuất hiện
của sự chuyển pha bán dẫn–kim loại trong ống nano carbon hay dải nano
graphene [18,20,23]. Ảnh hưởng của liên kết đan xen vào năng lương vùng
cấm của graphene biến dạng được minh họa trong hình 3.6. Năng lượng
vùng cấm phụ thuộc tuyến tính vào sự sai khác độ dài liên kết δ. Năng
Hình 3.5: Sự phụ thuộc năng lượng vùng cấm của graphene với các liên kết đan xen vào
góc lệch θ.
33

37. Hình 3.6: Sự phụ thuộc năng lượng vùng cấm của graphene với các liên kết đan xen vào
độ lệch chiều dài liên kết δ .
lượng vùng cấm tăng lên chỉ 2% khi δ tăng từ 0 đến 0,04 ˚A. Trong trường
hợp θ = 0 và θ = π/2, độ rộng vùng cấm của graphene là bằng không và
không phụ thuộc vào sự sai khác độ dài liên kết δ như biểu diễn ở hình
3.4.
Khi có mặt của liên kết đan xen và biến dạng trục, kích thước vùng
Brillouin thứ nhất của graphene biến dạng sẽ thay đổi dẫn đến thay đổi
hằng số mạng. Sự thay đổi giá trị của hằng số mạng sẽ kéo theo sự thay
đổi vị trí cực đại của vùng hóa trị và cực tiểu của vùng dẫn. Trường hợp
mạng graphene bị biến dạng theo hướng θ = 0 và θ = π/2, graphene biến
dạng vẫn giữ năng lượng vùng cấm bằng không nhưng vector sóng Fermi
sẽ dịch chuyển dọc theo trục Ox. Trong hình 3.7 chúng tôi biểu diễn sự
phụ thuộc của vector sóng Fermi vào độ biến dạng ε tại một số giá trị khác
nhau của δ trong trường hợp graphene bị biến dạng theo hướng θ = 0 và
θ = π/2. Ta thấy rằng trong trường hợp θ = 0, vector sóng Fermi kF phụ
thuộc tuyến tính vào độ biến dạng ε trong khi sự phụ thuộc của kF vào
độ biến dạng ε trong trường hợp θ = π/2 được minh họa như một nhánh
34

38. Hình 3.7: Sự phụ thuộc kF của graphene liên kết đan xen vào độ biến dạng.
hypebol. Hình 3.7 cũng cho thấy rằng, ảnh hưởng của các liên kết đan
xen lên sự dịch chuyển của kF cũng không đáng kể. Sự thay đổi vị trí của
vector sóng Fermi đóng vai trò quan trọng trọng các bài toán xác định giá
trị của dòng điện chui ngầm trong các hệ vật liệu cacbon nhiều lớp [36].
35

39. KẾT LUẬN
Trong luận văn này, chúng tôi đã sử dụng mô hình điện tử liên kết
mạnh kết hợp lý thuyết biến dạng đồng nhất và các tính toán cơ bản để
nghiên cứu tính chất điện tử của graphene biến dạng với các liên kết đan
xen.
Trong chương đầu, chúng tôi đã trình bày một cách khái quát về
graphene và vai trò của của biến dạng tác dụng lên graphene. Trong
chương tiếp theo, chúng tôi mô tả về cấu trúc nguyên tử graphene với các
liên kết đan xen. Bằng lý thuyết biến dạng đồng nhất chúng tôi đã đưa ra
các đại lượng đặc trưng của cấu trúc nguyên tử graphene với các liên kết
đan xen ví dụ như các vector liên kết, vector cơ sở và chu kỳ tịnh tiến của
graphene biến dạng. Bên cạnh đó, chúng tôi đã áp dụng mô hình điện tử
liên kết mạnh để khảo sát tính chất điện tử của graphene đồng thời chỉ
ra quy trình thực tế trong việc tính toán theo phương pháp này. Trong
chương cuối của luận văn, bằng việc sử dụng mô hình liên kết mạnh và lý
thuyết biến dạng đồng nhất, chúng tôi đã đưa ra biểu thức giải tích mô tả
sự phụ thuộc cấu trúc năng lượng của graphene với các liên kết đan xen
kiểu quinoid vào các tham số biến dạng. Cụ thể, khi có biến dạng và các
liên kết đan xen, năng lượng của graphene phụ thuộc vào ứng suất ε, sự
sai khác độ dài liên kết δ và góc θ hợp bởi vector lực đặt vào với trục Ox.
Từ đó thấy rằng biến dạng có ảnh hưởng đến cấu trúc năng lượng và tính
chất điện tử của graphene. Từ biểu thức này, chúng tôi đã sử dụng phần
mềm Mathematica và Origin để tính toán và vẽ đồ thị sự ảnh hưởng của
biến dạng và liên kết đan xen vào cấu trúc năng lượng của graphene để
nghiên cứu tính chất điện tử của nó. Cụ thể kết quả được tóm tắt như
sau:
• Năng lượng vùng cấm phụ thuộc tuyến tính vào độ biến dạng ε.
• Ảnh hưởng của liên kết đan xen vào năng lượng vùng cấm của
graphene là không đáng kể. Trường hợp θ = 0 và θ = π
2 , năng lượng
vùng cấm của graphene là ngang với mức 0 và không phụ thuộc vào
sự sai khác độ dài liên kết δ.
• Với θ = 0, vector sóng Fermi kF phụ thuộc tuyến tính vào độ biến
36

40. dạng ε. Với θ = π
2 sự phụ thuộc vector sóng Fermi vào độ biến dạng
được mô tả là một nhánh hypebol.
Tóm lại năng lượng vùng cấm có thể được điều chỉnh phù hợp thông
qua các thông số biến dạng. Điều này đem lại nhiều tính chất điện tử thú
vị. Qua đó ứng dụng vào thực tiễn trong khoa học và công nghệ nano để
đưa ra các sản phẩm có tính chất điện tử phù hợp từ graphene.
37

41. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang,
S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, A. A. Firsov, Electric field effect in
atomically thin carbon films, Science 306 (2004) 666.
[2] P. R. Wallace, The band theory of graphite, Phys. Rev. 71 (1947)
622.
[3] C. L. Kane, E. J. Mele, Quantum spin hall effect in graphene, Phys.
Rev. Lett. 95 (2005) 226801.
[4] A. Rycerz, J. Tworzydlo, C. Beenakker, Valley filter and valley valve
in graphene, Nature Physics 3 (2007) 172.
[5] C. Lee, X. Wei, J. Kysar, J. Hone, Measurement of the Elastic Proper-
ties and Intrinsic Strength of Monolayer Graphene, Science 321 (2008)
385.
[6] K. Kostarelos, K. S. Novoselov, Graphene devices for life, Nat Nano
9 (2014) 744.
[7] V. Chabot, D. Higgins, A. Yu, X. Xiao, Z. Chena, J. Zhang, A re-
view of graphene and graphene oxide sponge: Material synthesis and
applications to energy and the enviroment, J. Energy Environ. Sci. 7
(2014) 1564.
[8] R. Saito, G. Dresselhaus, M. S. Dresselhaus, Physical properties of
carbon nanotubes, Imperial College Press, London, 1998.
[9] A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres, K. S. Novoselov,
A. K. Geim, The electronic properties of graphene, Rev. Mod. Phys.
81 (2009) 109.
[10] J. M. Arrieta, Modelling of Plasmonic and Graphene Nanodevices,
Springer, Berlin, 2014.
[11] J. Meng, D. Shi, G. Zhang, A review of nanographene: growth and
applications, Mod. Phys. Lett. B 28 (2014) 1430009.
38

42. [12] S. Reich, J. Maultzsch, C. Thomsen, P. Ordejón, Tight-binding de-
scription of graphene, Phys. Rev. B 66 (2002) 035412.
[13] F. Molitor, J. G¨uttinger, C. Stampfer, S. Droscher, A. Jacobsen,
T. Ihn, K. Ensslin, Electronic properties of graphene nanostructures,
Journal of Physics: Condensed Matter 23 (2011) 243201.
[14] N.-C. Yeh, C.-C. Hsu, M. L. Teague, J.-Q. Wang, D. A. Boyd, C.-C.
Chen, Nanoscale strain engineering of graphene and graphene-based
devices, Acta Mechanica Sinica 32 (2016) 497.
[15] V. M. Pereira, A. H. Castro Neto, N. M. R. Peres, Tight-binding
approach to uniaxial strain in graphene, Phys. Rev. B 80 (2009)
045401.
[16] R. M. Ribeiro, V. M. Pereira, N. M. R. Peres, P. R. Briddon, A. H. C.
Neto, Strained graphene: tight-binding and density functional calcu-
lations, New Journal of Physics 11 (2009) 115002.
[17] K. Harigaya, M. Fujita, Dimerization structures of metallic and semi-
conducting fullerene tubules, Phys. Rev. B 47(1993) 16563.
[18] N. A. Poklonski, E. F. Kislyakov, N. N. Hieu, O. N. Bubel’, S. A.
Vyrko, T. C. Phong, Electronic energy band structure of uniaxially
deformed (5,5) armchair carbon nanotube, Mol. Simulat. 35 (2009)
681.
[19] N. A. Poklonski, S. A. Vyrko, E. F. Kislyakov, N. N. Hieu, O. N.
Bubel’, A. M. Popov, Y. E. Lozovik, A. A. Knizhnik, I. V. Lebedeva,
N. A. Viet, Effect of peierls transition in armchair carbon nanotube on
dynamical behaviour of encapsulated fullerene, Nanoscale Research
Letters 6 (2011) 216.
[20] N. A. Poklonski, S. V. Ratkevich, S. A. Vyrko, E. F. Kislyakov, O. N.
Bubel’, A. M. Popov, Y. E. Lozovik, N. N. Hieu, N. A. Viet, Structural
phase transition and band gap of uniaxially deformed (6,0) carbon
nanotube, Chem. Phys. Lett. 545 (2012) 71.
39

43. [21] N. Poklonski, E. Kislyakov, N. N. Hieu, S. Vyrko, O. Bubel, N. A.
Viet, Totally symmetric vibrations of armchair carbon nanotubes,
Computational Materials Science 49 (2010) S231.
[22] M. Fujita, M. Igami, K. Nakada, Lattice distortion in nanographite
ribbons, J. Phys. Soc. Jpn. 66 (1997) 1864.
[23] N. N. Hieu, L. C. Nhan, Band structure of deformed armchair
nanoribbon with bond alternation, Physica E: Low-dimensional Sys-
tems and Nanostructures 60 (2014) 91.
[24] D.-B. Zhang, T. Dumitrica, Note: The role of Peierls-like distortions
in the modification of electronic bandgaps of graphene nanoribbons
under uniaxial strain, J. Chem. Phys. 134 (2011) 196101.
[25] C. Kittel, Introduction to solid state physics, John Wiley & Sons, New
York, 1996.
[26] O. L. Blakslee, D. G. Proctor, E. J. Seldin, G. B. Spence, T. Weng,
Elastic constants of compression-annealed pyrolytic graphite, J. Appl.
Phys. 41 (1970) 3373.
[27] E. M. Landau, L. D. Lifshitz, Theory of elasticity, Pergamon, New
York, 1986.
[28] J. C. Slater, The electronic structure of metals, Rev. Mod. Phys. 6
(1934) 209.
[29] N. Ashcroft, N. Mermin, Solid State Physics, Saunders College, 1976.
[30] C. Kittel, Introduction to solid state physics, Wiley, New York, 1986.
[31] W. A. Harrison, Electronic structure and the properties of solids: The
physics of the chemical bond, Dover Publications, New York, 1989.
[32] V. V. Ilyasov, I. G. Popova, I. V. Ershov, N. D. Chien, N. N. Hieu,
C. V. Nguyen, First principles study of structural, electronic and mag-
netic properties of graphene adsorbed on the o-terminated mno(111)
surface, Diamond and Related Materials 74 (2017) 31.
40

44. [33] V. V. Ilyasov, B. Meshi, I. Popova, I. V. Ershov, N. N. Hieu, C. V.
Nguyen, First-principles study of the structural and electronic proper-
ties of graphene absorbed on mno(111) surfaces, Computational and
Theoretical Chemistry 1098 (2016) 22.
[34] V. V. Ilyasov, C. V. Nguyen, I. V. Ershov, N. N. Hieu, Electric
field and substrate-induced modulation of spin-polarized transport
in graphene nanoribbons on a3b5 semiconductors, Journal of Applied
Physics 117 (2015) 174309.
[35] D.-B. Zhang, T. Dumitrica, Effective-tensional-strain-driven bandgap
modulations in helical graphene nanoribbons, Small 7 (2011) 1023.
[36] N. A. Poklonski, N. N. Hieu, E. F. Kislyakov, S. A. Vyrko, A. I. Siahlo,
A. M. Popov, Y. E. Lozovik, Interwall conductance in double-walled
armchair carbon nanotubes, Physics Letters A 372 (2008) 5706.
41