Materi ke-1 Aljabar Linier

EKA PANDU CYNTHIA, S.T., M.KOM.
ALJABAR LINIER
JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU

Dasar Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Sub Materi Yang Akan Dipelajari :
1. SPL memiliki : Tepat 1 Solusi Pemecahan, Banyak Solusi Pemecahan (Tak Terhingga), Tidak
memiliki solusi.
2. Penyelesaian SPL : Eliminasi, OBE (Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss-Jordan)
3. SPL Homogen
4. Matriks (Apa itu Matriks, Notasi Matriks, Jenis-Jenis Matriks, Operasi Matriks : Penjumlahan,
Pengurangan, Perkalian Matriks Dengan Skalar, Perkalian Matriks dengan Matriks, Hukum-hu
kum perkalian matriks, matriks trasnspose)
MATERI KE - 1
Eka Pandu Cynthia, S.T., M.Kom. | Teknik Informatika – Fakultas Sains dan Teknologi

Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas.
Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepre
sentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan
masalah.
Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui.
PENDAHULUAN

SISTEM PERSAMAAN LINIER

Suatu persamaan linear yang mengandung n peubah x1, x2 ,…,xn dinyatakan dalam bentuk
a1x1 + a2x2 + … + anxn = b
dengan a1, a2, …, an , b adalah konstanta riil.
Dalam hal ini, peubah yang dimaksud BUKAN merupakan fungsi trigonometri, fungsi logaritma
ataupun fungsi exponensial.
BENTUK UMUM

CONTOH
x + y = 4  persamaan linear dengan 2 peubah
2x – 3y = 2z +1  persamaan linear dengan 3 peubah
2 log x + log y = 2  bukan persamaan linear
2ex = 2x + 3  bukan persamaan linear

Sistem persamaan linear adalah himpunan berhingga dari persamaan linear
Contoh :
x + y = 2  2x + 2y = 6
x – y + z = 4  x + y = 0
Tidak semua sistem persamaaan linear memiliki penyelesaian (solusi), sistem persamaan linear yang
memiliki penyelesaian memiliki dua kemungkinan yaitu penyelesaian tunggal dan penyelesaian banyak.
DEFENISI

1. Tidak Memiliki Penyelesaian (Tidak Konsisten)
2. Memiliki Penyelesaian :
a. Solusi Tunggal
b. Solusi Banyak
Sebuah pemecahan (solution) persamaan linier a1x1 + a1x2 +…..+ anxn = b
adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2,….., sn
sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubstitusikan x1 = s1, x2 = s2,….., xn = sn,
Sehingga himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan pemecahannya
(its solution).

Sebuah sistem yang tidak mempunyai pemecahan dikatakan tak konsistent (inconsistent).
Jika ada setidak-tidaknya satu pemecahan, maka sistem persamaan tersebut dikatakan konsisten.
Sebuah sistem sembarang yang terdiri dari m persamaan linier dengan n bilangan yang tidak diketahui akan
dituliskan sebagai :
𝑎11 𝑥1 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2
⋮ ⋮ Jika ditulis kedalam matriks :
𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ + 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛
a11 a12 … a1n b1
a21 a22 … a2n b2
. . . . .
. . . . .
. . . . .
am1 am2 … amn bn

1. Metode Grafik
2. Metode Eliminasi
3. Metode Subtitusi
4. Metode Gabungan (Eliminasi dan Subtitusi)
5. Metode Echelon Baris (OBE : Operasi Baris Elementer)
PENYELESAIAN

METODE GRAFIK
Yaitu dengan menggambarkan dua persamaan pada grafik kartesius, dan himpunan penyelesaiannya
dihasilkan dari titik potong dari kedua garis tersebut .
Yang perlu diperhatikan yaitu ketika menggambar titik sumbu kartesiusnya harus sama dan konsisten.
Contoh (1) :
Gambarkan grafik untuk persamaan linier 2x + y = 4.
Penyelesaian Contoh (1) :
Untuk menggambarkan grafik SPLDV (SPL Dua Variabel), gunakan paling sedikit dua titik seperti
pada tabel berikut.
PENYELESAIAN SPL
x 0 ?
y ? 0

Tentukan nilai y untuk x = 0.
2x + y = 4
⇔2( 0) + y = 4
⇔y = 4
Tentukan nilai x untuk y = 0.
2x + y = 4
⇔ 2x + 0 = 4
⇔ 2x = 4
⇔ x = 2
Tuliskan hasil yang diperoleh ke dalam tabel.
x 0 2
y 4 0
Ini berarti, titik yang diperoleh adalah :
A (0, 4) dan B (2, 0).
Gambarkan titik tersebut ke dalam diagram Cartesius,
kemudian hubungkan dengan sebuah garis lurus, sehi
ngga terbentuk gambar di bawah ini :

Contoh (2) :
Tentukan Penyelesaian SPL Berikut Menggunakan Metode Grafik (SPLDV)
2x + y = 6
2x + 4y = 12
Langkah ke-1 : Gambarkan Grafik Untuk Persamaan Linier ke-1
Tentukan nilai y untuk x = 0. Tentukan nilai x untuk y = 0.
2x + y = 6 2x + y = 6
⇔ 2(0) + y = 6 ⇔2x + 0 = 6
⇔ y = 6 ⇔2x = 6
⇔x = 3
Lalu masukkan ke dalam Tabel berikut :

Ini berarti, titik yang diperoleh adalah A
(0, 6) dan B (3, 0).
Gambarkan titik tersebut ke dalam
diagram Cartesius, kemudian hubung
kan dengan sebuah garis lurus,
sehingga terbentuk gambar di samping
ini.
x 0 3
y 6 0

Langkah ke-2 : Gambarkan Grafik Untuk Persamaan Linier ke-2
Tentukan nilai y untuk x = 0. Tuliskan hasil nya ke dalam tabel :
2x + 4y = 12
⇔ 0 + 4y = 12
⇔ 4y = 12
⇔ y = 3
Tentukan nilai x untuk y = 0.
2x + 4y = 12
⇔ 2x + 4.0 = 12
⇔ 2x = 12
⇔ x = 6
x 0 6
y 3 0

Ini berarti, titik yang diperoleh adalah C (0, 3) dan D (6, 0).
Gambarkan titik tersebut ke dalam diagram Cartesius, kemudian hubungkan dengan sebuah garis lurus,
sehingga terbentuk gambar di bawah ini.

Langkah 3: Tentukan perpotongan dua
grafik (garis) yang merupakan penyele
saian dari SPLDV.
Berdasarkan gambar di samping,
titik potong kedua grafik
adalah pada
koordinat (2,2).

METODE ELIMINASI
Digunakan dengan cara mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabelnya,
sehingga diperoleh sebuah persamaan dengan satu variabel.
Contoh Soal (3) :
Tentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari persamaan linear berikut dengan metode eliminasi!
2x + 3y = 1  pers.(1)
3x + y = 5  pers.(2)
PENYELESAIAN SPL
PENTING !!!
“Jika kita mengeliminasi (menghilangkan) variabel x maka yang akan
kita dapatkan nantinya adalah nilai dari variabel y.
dan sebaliknya, jika kita mengeliminasi variabel y maka yang akan
kita dapatkan nantinya adalah nilai dari variabel x “.

Penyelesaian Soal (3)
(Mengeliminasi x) (Mengeliminasi y)
2x + 3y = 1 | *3 | 6x + 9y = 3 2x + 3y = 1 | *1 | 2x + 3y = 1
3x + y = 5 | *2 | 6x + 2y = 10 - 3x + y = 5 | *3 | 9x + 3y = 15 -
7y = (-7) (-7)x = (-14)
y = (-1) x = 2
Jadi, Himpunan Penyelesaian (HP) = {(2,1)}

METODE SUBTITUSI
Metode substitusi merupakan suatu metode yang digunakan untuk menentukan himpunan penyelesaia
n suatu sistem persamaan linear dua variabel dengan cara mengganti (mensubstitusi) salah satu varia
belnya.
Jika variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus mensubstitusi variabel y terlebih dahu
lu, atau sebaliknya, bila ingin mencari variabel y maka kita harus mengganti variabel x terlebih dahulu.
Contoh (4) :
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel berikut.
3x + y = 4 dan –x + 2y = 1 dengan menggunakan metode substitusi.
PENYELESAIAN SPL

Langkah ke-1 :
Kita harus mengubah terlebih dahulu salah satu persamaan tersebut menjadi persamaan yang ekuiva
len dengan persamaan sebelumnya.
Misal kita akan mengubah persamaan 3x + y = 4 menjadi ekuivalen, yakni y = 4 – 3x
Langkah ke-2 :
Subtitusikan persamaan ekuivalen dari persamaan pertama tadi ke persamaan kedua.
y = 4 – 3x disubtitusikan ke –x + 2y = 1

–x + 2y = 1
⇔ –x + 2(4 – 3x) = 1
⇔ –x + 8 – 6x = 1
⇔ –x – 6x = 1 – 8
⇔ –7x = –7
⇔ x = –7/–7
⇔ x = 1
Selanjutnya untuk memperoleh nilai y, substitusikan nilai x ke
persamaan y = 4 – 3x, sehingga diperoleh:
y = 4 – 3x
⇔ y = 4 – 3.1
⇔ y = 4 – 3
⇔ y = 1
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
3x + y = 4 dan –x + 2y = 1 adalah {(1, 1)}.

METODE GABUNGAN
Merupakan suatu metode yang digunakan untuk menentukan himpunan penyelesaian suatu sistem
persamaan linear dua variabel dengan cara menggunakan dua metode sekaligus yakni metode
eliminasi dan metode substitusi.
Pertama menggunakan metode eliminasi untuk mencari salah satu nilai variabelnya, setelah nilai
variabel didapatkan maka nilai variabel tersebut disubstitusikan untuk mendapatkan variabel yang lain
nya.
Metode ini sangat cocok digunakan untuk mengerjakan soal tentang sistem persamaan linear dua
variabel, karena lebih sederhana.
PENYELESAIAN SPL

Contoh (5) :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel x + y = 7 dan x – y = 3
dengan menggunakan metode gabungan, jika x, y merupakan anggota bilangan riil.
Langkah ke-1 : Eliminasi salah satu variabel
Pertama Anda harus mengeliminasi salah satu variabel, misalnya variabel x, maka:
x + y = 7
x – y = 3
--------------- –
0 + 2y = 4
y = 4/2
y = 2

Langkah ke-3 : Substitusi nilai variabel yang diperoleh.
Selanjutnya untuk memperoleh nilai x, substitusikan nilai y ke salah satu persamaan,
misalnya persamaan x + y = 7, sehingga diperoleh:
x + y = 7
⇔ x + (2) = 7
⇔ x = 5
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 7 dan x – y = 3 adalah {(5, 2)}.

METODE OBE (OPERASI BARIS ELEMENTER)
Untuk menentukan solusi dari SPL dilakukan dengan cara membentuk matrik yang diperluas/diperbesar
dari SPL dan melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) pada matriks yang diperbesar tersebut.
OBE ini didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe operasi berikut untuk menghi
langkan bilangan-bilangan tak diketahui secara sistematik.
1. Kalikan persamaan dengan konstanta yang tak sama dengan nol.
2. Pertukarkan dua persamaan tersebut.
3. Tambahkan kelipatan dari satu persamaan bagi yang lainnya.
PENYELESAIAN SPL

Karena baris (garis horisontal) dalam matriks yang diperbesar beresuaian dengan persamaan dalam
sistem yang diasosiasikan dengan baris tersebut, maka ketiga operasi ini bersesuaian dengan operasi
berikut pada baris matriks yang diperbesar.
1. Kalikanlah sebuah baris dengan sebuah konstanta yang taksama dengan nol.
2. Pertukarkanlah dua baris tersebut.
3. Tambahkanlah perkalian dari satu baris pada baris yang lainnya.

Sifat-sifat matriks yang berbentuk eselon baris (row-echelon form) dan eselon baris tereduksi (re
duced row-echelon form) :
1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama dalam baris tersebut a
dalah satu (1) maka kita namakan ini satu (1) utama
2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan
bersama-sama dibawah matriks.
3. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama d
alam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh kekanan dari 1 utama dalam baris yang lebih ti
nggi.
4. Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain.

Dikatakan matriks berada dalam bentuk eselon baris jika memiliki sifat 1, 2, dan 3.
Prosedur untuk mereduksi menjadi eselon baris tereduksi disebut Eliminasi Gauss-Jordan.
Jika memiliki keempat sifat tersebut, maka matriks tersebut berada dalam bentuk eselon baris tered
uksi dan prosedurnya disebut Eliminasi Gauss.

Contoh matriks – matriks berikut memiliki bentuk eselon baris :
1 4 2
0 1 3
0 0 1
1 2 3
0 0 1
0 0 0
1 3 1
0 0 1
0 0 0
0
3
0

Contoh matrik – matrik berikut yang tidak memiliki bentuk eselon baris :
0 4 2
0 1 3
0 0 1
0 0 0
0 1 0
0 1
1 0
Jelaskan KENAPA ?

Matriks – matriks berikut memiliki bentuk eselon baris tereduksi.
1 0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
2
1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
4
1
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
7
3
4

Pengertian
Adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih
sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss).
Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang
Eselon-baris.
Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan
menggunakan matriks, caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks
teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi
balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
ELIMINASI GAUSS

Ciri-ciri
1. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
2. Baris nol terletak paling bawah
3. 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
4. Dibawah 1 utama harus nol

Contoh (6) :
Selesaikan Sistem Persamaan Berikut Menggunakan Eliminasi Gauss.
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Penyelesaian Contoh (6)
Langkah ke-1 : Buatlah ekuivalen persamaan-persamaan tersebut.
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0

Langkah ke-2 : Bentuk Matriks yang Diperbesar dari SPL tersebut.
Langkah ke-3 : Lakukan proses OBE sehingga menghasilkan / memenuhi seluruh persyaratan
menjadi matriks eselon baris (Slide 37-38)

Jika Sudah Berbentuk Seperti ini, proses eliminasi
gauss sudah selesai

Langkah ke-4 : Ubah kembali matriks eselon baris yang dihasilkan tadi ke persamaan.
x + y + 2z = 9
y + (-7/2)z = (-17/2)
z = 3
Langkah ke-5 : Subtitusikan nilai z = 3 di atas ke persamaan agar memperoleh nilai x dan y.
y -
7
2
z = -
17
2
x + y + 2z = 9
⇔ y = -
17
2
+
7
2
z ⇔ x = (-y) - 2z + 9
⇔ y = -
17
2
+
7
2
(3) ⇔ x = -2 - 2(3) + 9
⇔ y = -
17
2
+
21
2
⇔ x = -2 - 6 + 9
⇔ y =
4
2
⇔ x = 1
⇔ y = 2

Kita memperoleh himpunan penyelesaian x,y,z = {(1,2,3)}
Langkah ke 5 : Lakukan pengujian untuk memastikan bahwa Himpunan Penyelesaian tadi adalah
benar, dengan mensubtituskan nilai x,y,z ke persamaan awal.
x + y + 2z = 9 1 + 2 + 2(3) = 9 √
2x + 4y – 3z = 1 2(1) + 4(2) - 3(3) = 1 √
3x + 6y – 5z = 0 3(1) + 6(2) - 5(3) = 0 √
Jadi, HP nya adalah = {(1,2,3)}
BENAR
BENAR
BENAR

Contoh (7) :
Selesaikan Sistem Persamaan Berikut Menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan.
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Penyelesaian Contoh (7)
Langkah ke-1 : Lakukan proses eliminasi gauss sehingga menghasilkan matriks eselon baris (sama
dengan contoh sebelumnya (contoh 6).
Langkah ke-2 : Setelah diperoleh matriks eselon baris, kita harus membuat matriks tersebut menjadi
matriks eselon baris tereduksi.

Ini Pekerjaan Kita Sekarang,
Ubah sisi ini agar bernilai NOL
Lakukan kembali
OBE

Langkah ke-3 : Ubah matriks eselon baris tereduksi yang telah dihasilkan ke SPL kembali.
x y z x = 1
y = 2
z = 3
Sudah Menjadi Matriks
Eselon Baris Tereduksi
Maka diperoleh HP
= {(1,2,3)}

(Next : Matriks)

Materi ke-1 Aljabar Linier

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Materi ke-1 Aljabar Linier

Similar to Materi ke-1 Aljabar Linier (20)

More from eka pandu cynthia

More from eka pandu cynthia (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (12)

Materi ke-1 Aljabar Linier