1. Навчальна дисципліна
«МАТЕМАТИЧНЕ ПРОГРАМУВАННЯ»
для спеціальності
6.05010202 «Системне програмування»
Курс 4 Семестр 7
Лекцій 34 години
Лабораторних занять 34 години
Самостійна робота 121 година
Всього 189 годин
Домашнє завдання 1 (7 семестр)
Диференційований залік 7 семестр
Інститут комп’ютерних інформаційних
технологій
Кафедра комп’ютеризованих систем управління
6. Математичне програмування –
науковий напрямок, присвячений
розробці та дослідженню чисельних
методів розв’язку екстремальних
(оптимізаційних) задач.
7. Леонард Эйлер (1707-1783).
Гражданин Швейцарии,
автор 800 научных работ.
Академик Петербургской АН (1731-1741).
Академик Берлинской АН (1741-1766).
«В мире не происходит ничего,
в чем не был бы виден смысл
какого-либо максимума или
минимума»
8. Метою викладання дисципліни є
формування теоретичної бази знань та
практичних навичок застосування
методів математичного програмування
для розв’язання задач прийняття
проектних та управлінських рішень в
реальних економічних, організаційних і
виробничих системах.
9. Студент повинен знати:
● теоретичні основи математичного програмування;
● принципи побудови математичних моделей задач прийняття
проектних та управлінських рішень;
● основні методи і алгоритми лінійного, нелінійного,
цілочисельного, дискретного, динамічного програмування;
Студент повинен вміти:
● будувати математичні моделі задач прийняття проектних та
управлінських рішень;
● визначати, до якого класу задач математичного програмування
належить формалізована функціональна задача;
● вибирати для її розв’язання відповідний метод і алгоритм
оптимізації;
● розробляти схеми алгоритмів розв’язання задач оптимізації;
● застосовувати існуючі уніфіковані програмні засоби розв’язання
оптимізаційних задач;
● аналізувати та інтерпретувати результати розв’язання
функціональних задач.
10. ЛІТЕРАТУРА
1. Кутковецький В.Я. Дослідження операцій // Навчальний посібник для студентів
ВНЗ. – Київ: Професіонал, 2004. – 349 с.
2. Ларіонов Ю.І., Марченко Л.С., Хажмурадов М.А. Дослідження операцій //
Навчальний посібник. – Харків: Інжек, 2005. – 288 с.
3. Охріменко М.Г., Дзюбан І.Ю. Дослідження операцій // Навчальний посібник. –
Київ: Центр навчальної літератури, 2006. – 183 с.
4. Ржавський С.В., Александрова В.М. Дослідження операцій // Підручник. – Київ:
Академвидав, 2006. – 560 с.
5. Зайченко Ю.П. Дослідження операцій. – Київ: ВІПОЛ. – 2000. – 688 с.
6. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. – М.: Наука. –
1980. – 520 с.
7. Исследование операций: В 2-х томах./Под ред. Дж. Моудера, С.Элмаграба. – М.:
Мир. – 1981. т.1- 712 с., т.2. – 677 с.
8. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. – М: Мир. – 1985. –
512 с.
9. Таха Х. Введение в исследование операций: - в 2-х томах.М.: Мир. –1985. – Т.1 –
479 с. - Т.2- 496 с.
10. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир. – 1975.
– 536с.
11. Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Наука. – 1980. – 208 с.
11. Тема 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА
ВИЗНАЧЕННЯ
max)
(min,
)
( opt
x
f
m
j
x
hj ,
1
,
0
)
(
p
m
j
x
g j ,
1
,
0
)
(
)
,
1
;
( n
i
x
x i
n
E
x
1.1 Області застосування методів оптимізації
1.2 Загальна постановка ЗМП
Критеріальна (цільова) функція:
(1)
Система обмежень:
(2)
(3)
Умови:
,
12. Приклад
Вхідні дані:
n підприємств )
,
1
( n
r ;
m видів виробів )
,
1
( m
i ;
k типів ресурсів )
,
1
( k
j .
i
b – план виробництва виробів i -го виду;
ij
b – норматив витрат ресурсів j -го типу на одиницю виробів i -го виду;
rj
a – об’єм ресурсів j -го типу на r -му підприємстві;
ri
p – витрати на випуск одиниці виробів i -го виду на r -му підприємстві.
Необхідно: так розподілити планове завдання між підприємствами, щоб сумарні витрати на
випуск виробів були мінімальні.
Шукані змінні: ri
x – план випуску виробів i -го виду на r -му підприємстві; n
r ,
1
; m
i ,
1
.
Модель: min
)
(
1 1
n
r
m
i
ri
ri x
p
x
f ;
i
n
r
ri b
x
1
; m
i ,
1
;
m
i
rj
ri
ij a
x
b
1
; n
r ,
1
; k
j ,
1
;
0
ri
x ; n
r ,
1
; m
i ,
1
.
14. 1.4 Терміни та визначення
1.4.1 Допустимість
1.4.2 Область допустимих розв’язків (ОДР)
1.4.3 Оптимальність
1.4.4 Унімодальні та мультимодальні функції
16. 1
1.
.4
4.
.5
5 Г
Гл
ло
об
ба
ал
ль
ьн
ни
ий
й м
мі
ін
ні
ім
му
ум
м
*
x :
}
);
(
min{
)
( min
*
R
x
x
f
f
x
f
;
)
(
min
arg
*
x
f
x
R
x
.
1
1.
.4
4.
.6
6 Л
Ло
ок
ка
ал
ль
ьн
ни
ий
й м
мі
ін
ні
ім
му
ум
м
*
x :
}
);
(
min{
)
( 0
min
*
R
x
x
f
f
x
f
;
)
(
min
arg
0
*
x
f
x
R
x
,
}
:
{ *
0
x
x
R
x
R .
1
1.
.4
4.
.7
7 С
Ст
та
ац
ці
іо
он
на
ар
рн
ні
і т
то
оч
чк
ки
и
1
1.
.4
4.
.8
8 Н
На
аб
бл
ли
иж
же
ен
ни
ий
й о
оп
пт
ти
им
ма
ал
ль
ьн
ни
ий
й р
ро
оз
зв
в’
’я
яз
зо
ок
к *
x :
min
*
)
( f
x
f .
17. 1
1.
.4
4.
.9
9 О
Оп
пу
ук
кл
лі
іс
ст
ть
ь т
та
а у
ув
ві
іг
гн
ну
ут
ті
іс
ст
ть
ь
)
(x
)
(x
x x
1
x x 2
x 1
x x 2
x
Опукла функція Увігнута функція
Функція )
(x
опукла в області R, якщо:
)
(
)
1
(
)
(
]
)
1
(
[ 2
1
2
1 x
x
x
x
;
R
x
1 ; R
x
2 ; 1
0
.
Функція )
(x
увігнута в області R, якщо:
)
(
)
1
(
)
(
]
)
1
(
[ 2
1
2
1 x
x
x
x
;
R
x
1 ; R
x
2 ; 1
0
.
Строго опуклі та строго увігнуті функції.
18. Приклад
Визначити, опукла чи увігнута функція 7
5
2
)
( 2
x
x
x
при 0
1
x ; 3
2
x ; 3
,
0
:
31
,
5
)
1
,
2
(
)
3
7
,
0
(
;
1
,
9
10
7
,
0
1
,
2
)
3
(
7
,
0
)
0
(
3
,
0
;
)
3
(
7
,
0
)
0
(
3
,
0
)
3
7
,
0
(
.
Висновок: функція 7
5
2
)
( 2
x
x
x
опукла.
19. Множина Q , n
E
Q , опукла, якщо для будь-якої пари Q
x
)
1
(
и Q
x
)
2
(
)
(
)
,
( )
2
(
)
1
(
Q
x
x
x
x
;
)
2
(
)
1
(
)
1
( x
x
x
; 1
0
.
21. Область допустимих розв’язків ЗМП з обмеженнями-нерівностями опукла, якщо:
увігнута
x
g
x
g
опукла
x
g
x
g
m
j j
j
j
j
)
(
&
0
)
(
)
(
&
0
)
(
)
,
1
(
22. 1
1.
.4
4.
.1
10
0 Г
Гр
ра
ад
ді
іє
єн
нт
т ф
фу
ун
нк
кц
ці
ії
ї )
(x
f в точці
n
k
n
k
k
k
E
x
x
x
x
)
...,
,
,
( )
(
)
(
2
)
(
1
)
(
:
n
k
k
k
k
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
)
(
.
.
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
)
(
23. Приклад
2
1
3
2
2
3
2
1 6
5
4
3
2
)
( x
x
x
x
x
x
x
f
; )
1
,
0
,
2
(
)
(
k
x .
5
4
)
(
1
1
x
x
x
f
;
6
4
)
(
2
2
x
x
x
f
;
2
3
3
4
6
)
(
x
x
x
x
f
.
6
6
3
)
( )
(k
x
f
.
25. 1
1.
.4
4.
.1
11
1 А
Ап
пр
ро
ок
кс
си
им
ма
ац
ці
ія
я ф
фу
ун
нк
кц
ці
ії
ї )
(x
f в точці
n
k
n
k
k
k
E
x
x
x
x
)
...,
,
,
( )
(
)
(
2
)
(
1
)
(
:
● лінійна:
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( k
k
T
k
x
x
x
f
x
f
x
f
;
● квадратична:
)
(
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( k
k
T
k
k
k
T
k
x
x
x
H
x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
.
26. Матриця Гессе для функції )
(x
f в точці
n
k
n
k
k
k
E
x
x
x
x
)
...,
,
,
( )
(
)
(
2
)
(
1
)
(
:
2
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
2
2
1
)
(
2
)
(
2
)
(
)
(
...
)
(
...
...
...
)
(
...
)
(
)
(
)
(
n
k
n
k
n
k
k
k
k
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
f
x
f
x
H
27. Приклад
3
1
2
2
1
3
2
1
3
2
2
2
2
1 7
6
5
4
3
2
)
( x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
; )
1
,
0
,
2
(
)
(
k
x .
6
5
4
4
)
( 2
2
3
2
2
1
1
x
x
x
x
x
x
x
f
;
2
1
3
1
3
2
2
1
2
10
4
6
2
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
;
7
4
3
)
(
2
1
2
2
3
x
x
x
x
x
f
.
2
2
1
2
4
)
(
x
x
x
f
; 2
3
1
2
1
2
10
4
4
)
(
x
x
x
x
x
x
f
; 2
3
1
2
4
)
(
x
x
x
x
f
;
2
3
1
1
2
2
10
4
4
)
(
x
x
x
x
x
x
f
; 1
3
2
2
2
10
6
)
(
x
x
x
x
f
; 1
2
3
2
2
4
6
)
(
x
x
x
x
x
f
;
2
1
3
2
4
)
(
x
x
x
x
f
; 1
2
2
3
2
4
6
)
(
x
x
x
x
x
f
; 0
)
(
2
3
2
x
x
f
.
28. 1
1.
.5
5 Н
Не
ео
об
бх
хі
ід
дн
ні
і т
та
а д
до
ос
ст
та
ат
тн
ні
і у
ум
мо
ов
ви
и о
оп
пт
ти
им
ма
ал
ль
ьн
но
ос
ст
ті
і
р
ро
оз
зв
в’
’я
яз
зк
ку
у З
ЗМ
МП
П
min
)
(
x
f ;
n
E
x .
*
x – оптимальний розв’язок задачі, якщо:
1) )
(x
f диференціюєма в
*
x ;
2) 0
)
( *
x
f ;
3) 0
)
( *
2
x
f .
30. Тема 2. ЛІНІЙНЕ ПРОГРАМУВАННЯ
2
2.
.1
1 К
Ка
ан
но
он
ні
іч
чн
на
а ф
фо
ор
рм
ма
а З
ЗЛ
ЛП
П
n
j
j
j x
c
x
f
1
min
)
(
n
j
i
j
ij
i b
x
a
x
g
1
)
( ; m
i ,
1
;
0
j
x ; n
j ,
1
.
31. 2
2.
.2
2 О
Ос
сн
но
ов
вн
ні
і п
по
он
ня
ят
тт
тя
я т
та
а в
ви
из
зн
на
ач
че
ен
нн
ня
я
Допустимі розв’язки ЗЛП.
Оптимальні розв’язки ЗЛП.
Варіанти:
m=n
m<n
m>n
Сумісність системи обмежень.
Ранг матриці коефіцієнтів A
r .
Ранг розширеної матриці B
r .
Ранг системи обмежень C
r .
34. Базисні та вільні змінні:
)
...,
,
( 1
1
1 n
m x
x
g
x
……………………
)
...,
,
( 1 n
m
m
m x
x
g
x
m
n ; m
r
r
r C
B
A
.
Приклад
2
1
2
2
4
4
3
3
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
4
3
3
2
1
3
5
3
x
x
x
x
x
4
n ; 2
C
B
A r
r
r .
35. 2
2.
.3
3 Г
Ге
ео
ом
ме
ет
тр
ри
ич
чн
на
а і
ін
нт
те
ер
рп
пр
ре
ет
та
ац
ці
ія
я З
ЗЛ
ЛП
П
Приклад
min
2
3
2
)
( 7
6
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
f
4
3
2
1
x
x
x
5
2 4
3
2
1
x
x
x
x
4
5
2
1
x
x
x
5
6
2
x
x
7
2
2
2 7
6
2
1
x
x
x
x
0
j
x ; 7
,
1
j .
5
m
r
r
r C
B
A ; 2
m
n .
36. Вільні змінні: 1
x та 2
x .
Базисні змінні: 7
3 ...,
, x
x .
4
2
1
3
x
x
x
1
2
3 2
1
4
x
x
x
4
2
1
5
x
x
x
5
2
6
x
x
6
2
1
2
1
7
x
x
x
38. Знаходження точки оптимального розв’язку:
12
2
5
)
( 2
1
x
x
x
f
2
1 2
5
)
( x
x
x
f
Рівняння основної прямої:
0
2
5
)
( 2
1
x
x
x
f .
Переміщення основної прямої:
0
2
5
)
( 2
1
C
x
x
x
f .
41. Висновки:
1. Область допустимих розв’язків ЗЛП – опуклий
багатогранник.
(Опорні точки. Опорні розв’язки.)
2. У кожній опорній точці змінних дорівнює
нулю.
3. Оптимальний розв’язок ЗЛП знаходиться на границі
ОДР: у вершині або на грані багатогранника,
найбільш віддаленої від початку координат у
напрямку спадання значень функції .
m
n
k
)
(x
f
43. 2
2.
.4
4 І
Ід
де
ея
я с
си
им
мп
пл
ле
ек
кс
с-
-м
ме
ет
то
од
ду
у
min
)
...
(
)
( 2
2
1
1
0
k
k x
x
x
x
f
)
...
( ,
1
2
2
,
1
1
1
,
1
1
1 k
k
k
k
k
k
k x
x
x
x
)
...
( ,
2
2
2
,
2
1
1
,
2
2
2 k
k
k
k
k
k
k x
x
x
x
……………………………………
)
...
( ,
2
2
,
1
1
, k
k
n
n
n
n
n x
x
x
x
.
)
...,
,
,
...,
,
,
( 1
2
1 n
k
k x
x
x
x
x
x
: 0
...
2
1
k
x
x
x ; 1
1
k
k
x ;
2
2
k
k
x ;…; n
n
x
.
)
0
)(
,
1
( i
n
k
i x
– опорний розв’язок.
)
0
)(
1
:
( i
n
i
k
i x
– недопустимий розв’язок.
44. Нехай 0
i
; n
i
k
1 .
Припустимо, )
0
)(
1
:
( *
,
*
*
j
i
k
j
j .
Тоді )
(
)
( *
i
j
x
x .
)
0
(
&
)
0
(
)
0
(
&
)
0
(
&
)
1
(
: *
*
*
,
,
)
(
i
j
i
i
j
i
j
n
i
k
i
I
45. Границя збільшення *
j
x :
)
(
0 max
, *
* i
xj
j
i
i
,
звідки
*
*
,
max
)
(
j
i
i
j
i
x
;
)
(
*
j
I
i .
Вибір *
i
x :
)
(
*
*
*
*
*
;
min j
ij
i
j
i
i
I
i
.
Заміна базисних змінних: *
*
j
i
x
x .
46.
)
0
)(
,
1
(
&
)
0
)(
,
1
( j
i k
j
n
k
i
x
–
оптимальний розв’язок.
0
opt
f .
Нехай )
0
)(
1
:
( *
*
*
j
k
j
j .
Тоді
]
)
(
[
)
( *
x
f
xj .
)
0
(
&
)
1
(
: *
*
,
)
(
j
i
j
n
i
k
i
I .
]
)
(
[
)
0
(
1
: *
,
x
f
n
i
k
i j
i
47. Границя збільшення *
j
x :
)
(
0 max
, *
* i
xj
j
i
i
,
звідки
*
*
,
max
)
(
j
i
i
j
i
x
;
)
(
*
j
I
i .
Вибір *
i
x :
)
(
*
*
*
*
*
;
min j
ij
i
j
i
i
I
i
.
Заміна базисних змінних: *
*
j
i
x
x .
48. 2
2.
.5
5 Т
Та
аб
бл
ли
ич
чн
ни
ий
й а
ал
лг
го
ор
ри
ит
тм
м з
за
ам
мі
ін
ни
и б
ба
аз
зи
ис
сн
ни
их
х з
зм
мі
ін
нн
ни
их
х
min
)
...
...
(
)
( 1
1
0
k
k
j
j x
x
x
x
f
)
...
...
( ,
1
,
1
1
1
,
1
1
1 k
k
k
j
j
k
k
k
k x
x
x
x
………………………………………..
)
...
...
( ,
,
1
1
, k
k
i
j
j
i
i
i
i x
x
x
x
……………………………………
)
...
( ,
2
2
,
1
1
, k
k
n
n
n
n
n x
x
x
x
;
n
k
i ,
1
; k
j ,
1
.
Заміна базисних змінних: *
*
j
i
x
x ; n
i
k
*
1 ;
k
j
*
1 .
Дозволяючий рядок
Дозволяючий стовпчик
Дозволяючий елемент
49. i
,
0 1
x … *
j
x … k
x
)
(x
f 0
1
*
i
k
1
k
x 1
k
1
,
1
k
… *
,
1 j
k
… k
k ,
1
… … … … … … …
*
i
x *
i
1
,
*
i
… *
*
, j
i
… k
i ,
*
… … … … … … …
n
x n
1
,
n
… *
, j
n
… k
n,
52. Правила перетворення:
1) C
j
i
H
j
i
*
*
*
*
,
,
1
;
2) C
j
i
C
j
i
H
j
i
*
*
*
*
,
,
,
; }
{
}
...,
,
1
{ *
j
k
j ; C
j
i
C
i
H
i
*
*
*
*
,
;
3) C
j
i
C
j
i
H
j
i
*
*
*
*
,
,
,
; }
{
}
...,
,
1
{ *
i
n
k
i
; C
j
i
C
j
H
j
*
*
*
*
,
;
4) C
j
i
C
j
i
C
j
i
C
j
i
H
j
i
*
*
*
*
,
,
,
,
,
; }
{
}
...,
,
1
{ *
i
n
k
i
; }
{
}
...,
,
1
{ *
j
k
j ;
C
j
i
C
j
i
C
i
C
i
H
i
*
*
*
*
,
,
; }
{
}
...,
,
1
{ *
i
n
k
i
;
C
j
i
C
i
C
j
C
H
*
*
*
*
,
0
0
; C
j
i
C
j
i
C
j
C
j
H
j
*
*
*
*
,
,
; }
{
}
...,
,
1
{ *
j
k
j .
53. i
,
0 1
x … *
j
x … k
x
)
(x
f
*
*
*
*
,
0
j
i
j
i
*
*
*
*
,
1
,
1
j
i
j
i
*
*
*
, j
i
j
*
*
*
*
,
,
j
i
j
k
i
k
1
k
x
*
*
*
*
,
,
1
1
j
i
i
j
k
k
*
*
*
*
,
,
1
1
,
1
,
1
j
i
j
k
i
k
…
*
*
*
,
,
1
j
i
j
k
…
*
*
*
*
,
,
1
,
,
1
j
i
j
k
k
i
k
k
… … … … … … …
*
i
x
*
*
*
, j
i
i
*
*
*
,
1
,
j
i
i
…
*
*
,
1
j
i
…
*
*
*
,
,
j
i
k
i
… … … … … … …
n
x
*
*
*
*
,
,
j
i
i
j
n
n
*
*
*
*
,
,
1
,
1
,
j
i
j
n
i
n
…
*
*
*
,
,
j
i
j
n
…
*
*
*
*
,
,
,
,
j
i
j
n
k
i
k
n
54. 2
2.
.6
6 З
Зн
на
ах
хо
од
дж
же
ен
нн
ня
я о
оп
по
ор
рн
но
ог
го
о р
ро
оз
зв
в’
’я
яз
зк
ку
у
min
)
...
...
(
)
( 1
1
0
k
k
j
j x
x
x
x
f
)
...
...
( ,
1
,
1
1
1
,
1
1
1 k
k
k
j
j
k
k
k
k x
x
x
x
………………………..……………………..
)
...
...
( ,
,
1
1
, k
k
i
j
j
i
i
i
i x
x
x
x
………………………….……………
)
...
( ,
2
2
,
1
1
, k
k
n
n
n
n
n x
x
x
x
;
n
k
i ,
1
; k
j ,
1
.
Розв’язок )
...,
,
,
...,
,
,
( 1
2
1 n
k
k x
x
x
x
x
x
:
0
...
2
1
k
x
x
x ; 1
1
k
k
x ; 2
2
k
k
x ;…; n
n
x
.
Припустимо, )
0
)(
1
:
(
i
n
i
k
i .
55. Правила вибору дозволяючого елемента:
1) Вибирається рядок i : 0
i
; n
i
k
1 .
2) В рядку i вибирається коефіцієнт 0
*
,
j
i
; k
j
*
1 (дозволяючий
стовпчик).
)
0
)(
,
1
( j
i
k
j розв’язків немає.
3) В дозволяючому стовпчику
*
j виділяються елементи, які мають
однакові знаки зі своїми вільними членами:
)
0
(
&
)
0
(
)
0
(
&
)
0
(
&
)
1
(
: *
*
*
,
,
)
(
i
j
i
i
j
i
j
n
i
k
i
I
.
4) Обчислюються відношення
*
ij
i
;
)
(
*
j
I
i .
5) В якості дозволяючого елемента обирається коефіцієнт *
*
j
i
:
)
(
*
*
*
*
*
;
min j
ij
i
j
i
i
I
i
.
57. Приклад
р/ст.
i
1
x 2
x 3
x ij
i
/
4
x 1 -1 -2 1
5
x -5 -2 1 -1 5/2=2,5
р/стр. 6
x 2 1 1 0 2/1=2
7
x 1 0 -1 1
Заміна базиса: 6
1 x
x .
р/ст.
i
6
x 2
x 3
x ij
i
/
4
x 3 1 -3 1 3/1=3
р/стр. 5
x -1 2 3 -1 -1/-1=1
1
x 2 1 1 0
7
x 1 0 -1 1 1/1=1
Заміна базиса: 5
3 x
x .
i
6
x 2
x 5
x
4
x 2 3 2 1
3
x 1 -2 -3 -1
1
x 2 1 1 0
7
x 0 2 2 1
Опорний розв’язок: 2
1
x ; 0
2
x ; 1
3
x ; 2
4
x ; 0
5
x ; 0
6
x ; 0
7
x .
58. 2
2.
.7
7 П
По
ош
шу
ук
к о
оп
пт
ти
им
ма
ал
ль
ьн
но
ог
го
о р
ро
оз
зв
в’
’я
яз
зк
ку
у
min
)
...
...
(
)
( 1
1
0
k
k
j
j x
x
x
x
f
)
...
...
( ,
1
,
1
1
1
,
1
1
1 k
k
k
j
j
k
k
k
k x
x
x
x
………………………………………..
)
...
...
( ,
,
1
1
, k
k
i
j
j
i
i
i
i x
x
x
x
……………………………………
)
...
( ,
2
2
,
1
1
, k
k
n
n
n
n
n x
x
x
x
;
n
k
i ,
1
; k
j ,
1
.
Розв’язок )
...,
,
,
...,
,
,
( 1
2
1 n
k
k x
x
x
x
x
x
;
0
...
2
1
k
x
x
x ; 1
1
k
k
x ; 2
2
k
k
x ;…; n
n
x
;
)
0
)(
,
1
(
i
n
k
i .
x
k
j
j j
)
0
)(
1
:
( – оптимальний розв’язок.
Припустимо, )
0
)(
1
:
(
j
k
j
j .
59. Правила вибору дозволяючого елементу:
1) Вибирається дозволяючий стовпчик
*
j : 0
*
j
.
2) В дозволяючому стовпчику
*
j виділяються від’ємні елементи:
)}
0
(
&
)
1
(
:
{ *
*
)
(
ij
j
n
i
k
i
I .
)
0
)](
1
(
:
[ *
ij
n
i
k
i )
(x
f необмежена знизу
3) Обчислюються відношення
*
ij
i
;
)
(
*
j
I
i .
4) В якості дозволяючого елементу вибирається коефіцієнт *
*
j
i
:
)
(
*
*
*
*
*
;
min j
ij
i
j
i
i
I
i
.
60. Приклад
min
2
)
( 3
2
1
x
x
x
x
f
3
2
1
4 2
2 x
x
x
x
3
2
1
5 1 x
x
x
x
3
2
6 2 x
x
x
0
i
x ; 6
,
1
i .
Стандартна форма:
min
)
2
(
0
)
( 3
2
1
x
x
x
x
f
)
2
(
2 3
2
1
4 x
x
x
x
)
(
1 3
2
1
5 x
x
x
x
)
(
2 3
2
6 x
x
x
0
i
x ; 6
,
1
i .
р/ст.
i
,
0 1
x 2
x 3
x ij
i
/
)
(x
f 0 -1 2 1
4
x 2 1 1 -2
р/стр. 5
x 1 1 -1 1 1/1=1
6
x 5 0 1 1 5/1=5
61. 1) Заміна базиса: 3
5 x
x .
р/ст.
i
,
0 1
x 2
x 5
x ij
i
/
)
(x
f -1 -2 3 -1
4
x 4 3 -1 2
3
x 1 1 -1 1
р/стр. 6
x 4 -1 2 -1 4/2=2
2) Заміна базиса: 2
6 x
x .
р/ст.
i
,
0 1
x 6
x 5
x ij
i
/
)
(x
f -7 -1/2 -3/2 1/2
р/стр. 4
x 6 5/2 1/2 3/2 6/(3/2)=4
3
x 3 1/2 1/2 1/2 3/(1/2)=6
2
x 2 -1/2 1/2 -1/2
3) Заміна базиса: 5
4 x
x .
i
,
0 1
x 6
x 4
x
)
(x
f -9 -4/3 -5/3 -1/3
5
x 4 5/3 1/3 2/3
3
x 1 -1/3 1/3 -1/3
2
x 4 1/3 2/3 1/3
Оптимальний розв’язок:
0
1
x ; 4
2
x ; 1
3
x ; 0
4
x ; 4
5
x ; 0
6
x ; 9
opt
f .
63. 3
3.
.1
1 М
Ме
ет
то
од
д в
ві
ід
дс
сі
ік
ка
ан
нн
ня
я (
(в
ві
ід
дс
сі
ік
ка
аю
юч
чи
их
х п
пл
ло
ощ
щи
ин
н)
) Р
Р.
.Г
Го
ом
мо
ор
рі
і
Таблична форма:
C
J
j
j
ij
i
i x
x
;
B
I
i .
Нехай цiле
x i
i
; B
I
i
.
]
[ ij
, ]
[ i
– найбільші цілі: ij
ij
]
[ ; i
i
]
[ .
65. Після віднімання (3.2) від (3.1):
]
[
]
[ i
i
J
j
j
j
i
J
j
j
j
i
C
C
x
x
;
]
[
)
]
[
( i
i
J
j
j
j
i
j
i
C
x
.
]
[ ij
ij
ij
; C
J
j ; 1
0
ij
;
]
[ i
i
i
; 1
0
i
.
Відсікаюче обмеження:
i
j
J
j
j
i x
C
.
66. Перетворення в рівняння:
i
n
j
J
j
j
i x
x
C
1 ; 0
1
n
x ;
j
J
j
j
i
i
n x
x
C
1 . (3.3)
Л
Ле
ем
мм
ма
а.
. Якщо відсікання (3.3) додається до симплексної
таблиці задачі лінійного програмування, то ніякі
цілочисельні допустимі точки не виключаються. Нова
таблиця є допустимою, якщо i
– ціле число, та
недопустимою в противному випадку.
67. Приклад
min
9
7
)
( 2
1
x
x
x
f
6
3 3
2
1
x
x
x
35
7 4
2
1
x
x
x
0
j
x ; j
x – ціле; 4
,
1
j .
Перетворена система обмежень:
2
1
3 3
6 x
x
x
2
1
4 7
35 x
x
x
68. Вихідна симплексна таблиця №1 послабленої задачі:
i
,
0 1
x 2
x
)
(x
f 0 7 9
3
x 6 -1 3
4
x 35 7 1
Кінцева симплексна таблиця №2 послабленої задачі:
i
,
0 4
x 3
x
)
(x
f -63 15/11 28/11
2
x 7/2 1/22 7/22
1
x 9/2 3/22 -1/22
72. Початкова симплексна таблиця №3, доповнена відсіканням для 2
x :
i
,
0 4
x 3
x
)
(x
f -63 15/11 28/11
2
x 7/2 1/22 7/22
1
x 9/2 3/22 -1/22
5
x -1/2 -1/22 -7/22
Кінцева симплексна таблиця №4, доповнена відсіканням для 2
x :
i
,
0 4
x 5
x
)
(x
f -59 1 8
2
x 3 0 1
1
x 32/7 1/7 -1/7
3
x 11/7 1/7 -22/7
73. Розв’язок задачі, доповненої відсіканням для 2
x :
7
/
32
1
x ; 3
2
x ; 7
/
11
2
x ; 0
4
x ; 59
min
f .
75. Початкова симплексна таблиця №5, доповнена відсіканням для 1
x :
i
,
0 4
x 5
x
)
(x
f -59 1 8
2
x 3 0 1
1
x 32/7 1/7 -1/7
3
x 11/7 1/7 -22/7
6
x -4/7 -1/7 -6/7
Кінцева симплексна таблиця №6, доповнена відсіканням для 1
x :
i
,
0 6
x 5
x
)
(x
f -55 7 2
2
x 3 0 1
1
x 4 1 -1
3
x 1 1 -4
4
x 4 -7 6
77. 3
3.
.2
2 М
Ме
ет
то
од
д г
гі
іл
ло
ок
к т
та
а г
гр
ра
ан
ни
иц
ць
ь
n
j
j
j x
c
x
f
1
min
)
( ; (3.4)
n
j
i
j
ij b
x
a
1
; m
i ,
1
; (3.5)
j
j d
x
0 ; j
x – ціле; n
j ,
1
. (3.6)
Кількість планів (варіантів розв’язку задачі) )
,
1
( n
j
x
x j
:
n
j
j
d
G
1
)
1
( .
79. G
розбивання
цiле
x i
i
)
( :
G
G
1 : ]
[ i
i
x
;
G
G
2 : 1
]
[
i
i
x ;
2
1 G
G .
Додаткові обмеження:
для 1
G : i
i
n x
x
]
[
1 ; 0
1
n
x ;
для 2
G : i
i
n x
x
1
]
[
1 ; 0
1
n
x .
80. На k -му кроці:
)
(k
G ; k
,
1
.
)
(
min
arg )
(
)
(
x
f
x k
G
x
k
;
)
(
)
( )
(
)
( k
k
x
f
G
; k
,
1
;
)
,
1
( *
*
n
j
x
x j
; )
)(
,
1
( цiле
x
n
j j
.
81. Алгоритм
1. Перевірка на оптимальність:
}
,
1
(
min{
)
( )
(
*
k
k
G
x
f
.
2. Перевірка умови завершення обчислень.
3. Вибір
)
(
*
k
G :
}
,
1
)
(
{
min
)
( )
(
)
(
* k
k
k
G
G
.
4. Розбиття )
(
*
k
G на )
(
1
*,
k
G та )
(
2
*,
k
G :
)
(
1
*,
k
G : *
*
1 ]
[ i
i
n x
x
; 0
1
n
x ;
)
(
2
*,
k
G : *
*
1 1
]
[ i
i
n x
x
; 0
1
n
x .
5. Розв’язок послаблених задач ЛП над )
(
1
*,
k
G та )
(
2
*,
k
G
85. Підмножини варіантів:
,
1
;
k
Gk .
Частковий план підмножини k
G :
)
(
)
( 1
0
k
k
i
C
I
I
i
x
k
x
,
)
1
)(
(
&
)
0
)(
( 1
0
i
k
i
k x
I
i
x
I
i .
Доповнюючий план підмножини k
G :
)
(
)
( k
i
D
I
i
x
k
x
,
)
}
1
,
0
{
(
)
(
i
k x
I
i .
Активні обмеження: }
...,
,
1
{ n
Jk .
86. Модель, приведена у відповідність k -тій підмножині варіантів:
max
)
(
0
1
k
I
i
k
i
i
k c
x
c
x
f ; (3.9)
jk
I
i
k
jk
i
ji J
j
b
x
a ; ; (3.10)
)
( k
i I
i
x
x
; k
i I
i
x
;
1
,
0 .
87. 0
0
0
0 k
k I
I
I
;
1
0
1
0 k
k I
I
I
; k
k I
I
I
0
0 ;
0
0
k
j
jk I
I
I
;
1
1
k
j
jk I
I
I
; k
j
jk I
I
I
; n
j ,
1
;
1
0
1
k
I
i
i
k c
с ;
k
I
i
ij
j
jk J
j
a
b
b
jk
,
1
.
88. Підмножини та величини, необхідні для дослідження моделі (3.9)-(3.10):
0
:
0
3
0
i
k
k c
I
i
I ;
0
:
;
0
: 3
2
ji
jk
jk
ji
jk
jk a
I
i
I
a
I
i
I ;
i
j
ji
jk
jk a
a
I
i
i
i
I
:
)
( 2
2
;
i
j
ji
jk
jk a
a
I
i
i
i
I
:
)
( 3
3
;
k
I
i
ji
p
jk J
j
p
a
s
p
jk
;
3
,
2
;
)
(
;
3
0
1
)
(
k
I
i
i
k
k c
c
G
;
,
1
k .
89. Аналіз підмножин варіантів
Твердження 1. Підмножина k
G не містить допустимих
планів, якщо для деякого обмеження k
J
j виконується
умова:
)
(
&
)
(
)
0
(
&
)
( )
2
(
2
2
jk
jk
jk
jk
jk b
s
I
b
I
.
Приклади.
a) 1
3
2 3
2
1
x
x
x ;
b) 9
4
7
5
2
3 5
4
3
2
1
x
x
x
x
x .
90. Твердження 2. Обмеження k
J
j не є активним по
відношенню до планів підмножини k
G , якщо для нього
виконується умова:
)
(
&
)
(
)
0
(
&
)
( )
3
(
3
3
jk
jk
jk
jk
jk b
s
I
b
I
.
Приклади.
a) 1
3
2 3
2
1
x
x
x ;
b) 9
4
7
5
2
3 5
4
3
2
1
x
x
x
x
x .
91. Твердження 3. Якщо )
(
2
k
jk J
j
I
та для деякого 2
jk
I
i
виконується умова
i
j
jk
jk
jk a
s
b
s
)
2
(
)
2
(
,
то з доповнюючих планів підмножини k
G допустимими
можуть бути тільки ті, в яких
1
)
(
2
i
jk x
i
I
i .
Приклад.
11
7
4
5
2
3 6
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x .
4
i ; 5
i
j
a ; 1
6
4
x
x .
92. Твердження 4. Якщо )
(
3
k
jk J
j
I
та для деякого 3
jk
I
i
виконується умова:
)
(
&
)
(
)
0
(
&
)
( )
2
(
)
2
(
2
2
i
j
jk
jk
jk
jk
i
j
jk
jk a
s
b
s
I
a
b
I
,
то з доповнюючих планів підмножини k
G допустимими
можуть бути лише ті, в яких
0
)
(
3
i
jk x
i
I
i .
Приклади.
a) 9
13
11
5
3 5
4
3
2
1
x
x
x
x
x ;
4
i ; 7
i
j
a ; 0
5
4
x
x ;
b) 9
13
9
7
5
3 6
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x .
4
i ; 7
i
j
a ; 0
6
4
x
x .
93. Алгоритм
1. Вибір підмножини варіантів
*
1
;
* k
Gk
, яка підлягає
розбиттю:
,
1
;
)
(
max
)
( *
k
G
G k
k .
2. Вибір незалежної змінної *
*
*
; k
i
I
i
x , значення якої підлягає
фіксації:
}
;
{
max *
*
ok
i
i
I
i
c
c
.
3. Розбиття підмножини варіантів *
k
G :
0
*
*
*
)
0
( k
i
k
G
x
G
;
1
*
*
*
)
1
( k
i
k
G
x
G
.
4. Аналіз підмножин 0
*
k
G та 1
*
k
G .
5. Перевірка допустимих планів на оптимальність:
*
*
,
1
;
)
(
max
;
)
(
max
k
G
X
x
x
f k ;
*
*
);
(
max
arg X
x
x
f
x
.
95. Приклад.
max
6
4
3
7
5
2
)
( 7
6
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
f
0
5
6
2 3
2
1
x
x
x (1)
7
5
7
3 5
4
1
x
x
x (2)
3
4
8
7 6
5
2
x
x
x (3)
2
2
4 7
2
1
x
x
x (4)
5
7
9
2 7
5
2
x
x
x (5)
}
1
,
0
{
i
x ; 7
,
1
i
96. Крок 1.
Розбиття G :
G
G
1 : 0
2
x ; 4
)
( 1
G
;
G
G
2 : 1
2
x ; 9
)
( 2
G
.
97. Аналіз 2
G :
max
6
4
3
7
2
5
)
( 7
6
5
4
3
1
2
x
x
x
x
x
x
x
f
6
5
2 3
1
x
x (1)
7
5
7
3 5
4
1
x
x
x (2)
4
4
8 6
5
x
x (3)
4
4 7
1
x
x (4)
7
7
9 7
5
x
x (5)
}
1
,
0
{
i
x ; }
7
,
6
,
5
,
4
,
3
,
1
{
i
9
)
( 2
G
.
З обмеження (1): 1
3
1
x
x .
98. Після підстановки 1
3
1
x
x :
max
6
4
3
4
)
( 7
6
5
4
2
x
x
x
x
x
f
10
5
7 5
4
x
x (2)
4
4
8 6
5
x
x (3)
0
7
x (4)
7
7
9 7
5
x
x (5)
}
1
,
0
{
i
x ; }
7
,
6
,
5
,
4
{
i
0
)
( 2
G
.
З обмеження (4): 0
7
x .
99. Після підстановки 0
7
x :
max
4
3
4
)
( 6
5
4
2
x
x
x
x
f
10
5
7 5
4
x
x (2)
4
4
8 6
5
x
x (3)
7
9 5
x (5)
}
1
,
0
{
i
x ; }
6
,
5
,
4
{
i
0
)
( 2
G
.
З обмеження (5): 1
5
x .
100. Після підстановки 1
5
x :
max
3
8
)
( 6
4
2
x
x
x
f
5
7 4
x (2)
4
4 6
x (3)
}
1
,
0
{
i
x ; }
6
,
4
{
i
4
)
( 2
G
.
З обмеження (2): 0
4
x .
101. Після підстановки 0
4
x :
max
8
)
( 6
2
x
x
f
4
4 6
x (3)
}
1
,
0
{
i
x ; }
6
{
i
7
)
( 2
G
.
З обмеження (3): 1
6
x .
Після підстановки 1
6
x :
)
0
,
1
,
1
,
0
,
1
,
1
,
1
(
x ; 7
)
(
)
( 2
x
f
G
.
102. Аналіз 1
G :
max
6
4
3
7
2
)
( 7
6
5
4
3
1
1
x
x
x
x
x
x
x
f
0
5
2 3
1
x
x (1)
7
5
7
3 5
4
1
x
x
x (2)
3
4
8 6
5
x
x (3)
2
4 7
1
x
x (4)
5
7
9 7
5
x
x (5)
}
1
,
0
{
i
x ; }
7
,
6
,
5
,
4
,
3
,
1
{
i
4
)
( 2
G
.
Обмеження (1) – не активне.
З обмеження (3): 1
6
x .
103. Після підстановки 1
6
x :
max
6
4
3
7
2
1
)
( 7
5
4
3
1
1
x
x
x
x
x
x
f
7
5
7
3 5
4
1
x
x
x (2)
1
8 5
x (3)
2
4 7
1
x
x (4)
5
7
9 7
5
x
x (5)
}
1
,
0
{
i
x ; }
7
,
5
,
4
,
3
,
1
{
i
4
)
( 2
G
.
З обмеження (3): 0
5
x .
104. Після підстановки 0
5
x :
max
6
3
7
2
1
)
( 7
4
3
1
1
x
x
x
x
x
f
7
7
3 4
1
x
x (2)
2
4 7
1
x
x (4)
5
7 7
x (5)
}
1
,
0
{
i
x ; }
7
,
4
,
3
,
1
{
i
4
)
( 2
G
.
З обмеження (5): 1
7
x .
105. Після підстановки 1
7
x :
max
3
7
2
5
)
( 4
3
1
1
x
x
x
x
f
7
7
3 4
1
x
x (2)
1
4 1
x (4)
}
1
,
0
{
i
x ; }
4
,
3
,
1
{
i
2
)
( 2
G
.
З обмеження (4): 0
1
x .
106. Після підстановки 0
1
x :
max
3
7
5
)
( 4
3
1
x
x
x
f
7
7 4
x (2)
}
1
,
0
{
i
x ; }
4
,
3
{
i
2
)
( 2
G
.
107. Крок 2.
Розбиття 1
G :
1
3 G
G : 0
4
x ; 5
)
( 3
G
;
1
4 G
G : 1
4
x ; 2
)
( 4
G
.
114. Вихідні дані: )
(x
f ; )
,
( b
a ; 01
.
0
.
a
a
)
1
(
; b
b
)
1
(
.
На k -му кроці:
)
(
)
(
)
(
2
1 k
k
k
b
a
x
;
2
)
(
)
(
1
k
k
x
f
f ;
2
)
(
)
(
2
k
k
x
f
f .
Якщо )
(
2
)
(
1
k
k
f
f , то )
(
)
1
( k
k
x
a
; )
(
)
1
( k
k
b
b
.
Якщо )
(
2
)
(
1
k
k
f
f , то )
(
)
1
( k
k
a
a
; )
(
)
1
( k
k
x
b
.
Критерій закінчення пошуку:
)
1
(
)
1
( k
k
a
b .
)
1
(
)
1
(
*
2
1
k
k
b
a
x ; )
( *
min x
f
f .
117. Вихідні дані: )
(x
f ; )
,
( b
a ; 01
.
0
.
a
a
)
1
(
; b
b
)
1
(
.
На k -му кроці:
1
)
(
)
(
)
(
)
(
1 ]
[
k
k
k
k
a
b
a
x ;
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2 ]
[
k
k
k
k
a
b
a
x .
Якщо )
(
)
( )
(
2
)
(
1
k
k
x
f
x
f , то:
)
(
)
1
( k
k
a
a
; )
(
2
)
1
( k
k
x
b
; 1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1 ]
[
k
k
k
k
a
b
a
x ; )
(
1
)
1
(
2
k
k
x
x
.
Якщо )
(
)
( )
(
2
)
(
1
k
k
x
f
x
f , то:
)
(
1
)
1
( k
k
x
a
; )
(
)
1
( k
k
b
b
; )
(
2
)
1
(
1
k
k
x
x
; 2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
2 ]
[
k
k
k
k
a
b
a
x .
Критерій закінчення пошуку:
)
1
(
)
1
( k
k
a
b .
)
1
(
)
1
(
*
2
1
k
k
b
a
x ; )
( *
min x
f
f .
119. Вихідні дані: )
(x
f ; )
,
( b
a ; )
,
(
)
0
(
b
a
x ; )
0
(
; 001
.
0
.
1
1
)
1
(
min
)
0
(
)
(
1
k
при
x
k
при
x
x k
k
;
)
(
)
( )
0
(
)
0
(
min x
f
x
f ;
1
1
2
1 )
1
(
)
0
(
)
(
k
при
k
при
k
k
.
120. На k -му кроці ( 1
k ):
1. )
(
)
(
1
)
(
2
k
k
k
x
x
;
Якщо )
(
)
( )
(
1
)
(
2
k
k
x
f
x
f , то пункт 2.
У противному випадку прийняти )
(
)
(
: k
k
і повторити
пункт 1.
Якщо при повторному виконанні пункту 1 )
(
)
( )
(
1
)
(
2
k
k
x
f
x
f ,
то прийняти )
(
)
1
(
2
1 k
k
і повторити пункт 1.
2. )
(
)
(
2
)
(
3 2 k
k
k
x
x
.
Якщо )
(
)
( )
(
2
)
(
3
k
k
x
f
x
f , то прийняти )
(
)
(
2
: k
k
і пункт 1.
У противному випадку пункт 3.
3. )
(
)
(
3
)
(
4
k
k
k
x
x
.
Якщо )
(
)
( )
(
3
)
(
1
k
k
x
f
x
f , то пункт 4.
У противному випадку пункт 5.
121. 4. )
(
1
k
a x
x ; )
(
2
k
b x
x ; )
(
4
k
c x
x і пункт 6.
5. )
(
2
k
a x
x ; )
(
4
k
b x
x ; )
(
3
k
c x
x .
6. )
(
2
)
(
1
)
(
min k
k
b
k
S
S
x
x
;
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
1 c
a
k
k
x
f
x
f
S
;
)]
(
)
(
2
)
(
[
2
)
(
2 c
b
a
k
x
f
x
f
x
f
S
.
122. 7. Якщо a
x k
)
(
min , то a
xopt і кінець обчислень.
Якщо b
x k
)
(
min , то b
xopt і кінець обчислень.
8. Якщо
)
(
)
( )
1
(
min
)
(
min
k
k
x
f
x
f ,
то:
)
(
min
k
opt x
x ; )
( opt
opt x
f
f і кінець обчислень.
У противному випадку ( 1
k )-й крок.
125. Вихідні дані: )
(x
f ; )
,
( b
a ; )
,
(
)
0
(
b
a
x ; ; 001
.
0
.
Попередній етап:
)
0
(
)
1
(
1 x
x ;
)
1
(
1
)
1
(
2 x
x ;
випадку
противному
в
x
x
f
x
f
якщо
x
x
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
2
)
1
(
1
)
1
(
3
)
(
)
(
,
2
.
126. На k -му кроці ( 1
k ):
1. )
(
2
)
(
1
)
(
min
2 k
k
k
S
S
x
;
;
)
(
]
)
(
)
[(
)
(
]
)
(
)
[(
)
(
]
)
(
)
[(
)
(
2
2
)
(
1
2
)
(
3
)
(
1
2
)
(
3
2
)
(
2
)
(
3
2
)
(
2
2
)
(
1
)
(
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
S
.
)
(
]
[
)
(
]
[
)
(
]
[
)
(
2
)
(
1
)
(
3
)
(
1
)
(
3
)
(
2
)
(
3
)
(
2
)
(
1
)
(
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
S
127. 2. Якщо a
x k
)
(
min , то a
xopt і кінець обчислень.
Якщо b
x k
)
(
min , то b
xopt і кінець обчислень.
3. Якщо
)
(
)
( )
1
(
min
)
(
min
k
k
x
f
x
f ,
то:
)
(
min
k
opt x
x ; )
( opt
opt x
f
f і кінець обчислень.
128. 4. Якщо )
(
)
( )
(
3
)
(
1
k
k
x
f
x
f і )
(
2
)
(
min
k
k
x
x , то прийняти:
)
(
1
)
1
(
1
k
k
x
x
; )
(
min
)
1
(
2
k
k
x
x
; )
(
2
)
1
(
3
k
k
x
x
.
Якщо )
(
)
( )
(
3
)
(
1
k
k
x
f
x
f , але )
(
2
)
(
min
k
k
x
x , то прийняти:
)
(
1
)
1
(
1
k
k
x
x
; )
(
2
)
1
(
2
k
k
x
x
; )
(
min
)
1
(
3
k
k
x
x
.
Якщо )
(
)
( )
(
3
)
(
1
k
k
x
f
x
f і )
(
2
)
(
min
k
k
x
x , то прийняти:
)
(
min
)
1
(
1
k
k
x
x
; )
(
2
)
1
(
2
k
k
x
x
; )
(
3
)
1
(
3
k
k
x
x
.
Якщо )
(
)
( )
(
3
)
(
1
k
k
x
f
x
f , але )
(
2
)
(
min
k
k
x
x , то прийняти:
)
(
2
)
1
(
1
k
k
x
x
; )
(
min
)
1
(
2
k
k
x
x
; )
(
3
)
1
(
3
k
k
x
x
.
( 1
k )-й крок.
129.
130. Т
Те
ем
ма
а 5
5.
. М
МЕ
ЕТ
ТО
ОД
ДИ
И Б
БА
АГ
ГА
АТ
ТО
ОМ
МІ
ІР
РН
НО
ОЇ
Ї
Б
БЕ
ЕЗ
ЗУ
УМ
МО
ОВ
ВН
НО
ОЇ
Ї О
ОП
ПТ
ТИ
ИМ
МІ
ІЗ
ЗА
АЦ
ЦІ
ІЇ
Ї
min
)
(
x
f ;
n
E
x
131. 5
5.
.1
1 Г
Гр
ра
ад
ді
іє
єн
нт
тн
ни
ий
й м
ме
ет
то
од
д (
(н
на
ай
йш
шв
ви
ид
дш
шо
ог
го
о с
сп
пу
ус
ск
ку
у)
)
)
1
(
)
(
k
k
x
x
На k -му кроці:
)
(
)
(
)
1
( k
k
k
x
x
x
;
)
(
)
(
)
( k
k
k
e
x
;
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
k
k
k
x
f
x
f
e
;
2
1
)
1
(
)
( )
(
)
(
n
i i
k
k
x
x
f
x
f .
134. Приклад
min
5
4
3
2
)
( 2
1
2
2
2
1
x
x
x
x
x
f
)
2
,
1
(
)
(
k
x
0
10
4
12
2
2
5
4
4
3
2
)
2
,
1
(
f
)
(
)
(
)
(
)
1
( k
k
k
k
e
x
x
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
k
k
k
x
f
x
f
e
2
1
)
1
(
)
( )
(
)
(
n
i i
k
k
x
x
f
x
f
7
0
5
12
4
4
5
6
4
4
)
(
2
1
)
(
x
x
x
f k
7
49
7
0
)
( 2
2
)
(
k
x
f
136. 5
5.
.2
2 М
Ме
ет
то
од
д п
по
ош
шу
ук
ку
у п
по
о д
де
еф
фо
ор
рм
му
ує
єм
мо
ом
му
у
б
ба
аг
га
ат
то
ог
гр
ра
ан
нн
ни
ик
ку
у
Симплекс в n
E .
Вершини симплексу:
}
1
,
1
{
n
i
xi ;
)
,
1
;
( n
j
x
x ij
i
.
137.
138. Визначення координат вершин симплексу:
)
0
...,
,
0
,
0
(
1
x
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
...
...
...
...
...
...
...
...
0
...
0
0
0
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
D
n
n
)
1
(
)
1
1
(
2
1
n
n
n
t
d ;
)
1
1
(
2
2
n
n
t
d .
випадку
противному
в
d
i
j
якщо
d
x
x j
ij
2
1
1
1
,
; 1
,
2
n
i ; n
j ,
1
.
139. Позначення
Вершини багатогранника:
)
,
1
( )
(
)
(
n
j
x
x k
ij
k
i
; 1
,
1
n
i ; ...
,
2
,
1
k
Значення цільової функцїї в вершинах:
)
( )
(k
i
x
f ; 1
,
1
n
i .
}
1
,
1
;
)
(
{
min
arg )
(
)
(
min
n
i
x
f
x k
i
k
i ;
}
1
,
1
;
)
(
{
max
arg )
(
)
(
max
n
i
x
f
x k
i
k
i .
)
(
2
k
n
x – центр тяжіння вершин багатогранника, за виключенням
)
(
max
k
i
x .
Координаты центра тяжіння:
)
(
,
1
1
)
(
)
(
,
2 max
1 k
j
i
n
i
k
ij
k
j
n x
x
n
x ; n
j ,
1
.
140.
141. Алгоритм
Операції на k -му кроці:
1. Визначення )
(
min
k
i
x та )
(
max
k
i
x .
2. Обчислення координат центра тяжіння )
(
2
k
n
x .
3. Якщо
2
/
1
1
1
2
)
(
2
)
(
)]
(
)
(
[
1
1 n
i
k
n
k
i x
f
x
f
n
, то кінець обчислень.
3. Відображення:
)
( )
(
)
(
2
)
(
2
)
(
3 max
k
i
k
n
k
n
k
n x
x
x
x
; 1
.
Якщо )
(
)
( )
(
)
(
3 min
k
i
k
n x
f
x
f
, то пункт 4.
В противному випадку пункт 7.
4. Розтягнення:
)
( )
(
2
)
(
3
)
(
2
)
(
4
k
n
k
n
k
n
k
n x
x
x
x
; 3
2
.
Якщо )
(
)
( )
(
)
(
4 min
k
i
k
n x
f
x
f
, то пункт 5.
В противному випадку пункт 6.
5. Заміна вершини )
(
max
k
i
x на )
(
4
k
n
x та 1
:
k
k
6. Заміна вершини )
(
max
k
i
x на )
(
3
k
n
x та 1
:
k
k
142.
143. 7. Якщо
)
(
)
( )
(
)
(
3 max
k
i
k
n x
f
x
f
,
то пункт 8.
В противному випадку пункт 10.
8. Стиснення:
)
( )
(
2
)
(
)
(
2
)
(
5 max
k
n
k
i
k
n
k
n x
x
x
x
; 6
,
0
4
,
0
.
9. Заміна вершини
)
(
max
k
i
x на
)
(
5
k
n
x та 1
:
k
k .
10. Редукція:
)
(
2
1 )
(
)
(
)
(
)
(
min
min
k
i
k
i
k
i
k
i x
x
x
x
; }
{
}
1
...,
,
1
{ min
i
n
i
.
Далі 1
:
k
k .
144. Замена всех
xi, i = imin
Начало
f(x), x1, t, α, β, γ,
ε
xij; 1
,
2
n
i , n
j ,
1
xi min, xi max
x n+2
{…}12
ε
Отражение: хn+3
Растяжение: хn+4
f(xn+3) f(xi min)
Замена:xi max → xn+4
f(xn+4) < f(xi min)
Замена: xi max →xn+3
xmin, f(xmin), k
Конец
Определение координат
вершин исходного симплекса
Определение координат
центра тяжести
f(xn+3) f(xi max)
Сжатие: хn+5
Замена: xi max →xn+5
Редукция
да
нет
да
да
да
нет
нет
нет
145. Т
Те
ем
ма
а 6
6.
. М
МЕ
ЕТ
ТО
ОД
ДИ
И О
ОП
ПТ
ТИ
ИМ
МІ
ІЗ
ЗА
АЦ
ЦІ
ІЇ
Ї П
ПР
РИ
И
Н
НА
АЯ
ЯВ
ВН
НО
ОС
СТ
ТІ
І О
ОБ
БМ
МЕ
ЕЖ
ЖЕ
ЕН
НЬ
Ь
min
)
(
x
f
m
i
x
hi ,
1
;
0
)
(
;
p
m
i
x
gi ,
1
;
0
)
(
;
n
E
x ; )
,
1
;
( n
j
x
x j
.
146. 6
6.
.1
1 М
Ме
ет
то
од
д л
лі
ін
ні
ій
йн
но
ої
ї а
ап
пр
ро
ок
кс
си
им
ма
ац
ці
ії
ї
min
)
(
)
(
)
(
)
(
~ )
(
)
(
)
(
)
(
k
k
T
k
k
x
x
x
f
x
f
x
f
0
)
(
)
(
)
(
)
(
~ )
(
)
(
)
(
)
(
k
k
i
T
k
i
k
i x
x
x
h
x
h
x
h ; m
i ,
1
;
0
)
(
)
(
)
(
)
(
~ )
(
)
(
)
(
)
(
k
k
i
T
k
i
k
i x
x
x
g
x
g
x
g ; p
m
i ,
1
;
n
k
E
x
)
(
;
n
E
x .
147. opt
k
k
x
x
x
x
x
...
... )
1
(
)
(
)
2
(
)
1
(
Умови збіжності:
1)
R ;
2) всі функції )
(x
f ; )
(x
hi , m
i ,
1
; )
(x
gi , p
m
i ,
1
неперервні та
диференціюємі;
3) функція )
(x
f опукла;
4) сума
m
i
i x
h
1
2
)
( опукла;
5) всі функції )
(x
gi ; p
m
i ,
1
увігнуті;
6) множина R замкнена та опукла;
7) всі функції )
(x
hi , m
i ,
1
; )
(x
gi , p
m
i ,
1
обмежені:
)
(x
hi ;
)
(x
gi , де 0
.
148. Перетворення обмежень-нерівностей в рівняння:
0
)
(
~ )
(
)
(
k
i
k
i u
x
g ; 0
)
(
k
i
u ; p
m
i ,
1
.
Наближення точки )
(k
x до ОДР:
min
)
(
1
)
(
)
(
p
i
k
i
k
v
v
0
)
(
~ )
(
)
(
k
i
k
i v
x
h ; m
i ,
1
;
0
)
(
~ )
(
)
(
)
(
k
i
k
i
k
i v
u
x
g ; p
m
i ,
1
;
0
)
(
k
i
v ; p
i ,
1
.
Ознака завершення обчислень:
)
(
)
1
( k
k
x
x .
149.
150.
151. 6
6.
.2
2 М
Ме
ет
то
од
д ш
шт
тр
ра
аф
фн
ни
их
х ф
фу
ун
нк
кц
ці
ій
й
Вихідна модель:
min
)
(
x
f
m
i
x
hi ,
1
;
0
)
(
;
p
m
i
x
gi ,
1
;
0
)
(
;
n
E
x ; )
,
1
;
( n
j
x
x j
.
Перетворена модель:
min
)]
(
[
)]
(
[
)
(
)
(
1
1
p
m
i
i
i
m
i
i
i x
g
G
w
x
h
H
w
x
f
x
F
0
i
w ; p
i ,
1
.
152. Вимоги до функціоналів H :
якщо 0
)
(
x
hi , то 0
)]
(
[
x
h
H i .
Вимоги до функціоналів G :
якщо 0
)
(
x
gi , то 0
)]
(
[
x
g
G i ;
якщо 0
)
(
x
gi , то 0
)]
(
[
x
g
G i ;
якщо )
(
0
)
(
x
gi , то
)]
(
[ x
g
G i ;
якщо )
(
0
)
(
x
gi , то 0
)]
(
[
x
g
G i .
Приклади
)
(
)]
(
[ 2
x
h
x
h
H i
i ;
)
(
1
)]
(
[
x
g
x
g
G
i
i ;
)
(
1
)]
(
[ 2
x
g
x
g
G
i
i ;
)
(
1
ln
)]
(
[
x
g
x
g
G
i
i .
153.
154. 6
6.
.3
3 М
Ме
ет
то
од
д к
ко
ов
вз
зн
но
ог
го
о д
до
оп
пу
ус
ск
ку
у
Вихідна модель:
min
)
(
x
f
m
l
x
hl ,
1
;
0
)
(
;
p
m
l
x
gl ,
1
;
0
)
(
;
n
E
x ; )
,
1
;
( n
j
x
x j
.
Перетворена модель:
min
)
(
x
f
0
)
(
)
(
x
T
k
;
n
E
x ; )
,
1
;
( n
j
x
x j
.
155. t
m )
1
(
2
)
0
(
;
}
;
min{ )
(
)
1
(
)
( k
k
k
; ...
,
3
,
2
,
1
k ;
2
/
1
1
1 1
2
)
(
,
2
)
(
)
(
]
[
1
1
r
i
n
j
k
j
r
k
ij
k
x
x
r
m
; m
n
r
;
)
(k
i
x и )
(
2
k
r
x – вершина та центр тяжіння багатогранника в n
E з )
1
(
r
вершинами;
2
/
1
1
2
1
2
)
(
)
(
)
(
p
m
l
l
l
m
l
l x
g
u
x
h
x
T ;
0
)
(
1
0
)
(
0
x
g
при
x
g
при
u
l
l
l .
156. 0
... )
(
)
1
(
)
0
(
k
;
Якщо R
x , то 0
)
(
x
T .
Якщо R
x , то 0
)
(
x
T .
Вектор )
(k
i
x називається:
– допустимим, якщо 0
)
( )
(
k
x
T ;
– квазидопустимим, якщо )
(
)
(
)
(
0 k
k
x
T
;
– недопустимим, якщо )
(
)
(
)
( k
k
x
T
.
157. Стратегія методу
opt
k
k
x
x
x
x
x
x
...
... )
1
(
)
(
)
2
(
)
1
(
)
0
(
З стартової точки )
(k
x розв’язується основна задача:
min
)
(
x
f
та визначається точка )
1
(
k
x .
Якщо )
(
)
1
(
)
( k
k
x
T
, то здійснюється переміщення з )
(k
x в )
1
(
k
x .
Якщо )
(
)
1
(
)
( k
k
x
T
, то замість )
1
(
k
x відшукується інша точка )
1
(
k
x :
допустима або квазидопустима.
Для цього зі стартової точки )
1
(
k
x розв’язується допоміжна задача:
min
)
(
x
T .
Умова завершення допоміжної процедури:
)
(
)
1
(
)
( k
k
x
T
.
Після цього: )
1
(
)
(
k
k
x
x .
158. Нульовий крок пошуку
1°. В n
E будується симплекс ( f -симплекс) з )
1
(
r вершинами, призначений для мінімізації
)
(x
f .
Початкова вершина )
,
1
( )
0
(
)
0
(
1 n
j
x
x j
задається.
Координати інших вершин обчислюються, виходячи з рекомендованої відстані між ними:
n
j
a
b
a
b
n
t j
j
n
j
j
j ,
1
),
(
;
)
(
2
,
0
min
1
,
де j
j
j b
x
a
; n
j ,
1
.
2°. Визначається вершина
}
,
1
;
)
(
min{
arg )
0
(
)
0
(
min
n
j
x
f
x i
i
.
3°. Якщо
0
)
( )
0
(
)
0
(
min
i
x
T , то пункт 4°.
В противному випадку пункт 6°.
4°. Виконується один цикл безумовної мінімізації )
(x
f методом пошуку по деформуємому
багатограннику.
5°. Виконується заміна:
– або точки )
0
(
max
i
x на одну з точок: )
0
(
3
r
x , )
0
(
4
r
x чи )
0
(
4
r
x ;
– або всіх точок, крім )
0
(
min
i
x (після операції редукції).
На цьому нульовий крок завершується.
159. 6°. Якщо
0
)
( )
0
(
)
0
(
min
i
x
T ,
то в n
E будується другий симплекс (T -симплекс) з )
1
(
n вершинами,
призначений для мінімізації )
(x
T в околі )
0
(
min
i
x .
Початкова вершина
)
0
(
)
0
(
1 min
ˆ i
x
x .
Координати інших вершин обчислюються, виходячи з рекомендуємої
відстані між ними:
)
0
(
05
,
0
t .
7°. Реалізується процедура безумовної мінімізації )
(x
T в околі )
0
(
min
i
x
методом пошуку по деформуємому багатограннику.
Процедура завершується знаходженням точки )
(
min
ˆ s
i
x , яка задовольняє
умові допустимості/квазидопустимості:
0
)
ˆ
( )
(
)
0
(
min
s
i
x
T ,
де s – кількість реалізованих кроків алгоритму.
8°. Проводиться заміна: точка )
(
min
ˆ s
i
x вводиться у склад вершин f -
багатогранника замість вершини )
0
(
max
i
x .
На цьому нульовий крок завершується.
160.
161. k-й крок пошуку
1. Проводиться один цикл безумовної мінімізації )
(x
f з
використанням f -багатогранника, побудованого на нульовому кроці.
2. Визначається вершина
}
,
1
;
)
(
min{
arg )
(
)
(
min
n
j
x
f
x k
i
k
i
.
3. Якщо
0
)
( )
(
)
(
min
k
i
k
x
T , то пункт 4.
В противному випадку пункт 6.
4. Перевіряється умова закінчення пошуку:
)
(k
.
Якщо вона виконується, то обчислювальний процес завершується.
В противному випадку пункт 5.
5. Проводиться заміна:
– або точки )
(
max
k
i
x на одну з точок: )
(
3
k
r
x , )
(
4
k
r
x чи )
(
4
k
r
x ;
– або всіх точок, крім )
(
min
k
i
x (після операції редукції).
Далі 1
:
k
k .
162. 6. Якщо
0
)
( )
(
)
(
min
k
i
k
x
T ,
то в n
E будується новий симплекс (T -симплекс) з )
1
(
n вершинами, призначений для
мінімізації )
(x
T в околі )
(
min
k
i
x .
Початкова вершина )
(
)
0
(
1 min
ˆ k
i
x
x .
Координати інших вершин обчислюються, виходячи з рекомендованої відстані
між ними:
)
(
05
,
0 k
t
.
7. Реалізується процедура безумовної мінімізації )
(x
T в околі )
(
min
k
i
x .
Процедура завершується знаходженням точки )
(
min
ˆ s
i
x , яка задовольняє умові
допустимості/квазидопустимості:
0
)
ˆ
( )
(
)
(
min
s
i
k
x
T .
8. Проводиться заміна: точка )
(
min
ˆ s
i
x вводиться в склад вершин f -багатогранника
замість вершини )
(
max
k
i
x .
Далі 1
:
k
k .
