112

1. Номер варіанту визначається за останньою цифрою
навчального шифру студента (цифра 0 – варіант 10).
Відповіді слід надіслати у вигляді документу з розширенням
«.doc» або «.pdf»
Завдання 1. Знайти інтеграли:
1.1. 1.1 а)  1 2x
e dx

 ; . б)
2
ln 5
dx
x x 
 .
1.2. а)  sin 2 4x dx ; б)
4
9-16
x
x
dx
 .
1.3. а)
3 5
dx
x 
 ; б)
cos x
dx
x .
1.4. а)
 2
cos 2 3
dx
x
 ; б)
3 tg5
cos5
x
dx
x .
1.5. а)  tg 1 4x dx ; б)
3
ln 3
ln
x
dx
x x

 .
1.6. а)  3
3 5x dx ; б)
3
8
4
x dx
x
 .
1.7. а)
 sin 2 3
dx
x
 ; б)
2
6
4
x dx
x .
1.8. а)  cos 3 4x dx ; б) 3
cos5 sin5x xdx .
1.9. а)
1 4
dx
x
 ; б) 2 3
ctgx x dx .
1.10. а)
 2
sin 2 3
dx
x 
 ; б)
tg x
dx
x .
Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:
2.1. а)
 1
3
3ln 4
e
dx
x x  ; б)
1
0
8
x
x
e
dx
e  .
2.2. а)
6
0
cos3
sin3 8
x
dx
x

 ; б)
2 4
5
0 1 2
x
dx
x
 .
2.3. а)
4
2
0
cos 2 sin2x xdx

 ; б)
24
2
0
3tg 3tg
cos
x x
dx
x


 .

2. 2.4. а)
28
2
0
3ctg 2 1
sin 2
x
dx
x


 ; б)
6
4
0
cos3 sin 3x xdx

 .
2.5. а)
1 2
2
0
3
x
x
e
dx
e  ; б)
3
1
3ln 3
e
x
dx
x

 .
2.6. а)
2
2
0
4 2x x dx ; б)
8
0
cos4
sin4 2
x
dx
x

 .
2.7. а)
2
1
3 4ln
e
x
dx
x

 ; б)
1 3
3
0
7
x
x
e
dx
e  .
2.8. а)
2
2 3
0
1 4x x dx ; б)
2
0
sin
cos 4
x
dx
x

 .
2.9. а)
   0
3
1 ln 1
e
dx
x x 
 ; б)
24
2
0
3tg 1
cos
x
dx
x


 .
2.10. а)
2
3
0
cos2 sin 2x xdx

 ; б)
2
2
0
1 4x x dx .
Завдання 3. Розв’язати диференціальні рівняння.
3.1. 3 2 3
.x y x y y   3.2. .xy
y xe
x
  
3.3. 2 .x y y x y   3.4. .x
y y e
  
3.5.
2
2
.
2
x
x y y y   3.6. 2
ctg sin .y y x x  
37. 2 2
.x y y x y    3.8.
2
1
;xx
y y e
x

  
3.9. 2
cos .
y
x y x y
x
   3.10. 2
2
2
1 .
1
x y
y x
x
   

Завдання 4. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння, що
задовольняє задані початкові умови.
4.1.    3
9 6 , 0 0, 0 0.x
y y e y y    
4.2.    5 6 12sin2 , 0 1, 0 3.y y y x y y      
4.3.    2
2 , 0 4, 0 2.y y x x y y      

3. 4.4.    9 15sin2 , 0 7, 0 0.y y x y y     
4.5.    4 sin , 0 1, 0 1.y y x y y    
4.6.    2
4 4 4 4 1, 0 1, 0 1.y y y x x y y        
4.7.    9 6cos3 , 0 1, 0 1.y y x y y     
4.8.    4 , 0 1, 0 1.x
y y хe y y    
4.9.    2
2 3 5 , 0 1, 0 1.x
y y y xe y y      
4.10.      4
6 9 2 3 , 0 1, 0 1.x
y y y x e y y       
Завдання 5. Знайти загальний розв’язок системи диференціальних рівнянь.
5.1.
     
     
7 5 ,
4 8 .
x t x t y t
y t x t y t
   

  
5.2.
     
     
5 ,
7 3 .
x t x t y t
y t x t y t
   

   
5.3.
     
     
2 6 ,
3 7 .
x t x t y t
y t x t y t
   

   
5.4.
     
     
3 2 ,
2 8 .
x t x t y t
y t x t y t
  

  
5.5.
     
     
2 2 ,
3 .
x t x t y t
y t x t y t
  

  
5.6.
     
     
6 3 ,
8 5 .
x t x t y t
y t x t y t
  

   
5.7.
     
     
5 4 ,
2 3 .
x t x t y t
y t x t y t
   

   
5.8.
     
     
7 2 ,
9 2 .
x t x t y t
y t x t y t
  

  
5.9.
     
     
5 ,
3 .
x t x t y t
y t x t y t
   

  
5.10.
     
     
2 3 ,
6 7 .
x t x t y t
y t x t y t
  

   
Завдання 6. Дослідити на збіжність числові ряди, застосовуючи потрібну
ознаку:
1. а)
 

 1n
n
!1n
4
, б) 





1n
n
1n
34
5
)1(
2. а) 

 

1n
23
4
2n6n
n5
, б) 






1n
1n
3n2
1n
)1(

4. 3. а) 










1n
n
93
53
n4n5n
3n4n5
б) 








 

1n
n
1n
n
4n2
)1(
4. а) 








1n 6n
1
tg , б) 




1n
1n
!n
3
)1(
5. а) 



1n
n
6
2n
, б) 


 

1n
2
1n
n
9n3
)1(
6. а) 



1n
n
5
)!3n(
, б) 






1n
2
1n
2n
1n8
)1(
7. а) 

 

1n
10
3
2n6n
nn45
, б) 












1n
n
2
1n
4n
n5
)1(
8. а) 










1n
n
3
32
n2n
3nn2
, б)
 




1n
1n
!n2
3
)1(
9. а) 










1n
n
5n2
3n3
arcsin , б) 






1n
2
2
1n
4n
3n5
)1(
10. а) 



1n
4
1n
)3n(
3
. б) 





1n
n
1n
34
5
)1(
Завдання 7. За допомогою рядів обчислити наближене значення інтегралів з
точністю до 0,001:
1. e dx
x


2
2
0
1
. 2. sinx dx2
0
1
 . 3. cosx dx2
0
1
 . 4.
sinx
x
dx
0
1
 .
5. x xdxsin
0
1
 . 6.
dx
x1 43
0
1
2

 . 7. xe dx
x

 2
0
1
4
. 8.
x
x
dx
1 2
0
1
4

 .
9. 1 3
0
1
2
 x dx. 10.
1
32
0
ln(1 )x dx
x

 .

5. Завдання 8.
Розкласти в ряд Фур’є функції. Зробити рисунок.
1. а)
0, 0,
( )
3 , 0 ;
x
f x
x x

   
 
     
; б) ( ) 3 4 , 3 3, 3.f x x x     
2. а)
2 5 , 0,
( )
0, 0 ;
x x
f x
x

     
 
   
; б) ( ) 5 1, 2 2, 2.f x x x     
3. а)
2 , 0,
( )
0, 0 ;
x x
f x
x

     
 
   
; б) ( ) 4 2, 2 2, 2.f x x x     
4. а)
0, 0,
( )
2 3 , 0 ;
x
f x
x x

   
 
     
; б) ( ) 1 2 , 4 4, 4.f x x x     
5. а)
2 2 , 0,
( )
0, 0 ;
x x
f x
x

     
 
   
; б) ( ) 2 1, 5 5, 5.f x x x     
6. а)
, 0,
( )
0 , 0 ;
x x
f x
x

     
 
   
;б) ( ) 4, 5 5, 5.f x x x     
7. а)
0, 0,
( )
2 5 , 0 ;
x
f x
x x

   
 
     
; б) ( ) 3 4 , 4 4, 4.f x x x     
8. а)
2 4 , 0,
( )
0, 0 ;
x x
f x
x

     
 
   
; б) ( ) 5 2, 2 2, 2.f x x x     
9. а)
0, 0,
( )
3 2 , 0 ;
x
f x
x x

   
 
     
; б) ( ) 4 2, 1 1, 1.f x x x     
10.а)
0, 0,
( )
2 , 0 ;
x
f x
x x

   
 
     
;б) ( ) 3 2 , 4 4, 4.f x x x     