8_gdz_a_bil.pdf

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ. ДОПУСТИМІ ЗНАЧЕННЯ ЗМІННИХ.
Вправи для закріплення
1. Ц ілі раціональні вирази: 1); 2);
5); 6); 7); 8); 13); 14); 15); 16).
Дробові раціональні вирази: 3); 4); 9);
11): 12).
3. Якщо т ■
= -2, то
т ' - 4 (-2 )' - 4 4 - 4
2т 2 (-2)
Якщо /
І = 1, то
-4
= 0.
(-1)^ - 4
2 •(-1)
1 - 4 -З
= 1,5.
-2 -2
Якщо m = 1, то
2 1 2^ 2
Якщо т = —, то
II-4 1 - 4 з
- = і = -3 ^ .
1 1 4
^ ' 2
Якщо 7
П = 2, то
2 ^ -4 4 _ 4
2 2 4
4. 1) Якщо а = 5, X = -7, то
а - х 5 - (-7 ) 5 + 7 12
“ 5 + ( - 7 ) “
= 0.
а + X
2) Якщо m = О, то
Якщо т = -5 , то
т -5
5 - 7 -2
т
= -6.
О
= 0.
-5
+ 5 (-5)" + 5 25 + 5 6
3) Якщо д: = -2, [/ = 2, то
Зу + 2х ^ З ■2 + 2 ■(-2) ^ 6 - 4 ^
“ -4
Х - У - 2 - 2
4) Якщо о = 0,5, то
-4
4а^ - 1
а + 6
4 (0 ,5 )^ -1 4 0 ,2 5 -1 1 -1
0,5 + 6 6,5 6,50
= 0.
5. ху = 28; 1) X = — ; 2) у = — .
^ 28 ^
Якщо у = 14 см, то г = — = 2 (см).
1 4
6 . “ 4 0 0 ; m = i ^ .
Якщо Л = 16, то т =
400
16
= 25.
7. Оскільки дріб існує, коли зна
менник відмінний від нуля, то знахо
димо ті значення змінних, що пере
творюють знаменник на нуль.
1) ^
х - 2
Х:^2-,
2)
х + 4
X Ф -4;
3)
; X - 2 = 0; д: “ 2; ОДЗ.
: X + 4 = 0; л = -4 ; ОДЗ.
-; х(х - 3) = 0; X = О або
х(х - 3)
X = 3; ОДЗ. X ^ 0; j: 3;
4) : л:(4 + д:)= 0; д: = О або
д:(4 + X )
X = -4 ; ОДЗ. X 0; X -4;
7 - х ‘
5) -; 2х(х - 1) = 0; д: = О
2д:(д: -1 )
або X = 1; ОДЗ. х * 0; х ^ 1;
^ - 7 7 - ^ : 3jc
(4j
c + 8) = 0; д
: - о
Зх(4х + 8)
або X =
= -2 ; ОДЗ. х 0; х it -2 ;
7 - х
7) оскільки 9 + > о при
9 + д:‘
будь-яких значеннях х, то дріб існує
при будь-яких значеннях змінної х;
8 + х
8) 2x^ + 5 > 0. Дріб існує
2х‘ + 50;
при будь-яких значеннях х.
8. 1) Якщо а = -2, то
4 а - а ‘ 4 (-2 ) - (-2)^ .. ~8 - 4
а + 3 ~ -2 + 3 ~ 1
А = -12.
2) Якщо г
> = З, то
7Ь 7 3 21
= -12;
У ~2 3 ^ - 2 9 - 2
= 3; В = 3.
3) Якщо с = — , то 4 с*-1 6 с + 3 =
2 2^
= 4 -1 6 + 3 = 1+ 8 + 3 = 12;
1
2
С = 12.
2А + З В - - С = 2 (-12) + 3 3 - ^ 1 2 =
= -24 + 9 - 4 = -19.
9. Ш лях, що пройшов один мото
цикліст 35і км. Ш лях, що пройшов
другий мотоцикліст at км. Рівняння
35( + at = 70; г(35 + а) = 70;
70
t = ■
35 + 0
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

70
35 + 21
Я кщ о а = 21 км/год, то t =
70 , 5 , ^
^ = t = - (год).
10. Швидкість човна за течією (и + 3)
U . 3 0
км/год. Час руху за течією ----
V + О
Ш видкість човна проти течіє {v - 3)
26
км/год. Час руху проти течіє
V - 3
Загальний час руху човна
ЗО ^ 26
у + З V - З
1
1
, Оскільки дріб існує, коли знамен
ник відмінний від нуля, то знаходимо
ті значення змінних, що перетворю
ють знаменник на нуль.
1) а‘ - 2 а + — . ОДЗ. а ^ 0.
= За
2) ОДЗ. а * 0 .
а
3) ; а(Зо + 3) = О, а = О
' а(За-ьЗ)
або а = -1. ОДЗ. а * 0; а * -1.
4) ^ ----; 2а{4а + 2) = О, о = О
2а(4а-н2)
або а = ОДЗ. а ^ 0; а ^
5)
а а + 6
; а + 6 = О, а = -6.
ОДЗ. а * 0; а * -6.
6)
3 - а а-н2
а + 2 = О, а = -2. ОДЗ. а * 3; а * -2.
7а
^ -н— З - а = О, а = 3;
7) 9 = 0; а" = 9, а = З,
а ' - 9 ’
а = -3. ОДЗ. а ^ 3; а ^ -3.
8) 4 - ^ ; - 25 = 0; = 25,
а ^ - 2 5
а = 5, а = -5. ОДЗ. а ^ 5-, а * -5.
12. 1) — <0; 2) — <0; 3) — > 0;
П П П
Л

^ А
4) — > 0.
п
13. Раціональний дріб дорівнює нулю,
якщо його чисельник дорівнює нулю,
а знаменник відмінний від нуля.
1) 7 - х
2) ф ; 2 - . .
’ 0; X = 7.
0-, X = 2.
3)
4)
5)
а -І-5
а - 2 ’
У - 1 .
У + 1’
H t - 1 )
У - 1 = 0;
у + 1 * 0 ;
0 + 5 = 0;
а - 2 ^ 0;
а = -5;
а * 2 .
у = і;
у ^ - 1 .
t(t - 1) = 0;
t + A * 0 ;
t = О або
6)
х(х + 2)
х - 7 '
X = О або X = -2 , X * 7.
х(х + 2) = 0;
х - 7 * 0 ;
14. 1)
а - 7
= 1; а - 7 = 3; а = 10;
2) ^ = 0; а - 7 = 0; а = 7;
3
3) ^ ^ = 3; а - 7 = 9; а = 16;
3
4) = -2; а - 7 = -6; а = 1.
3
15. 1)
t
- 6 t + 9
(t - З)^' - 0; і = 3;
Of + /2
2) ------; + iOt + 25 = 0;
’ t^+10t + 25
{t + 5У = 0; t = -5;
- 100 = 0; <
2 = 100;
-100
t = 10; t = -10;
- 16i = 0;
t’
‘ - 16t
<(<2 - 16) = 0; < = 0 або - 16 = 0; f
= 0; і = 4; і = -4;
пч 6 2ґ
5) — і
— ;----- .
t г' -1
Знаходимо значення змінної f, при
яких не має змісту кожен дробовий
вираз.
( = 0; - 1 = 0; f = 1; і “ -1.
; (( - 6)“>= 0; і = 6.
_ І
Р
ъ
І
‘і
О
С
5
LD
□С
0
го
1
Т
> ч
Q.
5
Ъ
о
З
ю
ш
І—
с :
<
( і - 6 )
16. 1) = 0;
г + 2
- 16 = о, t = 4; < = -4;
t + 2 * 0 , t ; t - 2 ;
2 ) ^ = 0;
2
Д
Г+ 6
81 - д:' = О, д
: = 9; X = -9;
2х'+ 6 * 0 , х : * - 3 ;
1Л
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

- 6 t + 9 = 0;
t + 3 ^ 0 ;
a^+2a + l = 0;
a - 1 0;
3 ) £ l ^ = 0; .
t + 3
(f - 3)' = 0, і = 3;
t Ф -3;
4) g l.t 2 . ° t l = 0;
a -1
(a + 1)^ = 0, a = -1;
a
17. 1) Якщо A
C > 8, TO - — - > 0.
X - 5
2) Якщо a > 3, TO - — ^ > 0.
fl + 8
771 — 4
3) Якщо m < 0, TO -------- > 0.
m - 5
4) Якщо у < -15, то ^ ■> 0.
І/-1 0
5) Якщо m < 8, то ------< 0.
+2
6) Якщо а > -2 , то ° ^ ^ > О.
а + З
Дріб набуває додатних
18. 1)
значень, якщо чисельник і знаменник
мають однакові знаки 5 > О, + 2 > О
при будь-яких значеннях змінної t.
5
Отже,
2) -
t‘ +2
4
> 0.
Ґ + 8
. 4 > О, + 8 > О при
будь-яких значеннях змінної і. Отже,
< 0 .
3)
t‘ +8
Є +5
. Дріб набуває від’ ємних
значень, якщо чисельник і знаменник
мають різні знаки -t- 5 > О, - 1 =
= -(f^ + 1) < 0. Отже, — ^
4) -
5)
-а^ - 4
а"-н2
« - 2 f
Є + ь
Ла" + 4)
а ' -1-2
. - t ‘
> 0 .
<0 .
: (і - 2)2 > 0; Ч
- б > 0.
Отже,
+5
(у + 4)^ (у + i f
6)
-у^ - 9 -(у^ + 9)
<0 .
19. 1) ^ = 0=
- 9 = 0;
f -I- З 0;
2)
t = З, t = -3;
t * - 3 .
x ' -1 6
= 0;
X - i
x = 4-,x = -4;
X ^ A.
Відповідь: t = 3.
-1 6 = 0;
л: - 4 ?! 0;
Відповідь: x = -4.
3 )
- 4m - 0;
m Ф O
',
m = 0; m = 4
-,
ПІФ 4.
m(m - 4) = 0;
тф 4
-,
Відповідь: m = 0.
y^ +6y = 0;
у -I- 6 ^ 0;
у = 0
-, у = -6;
4) ^ = 0;
у + 6
y(y -ь 6) = 0;
У ф -6; у Ф -6.
Відповідь: у = 0.
Вправи для самооцінювання
1. г), бо дріб містить змінну в зна
меннику.
2. б), бо якщо X = -2 , то
8 - х ‘ 8 - (-2)^^ 8 - 4
2■(-2)
- = -1.
2х 2■(-2) -4
3, в), бо t + 6 Ф 0; t Ф —
6.
4. в), бо якщо X = -5 , то
4Х + 20 4 •(-5 ) -ь 20 -20 -н20
= 0.
JC-11 - 5 - 1 1 -1 6
5. в), бо (і ~ 7У > 0; + 9 > 0.
Оскільки перед дробом стоїть знак мі
нус, то значення раціонального дробу
не додатне.
6. а), бо = -3; 9 - 4х = -15;
4х = 24; X = 6.
7. в), бо при f > 8; 8 - f < 0;
г -I- 6 > 0.
Оскільки чисельник и знаменник
мають різні знаки, дріб набуває
від’ємних значень.
8. г) Швидкість катера проти течії
річки (х - 2) км/год.
Час руху проти течії
32
х - 2
(год.).
Ш видкість катера за течією ( х + 2)
км/год.
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

Час руху за течією
24
(год.)-
х + 2
Час, який катет витратив на весь
32 24
д б), бо ^ 1 ^ = 0;
J
C+ і
64л - x ^ = 0;
X + 8 ^ 0 ;
X = О, X = 8, X = - 8 ;
д: ^ -8.
Відповідь: О і 8.
х ( 6 4 - х ^ ) = 0;
х Ф - 8 ;
Вправи для повторення
20. 1) j X + 0,5 2 = 0,2д: + 3,4;
1,2х + 1 = 0,2х + 3,4; х = 2,4;
Зж + 31 = 3,5 + 0,5х; 2,5х = -27,5;
X = -11; 2,4 X (-1 1 ) = -26,4;
2) (З д :-5) і = 2 д :-1 5 | ;
ж - - = 2 х - 1 5 - : д: = 1 5 - - - ; ж = 14:
3 3 3 3
2j/ + 0,21 = 0,5y + - ; l,5i/ = - - 0 ,2 1 ;
8 8
1,5у = 0,165; у = 0,11;
14 X 0,11 = 1,54.
3) -1 - 1 ,5 1 - 2 = 2 ,7 - 0 , 2х;
у
J jc - 3 = 2 ,7 -0 ,2 x ;
5
0,8х + 0,2л: = 5,7; л:
4у - 13 = 1,5г/; 2,5у
5,7 X 11 = 62,7.
5,7;
27.5; у 11;
4) ( 5 д : - 4 ) - і = 2 д :-5 ,6 ;
4 “
ж --^ = 2д:-5,в: ж = 4,8;
5
Ту - 1,5 = 4,5у + 1,25;
Ту - 4,5у = 1,25 + 1,5;
2,5у = 2,75; у = 1,1.
4,8 X 1,1 = 5,28.
21. 1) 2х{х - 3) = х(2х - 5) - 17;
2х^ - 6х = 2х^ - 5л: - 17;
X = 1Т — єдиний корінь.
2) {2х - 1)(2х - И ) = х { і х + 7) - Т(х + 2);
4х^ - 1 = 4х^ + Тх - Тх - 14;
0:с = -13 — жодного кореня.
3) (Зх - 2У - 19х = (9х + 5)(х - 4) + 24;
9х^ - 12* + 4 - 19JC = 9х^ - Збх + 5 х -
- 20 + 24;
Ол: = О — безліч коренів.
4) 5х(х - 3) + 7 = 5(х -f 1)2 + 2;
5х‘ ~ 15х + Т = 5х^ + 10х + 5
-25ж = 0; ж = О — єдиний корін
22. Нехай через X хвилин у резерву
арах води стане порівну.
1900 + 400 X = 7500 - ЗООх;
700* = 5600.
Відповідь: через 8 хвилин.
23. 1) 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,8;
2) 0,03; 0,27; 0,41; 0,69; 0,99;
3) 0,15; 0,35; 0,5; 0,75; 0,85;
4) 0,0125; 0,125; 0,375; 1,25; 6,25.
24. 1)
L 1 , 2 ^ 1 „ ї ї
2 --І-1 -
. 2 3 ;
3 - - 2 -
2 3, = к -
4-4
6 в )
= 4 І : 1 І = ^ Д
6 6 6 6 ■ 7 ’
2) 7 І - 1 І
6 6 )
= 5 ^ : 4 ^ = ! °
6 12 7
3) 0,3 : (1,02 + 1,98) = 0,3 : 3 = 0,1;
4) - :( 1 ,0 2 - 0 ,2 2 ) = | :0 ,8 = -і.
5 5 2
§ 2. РАЦІОНАЛЬНИЙ ДРІБ. ОСНОВНА ВЛАСТИВІСТЬ ДРОБУ
25. 1) а; 2) 7 т ^ 3) 6с;
4) ТтЫс-, 5) ТтЫс; 6) 13; 7) 12х^уЄ-,
8) 9a‘ fc»c^
6 х 2 х - 3 ,
9 3 3 ’
3)
5)
7)
8* 2 4*
4)
12^* Зу 4*
Зх^у х ‘ Зу _
9у З
21т^п____________
42т^п‘ 6 п Т т ‘п ’
6)
Зу ' ' 15аб'
З Тт^п
9аЬ _ ЗЬ -За
24^ “ 8 -За ’
ІОа^б 2а -ЬаЬ
ЗЬ ЬаЬ ’
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

8 )
lOOa^xy* lOOa^xy^
200a^x‘y‘ “ 2x 100a^xy'‘
27. 1)
2)
3)
5)
7)
63m x^ 3x‘
42m^x 2m^
25px* x '
15t^x 3t'
40ix' ~' 8x ’
-12a'x -2a
18ax 3
-2m'n -1
: 6)
бт^п^х _ 1
ISm^n^x^ 3x ’
396m' 3ft
28. 1)
4m^n^ ~ 2n ’
Ibm^x
30mx^
-26cm ' -2c ’
-0 ,6m'fe -3b
0,2am' a
m 24a'fe _ ^
2x‘ ’ 3ab* ~ '
3)
Tc^xy _ 1 -bamy _ 3
ic^xy‘
‘ 2cy' -ba^my a ’
80a'
-6mn n 24a^j;
-18ma a ' 0 ,3a*'
.
■gio -
29. 1)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
( 2 ' f
45 (2')®
3" _
^ - 3 -
9' “ 3‘
81* (3‘ )‘
3.6
27* (3^)*
3.5 3,
8 " (2 *)" З“'
Іб ” (2*)» 2^6
25' (5 ')'
^ 1 -5 -
125 5“ 5^
27* (3^)* 3 " _ 1
9’ (3 ')’ 3'* 9 ’
10“ 10‘* 10'*
100'‘ (10')* “ 10*' ~
16’ (4')' 4“
— - 4”
64 4* 4'
1 0 ’
30. 1) Z f c 3 ) = £ L . ,, 3 ;
5 { x - 3 ) 3
7 ^ ^ 7
x(a + 4) x
3) 11В(МЛ^ = ^ , а ^ 0 , у * - 8 ;
na(y + 8) n
'>‘1 1 ) 5a + 15b 5(a + 3fe) g + 3fc
lOab ~ lOafc ^ 2ab '
2 )
lO x - 2 0y 10(д: - 2 y ) x - 2 y
l O x y l O x y xy
3 ) Tx + 7y _ 7(x + y) ^
X + у X + у
a + b a + b 1
3b + 3 a ~ 3(b + a ) ~ 3 ’
5)
6)
m - mn m(m - n)
m - n
x ' +6 x
m - n
x{x + 6)
= m;
x + 6
>
2
д: + 6
49 14 - 3)' _ m - 3
2 (m -3 ) 2 ’
(7 + д:)' _ 7 + д:,
3(x + 7)
4 m - 2
(2m - 1 )'
6 - 8 x
3
2(2m -1 )
' (2m - 1 )'
2(3 - i x )
2m- 1 ’
2
(3 - i x f (3 - 4 x f 3 - A x ’
( 3 - х ) ' ( 3 - х ) ' ^ x - 3 .
2x - 6 2(x - 3) 2 ’
15-■6m 3(5 - 2m) 3
(2m - 5 )' (2m - 5)' 5 - 2m ■
t. 1 )
- 4
2 f+ 4
(( - 2){t + 2) t
2(t + 2)
- 2
2 ’
2 5 - x ' (5 - x)(5 + X) 5 - X
2x + 10 2(x + 5) 2 ’
6xm + 18m 6m(x + 3) 6m
9 - x ' (3 - x)(3 + X) 3 - х ’
3x' -■15x1/ 3x(x - 5y) 3x
x ' - 25i/' ■ (X - 5i/)(x + 5y) x + 5y
a ^ - 16a a(a' -1 6 )
a + 4a a(a + 4)
a(a - 4)(a + 4)
= a - 4;
6)
a(a + 4)
t' - 9 t f ( i - 9 ) Ш - 9)
8 U - f " < (8 1 -(') i(9 - 0 (f + 9)
t(9 - t) ___ ^
i(9 - f)(9 + <) 9 + f ■
34. 1)
-m - n -{m + n)
- 2 - х -(2 + x) 1 .
(X + 2)' (x + 2)' X + 2 ’
7x + 14 7(x + 2) 7(x + 2)
( - X - 2)'
7
( - ( X + 2))' (X + 2)'
4)
x + 2 ’
(-4 - 3m)' (-(4 + 3m))'
6m + 8 2(3m + 4)
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

(4 + ЗтУ _ 4 + Зт
'' 2(3т + 4) “ 2
5)
(-3 - т)
,2009
(-3 - т)
_(3 •
- m f
(3 + т ) '
6)
( - 3 - т ) "
(-(3 + т))™ "
“ (-(3 + т ))"“ “
= -(3 + т );
(-(3 + т))^“ *
(3 +
1
(3 + m)""”
(З + тГ"'' ______
(З + 3 + т '
- 2a + 1 (a
35. 1)
2)
I f
a - 1
+ 4d + 4
a - 1
(d + 2 f
= a -1;
3)
4)
5)
6)
d + 2
(t + 3) 2
+ 6f + 9
d + 2
(t + 3) •2
= d + 2;
2
(t + 3)^ t + 3 ’
4c* + 20c + 25 (2c + 5)' 2c + 5
4 c+ 10 2(2c + 5) 2 ’
- Є +100 100- i ' 1 0 - t
f' + 20< + 100 (f +1 0 )' t + i o ’
n ' - 1 8 Л + 81 (n - 9)' 9 - n
81 - n ' (9 -Л Х 9 + П)
4a‘ - 2bb‘
‘
9 + n
4a"'- 20ab + 25ft'
(2a - 5b)(2a + 5b) 2a + 56
3)
(2a - 5b)‘
36л' - m'
2a - 56 ’
4)
+ 12mn + 36n'
(6n - m)(6n + m ) _ 6 n - m
( m + 6 n f m + 6 n '
49a' - 42a + 9 (7a - 3)'
5)
49a' - 9
7 g - 3
7a + 3 ’
x ' -1 6 6'
' (7a - 3)(7a + 3)
6)
___________________ ( x - 4b)(x + 4b)
166' - 8bx + x^ ~ (46 - д:)'
£ ± i * .
J
C- 46 ’
j/' - 1861/ + 816' (y - 96)'
(96 - y)(9b + y)
816' - i/'
^ 9 b - y
9b + y '
37 1 ) 4 m '- n ' (2m -n )(2m + n)
n + 2m n + 2m
= 2 m - n - .
2)
a - 3 b a - 3 b
96' - a' (3n - a)(3n + a) 36 + a ’
3 ) ^ = (2 + W b 2 l ± £ ! ) = 4 _ 2 , + ,^
#+2 f +2
1 + a
1 + g _
1 + a ’ (1 + a )(l - a + a ') 1 - a + a '
m - 5 m - 5
m
"* -125 ~ (m -5 )(m ' + 5m + 25) '
1
m ' + 5m + 2 5 ’
6)
6 4 + У'' (4 + i/ )(1 6 - 4 y + i/') _
4 + 1
/ 4 + 1
/
= 1 6 -4 i/ + i/'.
38. 1)
ca + me + га + m2
2a + 2m
c(a + m) + 2(a + m) (a + mXc + z) c + z
2)
2(0 + m)
2 + с - 2c - c'
4 - 4 c
(2 + c )(l - c)
2(a + m)
(2 + c) - c(2 + c)
4(1 - c)
2 + c
3)
4(1 - c) 4
m + n + mn + n ' _ (m + n) + n(m + n)
6(m + n)
4)
6m + 6n
(m + n )(l + n)
6(m + n)
а л + X + 2 + 2a
1 + n
x (a + 1) + 2(1 + a)
3 x - 6
(a + l ) ( x + 2)
3(x + 2)
a + 1
5)
3 (ї + 2) 3
g ' - а6 - 4a + 46
1 6 - g '
(a - 6)(a - 4)
a(g - 6) - 4(g - 6)
(4 - g)(4 + g)
6)
- Д - ^ .
(4 - g)(4 + a ) “ ~ 4 + a ’
3m - b x + m x - 36 _
9 - д :'
(3m - 36) - (bx - m x ) _
9 - л : '
3(m - 6) - x(b - m ) _
(3 - д:)(3 + x )
(m - 6)(3 + x ) _ m - b
(3 - x)(3 + X)
x ^ + x '
39. 1)
3 - х
x ‘ (x ' + l)
X' + д:' x '( x ' + 1)
X = -0 ,5 , TO x ' = (-0,5)2 .
= X . Я к щ о
= 0,25.
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

2)
3)
4)
a” + a‘“ a 'd + a'")
a’ + a '“ a '(l + a'")
1
3 ’
1 1
a 1
= -3
y^-y '^ y^ä^-
y ' ^ - l - (1 - ,y " ) ■
1 2 n
7 ' TO - у - = -
7 j
-i^ - - t 4 i + «‘ )
= —. Якщ о
- - у . Якщ о
'4 9 '
Якщ о
t = - , то - Є = -
5
40. 1)
5Ь‘ 106' ’
2)
125
Зх
6а 6а'
4т^
5а'
10а lOOaty^’ .
13fj^ 130Єу^ ’
9тх^
2т^х ’
1 2 т 'у '
х^у" 12х^у"
41. 1)
2)
3t IStxa
8 a V 4 8 a V x ’
5 6b‘
48a‘x ■
1
48b‘x ■
7
6a‘bx
a
2 4 a V
2x
■4 8 a V x ’
4 8 a V x ’
56ab
4 8 a V x ’
2ax
" 48a^b‘ x '
32x
3)
4)
5)
^За^Ь^х 48a^b^x
42. 1) 3a'; 2) 4x; 3) 2y^; 4) 4 - a;
5) (3 - a); 6) у + 2m.
X x { m - 3)
“ (m - 3)' ’
У
. - 3
_ i/(6 + a) .
6 - а 36 - a' ’
3b 15bx
2)
3)
4)
5)
6)
ft” + 2bc + c‘ 5x(b + c)'
6 6 _ .
x - y y - x ’
x x{x + 3)
x - 3
12x
9 - x ^
12x{m^ - m + 1)
/
П+ 1 (m + l)(m ' - m + 1)
12д:(т' - m + 1 ).
m" +1
7)
5b 5b(9 + 3c + c ')
8)
3 - c (3 -c )(9 + 3c + c')
5fe(9 + 3c + c ')
2 7 - c "
3ft 3ft(ft - c)
ft' + f>c + c'
3ft(ft - c)
ft^ -c ' ■
(ft + fee + с )(ft - c)
44. 1)
(2 x -2 ft)' (2 (q -fc ))'
(a - ft )' (a - ft )'
4 (g -ft)'
(a - ft )'
(д:-;/)' (:«:-i/)' C c -y )' 1
(Зд: - Зі/)' (3(x - у))' 9(л: - j/)' 9 ’
(2(2д: - y )f
(4 x - 2 y ) _
4 «' - у ' (2л - y)(2x + у)
4 ( 2 x - y f 4 ( 2 x - y )
(2x - y)(2x + y) 2x + у
^ t' + 8t + 16 _ (t + 4)' (t + 4)' 1
{2t + 8)' (2(f + 4))' 4(t + 4)' “ 4 ’
(3 a + 9)' ^(3(g + 3))' ^ 9(a + 3)' ^
a' + 6a + 9 (a + 3)' (a + 3)'
(3(;c + 3 m ))'
(3m + x f
{3x + 9m)
(3m + xY
_ 9(x + 3m)'
= 9;
(3m + x f
{6x + 4 y f (2(3x + 2y)f
9x' - 4i/' (3x - 2y)(3x + 2y) "
4{3x + 2y f 4(3x + 2y)
{3x - 2y)(3x + 2y) ^ 3 x - 2 y '
8) 4x' - y ' _ (2x - y)(2x + y)
(by + Oxf (5(4 + 2 x ) f
(2x - y)(2x + y) 2 x - y .
25(y + 2 x f 25{y + 2x)'
{5{x - 2m))'
{5 х - 1 0 т Г
(2m - x f (2m - * )'
2 5 { x - 2 m f
( 2 m - x f
= 25.
16a'ftc‘’ 2c' ■Ba'ftc
1. 6), бо
2. 6), бо
120m'n^x' ^ ______
140m’ n'x 1 4 m '■10m® •n’ x 14m'
24a’’ft'e 3ab ■Sa'ftc
12л: lOn^x m
® 12x
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

в), бо
3. г), бо
4, а), бо
64 -
140т’ п’ ї
I x
120m’‘n'x^ _ 6a: ■20m''n^ ■д: _ бдг
7m^ •20m* n'x Im^
7;c l2 a V
3a'ft ~ 36a‘ fcc’
_ (8 - m)(8 + m) _ S - m
m^ + 16m + 64 (m + 8)^ m + 8
, = 1 8 a '-6 0 a 6 + 5ab"
5- 2 5 b--9 a- =
2(9a--30ab + 25fe-) 2(3a-5b)-
° (5b - 3a)(5b + 3a)
2(5fe - За)-
(5b - 3a)(5b + Зо)
100- і -
(5b - 3a)(5b + 3a)
2 (5 b-3 a)
5b + 3a
(1 0 -0 (1 0 + 0
° (i- 1 0 )- (i-1 0 )-
(10 - 0(10 + 0 10 + f
(10 - t f 10 - t ’
Ч y' + 2y + l (y + 1)-
1 - у - (l- j/ )(l + !/)
_ y + i .
1 - у ’
e), бо
/ - 16p _ p(p- -1 6 ) _
(p + 4)(4 - p ) (p + 4)(4 - p)
_ p ( p - 4 ) ( p + 4) p(4 - p) ^
(p + 4 )(4 - p ) 4 - p
7 fin _ ( z £ ^ = _ H £ ± 4
(a + х Г
( X + а У '
(а + X ) "
8. г), бо
(а + х Г
)
^ = - ( х + а) = - X - а.
2 - х _ (2 - х)(-т(т + 5))
т + Ъ -m (m -+ Ю т + 25)
_ - т (2 - х)(т + 5) _ т(п - 2)(т + 5)
-m (m + 5 f - 10m -- 25m '
(-Зх - 60- _ (~3(л: + 20)-
-5 л:-1 0 « -5 (х + 20
9. г), бо
^ 9 (. . 2 0 - _ 9
-5(х + 20 5
Якщо X + 2t = , то
о ч ^ 5 3
- ^ ( " " ' " > = - 5 їїї = - ї -
45. 1) 0,25а- - 6а + 36 = (0,5а - 6)- =
= (0,5а - 6)(0,5а - 6);
2) - 4 х ‘ + 4х - 1 = -(4ж- - 4д: + 1) =
= ~(2х - 1)- = ~(2х - 1)(2х - 1);
3) /пх^ + 4тд: + 4 т = т(х‘ + 4х + 4) =
= т(х + 2)- = т(х + 2 )(т + 2);
4) -а^ + 6а- - 9а = -а(а- - 6а + 9) =
= -а(а - 3)- = -а(а - 3)(а - 3);
5) 5<2 + 5;/^ - = 5(t^ - 2ti/- + і/П =
= 5(t - j/2)- = 5(« - - !/-):
6) ■
1 2 3
- —+ - m -m fi _ 1 2 3 6
— m + m
9 3
f l ЗІ
2
1
,9 '
Я
3
f l a'
/
—— - - m = - — m — m
ІЗ ^ {3 /U у
46. 1) ab + bc + ca + c- = b(a + c) +
+ c(a + c) = (a + c)(b + c);
2) m + с + c® + mc^ = (m + c) +c^(c +
+ m) = (m + c )(l + C-);
3) (a - b)- - ca + cb = (a - b)- - c(a -
- b) = (a - b)(a - b - c);
4) X - !/ + 3(1/ - Л)- = (X - I/)+ 3(д: - уУ =
= (X - j/)(l + Зд: - ЗуУ,
5) (2a + 3)- - (а - 1)- = (2a + З - а + 1)(2а +
+ 3 + а - 1 ) = (а + 4)(3а + 2);
6) (4х - 2)- - (х - 2)- = (4д: - 2 - д; +
+ 2)(4х - 2 + X - 2) = Зх(5х - 4).
47. 1) 8* + 8’ - 8“ = 8« X (8- + 8 - 1) =
= 8' X 71 : 71;
2) 9’ - 9« + 9= = 9'> X (9- - 9 + 1) =
= 9= X 73 ; 73;
3) 11® + 11* - 11' = 11’ X (11- + 11 -
- 1) = 11’ X (121 + 11 - 1) = 11’ X
X 131 ; 131;
4) 13“> + 13“ - 13* = 13* X(13- + 13 -
- 1) = 13* X 181 :і8 1.
7а
48- 1 ) о
2 а + 5
ОДЗ. и “ 2,5.
2) ;
5а(а + 11)
або а = -11. ОДЗ. а / О, а / - И .
2а + 5 = 0; а = -2,5.
5а(а + 11) = 0; а = О
m + 4
3) —5 г: m - 4 = 0; m
m - 4
або m = -2. ОДЗ. т * 2, т * -2.
Зу
4)
у- + 9 ’
ченнях змінної у
5) + "
вираз існує при всіх зна-
2m(m - 5) = 0; m
2m(m - 5)
або m = 5. ОДЗ. т * О, т ф Ъ.
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

6)
8 + y
У(У - l)(y + 2) = 0;
y(y - l){y + 2)
у = 0, у = - 2 або у = 1; ОДЗ. у ^ О , у ф ,
У * -2.
49, =
2х^ - З х + 1+ 2х^ + Зх - 1 4х" X
Y
А - В =
2х^ - Зх + 1 2х' + Зх - 1
2х^ - Зх + 1 - 2х^ - Зх + 1
8
2 - 6х _ 1 - Зх .
2) =
20 20
_ 5х^ - 2х + З + 5х^ + 2х - З ІОх^
20 “ 20
, „ 5 х '- 2 х + 3 5х' + 2 х - 3
20 20
5х^ - 2х + З - 5х^ - 2 х + г
20
6 - 4х З - 2х
X
Y
20 10
3)
24 24
_ 9х - 4у + і у - 9х О д
” Й “ 2 4 “ ’
4) А + В =
д 9 х ^ - 4 у ^ 4 у ^ - 9 х ^
24 24
_ 9х^ - 4 / - 4і/" + 9х" ^ 18х^ - 8 у ^ ^
24 “ 24 "
_ 9х" - 4і/^
12
49х^ -1 6 у ^ 16у^ - 4 9 х ^
10 10
_ 49х" - 16у" + Ібу^ - 4 9 х ^ _ J L _ о-
10 “ 10 “ ’
д 49x^-16j/^ 1 6 j / ^ - 4 9 x ^ _
10 10
_ 49х" - 1 6 у " -1 6 у ^ + 49х^ _
“ 24 “
98х^ -32у^ _ 49х^ -1 6 у ^
10 5
50. Оскільки
т ' - т * т ' ( т ^ - 1) j
■;;Й г ц • маємо:
т - т т (т - І )
а^ + а*
а® а 5
і 0 а^ + 1
т° - т*
т* - т‘
‘
т * 0-, т *
1; m # -1
§ 3. ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ДРОБІВ З ОДНАКОВИМИ ЗНАМЕННИКАМИ
51_ 1) = ОДЗ.
^ ^ о Зх Зх Зх Зх
X + 2у X X + 2у - X 2і/
19 “ і 9 “ 19 “ 1 9 ’
ОДЗ. Дріб існує при будь-яких зна
ченнях змінної.
i m n + Z m n 7тп
2)
4тп Зтп
3) —— + —— = •
5а 5а
ОДЗ. а *: 0.
„ m + 16п 16п
4) -------------------
9у 9у
ОДЗ. у * 0.
5а 5а
т + 16п - 16п _
9у
т
52. 1)
“ За “ г
а - 8 а + 8 -(-а -8
За За За
2)
2 5 - З х _ 2 5 - 9 х ^
12х 12х
2 5 -З х -2 5 -н 9 х 6х
12х “ і 2 х “ 2 ’
Ыу - 12 _ Т у + 9 _ 1 4 у - 1 2 - 7 у - 9
З у - 9 З у - 9 ~ З у - 9
7 у - 2 1 _ 7(1/-3) 7
З у - 9 З ( у - З ) З ’
8І + 13 1 1 -5 І 8<-ь13-і-11-5<
4)
2 t+ 16 2І-НІ6
= 3^ + 24 _ 3(t + 8) _ З
“ 2<-І-16 “ 2(г + 8) “ 2 ■
18 - 2а З - 2а
2«+ 16
53. 1)
18 - 2а - З + 2а
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

г
-1 1 -З а 8о + 11
2) =
_11 - За + 8а + 11 _ 5а _ 5
= ■ Ya “ 2а ~ 2 ’
2 5 т - 1 1 2 - З т т - 1
3)
З т З т З т
4)
25 т -1 + 12 - 3m -m + l _ 7т+ 4
Зт т
6 у - 1 2у + 13 9 + 2у 1
6і/ 6і/ 6і/ 6у
6і/ - 1 - 2і/ - 13 + 9 + 2у - 1 _ 6у - 6 _
6у 6у
6(у -1 ) у - 1
бу У
54. 1)
9 9 - х ^
2)
З -л : 3 - л : 3 - х
(З - д:)(3 + X)
3 - х
25 х ' 2 5 - г
■= 3 + х;
х - 5 х - 5
(5 - х)(5 + X)
х - 5
х - 5
( X - 5)(5 + х)
х - 5
= -(5 + X) ;
За - 2т Зт - 2а За - 2т + Зт - 2а
8) — ^ г :-------
т - а т - а
а + m 1
(m - a)(m + а) т - а ’
16«+ 1 4 -1 5 t 16f + l + 4 -1 5 i
4) г^ +
Ґ - 2 5 Є - 2 5
t + 5 1
Є - 2 5
(( - 5)(( + 5) t - 5
З х -1 1 1 7 -5 * Зл:-11 + 17-5д:
5) П
Г+
( 3 - x f (3 -х )^
6 - 2 х 2(3 - X )
(З - хГ
6)
(З - x f ( 3 - x f 3 - х ’
13а + 6Ь 9а - 2Ь
(а + 2 b f (а + 2 b f
13а+ 6 6 - 9 а + 26 4а + 86
(а + 2ЬУ
_ 4(а + 26) 4
(а + 26)=' ~ а + 2Ь
55. 1) <
(а + 2bf
2а
2)
3 - а а - 3 З —а З —а
2(а - 3) ^ 2(а - 3)
3 - а а - 3
5х Зх 5х Зх
= -2;
7 - х х - 7 7 - х 7 - х
5х + З х 8х
7 - х " 7 - х ’
3 ) 5х + 1
/ ^ Зх + 2^ _ 5х + і/ Зх + 2у
2 х - у у - 2 х ~ 2х - у 2 х - у
^ Ьх + у - Зх - 2у ^ 2 х - у ^
2 х - у 2 х - у ’
6х + 22а 4х + 30а 6х + 22а
) — —
X - 4а 4а - X X - 4а
4х + 30а 6х + 22а - 4х - 30а
X - 4а X - 4а
2 х -8 а 2(х - 4а) „
X - 4а X - 4а
) +-
а ' 16 а'
а - 4 4 - а а - 4 а - 4
(4 - а)(4 + а) (4 - а)(4 + а)
6)
а - 4
Є 81
•+ -
4 - 0
Є 81
= -(4 + а);
« - 9 9 - ( і - 9 t - 9
= Ы М = , + 9.
t - 9
„ З х - 2 2 - З х З х - 2
56. 1) ------- + --------= — ------
' 2 х - 3 3 - 2 х 2 х - 3
2 - З х Зх - 2 - 2 + Зх _ 6х - 4
2х - З “ 2х - З “ 2х - З ’
12а - Um 9а - 1 0 т _
4а - 2 т 4а - 2 т
12а - 11т - 9а + 10т За - т
X
Р
ъ
X
'і
о:
S
in
0
S
1
т
5
с
о
7 х - 1 1 - 7 х 7 х -1
1 + 49х^ - 14х _ (7х - I f
7х -1
4)
7 х - 1
9 - 30а 25а' 9 - 30а 25а^
■+ ■
5а - З З - 5а 5а - З 5а - З
9 - 30а + 25а‘‘ (5а - 3)"
5а - З 5а - З
2
= 5а - 3;
9 т ' _
2 а - З т З т - 2а 2а - Зт
2 a m - W 9 m '-1 2 am + 4a'
9m' 12am -4a
5) ----- ^ +
2а - З т 2а - З т
6)
( 3 т - 2 а ) ' ^ (2 а - 3 _ ^ ^ ^ ^ _ 3 ^ ,
2а - З т 2а - З т
81у' 25х' - 90ху 81;/'
5х - 9у
5х - 9 у 9у - 5х
25х' - 90ху _ 8 І 1/' + 25х' - 90ху
5ж - 9 у 5х - 9у
0Q
а
esj
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

^ {9y - ^ (5x - 9 y f ^ 5^ _ 9
5x - 9 y b x - 9 y
57. 1)
- 1 2 - 1 2 - 4
m - 4 m - 4 m - 4
- 16 (m -4 )(m + 4)
------------- ~ m + 4.
m - 4 m - 4
Якщо от “ -2, TO m + 4 = -2 + 4 = 2.
5Л + 11 4ft+ 14 5 *+ 1 1 - 4 * - 1 4
- 9 ft' - 9
ft - 3 ft - 3
ft'-<
ft" - 9 (ft - 3)(ft + 3) ft + 3 ■
Якщо ft = -2,8, TO
- i - = — i — = ^ = 5.
ft + 3 -2,8 + 3 0,2
3i/^-15 34 + 21/“ 3y“ -1 5
1 = --------
1 - у y - 7 7 - у
34 + 2y^ Зу" - 1 5 - 3 4 -2 y "
7 - У ” 7 - У
y ^ - 4 9 ( y - 7 ) ( y + 7)
7 - У 7 - у
= -(y + 7).
Якщо у = 2, TO -{у + 7) = -(2 + 7) = -9.
Ьт} + 4 4 0 -9 m “ 5 m '+41
4)
9 - 2m 2m - 9 9 - 2m
40 - 9ot' 5ot* + 41 + 40 - 9m'
9 - 2m 9 - 2m
81 - 4m' (9 + 2m)(9 - 2m)
9 - 2m 9 - 2m
Якщо m = 2, TO 9 + 2m = 13.
58. 1) ^ ^ +
= 9 + 2m.
ft'- 1 6 ft'- 1 6 “
ft' - 8ft + 16 _ (ft - 4)' ft - 4
ft'- 1 6 “ (ft-4)(ft + 4) “ ft + 4 '
Якщо ft “ - 8 , TO
ft- 4 - 8 - 4 -12
ft + 4 '” -8 + 4 ~ -4
= 3.
2)
r - 4at 4o" _ t - 4at
«' - 4a' 4a' - i' t' - 4a'
4a' t' - 4a( + 4a'
- 4a' “ (' - 4a'
= (t - 2g)' _ t -2 a
(i - 2a)(( + 2a) ” t + 2a ‘
Якщо ( = -2 ; a = to
- 2 - 2 і
t - 2 a _ ^ 2 _ - 2 - 1 _ - 3 _
' + 2a -2 + 2 ■і ^
3.
3)
8a:' + 9 y ' 24д:у - 8д:'
9 i/ '-1 6 x ' 9і/'-16л:'
8jc
' + 9i/' - 24a
:!/ + 8x'
“ 9i/' -1 6 л:' "
16x' -2 4 x y + 9y^ (4x - 3y)'
9 i/ '-1 6 x ' ~ (3y - 4x)(3y + 4x) '
(3y - 4хУ 3y - 4x
(3y - 4x)(3y + 4x) 3y + 4x '
Якщо y - — X = —, TO
3 2
4 i_ 4 і
З у -4 д :_ ’^ 'з 2 , 1 - 2 _ - 1 _ 1
3y + 4x 3 . 1 ^ 4 . і 1 + 33 3 ’
3 2
4 ) 25m' ^ 20mra - 4n'
25m' - 4n' ^ 4n' - 25m'
25m' 2 0 m n -4 n '
25m' - 4n' 25m' - 4n'
_ 25m' - 20mn + 4n' _
“ 25m' - 4 n ' “
_ (5m - 2n)' _ 5m - 2n
(5m - 2n)(5m + 2n) 5m + 2n'
Якщо m = -0,4; n = -0,5, то
5 m -2 n 5 (- 0 ,4 )- 2 (-0,5) _
5m + 2n 5 (-0 ,4 )+ 2 (-0,5) “
-2 + 1 -1 1
“ -2 - 1 “ -3 “ 3 ■
ҐЛ ^V 8a —3 2a + 5 8a —3
3 a - 4 '^ 4 - 3 a “ 3 a - 4 ~
2a + 5 8a - 3 - 2o - 5 6a - 8
3a - 4 3a - 4
2(3a - 4)
3 a - 4
= 2;
2)
3 a - 4
36 + 17g 2a 36 + 1 7 a -2 a
5 a + 12 12 + 5 a ~ 5a +12
36 + 15a 3(12 + 5a)
5 a + 12 5 a + 12
= 3.
3 ) 14 + 13a ^ 5 a + 23 14 + 13a
9 - 8a 8a - 9 9 - 8a
5 a+ 23 14 + 1 3 a - 5 a -2 3
9 - 8a 9 - 8a
8a - 9 _ 8a - 9 _ ^
9 - 8a 8a - 9 “
.9 ^ .9
60. 1)
2)
it - 3)' (3 - f)' ~ ( t - 3)'
9 _ f' - 9 _ (i - 3)(( + 3) _ ( + 3 ,
it - 3)' it - 3)' (i - 3)' ~ t - 3 ’
16 i/' _ 16 y'
(4 - y f ІУ - 4)' (4 - y f (4 - !/)' ■
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

3)
4)
16 - ^ (4 - y )(4 + у) _ 4 + 1/.
‘ (4 - y f ( i - y f 4 . - у ’
25 25 -
(5 + аУ (a + 5)' “ (5 + a f
(5 - o)(5 + a) _ 5 - а
(5 + a)^ 5 + a ’
1 4m^ 1
(2m - 1 )" (1 - 2 m f (1 - 2тУ
4m" l- 4 m "
“ (1 - 2m)‘ ~ (1 - 2m)^ ~
(1 - 2m )(l + 2m) _ 1 + 2m
(1 - 2 m f “ 1 - 2m ■
. /71 + Л /71 /I
« » . « —
3a - 26c 3a 2bc ^ 26c
2) — — —«J >
a a a a
3)
4)
m Л
_________________ m
mn mn mn n m ’
4m^ - 4m" re" 2m
2mn 2mn 2mn n 2m ’
a + a° a ’ a ” 4
5) 5— = — + — = a + o :
a a a
6) —
n
62. 1)
.
2)
3)
4)
5)
tl, ^
2 -
X
a' + b ‘
a V
a'' - Tab a
a
b*
a"
lab
- E L ^
ai‘b‘ 6" ^ a"
a
3a" + 2m^
7b
6 a W
3a" 2m
■+
1 1
6a"m" 6o"m" 2m" 3a" ’
1 б), бо
3k + т т 3k + т - т 3k
~ 2Ь “
2Ь
2. в),
26 2Ь
бо
5 а -4 6 21а-106
-+ •
4а 4а
_ 5 а -4 6 + 21а-106 _ 2 6 а-146 _
4а 4а
2(13а-76) _ 13а-7 6
4а 2а
3. а ),б о =
X - З X - З X - З
х - 3
а - 3 а - 3
4. г), бо
а - 1 1 - а а - 1 а - 1
^ а - 3 + 2 _ а - 1 _ ^
а - 1 а - 1
5. а), бо
х - З у З у - х
^ х" - 9і/" _ &ху ^ х" + 9і/" - %ху ^
х - З у X - З у х - З у
= ^ = . - 3 , .
х - З у
2
Якщо X = -4 , у = —, то
З
X- Зі/ = -4 - з - = -4 - 2 =-6.
З
е . = 4 т " 25
О. г), бо ---------- г ------------- г -
(5 - 2 т )" (2 т - 5)"
4 т" 25 4 т " -2 5
(2 т - 5)" (2 т - 5)" (2 т - 5)"
(2 т - 5)(2т + 5) 2 т + 5
(2 т - 5)"
7. в), бо
2 т - 5
6а^ 6а* 6а* За"
8. б), бо
64 - 2аЬ 2аЬ - а" 64 - 2а6
(а - 8)" (8 - а)" “ (а - 8)"
2а6 - а" 64 - 2а6 + 2а6 - а"
(а - 8)" (а - 8)"
_ 64 - а" _ (8 - а)(8 + а) _ 8 + а
“ (а - 8)" “ (8 - а )" “ 8 - а
9. б), бо
(4 - З т)" (З т - 4)"
9 т" 16 9 т" -1 6
(З т - 4) (З т - 4)" (З т - 4)"
_ (З т - 4)(3 т + 4) Зт + 4
(Зт - 4)" “ З т - 4 ’
,). бо =
X - Зу З у - х х - З у
+ ^ х" + 9у" + бху ^ (х + Зу)"
л :-3 і( х - З у х - З у ’
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

63. 1) 9х^ - (Зх - 2)(3х + 2) = 9х^ -
- (9х^ - 4) = 9х^ - 9х^ + 4 = 4;
2) 25у^ - (5{/ + 7){5у - 7) = 25у^ -
- (25у^ - 49) = 25у^ - 2Ьу^ + 49 = 49;
3) (2х + ZyY - (2х - ЗуУ = (2х +
+ Zy - 2х + Зу)(2х + Зу + 2х - Зу) =
= 6і/ X 4х = 24ху,
4) (5х - 4уУ - (5х + 4 y f = (5х - 4у -
- 5х - 4у)(5х - 4у + 5х + 4у) =
= -8у X 10л: = -80ху.
64.
Кількість
борошна
Взяли
борош
на
Зали
шилось
борошна
а
о
а 90 кг Зх 90 - Зх
2
а
О
а 90 кг -
ä
’s
- 15 кг = X 7 5 - х
н
н = 75 кг
Оскільки в І мішку залишилося бо
рошна вдвічі менше, ніж у другому,
маємо рівняння 2(90 - Зх) = 75 ~ х;
180 - 6х = 75 - х; 5д; = 105; д: - 21;
З X X “ 63. Відповідь: з І мішка взяли
63 кг борошна.
65. 1) ( X + 4)(х + 1) ^ X - { X - 2)(2 - хУ,
х^ + X + 4х + 4 = X - 2х + х‘ + 4 - 2х;
Вх ^ 0-, X ^ 0;
2) {х - 9)(д: - 1) = д: - (х - 3)(3 - х)-,
( X - 9){х - 1) = X + {х - 3)2;
х^ - X - 9х + 9 = X + х^ - 6х + 9;
- 5 х = 0; X = 0;
3) (х + 2)(х + 8) = Зх - (4 - х)(х - 4);
( X + 2)(х + 8 ) = Зх + (4 - хУ;
+ 8х + 2х + 16 = Зх + 16 - 8х +
15х = 0; X = 0;
4) (X - 4)(х - 9) = 7х - (6 - х)(х - 6);
(X - 4)(х - 9) = 7х + (6 - хУ;
X* - 9х - 4х + 36 = 7х + 36 - 12х + х^;
-8 х = 0; X = 0.
бб. Використаємо переставний та
сполучний закони додавання
, , 1 1 1 1 27 + 9 + 3 + 1
1) - + —+ — + — = — ■=
З 9 27 81 81
_ 30 + 10
81
2, З І -
■ З І -
2
=з і -
2
-
“ 8 1 ’
1
2 І -
3
з і - і
2 3J
1 І -
2
2 ± - з і + і
3 2 3
1 - - 2 - + 3 - = 3 - - 1 - +
2 З 2 j 2 2
+2 - - з і = 2 - - і і = іі;
3 3 3 2 6
„ 1 1 1 1 1 1
3) — н—+ —+ — н
-----1
-— =
2 4 8 16 32 64
32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
4) 2 - -
64
з і -
4 * 5 -
40 + 20 + З _ 63 .
64 “ 64 ’
5 — - 6 —
17 32
= 2 І - з І + 4 І - 5 ^ +
2 4 8 16
= 2і « - з А , 4 ± - 5 А , 6 ^ =
32 32 32 32 32
= 12— - 8 — =
32 32
68. За - 7Ь + ІОЬ - 4а = 4а + 36,
(а + b f (а - ЬУ
тому — --- ;^ + - 5 ------- =
а +6 а + Ь
_ + 2аЬ + Ь‘ + а^ - 2аЬ + Ь^ _
~ а ' +6" "
2а^+2Ь^ 2(g^ + fe^)
= 2.
а ^ + У
§ 4. ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ДРОБІВ З РІЗНИМИ ЗНАМЕННИКАМИ
69. 1) ± + = +
2) - 1 - А =
оа 7а 35а
а та
2 8 -2 5 З
3)
3 - 2
3 5а’
1
24х З б х 72х 72х
4 ) ^ 7у _ 20у + 21у 41у
12а 16а 48а 48а
70. 1)
4т 6т
Зт - 6 + 2т - 6 5т - 12
2)
12т 12т
2х - З X + 7
Ю х 15х
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

б
д
:- 9- 2x- 14 4
л
:- 23
3)
ЗОх
4 + 5/п^ 15т^
16т
12
48т
ЗОх
12 + 15т^ - 1 5 т ‘
48т
4)
4 8 т 4т
2А' - 7 k‘ - 2 4ft' - 14 - ft" + 2
24ft 48ft 48ft
3 ft*-1 2 3 (ft'- 4 ) f t '- 4
48ft 48ft
_ . , ^ 1 m l
71. 1 ) m + - = — + - =
a 1 a
16ft
та + 1
m + n m + n n
3 ) n = — - -
n. . n
m + n - n m
n '
4) + y = ^ + £ = Л .
у у і у у
■т
ч m“ -1 1 m* - m -1
' ^ ~ ^ 4 *
Ш Тп ^ «
о* + 3 1 -а ' + 3 + а' - а‘
2) — + — ^ = ; =
3 + а '
3)
4)
а
8 + п 1
л* л '
6 а + 2 6
8 + л - л _ 8
л^
6а + 2 - 6а
73. 1)
а а а
2x - Зу Зх + 2у
ху‘
х^У
2ху - Зу‘ - З х - 2ху -Зу‘ - Зх^
х У x W
5а - Ь а - Ь Ь 5а' - ab + ab - 56'
ab' ^ a'ft
_ 5о' - 5b'
a'ft' ’
„ . m + n m - n
o) --- 2---H
--------5-
m Л m n
n ‘ + m '
a'ft'
mn + n + m - mn
4)
74. 1)
2)
1 1 1
h 1
---- -
mn mx nx
y - x ^ z - x z + y
xy xz yz
_ yz - xz + yz - xy - xz - xy _
xyz
_ 2yz - 2xz - 2xy
3)
4)
xyz
a + b _ a - b _ ft' - g ' _
а b ab
ab + b‘
‘ - a^ + ab - b^ + g ' _ 2ab
ab ab
2m + Зл _ 3m - n Зл' - 3m'
m Л mn
2mn + Зл' - 3m' + mn - Зл' + 3m'
= 2;
3mn
mn
= 3.
a - b m - b
75. 1) . . -
ab bm
_ am - bm - am + ab _ ab - bm а - m
abm abm am
а - 4 b _ b - 4a _ ab - 4ft' - ab + 4a'
4a 4ft 4gft
4(g' - ft') a^ -b^
2)
3)
4aft ab
b ~ a a + b ab -a^ - a b - b ^
a‘b^ a%^
_ - g ' - ft '.
a V ’
3ft + 2a 2a - 5 b _
9ft'a 6a'ft
_ 6gft + 4a' - 6aft + 15ft' _ 4g' + 15ft'
18a'ft' 18g'ft'
УЄ ,4 1 2 , 1 - 2x + л '
76. 1) — - - + 1=-----5
------=
X X X
(1 - x f
9 6 , 9 + 6ft + ft' (3 + 6)'
Ч ' ft 6' “ 6'
14g 14a+ 76-14a 76
3) 7 ----------- -
2a + 6 2a + ft 2a + ft
lOx 10x + 5 y -1 0 x by
2x + y 2x + y '
b _ a(a + 6) - b(a - ft)
a - b b + a ( a - b)(a + b)
a‘ + ab - ab + ft' + ft'
2x + у
77. 1) “
2)
g '- f t ' a '- f t '
_ L _ + ^ ^ j/(^ + y) - y)
: - y x + y ( X - y)(x + y)
_ xy + у + X
x ‘ - y ^
- xy x ' + y '
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

3)
4)
4 - а
2 0 - а
16- а ‘
1
8 + 2а + 12 —За
4 + а (4 - а)(4 + а)
1
_______________ __ х - 2 у - х - 2 ! /
х + 2і/ х - 2 у {х + 2у)(х - 2у)
- і у 4у
2 ■
х ' - 4 у ‘ 4 у - х
Ьа 2а
78. 1)
15а - 4а
2(а - Ь) 3(а - Ь) 6(а - Ь)
2)
11а
6 { а - Ь ) ’
Зх 2х - у _ 9л: - 8х + 4у _
4(х + у) 3(х + у)
х + 4у
Щ х + у)
3)
12(х + у)
т
2 - а 7 а -1 4 2 - а 7 ( а - 2 )
т 1 7 т -1
4)
2 - а 7 (2 - а ) 7 (2 - а ) ’
2k k 2k k
5 t - 3 5 2 S - 4 t b it - 7 ) 4 (7 - 0
2k k 8ft + 5ft 13ft
5(t - 7) 4(t - 7) 20(t - 7) 20(< - 7)
79. 1)
3 x - l 2 2 x - S 3 { x - 4 )
x - 3 2x - 2 - З Х + 9 7 - х
2)
2(x - 4)
b - 2
6(д: - 4) 6(л - 4) ’
b - 1 b - 2 b - 1
2 6 -6 3b- 9 2(6 - 3) 3(6 - 3)
3 6 - 6 - 2 6 + 2 6 - 4
3)
6(6 - 3) 6(6 - 3)
4a 3a 4a 3a
3a - 6 8 - 4a 3(a - 2) 4(2 - a)
4a 3a 16a-9a 7a
4)
3 (a -2 ) 4 (a -2 ) 1 2 (a-2 ) 12(a - 2) ’
3y ^ 2y _ 3y ^ _
4 y - 4 5 - 5 y 4 ( y - 1) 5(1 - y)
3y_______ 2y _ 15y-8y 7у
4(y - 1) 5(1/ - 1) 20(1/ - 1) 20(1/ - 1) ■
^ ^ , a bad + be
1. a), бо - + - = ----
с a ca
^ , с d be - ad
а), бо - - - = -----—
a b ab
, . = 2 5 8 + 15 23
2. a), бо — + — = ---------= ----- ;
За 4а 12а 12а
^ 13 З 2 6 -1 5 11
б), б о ----------= -----------= ------ .
5а 2а 10а 10а
4. Вираз б) може бути спільним зна
менником для виразів 1); 2); 4).
Вираз а) не може бути спільним зна
менником для жодного з виразів 1);
2); 3): 4).
а + 26 За + 6 Ь^ - За^
5. б), бо
а Ь ab
_ ab + 26^ - За^ - ab - Ь^ + За^ _
ab ab а
„ 2 _ 2
6. в), бо 1) ------ — + х =
х
_ х^ - у ‘ + х^ 2х^ - у^ .
4) = =
У у у
7
. а4; 63; в1; г2.
а 6 а‘ ■
¥ab - ab + Ь‘
‘
а)
б)
в)
г)
а - Ь а + Ь (а - Ь)(а + 6 )
і ' + 6 '
і ' - 6 ' ’
6 а ab + Ь‘ - а‘ + ab
а - Ь а + Ь (а - Ь)(а + 6 )
+ 2 а 6 - а '
„2 .2 »
а - Ь
а 6 а ' + а 6 - б ' + ab
6 - а а + 6 (6 - а)(Ь + а)
і' + 2аЬ - 6 ' б ' - 2аЬ - а'
6 ' - а ' ■ а‘ -Ь^ '
а V а^ - ab - ab - 6^
(а + 6)(а - 6)
а + 6 а - Ь
а‘
‘ - 2аЬ - 6^
“ а^-Ь^ •
8. б), бо 1) а -
а - З
- За - 5а + 16 а^ - 8а + 16
5 а -1 6
а - З
(а - 4)^ .
а - 3 ’
а - 3
4) 4а -
4(1 0а-1) 4 а '+ 32а - 40а + 4
а + 8 а + і
4 а '- 8 а + 4 (2а - 2)'
а + 8 а + 8 ’
х + 2 х - 2
9. г), бо
16
х - 2 х + 2 х - 4
х + 3 х - 3 36
+ + -
х - 3 х + 3 х^ - 9
(x + 2 f - ( x - 2 f -1 6
х ‘ - 4
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

+ 4х + 4 -^х^ + 4л: - 4 - 16
' ' х^ - 4
х ' + бд: + 9 - д:" + бд: - 9 + 36
(X + ЗУ - ( X - 3 f + 36 ^
8(х - 2)
x ^ - 9
8 Х -1 6 12д: + 3б _
' х ^ - 4 ' ^ х‘ - 9 ~ ( X - 2)(х + 2)
12(х + 3) _ 8 ^ 12
( X - 3)(х + 3) X + 2 х - 3
8д:-24 + 12д: + 24 20х
( X + 2)(х - 3) X" - X - 6
80. 1) (7а - Ь)(49а^ + Tab + Ь^) =
= 343а^ - Ь
^
2) (5а^ - 2Ь)(25а* + Юа^Ь + 4Ь^) =
= 125а' - 8Ь^;
3) (ab + c'^) (aV - abc^ + с ') = a^b^ + с®;
4) (2а + 3ft)(4a" - Gab + 9ft") = 8a^ + 27b
81. 1> 132. 68 =
64
(132 - 68) (132^ + 132 68 + 68^)
” 64
+132 68 = 132" + 2 X 132 X 68 + 68" =
- (132 + 68)" = 200" = 40 ООО;
89-^64-
153
^ (89 + 64) (89" - 89 64 + 64")
153
= 89" - 2 X 89 X 64 + 64" = (89 - 64)" =
= 25" = 625;
’ -8 9 -6 4 =
3)
5, 783' -4,317"
+ 5,783 4,317 =
1,466
_ ( 5 , 7 8 3 - 4 , 3 1 7 ) ■ ( 5 , 7 8 3 ^ + 5 , 7 8 3 4 , 3 1 7 + 4 , 3 1 7 ^ ) ^
1 , 4 6 6
•I-5,783-4,317 = 5,783" + 2 x 5,783 x
X 4,317 + 4,317" = (5,783 + 4,317)" =
= 10" = 100;
4)
8,333' + 1,333'
-8,333 1,333 =
9,666
_ ( 8,3 3 3 + 1 ,333) ■( 8, 3 3 3 - - 8, 3 3 3 1,333 + 1,333^)
9,666
-8 ,33 3 1,333 = (8,333" - 2 x 8,333 x
X 1,333 + 1,333") = (8,333 - 1,333)" =
= 7" = 49.
82. Нехай довжина прямокутника x CM
,
тоді його ширина становить (35 - х) см.
Площа прямокутника д:(35 - х) см".
Після того, як ширину збільшили на
5 см, вона стала 3 5 - л : + 5 = 4 0 - х см,
а довжина стала (д: - 5) см. Площа но
вого прямокутника (д: - 5)(40 - д:) см".
Оскільки площа збільшилася на 50 см"
маємо рівняння:
д:(35 - Д
-) + 50 = (дг - 5)(40 - дг);
35д - д:" + 50 = 40д: - д:" - 200 + 5д:;
ІОх = 250; д
: = 25; 35 - 25 = 10.
Отже, довжина прямокутника 25 см,
ширина — 10 см.
П лощ а початкового прямокутника
250 см", а площа нового прямокутни
ка 300 см".
Знайдемо, на скільки відсотків збіль
шилася площа:
300 см" - 250 см" = 50 с.м".
250 — 100 %
50 — X
50 100
250
■= 20 % .
Відповідь: 25 см; 10 см; 20 %.
83. 1)
( О ^ ^ (0,5)" ft' = 0,256’ ;
' (0,5)® ft'
3) =
4)
( X + у Г
( X - у ) "
(х - у У^і х - у У
= ( х - у У .
84. 1) з 2 . І - 7 І И =
' з 1
1 2 1
5 З 1
1
_ І ^ Л - 7 = - б 2 ;
2 15 з З
2) + = +
З 21 4 28 З 19
, ^ = 7 + 7 = 14;
4-21
3) 6 - ^ :3 — -ь9— : з і +
11 11 13 13
15 15 17 17
72 11 120 13 , 6415 ^ 208 17
” 11 36 ^ 13 40 15 16 17104
= 24-3-1-4-1-2 = 11;
4) 2 i ; l i + 4 - i - ; J - + ^
' 8 16 15 60 4
-2 ^
З
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

8 1 7 15 "^4
= 2 + 244 - 2 = 244.
17 16 61 6 0 З
Завдання в тестовій формі
2. А2, Б5, В4, ГЗ, Д1
2д: - 1
Якщо г = О, то —— = -1.
Якщо j: = З, то
^ 2 _3 jJ . ^ 5 ^ ^ 1
іх - 1)“
' “ (З - 1)‘‘ 4 4 ■
Якщо J
C = -1 , то
2д: - 1 2 (-1) - 1 - 2 - 1 ^ 3
4 ‘
(-2)*
(X - 1)* (-1 - 1)*
Якщо = 2, то
2J - 1 2 2 - 1 3
(.X - 1)' ( 2 - 1)’' “ 1 “
Якщо д: = -З , то
2х - 1 2 (-3 ) - 1 -7
( X - І ) “' (-3 - 1)* ~ 16 ■
3. В), бо S = ÜX f; f = - .
L
»
4. Б). Д), бо л'' + 16 > 0;
25 + х'“ > 0.
5. А2, БЗ, В4, Г5, Д1 не існує.
А ) л + 1 = 0; д
: = -1.
х + 1
ОДЗ. д
: ^ -1 .
х + 1
В)
jc - 1 ’
ОДЗ. ä: ^ 1.
х ‘ + 1
X - 1 0; X = 1.
В) ; 1 - = 0; X = 1; л: = -1.
1 - д:
ОДЗ. X ^ 1; X и -1.
Г) х “
' = 0; ж = 0. ОДЗ. лг 0.
Д) 1 + >0. ОДЗ. Вираз іс
нує при будь-яких значеннях х.
6. Б), бо
20а^ _ 5а‘ ■4а _ Ьа^ . о(а - 1) _а
12а “ З 4а “ З ’ 2(а - 1) “ 2 ’
7. A4. БЗ, В5, Г1 Д2
д 2 лг + 2 1
х^ - х'‘ - і ~ {X - 2)(х + 2 ) ~ х - 2 ’
В)
В) -
х ‘ +4
х + 2 '
4 ~ 4
------- 4
- ’ = --------
х + 2 х + 2 х + 2
х + 2 х + 2
Г)
(х - 2)(х + 2)
х + 2
X 2 2 + х
=х-2;
х - 4
2 + х
4 - х ^ 4 - х ‘
1
(2 - х)(2 + х) 2 - х ’
Д) -
2 - х 2 - х
(2 - х)(2 + X)
2 - х
х^ 4
4 - х ^
2 - х
= 2 + х.
4 - х ^
2 - х 2 - х 2 - х
(2 - х)(2 + X)
2 - х
■= 2 + х.
с + а - Ь
8 -П
у - 1 1 1 І
. В), бо - - -н = ■
ао Ьс ас аЬс
9. А ), бо
2х З х - 5
- + ■
х + 3
х^ - 4 х ‘ - 4 X* - 4
2 х - ь З х - 5 - х - 3 4 х - 8
х ' - 4
4 (х - 2 )
х ' - 4
(х - 2)(х + 2) х + 2
10. A3, Б4, В1, Г5, Д2
.. 7а , 5Ь 14а+ 56
Зх 6х 6х ’
7а
Зх
5Ь 14 а-5 Ь
6х
2х Зх
6х
21а + lOfc
6х
7а 5Ь 21а - ІОЬ
2х Зх ~
В) — +
Зх 12х
6х
56 28а + 56
7а
Зх
12х
56 28а - 56
12х
Г) ^ + ^ =
4х Зх
12х ■
21а + 206
12х
56 _ 2І0 - 206
Зх 12х ■
56 14а + 56
Та
4х
Д) — +
6х 12х 12х
7а 56 14а-5 6
6х 12х
1
1
. Г), бо
X = -1.
12х
5 х - 4
х ^ - 1 '
0 ; X = 1;
12. A4, БЗ, В1, Г5, Д2
. ах - 2ау _ а(х - 2у) _ а
2Ьу- Ьх ~ Ь ( 2 у - х ) ~ ~ ї '
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

Б)
В)
Г)
Д)
3 a - 36b 3(0 - 12b) 3.
12b - ob b (1 2b -o) b ’
a y - ax a{y - X ) а
b y - ■bx b ( y - x ) b ’
7 b - 14b’’ 7b(l - 2b) b_
42b -2 1 2 1 (2 b -l) 3 ’
a^--ab‘ a(a" - b^) 0
3b" - 3 a ‘ “ 3(b" -a'^) ~ 3 '
, Б), бо
3 x - 9 3(x - 3) 3
- 6t 3f(3f - 2)
4)
5)
3t
(2 - 3 t f (2 - 3 t f St - 2 ’
2 5 _ (5 - x)(5 + x) _ 5 - х
(x + bf (ж + 5)^ X + 5 ’
Ц . A ). 6 0 ^ - ^ =
X X
(X + 1 - X + l)(x + 1 + X - 1 ) 2 - 2 x _
= 4.
15. Б), бо
2 x - l
(1 - x f (X - 1)^ ■
2 * - ' =0 :
Y = l ; x ^ l .
(1 -x )^ (x - 1 )
x’’ - 2x + 1 ( X - I f
(x -l)= ' (x - 1 )
16. A5, Б1, B4, Г2, ДЗ
A. 2 1 'W '- I
A ) m = ---------;
1 1 "L2
Г.Ч 1 ... l - m
Б) —F - ' " - 2 •
n 1 1 ^ 1 .
' m2 ’
Г) =
яг m
Ї7. B), бо при n = 1 = 13;
„ 2Л + 24 , 2"
при n =2 ---------- = 7;
2n
о 2/г + 24 _
при л =З ---------- = 5;
2п
, 2Л + 24 ,
при л =4 ---------- = 4.
2л
18. 3) бо
S S Sf + S - S s «
t < + i г+ 1 t + i '
19. д). бо 2) + ^ =
- 2от + 1 ( т - I f
3)
тГ т
а - Ь а - Ь - ab - ab+ Ь^
ab аЬ^
.. (а - Ь)' .
аЬ‘
т + 2п п - і т
5) — 5-Т- + -
_ 4т^ + 8mn + - 4mn _ (2m + n f
4m’ n^ 4m^n^
20. г), бо — - 1 + — - 1 =
b а
a^ - ab + b‘ - ab (a - 6)'*
ab ab
21. A4, Б5, B l, Г2, ДЗ
4 x^ -4 9 x ^ x (4x ^ -4 9 ) ^
’ (2x + 7 f ’ (2x + 7 f
x(2x - 7)(2x + 7)
(2x + 7Г
= 0; X = 0; x = - ,
2
2X'' + 7x
(7x - 2)(7x + 2)
(2x + 7)
(7 + 2X)’’
x(2x + 7)
= 0; x = ± | .
B)
2x" - 7x'
_ ( 7 > ^
x ^ (2 x -7 )
7
2 '
r ) Z ^ = 0; £ g £ ^ = 0 ; x = 0;
( 2 x - 7 f (2x - 7 f
2
7 ’
4 X --4 9 X ^ (4 x --4 9 J ^
2x“ + 7 x x(2x" + 7)
x(2x - 7)(2x + 7) _ p. ^ ^ + 7
x(2x' + 7) ’ 2 ■
40x ' - 38 4x ‘‘ + 62
“ • » ■ • • * > i ü T T W - (1 0 - - 6 . F -
40x" - 38 - 4x' - 62 36x' - 100
(6x - lO f (6x - lO f
(6x - 10)(6x + 10) 6x + 10 _ 3x + 5 ,
(6 x - 1 0 f 6 X -1 0 3 x - 5 ’
( 3 x - 2 f 12 X -2 9 _
(5 - 3x)" (3x - 5 f
9 x "-1 2 x + 4 + 1 2 x -2 9 9x‘‘ - 25
(3 x - 5 f ( 3 x - 5 f
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

{Зх - 5)(3x + 5) Зх + 5
(Зх ~ 5 f ~ З х - 5'
- 4mt 4т^
23. А ), бо
Ґ - 4т^ 4т‘ - Ґ
<^-4m f + 4m^ ( t - 2 m ) ' ‘
Ґ - 4от"
{t - 2 m f
Ґ -4 m "
t - 2m
(t - 2m)(t + 2m) t + 2m
Якщо t = 6, m = -0,5,
t - 2 m 6 - 2 ■(-0,5) 6 + 1
t + 2m
24. Б), бо
6 + 2 (-0,5) 6 - 1
a* -a^ - 4a‘b - 4b
a* + 3a' + 2
_ a‘ (a‘ +1) - 4b(a‘ + 1) _
a* + a' + 2a^ + 2
(o ' + l)(q ' - 4b)
o '(a ' + 1) + 2(a‘ +1) “
_ (g ' + l)(g ' - 4ft) _ a‘ - 4b
~ (a ' + l)(a ' + 2)
25. Г), бо
o ' + 2
+ 3 n - 2 n' + 3n
n + 3
2 n{n + 3) 2
n + 3
71 + 3 /1 + 3 Л + 3 n + 3 ‘
Вираз набуватиме цілих значень,
якщо цілим буде значення дробу
2
л + 3
^ 6 + 1 Ь - 1
26. В), бо ^ г +
46' -1 2
6 - 3 Ь + 3 6 '- 9
(6 + 1)(6 + 3) + (6 - 1)(6 - 3) - 46' + 12
6' - 9
-26' + 18 -2(6' - 9)
6' - 9 6' - 9
27. А ), бо Р - Q = “
2а6
= -2.
а ' - 2а6 + 6'
0 - 6
26 36а - 6'
6 - а б' - 2о6 + о '
2а6 26 Зоб - 6'
0 - 6 (0 - 6)' 6 - 0 (о - 6)'
0(0 - 6) + 2о6 + 26(0 - 6) - Зоб + 6'
(0 - 6 )'
о' - об + 2о6 + 2о6 - 26' - Зоб + 6'
о ' - 6 '
(о - 6)'
(о - 6)(о + 6)
(о - 6) (0 - 6) 0 - 6
29. В), бо автомобіль витратив на
ш лях зі швидкістю о f, = — (год.),
о g
a на ш лях зі швидкістю 6 — t, = —.
b
На весь ш лях було витрачено часу
S S Sb + Sa S(o + 6)
‘ “ о 6 “ ab ” ab
Середня швидкість
S S(,a + 6) об
V
f. —— —о I '•
"
•
■
■
■
' — ,
t ab a + b
30. A2, Б5, B l, ГЗ, Д4
4 1
а '- 2 о + 1
18о + 2
( о ' - 1 ) ' ’
Б)
о ' + 2о + 1
3
о ' - 1
1
’ о '- 2 о + 1
14о + 2
~ ( а ' - 1 ) "
В) 3
о ' + 2о + 1
2
о ' -1
1
о '- 2 о + 1
10о + 2
~ (а ' - 1)' ’
П ®
о ' + 2а + 1
5
о ' - І
1
^ о '- 2 о + 1
22о + 2
' ( а ' - 1 ) "
о ' + 2о +1
6
о ' -1
1
о '- 2 о + 1 о ' + 2о + 1 о ' -1
260 + 2
( o ' - l ) '
§ 5. МНОЖЕННЯ ТА ДІЛЕННЯ ДРОБІВ
85. 1) ^ . А = 3 а _ 6 ^ 1
’ 6 6а 6 бо 2
2) у _ 2з: у _ 1
Зі/ 6а
: Зі/■6х 9 ’
а^Ь 4с о'б ■4с о
12с об' ~ 12с об' “
т^п 15о _ ■15о _ З т '
5о 2mn' 5о 2тп^ 2л'
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

a 6x
5) 3 ? = T
6)
7j/’
a
1
2x a
3x^
6x •a
1 3 * ' a:
= 7y^t.
86. 1)
2)
’ 2c 9b 2c 96
8x a S x
3b с
1_,
4 ’
2 - ,
6 ’
3)
4)
x^y 5p X у bp _
15p XI/'
35a* 9n
15p 3y
Zba* 9n
18л' 14a' 18n' 14a'
Ob _ L - 8 * < 8^ t ■
■
® '4 ft ' 1 46' 46'
3a' 3 3a'
6) = T 2 "
3a' •6"
6'
9a‘ 6^ 1 6 V
’ За'б ' 4 а У 30a6'
2х"і/ ■9a*6^ 16xy^ _ 4x*y‘ _
~ За'Ь •4a‘ i/
’ •30a6 “ 5a’ ’
9m®n 5a'6* 16x1/
5o'
4л
6 ’
= 3a'6.
2)
4x1/ 1 8 т“лх 15a*6’
9m^n 5a'6° ■16xy ^ 2
4xy ■18от“лх •15a®6® 3ax ’
4 9 f ^ 2x 8 x V ^
16y^x‘ ta 7t^a‘
4 9 tW ■2x ■8x’ y° 7 .
16i/‘ x* ■(a •7t“a® a ' ’
88. 1)
2)
6а®л' 49л* 5a‘ g '
35?* a*?' ' 42л‘ ■
_ ба’ л ' ■49л* •5a*q^ _ a '
35q^ ■a®?' •4 2л“
89.
2)
3)
4)
90.
2)
3)
1)
7a
.36
2* •a* 16a*
3* -6*
7'a'
2m'
5a'
816*
________^ 4 9 a'.
2 '(m ')' 4m* ’
2^(x’ )^y^
m n X
.410
'I
a
8 x V
125a‘
1)
3x'
УУ
Г2m*
7 л ’
27x“
^ г/- '
4m"
■ 49л‘
4 )
g i 1 ) За о ^ да- а
Ь Ь Ь
9 т 4 т ' _ 9 ^ 21л'
14п 21л' 14л 4 т '
^ 9 т -2 1 л ' _ 27л
1 4 л■4 т ' 8 т ’
3) 2х' V'
^80tl06^1i
а с
> Л
За'
2)
За*
!/ 6х’
4)
1
/ 6х
7а“
6' '
7а’ -б
Зх
14а* 7а'
14а*
6' 14а* 2аб’
5) =
а а 1
56у' 1 56у' 7
а' 16j/' а' ■16^' 2а'|/ ’
Г ■ с 1 с 1
12х'х „
= 2хс.
с
бГ
6х
92. 1) І ^ : 4 = ^ . ^ =
, , У У у х
= ^ = 2х.;
ху
За 12а' За 6’
6' 6’
З а -6’ -6
12а'
3)
6' 12а' 4 а ’
4а 2а' 4а 156'
56 ■156' 56 2а'
Зх 14«
4) 3 £ . ^
7 і' ■14І
4а 156' _ 66.
56 2а' ~ а '
Зх 14( 1
5) 10а' :
5а
10а'6
Ьа
7 (' 6х' 7t' •6х' x t '
10а' 5а 10а' 6
' 1 ■ 6 “ 5а
= 2а6;
6)
У‘
: 1 4 х '= ■
14х'
Г
7х’
14х'
Зх'
2у'
6j/’ 9x1/
14t'
У
” ■ » 2 , V 7,-
_ Зх' 6i/’ 14t' _ 2х.
2i/'t'•7 t '■9ху t“ ’
216a‘ . 18a" 7a’ _ 216a° ■6* 7o’ 4a
7b’ ■ 6* ' 6' 76’ •18a‘ -36' 6 ■
2)
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

04 1) ^ 1 0 ^ .
’ 2ЪЬ^ ■ Зс‘ •156с“
2а’ 106" 15&с“
25fc" Зс‘ ■ia ‘
а
с ’
2) И ^ . 2 3 Л а^л:у
17i/‘ ■ 34j/’ Ъх^
^ Пбх^ з У а^ху ^
17у" 23л:‘ а бх^'
+Zy у _ (у^ + Зу) І/ _
4 2;/ + 6 4(2{/ + 6)
у Ч у + 3) ^ у
^ _
8{у + 3) 8 ’
За - а: Ь ( Z a - x ) Ь
95. 1)
2)
8 12а‘'-4 а ж 8(12а^-4аж)
(За - х)Ь Ь
3)
4)
5)
32а(3а - х) 32а ’
З а -л: ЫЬ^ ( 3 - х )
6)
216 X -3 a 216 (x - 3 a )
8 - 3 m 25y^ (8 - 3m) 25i/'
I5y^ 3m - 8 15i/' (3 m -8 )
y ' - ^ .
9y _ (y' - 9 ) 9y
27j/' y - 3 27y‘ (y - 3 )
(y - 3)(y + 3)-9y y + 3
2 7 i/ '(j/ -3 ) 3y '
x ' -4 9 X (x ' - 49) X
’ 3 ’
. ё ё .
3 ’
7 - х
(X - 7)(х + 7) х
Зх^ ( 7 - х )
х + 7
96. 1)
Зх‘ (7 - х)
3
" Зх^
2 х - 4
2)
х ^ - 2 х
6 ( х - 2 ) 6
х‘ (х - 2) х ^ ’
6 т + 3 10а
5 2т‘ + т
6а(2т + 1) _ ^
т(2т +1) т
3(2х - 4)
(х^ - 2х)х
(6т + 3) ■10а
5(2т^ + т)
3)
a - 2 b 18c' (a - 26) •18c'
12c 2 b - a 12c (26- a ) 2
7 -3 c 10a (7 -3 c ) 10a 2
5a' 3 c - 7 5a' ■(3c - 7) a ’
x ' -1 6 4x (x ' -1 6 ) 4x
8x“ X + 4 8x* (X + 4)
(X - 4)(x + 4) ■4x x - 4
6)
~ 2х^ ’
_______________ . (5 - у ) ■Зу‘
2у у‘ - 25 2уіу‘ - 25)
8л:"(л: + 4)
5 - у Зу^
( 5 - у ) - Зу^ ^ Зу
2у(у - 5)(у + 5) 2(у + 5 )'
97. 1)
- 5а 5а а^ - 5а 8т
8т‘ 8т 8т^ 5а
(а‘ - 5 а ) 8т а^ - 5 а а - 5
2)
8т‘ ■5а
7х^ 14х^
5ат 5т
7х‘ Ь* -
5Ь^ ' Ь* -Ь^ 56" 14д:‘'
7 x V ( 6 - l ) (6 - 1 )
56“ 14л:'
3)
10
4 + 4х
11а' 11а' 4 + 4д!:
а*х^(1 + х) a V
4)
5)
(х ' + х ^ ) а *
11а' (4 + 4 х) 11а' -4 (1 + х ) 44
t * - t t - Є ^ (t* - t ^ ) 125а’
25а* ’ 125а’ 25а* ( f - ( ' )
1 2 5 a ^ f '( t '- l )
25а® i ( l - ( ' )
бах 8ах
= -5at;
бах
________ Зст - 6
т ' - 2т Зт - 6 т ^ - 2 т 8ах
6ai(3m - 6) 18аж(т - 2) 9
( т ' - 2т) ■8ах 8ахт(т - 2) 4 т '
15от'< 25mt' _ 15m't
6а + а ' 6mt + am 6а + а'
6mt + am _ 15m'<(6mt + am)
25mt' (6a + a ') •25mf'
_ 15m’ t(6t + a) __ 3m'(6t + a) _ Зст'
“ 25аст('(6 + о) “ 5at(6 + a) ~ ~ Ш ‘
дя 1 ) + Зо' g ' + За a“ + За'
4 ' 8 i “ 4 '
8x ^ (a^ + 3g')8x _ 8 a'j(a + 3)
a' + 3a 4(a' + 3a) 4a(a + 3)
2) . 15d' _ lO d' m‘ - m ‘
m^ ' m^ - C
T
® m^ 15d^
10d'(m^ - m“) _ 10d'w='(l - m)
C T^lSd' “ m *1 5 d '
2(1 - m ).
= 2ax;
3)
44m
4)
22m‘ ■ 44CT 22ст" x* - x" ‘
(X* - x^) 44m _ 4 4 m x 4 l - x ) 2x
22m *(x‘ - x ® ) 22ct‘ x ' ( x - 1 ) ’
5a + 5a' a’' + a" 5a + 5a'
t* ■ Ґ a '+ a '
(5a + 5a')t^ _ 5af^(l + a) _ ^
Ґ ( а ’ +a^) ~ a Y ( a + l) ~ a® ’
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

7mA Ы т к 7mk
2ft' - ab ■10ft - 5o 2ft' - aft
106 - 5 a _ 7mk ■(lOft - 5a) _
~ l i m k (2 ft'- aft) 14mft
5(2ft - g) ^
“ 2 •ft(2ft - a) 2ft ’
‘ Є 21xh^ 14x^t^ 5X + 45
6)
9x + x ‘ 5x + 45 9x + jr' 21x^t
lO fU + 9) _ lOt
'Зд:'(9 + л:) 3 x ''
a + 2 3a - 6ft
(9х + х^)-21х^Ґ
gg. 1 ) (З а -6ft)-
a' - 4ft'
a + 2 (3a - 6ft) (0 + 2)
a' - 4ft' a ' - 4ft'
3(g - 2ft)(g + 2) 3(a + 2)
" (a - 2ft)(g + 2ft) “ g + 2ft ’
2t + lOx _ ( i - 7)(2t + Юд:) ^
1 t' - 25д:'
2(t - 7)(f + 5д:) 2(( - 7)
(t - 5x)(t + 5x)
3)
1 6 -2 5 x '
2x
: (4 + 5x) =
t - 5 x
1 6 -2 5 x '
1 6 -2 5 x '
2x
(4 - 5x)(4 + 5x)
4 + 5x
4 - 5 x
2x(4 + 5x) 2x(4 + 5x)
2x
4) (g ' - 4 9 m '):
7m - a a ' - 49m'
3x
3x (o '- 4 9 m ') 3x
1m - a 7m - a
_ (g - 7m)(g + 7m) 3x
7m - a
100.1) (5X + 10;/)
x ‘ - 4i/'
x + 2 _ bx + lOy x + 2
1
= -3j:(a + 7m).
+ 2 _ 5x + lOi/
1
x‘ - 4 y 1 л ' - 4y^
_ j5x + 10y)(x + 2) _ 5(x + 2y)(x + 2) _
x ' - 4j/' ~ ( X - 2y)(x + 2y) “
_ 5(x + 2 ),
~ x - 2 y '
2) — - i - ■( a ' - 3am) = • “ ^
- 3am
a‘ - 9m
_________ (a - 4)(g' - 3am) ^
1 g ' - 9m'
(a - 4) a(a - 3m) _ g(g - 4)
(a - 3 m ) (a + 3m ) g + 3m
3)
3m
a -lO f lO O f'-g ' 1
3m
1 3m a - lOt
lOOt' -a^ _ (lot - a)(10t + a) ^
З т І а - І О і ) " 3 m( a -1 0t )
l ot
3m
4) (16f' -9 д :') :
2x
3 x - 4 t _ 16t' - 9д:'
2x ~ 1
(16t' -9 д :') 2д:
Зд- - 4t
(4г - 3x)(4t + Зх) ■2x
1
2x
3 x - 4 t
3x - 4t
c' + 4c + 4
= -2дг(4« + Зл:).
с' - 9
101. 1)
2 c- 6 5 c+ 10
(c + 2 )'(c -3 )(c + 3) (c + 2)(c + 3)
2(c - 3) 5(c + 2)
c' + 5л: + 6
10
2)
10
д:' - 6x + 9 д:’ + 27
х - З х + 9 З х - 9
_ ( х - 3 )'(х + 3)(л:' -З х + 9)
(х ' - Зх + 9) ■3(х - 3)
_ ( х - 3)(х + 3) ^ д:' - 9
3 3 ’
3) (27а" + ft“)-:
18а' -6 gft + 2ft'
(3g + ft)(9a' - 3aft + ft') _ За + ft
4)
2(9a' -3aft + ft')
1
(a^-8b^) =
5a' + lOgft + 20ft'
_ (a - 2ft)(g' + 2ab + 4b') _ a - 2ft
5 (a'+2 gft + 4fe') 5
102. 1)
a + 3b 2a + 6b a + 3b
2a + 6b _ (a - ft)(g + b) ■2(a + 3ft) _ 2(a - ft)
ab + ft' (a + 3ft) b(a + b) b
m + 4 m^ + 16 - 8m m + 4
2)
m -4 m ^-16 m -4
m ^-16 (m + 4)(m - 4)(m + 4)
(m - 4)(m - 4)'
m - 8m + 16
(m + 4)^
" (m - 4 f '
с + d c' + 2cd + d'
3)
3 -2 c 2 c' - 3 f
с + d
3 -2 c
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

2c^ - Зс _ (с + d) с(2с - 3) с_
с" + 2cd + d^ (З - 2с)(с + d f
9 + 61/+ V 27-8j/^
4г/" -1
4!/^’ -1
2<y-l
^ 9 + 6y + 4 y " _______
2 ^ - 1 ’ 2 7 - 8 y ’
(9 + 6 i/+ 4 y ^ )(2 i/ -l)(2 y + l)
(2i/- 1)(3 - 2г/)(9 - 61/+ 4i/')
Ї03. 1) + 9 2'“ - ^
с + d
2y + 1
3 - 2 y
(m - 3 )
n" - 4
2 (n -2 )
3m - 9
_______________________ 2(ct - 3)
(n - 2)(n + 2) •3(m - 3) ~ 3(n + 2) ’
(2p + 10x) =
p^-25x^
_ (p - 7) ■2(p + 5x) _ 2(p - 7 ),
(p - 5x)(p ■
*
■5x) p - 5x ’
3 , xy + y y ‘ - x^ xy + 6 b - 2a
a - 3b ' 6b - 2a a - 3b y^ - x^
^ y(x + y ) - 2 ( 3 b - a ) ^ 2y 2y
(a - 3b)(y - x)(y + x) y - x x - y '
b^ + 2b+ 4 fc" - 8 b" + 2ft + 4
4)
3ft- 4
9ft" - 16 (ft"
ft" - 8
3ft+ 4
9ft"- 1 6 “ 3ft- 4
+ 2ft + 4)(3ft - 4)(3ft + 4)
(3ft - 4)(ft - 2)(ft" + 2ft + 4)
ft-2 ■
1 0 4 . 1) (a" + 27b")
3a" -9aft + 27ft"
(q^+27ft")-2 .^ g + 3ft)
3 a"-9 aft + 27ft" 3 ^
(g" -3aft + 9b") -2 _ 2(g + 3ft)
(a "-3 a ft + 9ft") 3
^ 2y' + Axy^ + 8x" _
3
{y‘ -Sx=')-3 { y ^ - 2 x ) ,
2y' + i x y ‘ + 8x" 2
(у-+2д:у" + 4^") -3 _ 3 , _
(j/‘ + 2 V + 4x") - 2 ^ ^
3 ) (3j: - y f . 9л:" - 6xy + y"
(д: - Z y f ■j:" - 6xy + 9i/"
^ (3jc - y f ■(j:" - 6xy + 9y") ^
( x - 3 y f {9x^ - 6 x y + y^)
^ (3x - yf {3 x - y)(x - 3 yf ^ 3x - у
( x - 3 y f ( x - 3 y ) ( 3 x - y f x - 3 y
4)
x " - 4gj: + 4a" л: + 2a
.r" + 4ал- + 4a" I д: - 2a
^ {X - 2 a f( x + 2af ^ x + 2a
(x + 2 a f ( x - 2 a f x - 2a
105 x ^ - a x - ^ . a b
X + ax _ b x ~ ab
x^ + 2ax + g" _ x(x - a) - b(x - a)
x^ - 2bx + ft" x(x + a) - b(x + a)
(X + g)" _ (д: - a)(x - b)(x + a f x"
(x -ft)" ■
„2
(a: + a)(x - b){x - b f (x - bf
У - ay + с у - ас у" - 2cy + с" _
y‘ - ay - су + ас i/" - 2ay + о"
y(y - a) + c{y - a ) ( y - c f
y(y - a) - c(y - a) (y - a f
(y - a)(y + c)(y - c f
(y - a)(y - c)(y - a)-
106.1)
(!/ - a f
і/"-4 9 ^
4
Гі/ + 7 ]
J / " - 14у + 49 J
= 1.
1
/" -4 9
y" - 14y + 49
V ['г/+ 7'|
[ y - 7 J
' (y^ - 4 9 f
(y - W
(y - 7Г
(!/ + 7)*
((i/-7)(i/ + 7))‘ (j/ -7 )‘
(j
/ - 7 ) “ (!/ + 7 )‘
(j/ - 7 f ■(y + I f
{ y - 7 f { y + 7 f
1 = 1.
0,25a*-1 6 0 ,2g"+g + 5
= 1.
2)
g - 5
0,2o"-25 0,25g‘ +g" + 4 a" - 4
= 1.
0 ,2 5 a '-1 6 0,2g" + g + 5 a - 5
0,2g'‘ -2 5 0,25a’ + g " + 4 a" - 4
i a ' - l
u
(0 ,2 a "+ g + 5 )(g - 5 )
- (g“ - 125)(0,25g“ + a" + 4)(a" - 4)
5
- a ^ - 2 (0 ,2 5 g “ + g" + 4)
- ( a - 5)(0,25д“ + g" + 4)
5
(0 ,2g" + g + 5)(g - 5) _ g" - 4
(a" - 4)(g" + 5g + 25) g" - 4
= 1.
1. в), бо
48л:^ 7у‘ _ 4.8х'^ ■7у" _ Зд:"
49у^ 16д:=‘ 49у^ ■Ібд;’
2. а), бо : 16у^ =
Ту
56j/" І 61/'
56у" 1 56у^
16у'' 16а"і/' 2а"і/
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

3. г), бо
4. б), бо
. 3 „ 1 2
■
ЗаЬ^
с‘
S3 ^
9а'б‘
а
■а'
5. в)> б°
х ^ - 9 х Зт‘ - 2 7
4 т ' - 4
т - т
- 9х 4т‘ - 4 _
~ - т Зт^ - 27
х(х‘ - 9) ■4{т^ - 1) ___
^ т{т‘ - 1) •3(т‘ - 9) З т '
1 2
Якщо х = - - , т = - , то
4 З
4л:
4з:
З т
б. б), бо
з і
З 2аЬ 2cd‘ {cdr
ЗсЧ ■ 9aft (а6)'
_ 2afc ■9ab ■(cd)^ _ 3a'fc'cV
3c*d ■2cd^(abf c‘d”a‘b^
7. 3).
3(a + x) ( x ~ a f
= 3.
(j: - a)(x + a) ■3(д: + a) x + a
8. a), бо (10m - IbnY
(3n - 2m f
2m
. (0т-ЪпУ 2т (b(2m - 3n )f ■2m
(3n - 2m f
_ 25(2m - 3n)' 2m
(3n - 2 m f
при 3n - 2m * Q
m Ф 0.
(3n - 2m)'
= 50m,
6), бо
1
4л' - i x
x + 3
i x ( x - )
:(2 x - 2 ) =
i x " - i x
x + 3
2x
2 x - 2 (л: + 3) 2(д: - 1) х + З ’
при X *■ -3; X * 1.
. , а ' + 4а + 4 4 - а ' ^
^2
(g + 2)'(4 + fe')(fe'- 4 ) а + 2
(4 - Ь')(4 + fc')(2 - а)(2 + а) “ а - 2 ’
при Ь *■ ±2; а Ф ±2.
9. а), бо —
1
1 +
1
1+ -
X
1+ -
х + 1
X
1 х + 1
1+ -
д
с+ 1 + X 2х + 1 ■
д
: + 1 д
: + 1
107.1)

2
т
_
12
2 3 4
49
6 + 4 - 3
12
144
2)
3)
1 1 5 '
3
['6 - 4 - 1 0 ']
.2 3 6; 12
' 8 ^
3
' 2'
. 12; . 3,
И
20
і i t
4 5,
1
' 1000 ’
2 7 ’
('1 1 - 5 - 4
4) з І - 2 і -1 ,5
6 З
20
^ З І - 2 І - 1 ^
6 З 2 )
1
( „ 1 „ 2 , 3 ^
4
2V
= 3 - - 2 - - 1 - —
, 6 6 6 ; , 3,
5) 2 І 1 І - 1 І . 2
2 5 2 3
і® .
81’
5 6 3 2
U 5 2 3
f l ^ 2 І 2 ^ 5 '
5
' 8 5 7 3 Y
^2 S 7, . 5 2 3 7 ,
= (3 - 1 )' =2" =128;
6)
= (4 - 1 )' =3" = 243.
108.1) {5х - 4)(8д: - 5) = 0;
5д: - 4 = О або 8х - 5 = 0;
5д: = 4 Вд: = 5;
= 1 1 ^ = і
^ “ 5 * “ 8 ’ 5 8 “ 2'
2) (3,25 - л)(13д: - 2) = 0;
3,25 - д: = О або ІЗ х - 2 = 0;
х = 3,25 . = З І . А = І
13 4 13 2
3) (16 - 25д:)(8д: - 5) = 0;
16 - 25д: = О або 8д: - 5 ■
= 0;
= і® Ü І = ^
^ 25 ^ 8 ’ 25 8 5 '
4) (З - 7д:)(15х - 14) = 0;
З ^ 14 З 14 2
X = —
або X = — ; — ~ = т ■
7 15 7 15 5
Ї09. Визначимо кількість учнів, що
16 100 ,
= 20 уч-
мають коми ютери
нів).
80
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

Загальна кількість учнів 20 + 5
= 25 (учнів).
110.1)
2с^ - 4с _ 2с(с - 2) ^
2а - ас а(2 - с) а ’
( т - а У ( а - т у _ _
Л) ----------- = ------------= а - т;
а - т а - т
т’' - т т(т^ - 1)
3) J- = — ------5
— = -т;
І - т 1 - m
49с^ -1 4 с + 1 _ (7с - 1)"
1 - 49с"
a - 7 c f
4)
(1 - 7с)(1 + 7с)
1 -7 с
(1-7с)(1 + 7с) 1 + 7с
2л: + 1 А
111. 1)
А =
2 х - 1 4 x ^ - 1
(2х + 1)(4х‘ - 1) ^
2 х - 1
А =
2л:-1
А = (2х + 1)" = 4х^ + 4х + 1.
З х - 2 у А .
Зх + 2у 9х^ -4у^ ’
(Зх - 2у){9х^ - 4у‘ )
Зх + 2у
_ {Зх - 2у)(3х - 2у)(3х + 2у)
Зх + 2у
А = (Зх - 2 y f = 9х^ - 12ху + 4у^
Ч. £ ± У - _ А _ .
x - y - ( x - y f '
_ ( 2х + )(2х - )(2х + 1 ).
4)
2х-- у (2х + у)
л (2х - у)(2х + y f
2х + у
= (2х - у)(2х + у) = 4х^ - у
§ 6. ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ВИРАЗІВ
112.1)
X у х у х ‘ - у ^
у х ) ( х - у ) ‘ х у
2)
ху _ (х - у){х + у) - ху ^ х + у
ху{х - у У х - у '
тп
( х - у )
т п
т ) (т + п) тп
(т^ - п^) ■тп
(т + n f тп(т + n f
(т - п)(т + п) ■тп т - п
тп(т + n f
3)
1 ху
х + у
^ (х - у)(х + у)- ху _ х - у
4)
х^-ух + у)
т
ху
т‘ - п^
ху
х + у
тп
т - п тп
(от - п)(от + п) ■тп _ т + п
тп‘ (т - п) п
т - п
113.1)
(а + 3)
Q + З а —З
а - 3 а + 3 )
- ( а - 3 )
За
а ^ - 9
За
а" - 9
12а (а‘ - 9)
' а' - 9
(а" - 9) За
= 4;
2)
Г а - 2 а + 2> 4а 1
1 3)
І
( т + n f
U + 2 а - 2 ) ■а" - 4 “ m + л ^ т
'^
(а - 2 f - ( а + 2 f а^ - 4
- 4 4а
-8 а (а ^ -4 )
(а^ - 4) ■4а
/^4-х 4 + л :'іж "-1 6
3)
U + л: 4 - х ) 16
(4 - x f - (4 + x f -1 6
1 6 - х ' 16
-Ъх(х^ -1 6 )
“ (1 6 - х ") 16
' х + 5 х - Ь
= X-,
4)
х - 5 х + 5
2 5- х ‘
10
(х + 5 f - ( х - 5У 25 - х^
х ^ - 2 5 10
20х (2 5 - х ')
(х-^ -2 5 ) 10
114. 1) |^а-1 +
= -2х.
2
а^ + 1
а - 1 + 2 (а + 1)
а +1
= а +1;
2) І а + 1 +
а + 1 ,
(а + 1)'
а" + 1
(а^ + 1)(а + 1)'
(а + 1)(а' + 1)
2 ^ ( а - I f - 1 + 2
а - I
+ 1 (а -1 )(а " + 1)
= а -1 ;
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

^ (m + n)^ m^{m + n f
(m + n)m^
4) m + n + •
(m -
- m + m (m - л ) _ л (m - n)
n - m
n^{n - nif
n
= n - m.
{ n - m ) - n
115. 1)
x - y
X
_2
x + y )
X - x y
2x^ -
^ X - y ‘ + X ‘ X - xy
xix + y) 2x^ - y^
(2x‘ - y‘ )x(x - y) ^ x - y _
x(x + y ) ( 2 x ^ - y ^ ) x + y ’
2)
(X + yY
x ‘ +y'‘
{ x - y x + y )
x‘ + x y - x y + y‘ (x + y f
x‘ - y ‘
3)
{x‘ + y^)(x + y f ^
(x^ - y^Xx^ + y‘ )
(x + y f _^X + y
( X - yXx + y) x - y ’
a a
,a + 2 a - 2 . 4 - а "
a‘ - 2 a - a ‘ ~2a 4 -a^ -4a(4-a^)
4)
a‘ - 4
2a 1
a {a ~ 4)a
. 12a^ + 3
4a^ -1
= 4;
4a' + 2a - 2a + 1 4a" -1
4 a ^ - l 1 2 a '+ 3
2
(4a' + l)(4 a ' - 1) 1
(4a' - 1) 3(4a' + 1) " 3
116. 1)
_ a ' - 2afe + fe'
ab
(b - a)ab
£ - 2 + -
b a
ab
b‘ -a^
(a - b)‘ ab
b^-a^ a b (b '- a ')
b - a
2)
ab(b - a)(b + a) b + a
ab a‘ + b ‘
‘ + 2ab
o b
- + - + 2
b a
ab
a^-b^
(a + bfab
ab
3)
a ' -Ö'
X
___________ a + b
a6(a' - fc') a - b ’
- - + І
У У
ху‘
У - х ‘
_ x ' - 2ху + у‘ ху‘ _ ( x - y f x y ^ _
V у ^ - х ^ V ( j / ' - x ' )
_ ( y - x f _ у - х _
!/' - д:' І/+ д
: ’
4) ^ "
У )
Х‘у _
х ‘ - у "
1/' - 2 х у + л;' Х^у _ ( y - x f x ^ y
х ' - у ' х 'у ( х '- у ')
Х‘У
( x - y f х ~ у
х ^ - у ‘ х + у
117.1) ~
с
4л:' -1
1 ( х + 1
X -
х + 1
з
( 4 д : ' - 1 )
= 2х + 1;
З
2 х - 1
(2х - 1)(2х + 1)
= 2х + 1.
2 х - 1
2х + 1 ^ 2х + 1. Тотожність дове
дено.
9і/' - 1
2) у -
j/ -l>
= З1
/ - І .
9 j / ' - l . r y - n V - l .
4 4 4 J 4 ■
. 41
/- 1/+ 1 (Зі/ - 1)(3{/ + 1) •4 , ,
■ 4 = Щ 7 Ї )
Зу - 1 = Зі/ - 1. Тотожність доведе
но.
3)
1 _ 4 - а ' _ а -1
, а - і “ J ■(а - 1 )' ~ а -І-2
а - 1
-1
4 - а '
2
1 - а - н І
(а - 1 )' а - 1
(а - 1 )' (2 - а )(а - 1 )' а ~ 1
4 - а ' (а - 1)(2 - а)(2 + а) 2 + а '
а - 1 а - 1
а + 2 а-і-2
4)
. Тотожність доведено.
' 1 ^ 6' - 4 fe-1
Д -Ь "^ J ’ (Ь - 1 )' Ь + 2
) ( Ь -
1 - Ь
(2 - Ь)(Ь - 1)'
-4 1 + 1 - Ь (fc - 1)
1)^ 1 -6 6' - 4
(2 - b)(b - 1)'
(1 - 6)(6 - 2)(6-н 2) (*-l)(2 -ft)(ft-H 2 )
fe-1
“ 6 + 2 ’
6 - 1 6 -1
6 + 2 6 + 2
118.1) 1 -
. Тотожність доведено.
а + Ь
а - Ь J Ь - а
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

а - Ь - а - Ь b - а -2Ь(Ь ~ а)
а - Ь а - Ъ
= 26.
2)
fg " + 6 " >
------ — - a 1 2 0 . i )
' X l'> 1 1 '
a - 6 a + b У X ) .у X,
а +Ъ -а^ + аЬ 6 - а _ (ft +аЪ)(Ь - а)
а - Ь а + Ь { а - Ь){а + Ь)
^ ЫЬ + g)(ft - а) ^ Ь(Ь^ - а ^ ) ^
(а - Ь)(а + Ь) -Ь^
3)
2т‘ {т + п)
4)
т + п
х(6 - X) ,
9 - х "
т
9
х - г
- 3
= 2(т + п).
^ ж(6 - х)
9 - х ^ ■
а: - Зд: - 9 - Зд: + 9 _
х - 3
х ( 6 - х ) ( х - 3 )
■ (3 - д:)(3 + х)(х‘ - бх)
х(6 - х)(х - 3) 1
' (3 - л:)(3 + х)х(х - 6 ) " 3 + х '
X 2х^
119.1) ( x - 2 f
(х - 2 f x
4 - х ^
2х^
х + 2
(2 - x f X
(2 - х)(2 + х) х + 2 (2 - х)(2 + х)
2х‘
х + 2
(2 - х) х 2х^ 2 х - х ^ + 2х^
2 + х х + 2
2х + х(2 + х)
х + 2
х + 2 х + 2
о X г л «ч 4 ^ 3f7l
2) (m -4m + 4 ): ------- + -------- :
З m + 2
(m - 2 f •З 3m
4 - m
^ m + 2 (2 - m)(2 + m) m + 2
3(2 - m) + 3m 6 -3 m + 3m 6
3)
(2 + m)
x + 2 x - 2
{ x - 2 x + 2 )
(x + 2 r - ( x - 2 f 1
x ‘ - 4 X
8x 12 - x ‘
2 + m
1 12- x ^
X x^ - і
1 2 - * '
2 + m
x ^ - i
l-1 2 + x “
4)
x(x^ - 4) - A
4 ^ = 1 .
x" - 4
- 4 t + i 11 11
t + 4 t - 4 )
( t - i f + (t + i f ________
- 16 2t^ + 32
2 t"+3 2 1 6 - f ’’
11 11
(2f" + 3 2 )1 1 11
1 6 - t "
11
( t “' - 16)(2f" + 32) 1 6 - t " t '- 1 6
11
- l b
= 0.
x - y _ x ^ -y^ xy
xy xy x - y
(x - y)(x + y) xy x + y
х у Ч х - у ) у
( 2 c 1 W 1 1 1 4 г - т ^
2cm^
2c + m 4c - m 2cm
2cm 2cm 2c+ m
(2c - m)(2c + m) ■2cm 2c - m
3) 1
^
2+
2cm^(2c + m)
m
m + 1
3m^ +3m 2m + 2 + m
4)
12m+ 8 m + 1
3m" + 3m _ (3m + 2) ■3m(m +1 ) _ 3m
12m+ 8 (m + l)4(3m + 2) “ 4 ’
4a" - a 2a + 2a -1
f ^ + l l :
U a - 1 ) 6a - 3 2a -1
(4a - l)(6a - 3)
6 a - 3 _
4a" - a (2a - l)(4a" - a)
(4a - 1) ■3(2a - 1) 3
(2a - l)a(4a -1 )
* : - 2 t
121. 1)
U - 5
t - 2f" + 10( t - 5
a
l l - 2 t
< -5
( l l t - 2 f " )(t - 5 )
( f - 5 ) ( l l - 2 f ) ^
■= t;
2) P - -
t - 5 11- 2 (
f ( l l - 2 t ) ( t - 5 )
( t - 5 ) ( l l - 2 f )
bp p - 3 _ p" + 2j) - bp
p + 2 ) ' p + 2 p + 2
P + 2 ^ p "-3 p Д + 2 ^ p(p - 3)(p + 2) ^
p - 3 p + 2 p - 3 (p + 2)(p - 3)
g + 8ft 3a" b a + 86 3a"b
26 “ 6" 6 a " 26~ V ~ 6 a ~
_ g + 86 _ _a + 86 - g _ § b _
“ 26 26 “ 26 ~ 2b ~ '
6x + y 5i/" X 6x + i/ 5xy"
3x x" 15y 3x 15x"y
4)
15y
_ 6x + j/
~ 3x 3x 3x
122. 1)
2x"
x + 4
4 - х
2x" - 4x - x"
4 + X
^ (x + 4) x (x - 4 ) ^
(4 - x)(4 + X )
x + 4
4 - х
4 + x
'(X + 4 )(x "'- 4x)
(4 - x)(4 + X )
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

2)
I - З
^+ 3
!/■
3 - y J
У - 3
y + 3
3v - у" + ■
/' ^ (у - 3) Зу ^ Зу _
З - у ~(У + 3)(У - 3) І/+ з ’
- 4 . X - 2 ____2 - 4 3 + у
^^9-1/^ 3 + і/ 3 -І/ 9-1/^ ж -2
2 (X - 2)(х + 2)(3 + у) 2 _
3 - І
а: + ;
(З - у)(3 + у)(х - 2) З - у
2 X
4)
3 -І/ 3 - j ( 3 -1 / ’
&+ 4 д
:
4 -&
(а - x)(q + х)(Ь + 4) ^
(6 - 4)(ö + 4)(а - х ) 4 - Ь Ь - 4
X а + X X а
4 - Ь Ь - 4
« 3 . ■.
Ь ~ 4
1
а + Ь ^ (а - і))(а + ft)
Ь - 4
а ^ - Ь ‘
а + Ь За - Ь
а + Ь а - Ь
З а - Ь (а + Ь)(3а - Ь ) За - 6 Зо - &
а + Ь + а - Ь 2а
2)
З а - Ь
х - у ^
З а - Ь ’
1 х ‘ - у ^ х - у
2х + у х - у 2х + у 2х + у
(х - уКх + у) х - у ^ х + у 2х
(х - у)(2х + у) 2х + у 2х + у 2х + у
7
124. 1)
Ь + 1
7 Ь "+4 9
- + -
Ь + 7
2
Ь *-4 9 6 - 7
Ь + 1
ft '+49
; при Ь * ф7; Ь * ±1.
Ь + 1
6 + 7 б“
' -4 9 ft-7
, 7 6 -4 9 + 6 ^ + 4 9 -7 6 -4 9 . 6 + 1
6 ^ -4 9 ‘ 2
б'’ - 49 2 2
6' - 49 6 + 1
2 2
6 +1 &+1
а а
2)
6 + 1
Тотожність доведено.
5а + 25'
а - 5 0 + 5 2 5 - а '
5а - 25 0 + 5
а + 10а + 25 а - 5
; при а * ±5.
5 а+ 25'І
1.0-5 а + 5 2 5 -0
5 а-2 5
■о' +100 + 25
. f а а 5а + 25У 5о - 25
V0 - 5 0 + 5 о ' - 25 J' а ' + 10а +
. о(о + 5) - а(а - 5) - 5о - 25
о ' -25
25
+ ІОо + 25 _ о^ + 5о - о' + 5о - 5о - 25
5а-25 ~ о ' -25
(а + 5)' (5а - 25)(а + 5)' _
5(0 - 5) (о - 5)(а + 5) •5(о - 5)
5(а - 5)(о + 5)' 0 + 5
(о - 5){а + 5) ■5(о - 5) а - 5
0 + 5 о + 5 _
- = ------ . Тотожність доведено.
а - 5 а - 5
1 - і
от-1
125 1) — т. = - Ж - =
1 + 1 ^ + 1
2)
2о - 6 т т
Ь ^ 2 а - 6 + 6 2о + 6 - 6
2а + 6
-1
2а 2а _
6 ' Y ~ ’
3) _Л Ш
— = :
m . п
— + 1+ —
п т
( т - п)(т^ + тп + п ') ■mn _ т - п
т^п^(т^ +тп +п^) тп
4)
1 1
— + -
о 6 а + 6 о ' + 6' + 2аЬ
_ І
ъ
І
'і
К
5
ю
2
S
X
зг
сс
S
LO
ab а^Ь^
аЬ(а + ЬУ
_ т
5 + —
126. 1) — ^ =
5 - ^
п
ab
a - v b '
5л + m 5л - m
5л + m л
л
5л + m
2)
л 5л - Л1 5л - m
X + t
x + f - m дг- f + m
-1
m
д: - 1
+ 1
m m
m
X + t ~ m ^
X - t + m"
3) Ш Л.
m n
m + 2mn + Л n ~ m n + m
m - n mn mn
CM
СЧІ
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

(m + n f (л - m) mn(m + n f
= - 1
;
4)
m t
(n + m)- mn(m - n)(m + n)
Y (m + t) =
t - m , t - m
+ = 7?— - .
t —m
mt
(f - m)(t + m)mt
t‘ -
x + y -
y
= mt.
ix y
1
2
7
. 1)
_ д
:
x + y y - x x^ - y ^ '
Ліва частина:
ж+ І/
2ху
х + у ~
і х у : ( ^ _ y ) = ( £ ± y L z i H
х + у
Х+У)
1 _ Х^ + 2ху + у‘ - 4ху _
х - у (х + у)(х - у)
і х - у ) ^ х - у
(х + у)(х - у ) х + у '
Права частина:
X у 2ху _ X
х + у у - Х X - у х + у х - у
2ху х ( х - у ) + у ( х + у ) 2ху
х ‘ - у ‘ х^ - у‘ х ‘ - у^
_ х ‘ - ху + х у + у^ 2ху _
х^ - у ^ х^ -
_ х ‘ + у ' ‘ - 2ху _ ( х - y f _ х - у
Х - У ‘
х - у ^ х - у
х + у х + у
при X Ф ±у.
2 ) Щ ± —
ab
2 а - Ь
ab
а^-Ь^
X - у ‘ х + у
Тотож ність доведено
а + Ь
1
УЬ а )
а + Ь
ab ab
2а- b a - b
(а + b)ab
2 a - b - a + b
ab ab ab
7 = 7 - Тотожність доведено,
о о
+ 1 =
. „ 2
m + p
M + p V P
+ 1 =
mp
1 m^ + p^
m + p mp
+ 1 =
(m + p){m^ - m p + p^)
m + p pm
_ - mp + p^ + pm _ m^ + p^
pm
m^ + p^ _ m^ + p^
mp mp
ДЄНО.
+ 1 =
mp
Тотожність дове-
/
4)
^ x - а
ах
x + а x ~ а
X а '' х + а X - а '
X ~ а X + а^ 1 а X )
X + a x - a x + а
{ X - a){x + а)
ах
ах
ах
2 *
(х - а)(х + а) X +а х" - а
ах ах ^
1 -----2~ ~ 2 -----2 * Тотожність доведе
но.
т
. 1) ( y ^ - S y Зі/- 9 "
1 - і '
У ~ 6 у + 9 у^- 9 J . У .
у(у - 3) 3(у - 3)
1 - -
У )
у - з _ + Зі/ - Зу + 9
у ( у - 3)(у + 3)
y - Z y + 3 j
y - Z (y ‘ + 9 )(y -Z ) y^+ 9
У ( у - 3)(y + 3) y(y + 3)
Якщо І/ = 6, то
2)
+ 9 _ 45 _ 5
у(у + 3) 54 ^6
а‘
‘ + ах + х^
^ а - х а - X
а ^ - х ^ А =
5а
5а^
а 2 а - Ь 1 1
1 х(а‘ + а х + х ‘ )
.Ь а>
и і ^
ab а + Ь І ~
и/^ . и 1 а - х (а - х)(а^ + ах + х ’
‘ )(а + х)
Ьа^
1
5а
а - X а - X
а + X - X а‘ - X
а^ - х^ 5а"
а(,а^-х^) 6
5а"
5а
1
' 5а
5а"(а" - х^) 5а 5а 5а
Якщо а = - —,то - і = 7.
7 а
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

129. 1)
b
b - a
2a ,
2ab a + b
-b^ 2a + 2b
2ab
2a
a + b
a - b
^(a - b)(a + b) 2(a + b)^
b Aab + (a - b f 2a
a + b b - a 2(a - b)(a + b) a + b
b (g + b f ■2a b a
b - a a - b
b - a
b
a - b
2(a - b)(a + by
2)
a ~b
у ~xy
x - y + y^ X ^ - y ^ ) '
у х(х"‘ - y^) x(x + y ) - y(x - y)
x - y x‘ + y ‘ ( x - y f ( x + y)
у x(x^ - y^)(x^ + x y - x y + y^)
' x - y (x^ + y ^ ) ( x - y f ( x + y)
у x(x^-y^)(x^ +y^)
~ x - y ( x ^ + y ^ ) ( x - y f ( x + y)
^ _ y ______ ^ _ y ~ ^ _ 1.
~ x - y x - y x - y
Вправи для самооціяювання
1. б).
О **
2 х - а 2 х + а
2 - “
2, а), бо ^ =
2 + -
2 х - а 2 х - а
X 2х + а 2х + а
3. а), бо х ‘ - 2ах + а‘ = 0;
(х - аУ = 0; X = а; ОДЗ. х ^ а;
а - 2 = 0; а = 2; ОДЗ. а ^ 2.
l2
а о
9 _ 9а* - 4ft^
4. а), бо
а Ь
Ї 2 ’^ Ї8
Зо + 2Ь Эа“
' - 4Ь‘
36
36
36 36 За + 26
= ( 3 » r Ä ± 2 y = 3 a-2 6 .
(За + 2Ь)
2 1
Якщо а = —, Ь = - , то
З 2
Z a - 2 b = 3 - - 2 - = 2 + l = 3.
3 2 .
5 а —О
в), бо 1) якщо X = -------,
а + Ь
„ а а а - Ь а‘ + ab - ab + Ь^
т о X = ---------------= -----------------------------
Ь Ь а + Ь Ь(а + Ь)
= £ І ± ^ .
Ь(а + Ь) ’
2) якщо х = - — - то —+ л: = —+
а + Ь а Ь
^ а - Ь _ Ь‘ + ab - a b+ а‘ _ а‘ +Ь _
а(а + Ь) ’
а^ + 6*
3)
а + Ь
а^+Ь^
а(а + Ь)
а* + Ь‘
Ь(а + Ь) ' а(а + Ь) а(а + Ь)
а(а + Ь) _ а
' а^ + Ь‘
‘ ~ Ь
6. г), бо
■■(х‘ + у ‘ ) =
- + 1 ^ - 1
2
1 ( х-У^
2'
у J
■г
У J
У^ У‘
-х‘ +2ху + у^ + х ^ - 2 х у + у^ . , , _
■.(х^ + У^)^
: ( х ‘ + у ‘ ) =
7. б), бо - п + -
1 -п ^
1 - 2 п ‘ + п^ 1 „ , _ г .
’
п Т
і
1,2х^ - ху _
в), бо
100
0,36jc^ -0,25г/'
х { 1 , 2 х - у )
(6л: - ЬуКбх + 5у)
^ ( Ь х - Ь у )
20д:
^ (6 і- 5 у )(6 д : + 5і/) +
100
8
= (у
^_ 4), З у - 6 - 2 і / - 4 + 5 = j , _ i o + g =
’ (J/-2XJ/ + 2)
= J/-5; у * ±2.
9. б), бо
2а
2а 4а‘‘
2а + fc 4a“ + 4а6 + 6*
ab - 4a“
,4а* - 6“ Ь - 2 а ,
2а 4а*
[2а + & (2a + & r j
2а 1 '
Ь + 2а
ab - 4а*
U a * - 6 * 2 а - Ь )
4а* + 2аЬ - 4а*
Ь + 2а
-Ь а(Ь - 4а)
(2а + &)* ’ 4а* - Ь* Ь + 2а
І
' о
І
'і
о
с
Б
La
ос
О
S
X
т
а
сс
с
з
LO
IÜ
с :
<
е*з
N
N
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

ем
ем
_ 2аЬ(2а - Ь)(2а + Ь) а(Ь - 4а) _
-Ь(2а + b f Ь + 2а
_ -2а(2а - Ь) аф - 4а) _
2а+ Ъ 2а+ Ь
-4а^ + 2аЬ - аЬ + 4а^ аЬ
2а + Ь
При Ь ±2а, Ь ^ 0.
2а + Ь
X
Р
ъ
I
’і
D
C
LD
ОС
fO
I
т
>ч
а
5
с
о
3
LQ
<
130. Скористаємося рівністю
a + b _ a ^ b
с с с
т + тп
2т
а^ - iab
2а
1 6 а - 8 т '
8ат
т + п
1)
2)
3)
4)
5)
131.1)
х‘ +1
т тп ^ т
2т 2т 2 2 ’
а
2а 2а 2
16а 8т
8ат
т п
— + —
___
8ат т
1 1
от •
а '
тп тп
m“ + п" от'
тп п от ’
л
' а " а'
л:" +1
от г
а
от^
1
= а — .
а
х - 1 1 - х ^ 1 + ;с л:-1
д
: д:(л: + 1) + + 1- :c(x - 1)
' -1 а: + 1 “ х^ -1
+ х + х^ + 1 - х ^ + х + 2 х + 1
х ^ - 1
(x + l f х + 1
х ^ - 1
2)
х - 1
х" + у ‘
X - у X - у х + у
_ Х(х + у) + х^ +у^ + х(х - у) _
х" - у '
_ х^ + ху + х^ + у'^ + х'^ - ху _ Зх^ + у^ _
3)
х + 2
X - у
х - 2
X - у
16
х - 2 х + 2 х^ - і
(х + 2 f - { X - 2 f - 16 _
х ‘ - 4
дг^ + 4 j; + 4 - + 4 ж - 4 - 1 6
8х -1 6
х - 4
8(х - 2)
4)
8а 2а 2а
х + 2'
8а
а^ - 4 6 - За а + 2 а - 4
2а 2а 8а 2а 2а
3 (2 -0 ) а + 2 а -4 3(а - 2) а + 2
24а - 2а(а + 2) + 2а ■3(а - 2) _
3(а^ - 4)
24а - 2а^ - 4а + 6а^ - 12а 4а^ + 8а
3(а^ - 4)
4а(а + 2) 4а
3(а“ - 4)
3(а - 2)(а + 2) 3(а - 2)
132.3а три години мотоцикліст по
долає ш лях Зх км, а велосипедист
Зу км, тому відстань між ними
Зх - Зу.
133.1)
2а: + 6 _
5 - З х '
5 - Зх = 0; х = - ;
З
2 ) і х - 3 = 0 ; д: = 9;
4 - 5х 5 + 4х 5
5 + 4х = 0-, х = - ~ ;
4
4)
16д: + 1 Зл: + 1 ,
5х + 2 2х - 5 ’
5х 2 = 0;
2
х = - ^ ; 2х - 5 = 0-, х = ~.
5 2
134.1) = 0; 2,4;с + 48 = 0;
8
2,4л: = -4 8 ; х = - — ; х = -2 0 ;
2,4
2) 1і 8 £ ::1 І = 0;
18
1,8д: - 54 = 0; 1,8л: = 54; д: =
д: = ЗО;
3) ^ , ^ = 0;
12 12
Здс + 4 + 2д;-3
Ü -
1,8’
12
= 0; ^ ^ = 0;
12
5д: + 1 = 0; д: = — ;
5
4) 1 .5 ^ -7 , 1,9д^ + 38,5
2 4 ’
Зд:-14 + 1,9д: + 38,5 _ ^
4,9д: + 2 4,5 = 0; д: = -5.
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

§ 7. РАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ
В п р а в и д л я з а к р іп л е н н я
135Л) ^ = 0
:
2 ) ^ = 0;
3)
х - 2
7Х + 14
4)
х - 2
Тх = -14:
х * 2 ;
0,5х + 6
= 0;
2 Х - 2 І
0,5л: = -6;
2х * 24;
X - 8 = 0;
х Ф й .
X + 6 = 0;
х - 2 Ф й
7 ї + 14 = 0:
х - 2 ф ^
X = -2:
х ф 2.
0,5л: + 6 = 0:
2л: - 24 ^ 0;
д: = -12;
Х Ф 2 .
х = 8;
X * 0 .
X = -6;
х ^ 2 .
= 0;
їЗ б д ) ( £ ± 1 К 2 ^ ^ 0 ;
лг-2
( ї + Ш2х - 4) = 0;
х - 2 * 0 ;
х = 2;
х = -1;
х ф 2;
або
х ф 2;
-1;
(3x + 9 ) ( x - l ) Q
.
х + 3
Зх + 9 = 0;
J
C+ З 0;
X = -3;
або
X * -3;
або
{Зх + Щ х -1 ) = 0;
д: + З 0;
л: - 1 = 0;
х + З 0;
х = 1;
X Ф -3;
X = V,
(0 .5 х -1 )(х + 7) ^
Зх - 6
(0 ,5 х -1 )(х + 7) = 0;
Ьх - Ь ф О
-,
0,5х - 1 = 0;
Зх - 6 0;
або
X + 7 = 0;
або
X = -7; І
і Зх + 3 = 0; X = -1;
Зх - 6 0; X 2; х ф 2; і '
І
X 0;
X
X Ф 0;
* “ -7;
(Зх + 2 7 )(х -9 ) _ д.
(Зх + 2 7 )(х -9 ) = 0;
| х + 3 ^ 0 ;
X - 9 = 0;
—X + З q
t 0;
З
Зх + 27 = 0;
1 або
- х + 3 . 0 ;
X = -9;
або
X ^ -9;
137.1) ^ ^ = 0;
X = 9.
х - 1 1
х = -И ;
X 11;
X -9;
х + 11 = 0;
х -1 1 ? іО ;
X = 9;
X = -11;
2 ) ^ ^ = 0;
0,5х + 1
X = 1;
3) ( " -^ )(3 х + 11)
З х - 2 1
(7 - х )(З х + 11) = 0;
З х -2 1 # 0 ;
X = 7;
ХФІ-,
Зх + 11 = 0;
хф7;
7х - 14 = 0;
0,5х + І Ф 0;
X = 2;
x ;t-2 ;
або
11
З ’
7 - X = 0;
Зх Ф 21;
11
х ф 7;
З ’
(0.5х + 0 ,5 )(0 .4 х -2 ) ^ д.
0 ,2 х -1
(0,5х + 0 ,5 )(0 ,4 х -2 ) = 0;
0,2х - і 5^0;
О, 5х + 0,5 = 0;
0 ,2 x -l? t0 ;
х = -1;
ХФ5-,
х' = -1.
або
0 ,4 х -1 = 0; |х = 5;
X Ф 5; }х 5;
138.1) - 2 = 0; ОДЗ: х ф 0;
X
X + 8 - 2д: = 0; -д: + 8 = 0; л: = 8;
2) 8 ^ - 5 = 0;
-1;
“ з Г " -
6х + 2 -1 5 х
6х + 2
Зх
- 5 = 0;
= 0;
Зх
2
“ 9 ’
3 - 9 х ^
4) - ^ = -4:
З - 9х + 8х
-9 х + 2 = 0;
х ф О
-,
2
X = —;
9
х ф О;
2х
X = 3.
= 0;
+ 4 = 0;
2х
3 - х
2х
= 0;
х = 3;
JC ^ 0;
8 Супер ГДЗ. 8кл.. кн. 2
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

СЧІ
ем
139.1) 5^!— ^ = 3^; ^ -3x^0-,
X X
8 x ^- 5 - Зх^ д 5х‘ - 5 Q
.
5 x ^ - 5 = 0;
х ^ О ;
2 ) ^ ^ ^ - х ;
4х
-4 - Зх‘ + 4л:^
X = +1;
X =
X it 0;
-4 - Зх‘
±1;
+ х = 0;
'О
І
’х
сз:
5
in
сс
г
о
І
т
>ч
Q.
5
Ъ
о
S
с ;
<
= 0;
4х
X * ±2;
Зд: + 4 8 - З х
о)
4х
х ' - 4 = 0; х = ±2;
4х 3
t 0; jx 0;
: ОДЗ: X * 7; X и
7 - х х - 1
(Зх + і ) ( х - 1) = (8 - Зж)(7 - х);
30л: = 60; д: = 2;
4)
2 х - 1 2х + 3
: ОДЗ: x * - l - , х : А І ;
х + 1 х - 1
(2х - 1)(х - 1) = (2х + 3)(х 1):
8л:
= ОДЗ: . . і ;
і/ -3; (2і/ + 3)(і/ + 3) = (І/ - 5)(2і/ -
- 1); 2і/‘ + 9 у + 9 = 2у^ - 11у + 5; 20у =
д: (1 + Зх)(1 + 2л:) = (5 - Зх)(1 -
- 2л:); 1 + 5л: + бл:^ “ 5 - ІЗх + бл:“;
18х
3)
4; л: = - .
9
л: - 1 2л: - 1
= 0;
2л: +1 + Ьх
(х - 1)(1 + 5л:) - (2л: - 1)(2л: +1)
(2л: + 1)(1 + 5л:)
ОДЗ:
X + 5л:2 - 1 - 5л: - 4л:^ + 1 =
= 0;
4л; = 0; л:(х - 4)
0;
0; X = О
або X ” 4.
4) =
х + 4 х - 8
(5х - 2)(х - 8) - (X + 4)(х + 4)
(х + 4)(х - 8)
ОДЗ: X ^ -4; X ^ 8;
5x2 _ 40д; - 2х + 16 - х^ - 8х - 16 = 0;
4х^ - 50х = 0; 2х(2х - 25) = 0; х = О
або X - 12,5.
= 0;
ОДЗ: X # -3; ^
4х - З = 15; 4х = 12; х =
Q q
2) -7 Х -1 1 0 + -
141. 1) 4х + 3 г = 1 5 -
х + 3 ’
3;
х - 1 х - 1
3) і х + 2 , 5 - - ^
2 х + 4
ОДЗ: X ^ 1;
- 7 х - 110 = -117; -7 х = -7 ; х = 1;
9 10
2 4 + х ’
ОДЗ: X -4;
і х + 2,5 = 4,5; ^ х = 2; х = 4;
2 8 ^ 8
4) 7х + 13 + ; г ^ = 6 2 --
3 - х
7Х + 1 3 -
8
х - 3 ’
= 6 2 -
8
х - 3
ОДЗ: X 3;
7х + 13 = 62; 7х
X = 7.
142.1) 9 Х -2 4 +
х - 3
62 - 13; 7х = 49;
! Q
= Зх - ■
2 - х х - 2
9 Х - 2 4 - - ■= Зх - -
х - 2
х - 2
ОДЗ: X ^ 2;
9х - 24 = Зх; 6х - 24; х = 4;
2) х ^ - - ? - = - З х - - ^ ;
х + 3 З + X
ОДЗ; X -3;
х^ = -Зх; х^ + Зх = 0; х(х + 3) = 0;
X “ О або X = -3 ;
3) — + 4 + — ^ = — 1—
10 х + 10 х + 10
ОДЗ: X Ф -10;
X
10
4) 5х=^ - 1 -
-5 ;
+ 4 = -5; X + 40 = -50; х = -90;
4 , . . „ . 4
= 4 х "+ 8 +
5х' - 1 + -
х - 3
■= 4х' + 8 + ■
3 - х ’
3 - х ‘ “ 3 - х ’
ОДЗ; X ^ 3; 5х^ - 1 = 4х^ + 8; х^ = 9;
X = З або X = -3.
143.1)
х + 2
2х +1 х - 1
2х +1 х - 1
х - 2
- 1 = 0;
= 1;
х + 2 х - 2
(2х + 1)(х - 2) - (X - ІХх + 2) - (х' - 4)
[X + 2)(х - 2)
= 0;
4 - 4х
(X + 2)(х - 2)
4 - 4х = 0;
X +2;
= 0;
X = 1;
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

20
X - 2 x + 2 x'^ - 4 ’
x - 2 x + 2 x ^ - 4
5(x + 2) - 3(x - 2) - 20 ^
(X - 2)(x + 2) ’
2 x ~ 4
= 0;
(X - 2)(x + 2)
коренів немає;
2 1
3)
2д: - 4 = 0;
л: ±2;
у" - Зі/ і/- З - 9 у ’
2 1 6
J/(y - 3) і/- З !/(і/ ~ 3)(у + 3)
2(у + 3 ) - у ( у + 3) + 6
у(у - Ш у + 3)
х = 2
-,
х ф 2

= 0;
= 0;
- У ‘
= 0;
у{у - 3)(^ + 3)
- у ^ - у = 0; Іу = 0;у = -1;
у *0 ; у * ±3; [у 0; ±3;
4) 1 _______72_____
л:^ - 8х + 16 X - 4
У = -1;
1 -
72 14
х ^ - 8 х + 16 х - 4
= 0;
д:^-8х + 1 6 - 7 2 - 1 4 (х - 4 )
{X - 4 f
|д:'-22л: = 0;
“ ’ х * 4 ;
= 0;
(X - 4У
’х = 0 ;х = 22;
,х * 4;
144.
X = 0-, X = 22.
Було
X - 7
Стало
X - 7 + 5
= X - 2
X - 6
Дріб
х - 2
х - 6
т
и ^ - 2 „1 ^ - 2 7
Маємо рівняння ------- = 2—; ------- = —;
х - 6 З х - 6 З
Зх - 6 = 7х - 42; 4 х = 36; х = 9.
Отже, чисельник дробу 9 - 7 = 2.
2
В і д п о в і д ь : — .
9
145. Нехай чисельник дробу х, тоді
знаменник X + 13. Якщо чисельник
подвоїти, він стане 2х, а знаменник
збьпьшити на 14, він стане д
: + 13 + 14 =
= X + 27.
2х 20
Маємо р ів н ян н я = 17^ ’
х + 27 37
54х = 540; х = 10.
Отже, чисельник 10, знаменник 23.
Відповідь: — .
23
ш . Нехай знаменник дробу х, тоді
X + 2
чисельник X + 2. Маємо дріб ------- .
X
Якщ о чисельник збільщ ити на 1,
X + З „
одержимо ------- . Якщо чисельник та
X
знаменник заданого дробу зменшити
на 1, одержимо дріб
Маємо рівняння
х - Г
X + З X + 1
X X - 1 ’
(X + 3)(х - 1) = х(х + 1); X = 3.
Знаменник дробу З, чисельник 5.
5
Відповідь: - .
З
147.
Було
х - 2
Стало
X + 7
X - 2 + 5
= X + З
Дріб
х + 7
х + 3
х + 7
х + 3 х - 2 ’
(х + 7)(х - 2) = х(х + 3); 2х = 14;
X = 7.
Отже, чисельник дорівнює 7, знамен
ник — 5.
Відповідь: —.
5
148. Нехай швидкість Оленки х км/год,
тоді швидкість Михайлика 1,25х км/год.
Оленка проходить відстань 20 км за
20 „ .. 20
— год, а Михаилик — за ------- год.
X 1,25х
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

20 20 ,
М аємо рівняння -------. = 1;
9П їй ^
— - — = 1; - = 1; X = 4-, 1,2Ьх = 5.
X X X
відповідь: швидкість Оленки 4 км/год,
швидкість Михайлика 5 км/год.
149. Нехай швидкість вантажної ма
шини X км/год, тоді швидкість лег
кового автомобіля 2х км/год.
Відстань 240 км вантажна машина
240
проходить з а год, а легковии ав
томобіль — за
X
240
240 120
2х
240
= 2;
X
120
240
2х
= 2;
= 2; 2х = 120;
X X
X = 60.
Ш видкість вантаж ної маш ини
60 км/год, швидкість легкового авто
мобіля 2 X 60 = 120 км/год.
Відповідь: 60 км/год, 120 км/год.
150. Нехай весь об’єм роботи 1 і дру
гий робітник може виконати її за
X год, тоді за 1 год він виконає —
X
частину роботи. Перший робітник за
1 год виконує — частину роботи. Ра-
6
зом за одну годину вони виконають
і-н і частину роботи. За умовою
X 6 )
обидва робітники виконують роботу за
4 год, тому за 1 год вони виконають
1
— частину.
лі 1 1 1 1 1 1
Маємо рівняння — + — = — = ------- ;
л: 6 4 д: 4 6
л = 12 (год).
Відповідь: 12 год.
151. Нехай об’єм басейна 1 і друга
труба може наповнити його за х год,
1
ТОДІ за 1 годину вона наповнить —
X
частину басейна.
Перша труба за 1 год наповнить —
З
частину басейна. Разом за одну годи-
(1 1 'І
ну вони наповнять — І-— частину
,лг З , J
басейна. За умовою це становить —.
2
„ 1 1 1 1 1 1
Маємо рівняння — *
■—= —; — --------
;. = 6 (го д ). ^ З 2 .. 2 З
Відповідь: 6 год.
1, в), бо всі три рівняння мають
змінну в знаменнику дробу.
2. б), бо ^— ^-1-5 = 0;
6 - Зд: -І-5л: _ ^ & - 2 х _ ^
X ' X ’
X = -3.
6 -t- 2л: = 0;
x^Q
3. г), бо
х - 2 4
6х + 12
= 0;
х - 2 4 = 0;
6х + 12^ 0;
X = 24;
л: = 24.
X ^ -2;
(4 - х)(3х + 9)
= 0;
х + 3
4 - X = О або Злг -І- 9 = 0;
д: -3;
j: = 4 або х = -3;
х * - г ;
24 + 4 = 28.
4. б), бо 2л: - 4 = 0; д: = 2.
д
: = 4;
2д:-і-- -+ 4;
2д; = 4;
х*3-.
2.
х + 3 х + 3
Рівняння мають однакові корені, тому
вони рівносильні.
5.
. , х^ + 4 х + 4 „
а), бо -----=
--------- = 0;
д
- - 4
(х + 2f
= 0;
д: -І- 2 = 0;
X Ф ±2;
д: = -2;
д
: Ф ±2;
(д: - 2)(х + 2)
розв’язків немає.
6. а) Нехай знаменник звичайного
дробу X, а чисельник — х - 18.
Якщо до чисельника додати З, маємо
д ; - 1 8 - і - 3 = д : - 5 ; знаменник —
X ~ 5.
х - 1 5 ^ 5
х - 5 ~ 6 '
д: 2 6 х ^ + &
Одержимо рівняння
7
. а), бо
д
: + 2
2д:-4
6 д:' -н8
д:" - 4 ’
2(д: - 2) 2(х + 2)
х + 2 6 д:^4-8
2(дг - 2) 2(д: + 2) х^ - 4
= 0;
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

" Т о - 4) ’
г £ І : ^ = о;
atA:“ - 4)
У + 2д: = 0; jx = О або д
: =-2;
д;^±2; x;t±2.
Корінь рівняння X = 0.
ПІ = 2х^ - 5х + 1. При X = 0: т = І.
ß, а) Нехай швидкість автобуса х км/
год, тоді швидкість легкового автомо
біля 2х км/год. Автобус пройде 160 км
160
за ----- год, а легковии автомобіль —
160
за ----- год. Автомобіль пройде шлях
2х
ва 2 год швидше.
160 160 „
Маємо рівняння — -----------= 2;
“ Л , . - 4 0 ,
X X X
Швидкість автобуса 40 км/год, а лег
кового автомобіля — 80 км/год, за
1,5 год він пройде ш лях 80 х 1,5 =
- 120 (км).
Відповідь: 120 км.
^ + 2 f - 6 { x - 2 ) - 2 { x ^ + 8 ) д.
9, г), бо
(1 + а)^
5
(а -1)^
^ =0;
І - о "
(1 -І- a f (а - 1 )' 1 - а
2(1- a f - 5 (1 -Hgf -3 (1 -0 ^ )
(l- b a f(l- a )^
= 0;
-14а - 6 = 0;
а * ±1;
З
“ = "7=
5 ї + 3 7 ' 3^ 5х 3 ^
І
1
1 а =
І
2
'1^
,5 ;
ß
х - 5 “ з . 7; ' х - 5
1
І то 25"а ' = 25‘ ■
1 к’'
= ( 5 ' ) ' -
і.
,5,
І5х -нЗ = -X + 5;
[ х * 5 ;
х*5-.
1
~ З '
(За - 2bf (За - 2bf
= -1:
2)
3)
4)
(За - 2bf
(2Ь - За)^
26 - За
За-2&
= 1;
= 2Ь - За;
(2Ь - 3af
(За - 2ЬУ
2 Ь - З а
З а - 2 Ь __________^ ________ _
(26 - За)' (За - 26)' За - 26 ’
5) < з З £ ^ ^ Н З £ ± Ж = З а . 2 6 ;
6)
За + 26
(За -І- 26)'
За-І-26
(За -І- 26)'
(-За - 26)' (-(За + 26))'
_ (За н
- 26)'
(За + 26)' ~ ‘
153 1 ) (За + 26)' (За - 26)' _
аЬ ■ ab
= (За + 26)' - (За - 26)^ _
ab
_ (За + 26 - За -І- 26)(3а -і- 26 -нЗа - 26)
ab
46 6а
ab
= 24;
2)
(За -і- 26)' (За - 26)'
3)
9 a '-f4 6 ' 9a'-t-46'
9а' -І- 12а6 -і- 46' -ь 9а' - 12а6 + 46'
9а' -ь 46'
18а' + 86' _ 2(9а' + 46')
9а' + 46' 9а' + 46'
(За - 26)' (За + 26)'
4а6 4а6
(За - 26 - За - 26)(3а - 26 -і- За -і- 26)
= 2;
4а6
-46 ■6а
4а6
= -6.
155.1) 2а' і а
2а' ■а'
8
= -^ ; якщо
а = 2®, то
а- 2
2) 4(3а)' = 36а'; якщо а =
= 2“ ;
36а' = 36
36
3) 25(25ау
3 6 ’
25^ а , якщо
= ^ = 25;
4) 27(а')з X 81(а»)' = 3^ х а« х 3^ х а* =
= 3V *'; якщо а = 1/3.
і У ' 3^ _ 1 _ 1
З І “ З " “ З* “ 243 ■
то з ’ •а*' = З'
156.1) 1,7'
17" 10’
10' ■17
т = і;
2)
2‘“ •3“
1 0 '
7
17'
7
10'
. П у ДОу лт.
■
6')3 6‘ 6' 6 ‘ 6
6'" е
J
1
0
6
=1
;
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

X
го
I-
'5
X
’х
о:
.5
L
q
ос
О
го
S
X
т
> .
о .
5
Ъ
о
3
L
£
^
Ш
1_
<
РЧ
C
S
J
3)
100'' 10" _ ( I 0 " f ■10“ ^ 10" 10** ^
10’
10 ’
4)
ю " _
1000^ 10° (10^)^ 10^ 10" 10’
10‘
10“
(lO’ f
1
10’ 10'
1
10’ 1000
1.
2.
3.
4.
A)
Б)
B)
Г)
Д)
б.
А )
В); Д).
Б); Д).
Б), бо
З а Ь ‘ З^аЧЬ^Г 9а-Ь*
(т“
')' ш"
A3, Б4, В2 , Г5, Д1
ab а + Ь аЬ{а + ft) ab
а + Ь 3 (а + ft) 3 У ’
а - Ь 3 ( а - f t ) -4 3 _
ab а - Ь аЬ{а - ft) aft ’
а - Ь а + Ь (а - Ь){а + ft) а - ft
а + Ь 3 (а + ft) 3 3
3 а" + ft 3
а^ + Ь а - Ь а - Ь ’
а - Ь аЬ ( а - Ь ) - аЬ 1
ЗаЬ а - Ь ЗаЬ(а - ft) ‘ 3 '
A4, Б1, В5,, Г2, ДЗ
х - 3 (X + 2Y
Б)
х + 2 - 9
(х - 3)(j: + 2 f ^ ^ + 2 .
{х + 2)(х - 3)(х + 3) х + З ’
х ^ ~ 4 х + 3
В)
3 + д
: ( x - 2 f ^
(х - 2)(х + 2)(х + 3) _ х + 2
(X + 3)U - 2 f ~ X - 2 ’
х + 1 ( x - 3 f
х - 3 х^ - 1
{X + 1)(дг - 3)=" х - 3
(д: - 3)(л: - 1)(х + 1) х - 1
(x + 3 f .у -2
х ^ ~ 4 ' х + 3
_ (x + 3 f { x ~ 2 ) х + 3
~ ( X - 2)(х + 2){х + 3 ) " х + 2 ’
х~ - 1 х - 3
Д)
(х - 3 )" д: + 1
(х - 1)(л: + 1)(х - 3) х - 1
( x - 3 f ( x + D х - 3
7. В), бо
х - 5 х - 5 х - 5
X- + 4 х 5х + 20 х^ + 4х
Ьх + 20 ( х - 5 ) 5(х + І ) ^ 5
X
х - 5
8. А ), бо
х(х + і) ( х - 5)
(х - 1 )" (х + 1)"
х + 1
( X + 1)(х - 1)(х + 1)
9. Б), бо
а а(а^ + Ь‘ )
х ‘ - 1
= х - 1 .
а + Ь-
^ 1
аЬ(а- + Ь") Ь'
д- +
ab
а + Ь
10. А2, Б5, В4, Г1, ДЗ
А )
2х
+ 1
х + 2 2Х + Х + 2
З х - 2
х + 2
х + 2 ^ (Зх + 2)(х + 2)
Зх - 2 “ (X + 2)(3х - 2)
Б)
Зх
В)
х + 3
х + 3 _
4 х - 3
4х
х + 3
х + 2
Зх + 2 ,
“ Зх - 2 ’
Зх + X + 3
(,х + '
х + 4 _
5 х - 4 ’
Зх
Г)
х - 3
х - 3 ^
4х + 3 ”
2х
Д)
+ 1
, 4 х - 3 х + 3
( 4 х + 3 )(х + 3) 4 х + 3
(X + 3)(4 х - 3) “ 4 х - 3 ’
+ 1 І ^ + 4 4 х + х + 4
J 5 х - 4 х + 4
(5 х + 4 )(х + 4) _ 5х + 4 ,
( х + 4 )(5 х - 4) “ 5х - 4 ’
х - 3 _ 3 х + х - 3
, 4х + 3 х - 3
( 4 х - 3 ) ( х - 3 ) _ 4 х - 3
(X - 3)(4 х + 3) 4х + 3 ’
х - 2 2Х + Х - 2
+ 1
Зх + 2
х - 2
х - 2 _ (Зх - 2)(х - 2)
^ (х - 2)(3х + 2)
х - 2
З х - 2
Зх + 2
25л'
Зх + 2 '
- Ютп + 6 т - п
т - 5п
11. Б), бо
18m -З л
(5п - mf(&m - п) _
3 ( 6 т - п)(т - 5п)
_ ( т - 5nf(6m - п) _ т - 5п
3 ( 6 т - л ) ( т - 5 л ) 3
т " - тп т " - 2тп + гг
12. Г), бо
т{т ~ п)
т
'^
-
т - п
т
_ m V
im - rif
т п
т{т - п) ггГп^
т^{т - п)^
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

^= 1.
= f t - 2 4 9 b '-2 5 2 -ft
° 7Ö + 5 fc" - 4ft + 4 5 - 76
(2-&)(7i>-5)(7ft + 5 )(2 -6 )
° (7b + 5)(b - 2)'(7fe - 5)
“ -1 a(a + 5)
(o - l)a (g + 5) _ a
~ (a + 5)(a - 1)' a - 1 ’
2)
a - 1 o ' - 2a + 1
3a
(g - l)3 a'
3a(a - 1 )'
3a'
a
a - I
16. A ) =
m + О
4m' - 4m 1 _ 4m(m -1 )
от + 3 2m - 2 (m + 3)2(m - 1)
2m
m + 3
Якщо m = -1 , TO
2m 2 ■(-1) -2 _ ^
m + 3 —
1+ 3 2
Б) Якщо m = -2 , TO
2ot ^ 2 ■(-2 )
m + 3 —
2 + 3 1
B) Якщо m = -4 , TO
2m 2 (-4 ) ^ ^ ^ g
m + 3 -4 + 3 -1
Г) Якщо m = -5 , TO
2m 2 (-5 ) -10
= 5.
m + 3 —
5 + 3 —
2
Д) Якщо m = -2,5, то
2m 2 (-2,5) -5 ^
m + 3 -2,5 + 3 0,5
10.
n . Д), бо 2)
(a ' - 1)' a* - 2a' + 1
ab a + b
1 a ' - b'
2a ~b
= — — -------
ab a + b ab
_ 2 a - b ( a - Ь)(а + b ) _ 2 a -b g - b
ab (g + b)ab gb
_ 2g - b - a + b _ 1
ab
19. A ), бо
b* 27a'’b* За*
3 a " ^
3
b‘
b* j [s a 'J
ab
27g'’
9 a ‘ b'* 9g*
x - y ХЛ-У x - y
xy
20. Б), бо
x + y x - y j
. 2 ( x - y f - ( x + y f x - y x + y _
x + y ( x - yXx + y) xy 2
( x - y - x - y){x - У + Х + y)(x - y)(x + y)
- 2 y ■2x
(x - y){x + y ) x y - 2
= -2.
x y 2
21. A5, БЗ, B4, Г1, Д2.
3a a + 2 96 3a
A )
g - 4 2 a - 8 a '+ 2 g g - 4
a + 2 96 3a
2(a - 4) a(a + 2) a - 4
q + 2 96 3a
2(a - 4) a(a + 2) a - 4
96(a + 2)
2a(a - 4)(a + 2)
3a 48 ^ 3a' - 48
a - 4 a(a - 4) a(a - 4)
3(a - 4)(g + 4) 3a + 12
Б)
a(g - 4) a
g + 4 g '- 1 6
g - 6g + 9 2g - 6 g - 4
g + 4 2g - 6 2
(a - 3 f a ' - 16 a - 4
(a + 4) •2(a - 3) 2
(a - 3 )'(g - 4)(a + 4) a - 4
2 2 2 - 2g + 6
(g - 3)(g - 4) a - 4 (a - 3)(a - 4)
8 - 2g 2(4 - g) 2
B)
(a - 3)(a - 4) (a - 3)(g - 4) 3 - g ’
g + 2 g ' - 4 3
a ' - 2a + 1 ■3a - 3 a - 2
g + 2 3g —3 3
(g - 1)' g ' - 4 g - 2
(a + 2) 3(a - 1 ) 3
(a - l)'(a - 2)(a + 2) a - 2
3__________ 3 _ ^
(a - l)(a - 2) a - 2
3 - За + 3 6 - 3g
(g - l)(a - 2) (a - l)(a - 2)
3 (2 - a ) _ 3 .
' (a - l)(g - 2) 1 - g ’
7a a - 8 84
Г)
7a
g + 2 3 a + 6 g '- 8 a a + 2
(a - 8) •84 _ 7a
(3a + 6) •a(a - 8) g + 2
(g - 8) 84 ^ 7a _ _ ^ 8 _
_
3 g (a + 2 )(a - 8) a + 2 (a + 2)a
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

evj
e»s
rsj
- ~ - 4) _ 7a - 14 .
a(a + 2) ~ a(a + 2) ~ a
a - 2 a‘ - 4 5 a - 2
Д)
+ 2a + 1 ' 5a + 5 a + 2 (a + 1)^
5(a + 1) ^ 5 _
I
?
ъ
I
‘l
О
С
5
LD
ОС
Ö
Г
О
iC
s
I
T
>4
Q.
g
с
о
з
LQ
LU
1_
c ;
<
(o - 2)(a + 2) a + 2
( g - 2) 5(0 + 1) ^ 5
' (a + D ^a - 2)(a + 2) a + 2
5 5 5 + 5a + 5
(a + l)(a + 2) a + 2 (a + l)(a + 2)
10 + 5a 5(2+ g) _ 5
(a + l)(a + 2) (a + l)(a + 2) “ a + 1'
22. Б), бо X 9
^ ±1 та ж ^ ±2 дляви
разів 1): 2); 4): 5).
В), бо умова X ±5; х + ±4. ОДЗ для
жодного виразу.
23. Б), бо 2 ) ..........
£ + £
у X
£ _ У
г
/
(х‘ + у‘ У (х‘ -!/‘ У 4 х У ^
----------------------------------: х т =
х У Х‘р‘
( у . х )
U J " х У
: i £ V - _ 4
24. Д), бо
х^ + :
і
[X у )
( у ^ + х У - і х У
х У х^у^
■Х + 1
л:^+л: + 1-л:^ + 1
X* - 1
х + 2 х^
^ х^ -
- 1 + 9 ________________
д:" - 1 “ X® - 1 л:® + 8 ”
х + 2 1
(X + 2)(х^ - 2х + 4) X* - 2х + 4
Якщо X = — , то
1 2 ^
21’
4
л ^ -1 п‘ - п п + 2
25. Д)
+ 2п 2п^ + п
(п - 1)(п + 1)2пНп + 2) _ 2
п{п + 2)п{п - 1)л(л + 1) п
1 - У
У X
26. г). бо
^ + і^ - 2
X
ху
. х^ + у ‘ - 2ху ^ (х - у)(х + у)ху ^ х + у
ху ху(х - y f х - у ’
27. Б), бо 2)
Зх“ + X - 18
Зх* + Х - 1 8
х + 1
- Зх - 6 = 0:
= З х + 6;
х + 1
Зх' + X - 18 - (х + 1)(3х + 6)
= 0;
х + 1
- 8 х - 2 4 = 0;
X + 1 0;
2х' - Зх - 4
= 0;
-3.
-8х - 24
х + 1
X - І X
5) -------+ -------
х + 2 х - 2 х '- 4
X - 1 X 2х‘‘ - Зх - 4
х + 2 '^ х - 2 х ' - 4
(X - 1)(х - 2) + х(х + 2) - 2х' + Зх + 4
= 0;
2х + 6
= 0;
х ^ - 4
2х + 6 = 0;
х ‘ - 4 * 0 ;
З 1
= 0:
х = -3;
X 5
* ±2;
4
X - 4
28. В), бо ^ „ 2 .
х + 2 х - 2 х - 4
3(х - 2) - (х + 2) + 4
х ' - 4
2 х - 4
= 0;
= 0;
2(х - 2)
х ' - 4 '■ (х - 2 )(х + 2)
X ±2. Коренів немає.
1 S 9
4)
= 0;
х + 2
х = -3.
= 0;
= 0;
X - X х ' + X X - 1
1 5 2
= 0;
х ' - X Х^ + X х ' - 1
4х - 4 „ 4(х - 1)
= 0; = 0;
х (х -1 )(х + 1) " х (х - 1 )(х + 1)
= 0;
х(х +1)
X * 0-, X * ±1. Коренів немає.
29. Г). Швидкість човна за течією (х+ а)
км/год. За t год він пройде ш лях
(х + a)t км. Швидкість човна проти
течіє (х - а) км/год. За t год він пройде
шлях (х - а)< км, тому йому залишить
ся подолати відстань (х + a)t - (х - a)t.
30. А ), бо Р : Q =
U ( m - l ) '
m* + '' 9 m '- 9m . (3m - 3)'
4m' - 4m ^ 6 5
m + m пґ' + m*
т^{т + 1) ■4 т ( т - 1)
4 (т - 1)' •т*(1 + т )
9т(т - 1) т*{т + 1) _
m*(m + 1) 9(m - 1)^ m - 1 m - 1
= 1.
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

§ 8. СТЕПІНЬ З ЦІЛИМ ПОКАЗНИКОМ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ
157.1) 1 0 - ' 2 ) 7 - = ^ ;
3) 4)
5 ) ( 4 і / Г = ^
6) (2аО^” = 2«^40j4
.
7) (7х + у У* =
158.1) ^ = 10-; 2) ^ = 2"^
3) = а
4) — Ц т- = 2008 '": 5) і = 8 ’ :
’ 2008'° 8
6) і = а-‘ ; 7) Щ- = 9ау-*;
а !/
8) — = 12*1/^
у
Ї59.1) 5 - = ^ = і ; 2) 7 -'Л ;
3) (-2)-^ =
4) (-3)-* =
5) (-1)"^'”*
6) (-1)-* =
1
25
^ 1.
(-2)^ 4 ’
1 _ -1 ,
(- 3 f ~ 27 ’
1
(-1)^
= 1;
(-1)'
= -1;
7)
8)
2
3 j
ч-з
1
_ 2 '
, З,
5
4,
16
1
'27
' 8
н
' 25 2 5 ‘
16
їбО .1 ) 0,01-^ = ^ - ^ = 100^
2 ) 1 . 2 5 - : 1 ' 1 16
1,25"
(?
5 Y 25 ’
М = - - =
U J 25
3) -5 " = -
4) -2'^' = - — = - і ;
2* 8
5) -0,2 " = -
0,2
= -125;
6) (-0,2)-" =
7) (-5 )-' =
»' (-'5
(-0,2)
1 _ 1
(-5)^^ 2 5 ’
4^
З
= -125:
'б 4
161. 1) 16 = 2‘ ; 4 = 2"; 2 = 2'; 1 = 2»;
1 = 2"'; і = 2 ";
2 8
2) -5- = З-*; -!- = З "; - = З ';
'8 1 27 З
81 = З*; 242
1
3) ■= 5‘
= 3‘ ;
- ^ = 5 "; - 1 = 5-^
125 25
625
1 = 5“: 5 = 5'; 25 = 5";
4) 1 ООО ООО = 10®; 10 ООО = 10*;
10 = 10'; 1 = 10»; 0,1 = 10“';
0,001 = 10-2; 0,000001 = 10-®.
162.1) 16 X 2-ä = 2< X 2 " = 2;
2) - 5 . 2 5 - '= - A = _ L
I
P
' o
I
I
К
5
Ü3
cx:
Ö
r a
s
I
D
T
а
5
'c
о
S
LU
l—
c :
<
17
Ч 1 1 X J
L XI
4) 100 = 1 0 0 . - = 16;
5) (7,3)” - (-O .l)-“ ' = 1 + 10 = 11;
6)
163.1)
1
7
5 -
■7'
f l
u
S.7^ = 7-
= 5 -1 6 = -11.
■ 7-® ■7® = 1;
5 5
144 144’
3) 27 (-9)-' =27
1
“ 9,
4) 625-' X 5' = 5-‘ X 5' = 5’ = 125;
( I v '
5) -(-4 )-" 32 + 1 - = - 2 + 2 = 0;
CO
04
eJ
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

6)
-иг 16 + 0,25"® = ^ 1 6 + 64 :
= 54 + 64 = 118.
164.1) (-2 ) ' > 0; 2) (-3)-* < О;
3) (-2 ,4 )“ > 0;
4) 1 -
3
> 0; 5) (-9 ,9 )'» < 0;
ъ
X
'і
О
С
S
in
ОС
о
(О
гс
X
т
а
.5
с
о
3
LO
Ш
1_
с:
<
«э-
е*э
C
4
J
6) (-9 ,9 ) * > 0;
-2 0 0 7
71 ' ■
(-1)
<0 ; 8) >0 .
f65.1) -(-2)-® > 0: 2) - { - 7 Г * < 0;
3) (-7 )» X 5 - 1 > 0;
4) -(-1 .3 )» X 2 + (-4 ) < 0;
Ч
-1
2
5) - <0 : 6) - < 0 .
16 6Л ) ^ = J r: 2) -5у-’
> = ~ ~ ;
3) ( V r = ^ ; 4) (2 a V )- ‘ =.^^,^,
5) a-“fc = A ; 6) 2ху-‘ = Ц - ;
а у
7) x - V “ = - i ^ ; 8) ^
х^У^'
9) 8(л: - f ) =
8
а о
(X - 0^ ’
5а
10) 5 а ( . - 0 - = ^ ,
167. 1) Л = öa:'": 2) ^ = 3 >а6
X ob
3) ^ = 7*1/"; 4) ^ = а^9-‘ б -;
5) = 6) ^ = 4 . ,- ^ . -
7)
Зл:
(а - 5)
- = З х (а -5 )-‘ ;
8) ^ ^ ^ ^ = 3-'(2х + 1 )^ (а - т )’ .
о(а —т)
168.1)
r i Y
,5.
•25* -
'7 '
3,
+ 25 ^ .
' 1 >
-4
: 25-" +
1'
.25) .2,
= 5^ •5* - 1+ 5“*'' •5“ : 5 “ + 2" =
= 5 - 1 + і 5- + 8 = 13;
э
2)
ш ■125 ®-
■((27)*‘ )'® : 3' +
Г 1 '
.3 ,
= 5® •5"'’ - 1 + 3-'" •3® : 3 * + 49 = 50;
й)
3 )1 ^ (0 ,1 2 5 )'-
( 1)
и + 8™ (2®)“'
(0,25)'" +
и ;
X 2 “ X 2* + 2
= 2® X 2'» - 1 + 2'" X
= 3;
4)
(4-’ У
а •(5-’ ) '+ 2 -((1 ,5 )-)“ -
1
18J
X 2~^‘ X 2^* X 2-
■2 = 5' X 5 ' + 2 - 2“ X
1 + 2 - 2 = 1.
169.1)
,-2
( a - V
4
Га"с‘ ]
2
(&с)-‘
а*
Ь
-’ с*
2)
-4 -2
е - ‘ '
2
r a V M
i & v , [ a V ° ; С - ®
(b^c^ ^
4
с* '
2
T(a^b- f
; [a ’ V ; [ a V ° )
= 1;
3)
f a V '
2
( b - v '
-3
C-* '
4
Га-"
C
'^ ; U " ; [ab^ j [ft V
f a V ^
2
r a-* '
3
fc -*
[ b - V , [a f t - j
1 =
a 'V a
4)
2
Гь"с* ^
-3
Га"б-® ^
4
( ab'^
у
а
b - ^ c 'W
1 =
a“ 6V ‘*a*6 ‘ " a‘* '
Вправи для самооцівювання
1. б), г). 2. аЗ, 64, в2, г1
1
а) ^ = 5-; б) ^ = 7-; в) = 5’ ;
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

= 7
г)
3.
4_ Г), бо 20 2 ■
аЗ, 61, в2, г4
1
_
5
= -25.
= 2 0 - 2 5
5 б), бо ((т ^) -) ■
^X гп ^= х m
в а4, 63, в2, г1
п V“
а )8 ^ ' ( і | = 2 -' = 2’ ;
б) 32 X (2-^)^ =
= 2" X 2-“ = 2
в) г '“ X 16 ^ = 2'“ X 2““ = 2";
г) 4- = 2-* ■2' = 2 ■
7. в), бо 3(2-‘ аЬ "2" ■а'=^Ь) =
= 3 - 2 a V = -4 ? -
ab
8. б), бо 5 'x - V X 5дг^ у-^ -
Якщо X = 0,125; у = 2^ то
= 0,125 X 2® = 32.
ху
9. а), бо (0,25)-' +
-3 2 " (0,125f :
= і ■16 + 1 - 2™ •2
8
= 3 -1 2 8 = -125.
З
: 2-" = 2 + 1 - 2 ' =
170. 1)
х - 2
X + 2 х - 2 4 - х
З д :- 6 - д :- 2 + 4 х - 2
х + 2 ( х - 2)(х + 2)
2 з:-4 х + 2
' (х - 2)(х + 2) х - 2 ~
_ 2 ( х - 2 ) ( х + 2)
х + 2
2)
( X - 2)(х + 2)(д: - 2) д: - 2
З 1 6 ^ х - г
U + 3 д :-3 9 - х ^ )
^ З х - 9 - л : - 3 + 6 д
: - З _
(д: + 3)(д: - 3) ' д
: + З ~
_ (2д: - 6)(х + 3)
( X + 3)(.г - 3)(д: - 3)
2(х - 3)(х + 3) 2
д: + 3
(х + 3)(д- - 3)(д: - 3) д
; - З
3 )
д
: + 4 х - 4 1 6 -х "
4 д :-1 6 -д :-4 + 8 х - 4
х - 4
х + 4
(х + 4 )( х - 4 ) х + 4
(х + 4)(х - 4)(х - 4)
3(х - 4)(х + 4)
(х + 4){х - 4)(х - 4) х - 4 '
^ (З х - 1 2 )(х + 4) ^
4 )
10 х - 5
х + 5 х - 5 25 - х ,
4 Х - 2 0 - Х - 5 + 1 0 х - 5
(х + 5)(х - 5) ' х + 5
^ (З х -1 5 )(х + 5) _
(х + 5)(х - 5)(х - 5)
3(х - 5)(х + 5) З
(х + 5)(х - 5)(х - 5) X - 5 ■
171. І день — X км.
II день — X - о ,їх =
= 0,9х (км), за два
дні X + 0,9х = 1,9х (км).
III день — 0,9х - 0,09х = 0,81х (км), за
три дня X + 0,9х + 0,81х = 2,71х (км).
IV'день — 0,81х - 0,081х = 0,729х (км),
за чотири дня 2,71х + 0,729х =
= 3,439х (км).
172.1) - За + а’ - 40^ + За - 2 =
= - За^ - 2;
2) 4а2 - 2а - + а - + 2 = - а ’ +
+ За^ — а + 2;
3) 7а^ X 2аЬ^ - 4аЬ^(-аЬ) - За х 5а^Ь^ =
= 14а^Ь^ + 4о^Ь^ - 15а^У = -а^Ь^ +
+ 4 a V ;
4) -5а* X (36=) - 8а^Ь х 2а + 3 a V х
X 6а = -15а^6^ - Іба^Ь + 18а^6^ =
= 3aW - Іб а ’ 6.
173. 1) X + у = 2,7 X 10" + 4,5 X 10'» =
= 27х10>" + 4,5 X 10'" = 31,5 х 10'“;
2) X - і/ = 2,7 X 10" - 4,5 X 10'° = 27 х
X 10'» - 4,5 X 10'" = 22,5 х 10'»;
3) X X у 2,7 X 10" X 4,5 х 10'» =
= 12,15 X 10^';
4) ^ =
у 4 ,5 1 0 "
= 0,6 ■10 = 6.
1 7 А 1 . ( 1 . 2 1 0 ^ ) ( 6 , 5 1 0 ^ )
0 , 0 3 1 2
= 2 5 0 1 0 “ = 2 , 5 - 1 0 " ’ ;
2 4 2 5 0
2)
3 )
= 24 2 5 0 1 0 “ = 6 0 0 1 0 ’ = 6 ■1 0 "
( 2 , 4 1 0 ‘ -') ( 0 , 1 2 5 Ю ' " ) _
3 0 0 0
= 0,01 10” = 10"';
4) М 2 5 _ ? ! ^ = о , 0 0 0 0 7 2 Ю ’'
" = 7 , 2 10'“.
10
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

§ 9. СТАНДАРТНИЙ ВИГЛЯД ЧИСЕЛ
ео
п
гчі
176.1) 0,012 10’ = ^ 1 0 " = 1 , 2 10;
2) 0,0005 ■10“ =
10"
100
10® = 5 10“;
ъ
X
‘і
сс
с
LD
сс
т
а
S
І
т
>4
Q.
. 5
Ъ
о
5
LQ
<
3) 201,4 X 10^ = 2,014 X 10" х 10*
= 2,014 X 10-2;
4) 2008 X 10 * = 2,008 х 10^ х 10 ‘
= 2,008 X 10
5) 0,00549 -10"* ^ ^ 1 0 - ' =
= 5,49 Ю ":
6) 0,24003 10 ‘ = ^
10
= 2,4003 10Л
1
77
. 1) 256 307 = 2,56307 х 10^
7 2^
2) О, 00725 = -^ -^ = 7,25 -10 ^;
10*
3) 0,0000018 =
4) 7 256 211 =
Щ = 1,8 10
10“
7,256211 X Ю®;
5,2
5) 0 ,000052 10 ' = ^ = 5,2 Ю " ;
6) 0,0000008 ■10'’ = - ^ = 8 ■10-';
10’
7) 12,635 X Ю '" = 1,2635 х 10"”;
8) 25,78901 X 10 '» = 2,578901 х 10
9) 0,3724 ■10 “ = ■10 =
= 3,724■10-^^
178.1) 8 - 6 - 2; 2) 14 - 7 = 7.
179.1) М = 6 X 10=';
1
2) 1 мг = ■ = 1 1 0 '
1 ООО ООО ООО
3) 1 мм = 0,001 м = 2 X 10
4) 1,7 X 10-"' г; 5) 7,35 х 10‘“.
180.1) (2,5 X 10 *) X (4,4 X 10«) = 11 X
X 10 = 1,1 X 10-;
2) (0,3 X 10«) X (2,6 X 10-’-») = 0,78 х
X 10-“ = 7,8 X 10
3) (0,36 X 10") : (2,4 х 10") - 0,15 х
X 10“ = 1,5 X 10“;
4) (3,362 X 10 =) : (4,1 х 10^) = 0,82 х
X 10-=* = 8,2 X 10
181. 1) (9,1 X 10 ') X (2 X 10‘») = 18,2 X
х 10' “ 1,82 X 10'’;
2) (1,23 X 10-«) X (4,8 X 10-‘ '>) = 5,904 х
X 10-“ ;
3) (0,06 X 10-'*) X (2,5 X 1 0 «) = 0,15 х
X 10"« = 1,5 X 10"';
4) (11,88 X 10-") X (13,2 X 10») =
= 156,816 X 10* = 1,56816 X 10®.
182. V = 1,5 X 4 X 10-' X 2,1 X 10-‘ =
= 12,6 X 10-" = 1,26 X 10-'.
т = 1,26 X 10-‘ X 7,8 х 10« = 9,828 х
X 10" (кг).
183. S = 13,2 X 10* X 3 X 10® = 39,6 X
X 10® = 3,96 X 10'“ (км).
184.1) 5,2 X 10« X 10^ = 5,2 X 10»;
2) 1,7 X 10-“ X 10" = 1,7 X 10-*;
185.1,9 X 10"' ; 4,87 х 10"* = 0,39 х
X 10« = 3,9 X 10".
187. 1) -13 + а = - 10; 2) -13 - 3 =
= -15; 3) -13 + 23 = 10;
4) -13 - 32 = -45; 5) -13 - 16 = -29;
6) -13 + 15 = 2.
1. б)
2. а)
3. г), бо 0,000508 = 5,08 х Ю'*.
4. г), бо (1,2 X 10-‘") X (20,5 X 10” ) =
= 24,6 X 10'" = 2,46 X 10“.
5. 9,7 X 10-« м = 9,7 X 10 “ X 10« =
= 9,7 X 10 « мм.
6. г), бо 4,2 X 10' X 3 X 10« = 12,6 х
X 10'" = 1,26 X 10".
189.1)
18х' - 9 х ,
4 -8л: ’
9х(2х - 1) = 0;
4(1 - 2х) ^ 0;
2)
= 0;
1 9 х-3 8 х"
Ю л:- 5 ’
18х" - 9л: = 0;
4 - 8л: 0;
л: = О або X = — :
2
1
X ^
2
19л:-38л:' = 0;
Юл: - 5 ^ 0;
л: = О або X = — ;
2
л: = 0;
3)
л:"-3 6
л:" -1 2 л:+ 3 6 ’
л:" - 36 = 0;
л:" - 12л: + 36 0;
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

г
4)
х = 6 або X = -6;
(X - 6 f * 0;
Зх" - 12
-х^ + 4х - 4
л: = -6;
Зх'‘ -1 2 = 0;
-х^ + 4х - 4 Ф 0
-,
3(,х^ - 4) = 0; х = 2 або х - -2;
- ( x - 2 f * 0 ; U ^ 2 ;
- -2.
. 5д: + 7 9j
c + 5
W O .i) -— - +
5х + 7
2л: - 1 1 - 2л: 2д: - 1
9х + 5 5х + 7 - 9j: - 5 -4д: + 2
2л:- 1
-2(2х -1 )
2д:-1
7д: + 3
2) ^ г +
2д:-1
= -2;
х + 5 7х + 3
2д:-1
д: + 5
Зл: - 1 1 - З х Зх - 1 Здг - 1
ІХ + 3 - Х - 5 G x - 2 2(3х -1 )
Зх - 1 Зх - 1 Зл: - 1
* + 17 Ьх + 1
= 2;
л:+ 17 5ж + 1
3) г +
Ьх - 20 20 - 5х 5х - 20 5х - 20
Ж+ 1 7 -5 Х -1 1 6 -4 * 4 (4 -X ) 4
5* - 20 ” 5* - 20 “ 5(* - 4) “ 5 ’
4 * - 1 3 - 8 * ^ 4 * - 1 _ 3 - 8 * ^
15* - 5 5 -1 5 * “ 1 5 *-5 1 5 * - 5 “
_ 4 * - 1 - 3 + 8* _ 1 2 *-4 4 (3 *-1 ) 4
1 5 *-5 “ 1 5 *-5 ” 5 (3 *-1 )“ 5'
191. Нехай оператор мусив набирати
* сторінок, тоді за 13 днів він набере
13* стор., але він набирав на 2 сторін
ки більше, тобто (* + 2) стор. і пра
цював на 1 день менше, тому маємо
рівняння:
13* = 12(* + 2) т 1; 13* = 12* * 24
+ 1; * = 25.
Рукопис має 13 X 25 = 325 (стор.).
193. У = kx + ь.
1) М (-1 ; 2); 0(0; 0);
2 = - k + b; Ik = - 2 ; І/ = -2х;
Ь = 0; Ь = 0;
2) АГ(-3; 1); 0(0; 0);
l = - k + b;
Ь = 0;
k = -1; у = -*;
0 = 0;
3) Р(1; -3 ); 0(0; 0);
-3 = k + b
-,
fe = 0;
k = -3; у = -З*;
6 = 0;
4) Q(2; -1 ); 0(0; 0);
-1 = 2А + ft;
Ь = 0;
194 .
1 1
я = — ; і/ = — *;
2 ^ 2
fc = 0.
п п - т
т(т - п) -
п(т - п)(т + п) ■т т + п
§ 10. ФУНКЦІЯ у її ГРАФІК ТА ВЛАСТИВОСТІ
195. тп = 18.
197. у = - - .
X
* -12 -10 -8 -6 -4 -2
1 3 3 1 3 Q
у
2 5 4
і.
2
О
198.1) !/ =
10*
у =
; у =-
3,5
0,6
д
: 2 4 6 8 1 12
г
/ -3
3
-1
3 3 1
2 4 5 2
З 0,6
3) у = - - х ; у = ------- ;
5 *
З 1,5
4) !/ = - — ; у = -------;
2* *
3 0,75
5) г/ = -т ^ ; у =--------- ;
4 *
61 0,61
6) '/ = 7 7 ^ : У = -
100*
199.у = '^х-.
4
У = ■
*
1,25
* -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5
У -0,4 -0,5 -0,625 -0,8 -1,25 -2,5
X 0,5 1 1,5 2 1 2,5 3
У 2,5 1,25 0,8 -0,625 1-0,5 -0,4
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

со
c«s
ем
200. у =~.
X
Якщо X = -0,04, то
У =
-0,04
= -200.
Якщо II = -5, то -5 = —: X = — ,
X 5
202.у =--.
X
X
Г
О
н
'5
X
'х
о:
in
а:
О
г
о
S
C
S
X
т
>Ч
Q.
5
Ъ
о
L£l
Ш
1_
п;
<
1 1
X -5 1
3
-2
2
у 3 -15 -45 7.5 30
3
X 0,25
4
-10 -0,25
У -60 -20
■
і 60
203.у =-~.
X
-9
1) л: = -30; (/ = — = 0.3; х = -0,3;
-9
-30
= 30;
18;
-0.3
п 9 9 ,
^ - 9; j/= = =-1;
9 1 ^
'^ = -1 8 = - 2 -
2) у = -9; -9 = ---- ; х = 1; у ^ -90;
9 ^
-90 = ---- ; л: = 0,1;
^ 9
!/ = 1; 1 = ----; д
: = -9 ; (/ = 4,5;
9
4,5 = - - ; л: = -2;
^ 9 1
у = 27; 27 = - - ; х = - ~ .
А{2; 5): 5 = — ; 10 = 10, проходить;
10
АГ(-10; 1); 1 = — - 10 10, не про
ходить;
В
дить;
С
пр оход и ть;
^ i;2 ,5 ^
4
-10
10
20 = — ; 20 = 20, прохо-
2,5 = ^ ; 2,5 40, не
М
проходить.
205. у
1 ^
- ; 18
,9
- з і = і ^ ; 10 = 10,
3 -3
18 = у ; 9k = 18; /
г = 2.
1) F
Функція у =
2) А (-1 ; -2 ); “ 2 = — ; 2 = 2, графік
проходить;
В{-2; 1); 1 = — ; 1 * -1 . графік не
проходить;
ходить;
К
- Г '
6 =
_ 1 ’
3
1 2
2
4, графік про-
6 ^ -6 , графік
не проходить;
4 2,
фік не проходить; 4
Р(0,5; 4); 4 = ^
ходить.
J , - - * - 8 . гра-
0 ,5 ’
4 = 4. графік про-
208.1) у = ~ ; А(1; 2); 2 = ^ ; = 2;
X 1
2) 1
/= - ; Ä-(-0,5; -6 ); -6 = —^ ;
X -0,5
/
г = - 6 X (-0 .5 ); ft = 3;
■ і - . .
3) у = - ; D
X
* = (-12) I ; k = -18;
4) 1
/= - ; B (-4 ; 2); 2 = 4 :
д
: -4
k = 2 X (-4 ); k = -8;
5) y = - ; F
X
6 =
ft = 6-
1 'I
'з
; * = -2;
6) у = —; М
X
k = -2 - - k
2
209. У X
-2; 2 -
2 )
-k
2 І = А ;
2 -2
1) A (- 9 ; 9); 9 = ^ ; =
- 81;
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

г
-h
2) В(3; -6 ): -6 = * = 18;
/л
3) С f i ; - 6
u
- в . і * = -»
3;
-k
4 )М (5 ; -10); -10 = — ; k = 50;
5
5) F l - ; - 1 5
* = -15 - ; fe = -20;
О
6) К -2 1 =
-A = 21 у ; * = -24.
-ft
8 ’
7
§ 13. КВАДРАТНИЙ КОРІНЬ. АРИФМЕТИЧНИЙ КВАДРАТНИЙ КОРІНЬ.
РІВНЯННЯ х^ = о
258Л) -М = Ь
-, 2) л/36=6;
3) Vioooo = 100;
4) V14400 = 120; 4) ^0,16 = 0,4;
6) Vo. 49 =0,7.
263.1) i>/4ÖÖ-ir/9ÖÖ =
2 З
- і . 2 0 - і 30 = 1 0 -1 0 = 0;
2 З -----
2 > 0 . 5 Ä » J j j 5 . 0 , 5 . 8 . i . 4 , b
3)
:0,2 =
:0 ,2 =
5 3
U 4 j
:0 ,2 = І : І Л ;
2 5 2
81 7 9
= 20 + 10 = 30
267.1) - 0,01 = 0,03; = 0,04;
X = 0,2; X = -0,2;
2) 1
/
2 + 1 = 37; у2 = 36; = 6;
S
/= -6 ;
3) 40 - = 9; = 49; т = 7;
m = -7;
4) 5 : = 20; = 1/4; і = 1/2; t = -1/2;
5) —х ‘ = -4 ; д:^ = -8 ; коренів немає;
6) i t ' =3; <
2 = 9; і = 3; , = -3;
З
2
7) - д :'+ 2 = 0; = -3 ; коренів не-
3
має;
175
8) 7х‘ + 175 = 0; х = ------- ; коренів
§ 14. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА. ІРРАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА. ЧИСЛОВІ МНОЖИНИ
57Q 2 _ ^ . 2 ^ - ^ -
= _0,2 = z 2; - з
6 6 10 10
-0,4 = — ; 0,5 = 4 : ; 0-7 = 7^:
10 10 10
- f - f о.
2 ^ = і^ -
8 8 ’
. 1 25
6 “ 6 ’
-2,3 =
-23
-15,4 =
10 ’
-154
10
-1.7 = i l l .
10 ’
6 4 . » 1 , 2 5 І . 1 Ї Ї
1 4 4
285.1) л/24; >/26; 5; >/Ї7; 4 запише
мо у вигляді ^/Й'; n/M; ^/П;
•Лб.
Відповідь: 5; Vl7; 4.
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

X
p
'о
I
'x
ос
5
LD
ОС
О
rtj
iC
s
X
T
Ё:
5
с
о
з
LD
Ш
1_
c ;
<
2) n
/
9; ^/8; 7б; ^/Ї6; Т ІЇ.
Відповідь: 4; vTT; 3; ч/І; %
/б.
“> i n -
« ё # # I-
286.1) - = 1,333... 2) - - = 0,777...
3 9
3) — = 3,1428571... 4) - - = -0,625;
7 8
5) 1— = 1,456; 6) -1 — = -1,92;
' 125 25
7) - 1 - ^ =-1,0,75; 8) 2 — = 2,1875.
40 16
297.1) 3,16; 3,(1); 3,14...; 3,2(1);
3,(2).
Відповідь: 3,2(1); 3,(2); 3,16; 3,14;
3,(1).
2) 4,(27); >/Ї9 = 4,36; > ^ = 4,58;
4 — = 4,4(3); 4 — = 4,045.
30 31
Відповідь: ч/ГЭ; 4 — ; 4,(27);
4 І1 .
31
3) 6 - = 6,(2); 6,2(6); 6 -^ = 6,076...;
З 13
ч/і0 = 6,3245...; у[39=6,24...
Відповідь: -До-, >/М; 6,2(6); 6 - ;
4 )7 2 8 =5,29; 5 | = 5,(3); ч/30 = 5,48;
5,3(6); 5 ^ = 5,2(6).
10 -
Відповідь: ч/зО; 5,3(6); 5 - ; %
/28;
3 0 1 1 ) V(3 - n/7)^ + V(2 - -J7f =
= 3-ч/7| + І2-ч/7| = 3 - ч/7 + ч/7-2 = 1;
2) V(4 - ч/її)^ + 7(3 - - J n f = І4 - n
/ГЇ ■
+ 3 - ч/ГЇ = 4 - ^ / n + ^ / n -3 = l;
3) V(3 - ч/І5)^ + V(4 - /Ї5)' = ІЗ - ^/^5
+ ІЗ - ч/її| = 4 - V n + > / n - 3 = l;
4) 7(4 - ч/Ї8)‘' + V(5 - >/І8)' = |
4- ч/Ї8
+ 5 -л Я 8 = % / Ї8 -4 + 5->/Ї8 = 1.
§ 15. АРИФМЕТИЧНИЙ КВАДРАТНИЙ КОРІНЬ З ДОБУТКУ
І ДРОБУ. ДОБУТОК І ЧАСТКА КВАДРАТНИХ КОРЕНІВ
308.1)
(| б ^ б . І Ш _ 10.
49 7 ’ ’ Vl69 13’
3)
49
196
_7_
14
1_
2 ’
310.1) s/o. 04 81 49 = 0,2 9 ■7 = 12,6;
2) V36 400 0,64 = 6 20 0,8 = 96;
С
Ч
І
3)
121
144
П З
12 2
П .
8 ’
4) Е Г ± - [ к ± - і .
М 9 25 V 9 25 З ’
5) 111.3 - 1 = 116.49 ^ 7 .
V 9 16 9 16 З ’
6)
81 64
11‘
64 121 V64 121
З Ї2 .1) V75 12 = ч/26 36 = 5 6 = ЗО;
2) V45 125 = ч/9 625 = З 25 = 75;
3) V4,9 360 = л/49 36 = 7 6 = 42;
4) ^6,4 160 = V64 16 = 8 4 = 32;
5) ч/45 ■80 = 9 400 = З 20 = 60;
6) V27 147 = 79 441 = З 21 = 63.
314. 1) ч/37" -12" = V(37-12)(37 + 12) =
= 725 •49 = 5 7 = 35;
2) 7 іО Ґ - 20' = 7Ю1 - 20)(101 + 20) =
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

= 781 121 = 9 1 1 = 99;
3) ^30,5' -5 ,5 " =
= /(30,5-5,5){30.5 + 5,5) =
= 725 ■36 = 5 6 = ЗО;
4) 774,5" -25.5=' =
= 7(74,5-25,5)(74,5 + 25.5) =
= 749 ■100 = 7 10 = 70;
5 ) 7 i2 ' + 5' = 7144 + 25 = 7Ї69 = 13;
6) 7зО" + 40“ = ч/900 + 1600 = 72500 = 50.
44 = ,/-— 44 = 20.
11
: У > 0;
323.1) >0;
§ 16. АРИФМЕТИЧНИЙ КВАДРАТНИЙ КОРІНЬ ІЗ СТЕПЕНЯ. ТОТОЖНІСТЬ 7а^ = |
а
|
333.1) V ? = |a|
.
Якщо а = О, то 7Ö = 0;
якщо а = - 2 2 , то
7 ( - 2 2 ) ' = 7 Ї 8 4 = 22;
якщо а = 17,
то у І Ї ¥ = П ;
якщо а = 1 , то Я = 1 .
2) з 7 ? = 3|д:|.
Якщо І = -4,
то Зу
]{-4У = 3v^6 = 1 2 ;
якщо X = -1,
то з7(-1)' = 3;
, 7
Я К Щ О X = - 1 “ ,
то S,
Г , 7 '
2
9, , 9 ,
2 ^ = 3
81 9 з ’
якщо д
г = О,
то з 7 о = 0;
якщо X = 7,
то 3sFF = 2 1 .
3) =
Я к щ о у = -8 , то
7 ч
/ Г І7 = 7^64 = і 8 = 2;
4 4 4
якщо у = - 2 , то
якщо у = 8,
то і 7 І ^ = і 8 = 2 .
4 4
336.) -sVÄ^ при Ä < 0;
-5>/Ä^ = -5|ft| = -5(-ft) = 5Ä;
2) 70,64х' при д
: > 0;
70,64д:' =0,8|z| = 0,8x;
3) lOyjOA9p^ при p < 0 ;
1 0 7 0 ,4 9 p ' =7|p| = - 7 p ;
4) -l2^|0,01n‘ при n > 0;
- 1 2 7 0 , Oln" = - 1, 2 |
л
|= - l , 2n.
3 3 9 . 1 ) 7 l Ö * = 1 0 ';
- f i t 1
’ .5,
2)
125’
3) 7 (- l)‘' = 1: 4) V ( ^ = 49;
5) 7 (-0 .2 )‘ 5" =0,2" 5 =
= 0, 04 5 = 0,2;
6 ) 7 (-3 )“ 10' = 27 100 = 2700.
_ I
ro
H
'5
I
'x
K
5
La
oc
d
(0
s
I
T
>4
а
5
‘с
о
S
Lü
Ш
L .
<
6NJ
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

§ 17. ВИНЕСЕННЯ МНОЖНИКА З-ПІД ЗНАКА КОРЕНЯ.
ВНЕСЕННЯ МНОЖНИКА ПІД ЗНАК КОРЕНЯ
352.1) Vsö = ТбЧб =
2) vn? = V49 з = 7
ч
/
3
;
3) -іч/ГЇ2 =--Тїб'7 = - і 4^7 =-V7;
4 4 4
X
Р
'5
І
'і
с:
5
та
ІС
S
І
т
>4
а
5
с
о
5
LQ
Ш
І—
с :
<
4) - 0 ,3V14400 = -0,3-У144 100 =
--=-0,3 12 10 = -36;
5) - — 7І6900 = -;^ % /і 69 100 =
26 26
26
13 10 = -15;
6) -0,125ч/Ї96 = -0,125 14 = -1,75.
355.1) -9ч/І = -л/Гб2; 2) Зч/ГЇ = ч/99;
3) -2х/б = -n/24; 4) -Ю л/s = -n/sÖÖ;
6) -О, 2ТГ0І = -V0,04 10x = - 7 o,4 x ;
8) i V 2 ^ - / 2 ^
3 V 9
= V3Ö.
357.1) = 1
ч/Ї2 > n
/IÖ;
4-75
25
= 7Ї2;
2) / Ц = л/2; >/2>l;
4 V16
3) - | V ^ = - ^ ^ = ->/32;
- 6 ^ = ^ ^ = - ^ :
480
= >/l2Ö:
4) -^/48Ö = J-
Л т0 > у
! Ї ^ ;
= Ä Л і > | ,
6) Iy/98 = s/2;
H 9
§ 18. ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ, ЩО МІСТЯТЬ КВАДРАТНІ КОРЕНІ
C
S
J
ем
368.1) 3n
/
7+10>/?-9n
/
c =4Vc;
2) - >/480 + = Зч/З^-
- 4>/Зд + 5>/За = 4>/Зя;
3) 751 + ^/64І - n
/
s Lc = 2>/ї + -
- 9%
/х = /х;
4) уІЇ2у - 0,5748^ + 2^108у = г^Зі/ -
- 2 ^ 3 ^ + 1 2 7 % = 1 2 7 3 г / .
370. 1) 73(ч/27-Т48) = 7з 27 -
- 73 48 = - ч/Ї44 = 9 - 12 = -3;
2) (5n
/ 7 - n
/
63+VT4) 77 =5л/49-
- 7 б З ~ 7 + 7 Ї Т ^ 7 = 3 5 - 2 1 + 7 7 2 = 1 4 + 7 > ^ ;
3) з7 2 (2 -5 7 3 2 )-2 7 Ї8 = б 7 г -1 2 0 -
- б 72 = - 120:
4) >Я2 - (7Ї 5 - з75) •75 = 27з - б7з +
+іб = -з7з + и
373. (1 - 75)(37б + 4) = 3>^ + 4 -15 -
-475 = -75-11;
2) (19 - 73)(19 + 7з) - 58 = 19" - (73)' -
- 58 = 361 - З - 58 = 300;
3) (475 - ?72)(772 + 475) + 20 =
= (475)“- (772)" + 20 = 80 - 98 + 20 = 2;
4) (З + 77)" - б 7 7 = 9 + б7 7 + 7 -
- б 77 = 16;
5) (47б + 27Ї 8)' - 487з = 96 + 1б7Г08 +
+ 72 - 4в7з =
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

- 168 + 96ч/з - 48ч/3 = 168 + 4sV3;
„ ( l V 5 - i Ä ) ’ . l V 5 . i _ i Ä .
+ 3 3 2 3 6
376. 1) -2 =с
^- Ф г =
= ( с - >
/
2)(с + n
/
2 );
2) 5- х ^ = {[Ef - = ([Е - х)(%І5 + д:):
3) 11- !/' = (Vn)^ - у ‘ = ( 4 п - у){у[п +у);
4) 7 - 4х^ = (ч/7)“ - (2х)^ =
= (^/7 - 2д:)(>/7 + 2х);
5) о - 9 = (%/ї)' - 3' = (VÖ - 3)(ч/ІІ + 3);
а 2 0;
6) 9д:^ - I/ = (Зх)‘' - =
= (Эл - 7у)(Зж + -Jy); у > 0 .
3
7
7
. 1)
х ^ -2
х + 42
2)
т + !ь т + -Jb
(л/5 - т)(ч/5 + m) /7 _
= ------------- T
=
s = v5 —rn,
m + lo
3-> / I 3 - V I
д: - 9 (л/ї)^ - З'
З-У]^ 1
(л/ї - 3)(л/ї + 3) ч/І + З ’
5 - v/5 (Уб)^ - 75 л/5(ч/5 - 1)
~ ~ Ж ~ ~
4)
= %/5-1;
5)
14 + V7 2 - ф У + ^
~W
6)
■Jl
■J2 + S n
/2 + n/2n/3
V2
379.1) ^ = =
six yjx у
/X X
1 _ 72 72.
7 i % '5 7 ^ ' 2-
3)
s7m s7m
4)
4fin isj7nj7n 4m
_ x _ _ _ ,г7з _ дг7з
з7з 3
V
3 7з ” 9 ’
7 77Пі 7 Ї4
9
4 ч ^ 7Г4 ” 8 ’
6) - г _ = з7з _ ^ ^
27з 27з 7 з “ 2 з “ 2 ’
9 ^ 9(3 +272)_____
3 -272 (З - 2^^2)(3 і- 272) ”
8) 26 ^ 26(273 -5)
27з +5 (27з + 5)(27з - 5)
26(27з - 5) 26(27з - 5)
12-25 " -13
383. 1)
а" - з - (7з)^
—7з а - 7з
= < ° - ^ ) < У ^ ) = а + 7S;
а - v 3
2)
7т - у _ 7т - у
7 -!/'
• J l - у _ 1
3)
(7 f - і/)(77 + 1
/
) 77 + 1/'
7б - 7с _ -Jb - 4с _
Ь - с ~ ф і - ф с ) - ~
■ Л -Т с 1
X
го
(-
о
'х
ос
S
in
ос
о
го
S
X
X
>ч
Q.
.5
с
о
5
ш
І—
с;
<
4)
ф - 7?)(7б + 7?) ” 7л + 7?’
4а-9& ^ (27^)^ ~(з7й)- ^
2
7
;^+з7ь ~ 2
7
^
7+з7б
^ ^ 2 ^ _ 3 ^ ,
27а +З
7
й
Ф ? - а ‘
5)
6 - а "
6)
з 72 -
ь 73а 7 з(7б + а)
(7б - о)(7б + а) _ 7б - а
7з(7б + а) 7з
4 Ї Ь - 2 x S _ 7Ї~5~5 - 2x75
4 д :" - 1 5 “ - ( 7 Ї 5 ) '
4 ь ( 4 Ї Ь ~ 2 х ) -7 5
(2лг - 7Г5)(2д
- + 7 і 5) 2л: + 7 і 5 '
СО
ч-
CSJ
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

_ I
'о
X
I
О
С
5
1. б. 2. а. 3. а.
4. в), бо д :'-6 = (1 + л/5)'-6 =
= 1+ 2 ч/5+5-6 = 2-Л.
5. г), бо іл/а(л/а-10) =
= і - sVa = —а - sVa.
2 2
б. в), бо
7. г), бо
3n
/
5 ■V2 ЗлЯо
Ь - І 2 - Я ~ 10
9-2л/з Уз(Зл/3-2)
8%
/б - 2л/2 ~ v/2(3n
/3 - 2)
8. в), бо (ч/2 + %/Ї8)“ - ЗО + (1 - л/2)' +
+ (1 + n
/2)"= 2 + 2n
/ I6 + 1 8 -3 0 + 1 -
- 2V2 + 2 + 1+ 2V2 + 2 = 8.
" n/2 “ 2 ■
9. а), бо А = ( ч / з ^ - 7 +
+ 7зТ зО~+7 )'-З л Я 2 0 = Зч/М -7 +
+ 2л/9 3 0 -4 9 + Зл/^ + 7 - 3 2ч/м =
= - 6n/3Ö + 2л/ш = 2 V m ;
2,5-2ч/22Ї %/22Ї
100 20
п
з
І
т
>ч
а
S
с
о
З
LO
с ;
<
ENJ
§ 19. ФУНКЦІЯ І/ = ч/І, ЇЇ ГРАФІК ТА ВЛАСТИВОСТІ
393.1) S = лг^; г' =
/? ч
/St
c
■= ^ я = — •
2) 5 =
п
d =
2>/s 2лЛг5
=
398.Графіку функції у = six нале
жать точки М (1б; 4), бо 4 = /їб;
0(0; 0), бо 0 = VÖ; р '^ ^ ' бо
U ’ 3 j
З ^ Г Г
° 7 49'
- = Д
З V9 U 9 7
4 0 1 1 ) Т27=3л/3; З7з=3ч/3;
І
6 ’
2)
3) 5 > ч/Й = 2V6 або > n
/Й';
4) 10 = чЯоО < 3n
/
i ÖÖ = n/9ÖÖ;
5) 0,5у
/Ї2 Ї = < ^у/зю =
300 /ЇОО.
V з ’
6 ) -8 = -%/б4 < - 7 б 0 .
403. n
/19; V16,5; 4 - ч/Гб; х/Гб;
З = ч/9.
405.1) 2; 3; 4; 5;
2) 9;
3) 5; 6; 7;
4) -3;
5) -3; -4;
6) -3.
407. у = -їх, D{y) = [0; + 00), функція
зростає на області визначення.
Графік функції у = -Jx перетинає
прямі у = 5; у = -х у X - Ь
З
д
: = 2,6; у = - X + І.
1. в.
2. б. Якщо точка М(х^ у^) нале
жить графіку функції у = f(x), то ви
конується рівність у = f(x^).
3. а; б. Функція у = -Jx зростає на об
ласті визначення х є [0; «■), тобто якщо
х^ > X,, то ^ де х^ є [0; + ~ )
і х^ є [0; +с«=) і ^ якщо
= д:,.
4. а. 5. г. 6. б. 7. г. 8. б.
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

г
ГОТУЙМОСЯ д о ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ
I, В. 2. Б. 3. Б. 4. Б; Г; Д. 5. Б.
б. В. 7. Б, в. 8. А; В; Г. 9. Б.
II. Б. 12. Б; Г. 13. А; Г; Д. 14. Д.
15. В.
16. 1; з — немає правильної від
повіді.
17. г.
18. ^ 16aV + 2ab^/9aV - =
= 4aVyfäb + ба'Ь^^аЬ - 2a'b^yJab =
= 8 a V Ä
Відповідь: Д.
А )
a/ä + 8
- 2ч/а + 4
+ 2 ’
1
- 2 a ‘ + 2 ‘
а - 2^/ä + 4)
+2
о - 2>/ä + 4
Тобто А — 5;
= a“ + 2 = /ä + 2,
тобто Б — 3;
g j а - 3yfä + 9 а ^ 3yfä + 9
2 7 + ayfZ (3 + V ^)(9 -3 n /^+ a)
Г)
3 + -Ja
а - 24a +1
, тобто В — 4;
а -1
Vä -1
, Г — 2;
Д)
g - 4 (л/^-2)(ч/а + 2)
(V^ + 2V
а + i'Ja + 4
л/а - 2
= Д - 1.
y h + 2
20. 1) = V> /4 T -4 >/n/41 + 4;
д:' = n/41-16; л:' = v ^ .
2) дг" = 7 Т 3 7 - 1 л
/ч
/37+ 1;
j:" = У37 - 1; = Узб.
3) л:“
' = V'VSS - 2 •^453 + 2-,
= 753-4; х' = -Д д .
4) —5 ■4 4 ^ + 5;
ж" = ■Л~2Ь-,х^ = л/^.
5) х ' = yjsjT 3-3 ■л/л/тЗ + З;
= ^73-9; = ,/б4.
Відповідь: В.
21 А - 2; Б - 1; В - 4; Д - 3;
Г — 5.
22. Д.
23. Б, бо r/S + 24n/3 - ^48 - 24ч/з =
= >/36 + 12 + 2 6 -2л/з-
- У з б + 1 2 - 2 -6 -2л/з =
= V(6 + 2 S f - V(6 - 2л/3)' = 6 + 2л/з -
- 6 - 2л/з| = 6 + 2ч/з - (6 - 2л/3) =
= 6 + 2ч/3-6 + 2л/з= 4^3
4л/3 — Ірраціональне число.
24. г.
25. А — 3; Б — 5; в — 1; г — 2;
Д - 4.
Наприклад. М
26.
^V(4>/5 - 4)(4ч/5 + 4) + V(VS - 2)(ч/5 + 2) =
= ^yj(4yl5f - 1 6 + л ] ф ) ^ - 4 =
= V V 8 0 -1 6 + 7 5 - 4 = VV64 + 1 =
= Vs + 1 = >/9 = 3
Відповідь: A.
27. І 7 ^ - У ^ + І7 5 4 -І(ч / Ї5 0 +
2 1 2 .
+ n
/
1 8 -ч /sÖ) =
= іл/36 -2 -4 /9 4 6 + -
2 2
- і ( л / 2 5 - 6 + V 9 ^ - V 2 5 - 2 ) =
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

= 3n
/2 - б7б + - х/б - - 7 б - - v '2 +
2 2 2
+ I ч/2 = 4v^ - 7,/б.
Відповідь: Г.
28. 1)
f r f l ■S =
'2 35 5
7 32
_X
ъ
I
‘x
o:
5
LD
ОС
Ö
Л
З
s
X
T
.g:
c
о
3
LQ
LU
1
—
c:;
<
— — раціональне число;
4
7 =
— — раціональне число;
5
Й 20 1
29І. Я _ £ fb
Va b ) а b ЬУа
а уіа
Ь у/а Ь
( ^
Гь
Ь^+а^
ab
-2 .
Відповідь: Д.
ЗО. А ) ,,
'' 0,0004
81 0,01" 0,81
З" 0 ,0 Ґ 3‘ О.ОҐ
0,02
0,02
= 0,405;
Б)
0,2® 25' 0,2“ -25 5
0 ,5*
0,008 5 25
0,5^
80 5 25 80
В)
0,5 0,5 0,5 0,5 25 25
0,3“ 4' 2
= 16;
0,3*'
1,44* 1,44-’ 1,2
0,00243 16 2 243 16 2
1,44 •1,44 ■1.2 144 144-12
27
864
= 0,03125;
Г)
0,2® 125’ _ 0,2‘ •125^0,2 125
Г1І
з
= о
,0016 125 81 ч/25 = 16,2•5 = 81;
5“ 0,001' 5* 0,001
Д)
0,04
125 0,01
0,2
= 0,625.
Z
417. 1) 9д:2 - Юд: = О, х(9х - 10) = О,
X = О або 9х - 10 = О,
§ 20. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ. НЕПОВНІ КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ
Тобто 9д: = 10, х = 1~.
1 ^
Відповідь: О і 1—.
1 ^ 1
2) - - х " + 6 д : = 0 ,--д :(л :-1 2 ) = 0,
X = О або X = 12.
ем
3) 8л:^ + 16 “ 0. Рівняння не має ко
ренів.
4) - х ^ - 3 = О,- x ^ = 3, = 9,
з З
д
г = -З або д: = 3.
5) И д :^ = О, дг = О — корінь рівняння.
9 1 9 z' Ч
6) - - д : " + — д: = 0 , - - д : д: - — = 0 ,
З 10 з З І 2 0 j
д
: “ О або X - — .
20
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

418.1) 2^' + 6х = 0; 2х(х + 3) = О,
^ » О або X = -3.
2 ) l,S x‘ - О.бх = О; 0,6x(3x - 1) = 0.
* - О або X = I .
3) = ^ = О-
4) 0,6х^ + 24 = 0. Рівняння не має
коренів.
б) 15 - 5х^ = О, -5 х" = -15, = 3,
X = -V s або X = -(Уз.
6) lOx + 20x=* = 0; 10x(l + 2x) = 0,
X = 0 або X = -0,5.
4 20Л ) {X + l)(x - 2) = 0, X + 1 = 0
або X - 2 = 0; X = -1 або X = 2.
2) x(x + 0,5) = 0, X = 0 або
* - -0,5.
3) 9x^ - 1 = 0 , 9x2 = Д
.2
* = - - або x = - .
4) 3x - 2x^ = 0; x(3 - 2x) = 0, x = 0
або X = 1,5.
5) x^ = 3x; x^ - 3x = 0; x(x - 3) = 0,
X - 0 або X = 3.
6) x^ + 2x - 3 = 2x + 6, x^ = 9,
ж - -3 або X = 3.
423Л) з(х-о,2) = 0,
X - 0,2 = О або X + - = О, X = 0,2 або
2) 0,2х® - 1,8х = О, 0,2х(х2 - 9) = О,
ж •= О або х^ - 9 = О, тобто х^ = 9, х
- -З або X = 3.
3 ) і , ^ _ ± = о, i t - A ,
з 27
2 2
t = — або t = —.
З З
27
4) 1,2у^ - 3,6 = О, 1,2^2 = 3 6;
=
■ З, у = -у/з або X = уІЗ.
5) 6 г’‘ - ^ 2 = 0, ЗгІ2г'
г = О або 2 г '- — = О
, г='=-=-,
10 ^ 20
Z = ----- ^ або г = — ;= .
2V5 2n
/5
424.1) (m + 9
)2 = 0. m + 9 - о,
т = -9;
2) ({/ + 1)2 + 5 = О, рівняння не має
коренів;
3) (л - 2)2 = 4, л - 2 = -2
або п ~ 2 = 2, тобто п = О або л = 4;
4) (і/ + 5)2 = 9, І/ + 5 = -З або і/ + 5 = З,
тобто у = - 8 або у = -2;
5) (X - 10)2 - 1 = О, (X - 10)2 = І-
X - 10 = -1 або X - 10 - 1,
тобто X = 9 або X = 11;
6 ) (X + 3)2 - 25 = О, (X + 3)2 = 25;
X + З = -5 або X + З = 5,
тобто X = -8 або X = 2.
426.Нехай X см — радіус меншого
кола, тоді 2х см — радіус більш ого
кола (зовнішнього).
S„ = = л(2х)2 - пх2 = 4лх2
- лх2 = 11x2(4 - 1) = Злх2.
За умовою Злх2 = 27л, тобто х* = 9,
X = ±3.
Радіус зовнішнього кола є число 6, бо
3 x 2 = 6 (см). (-3 — не задовольняє
умову задачі).
428.Нехай л, л + 1, л + 2 три послі
довних цілих числа.
За умовою п(п + 2) + 1 = (л + 1)2.
л2 + 2л + 1 - п2 + 2л + 1; О = О
Задача має безліч розв’ язків. Нап
риклад, числа 1, 2, і З відповідають
умові задачі.
= 0; X = 1,4 або
1
. В.
2. а.
3. б.
4. Ь{х
2^1
X -І- -
5 ;
X = -0,4, сума цих коренів дорівнює 1.
5. 2х - (х + 1) 2= 3x2 _ 6;
2х - х2 - 2х - 1 = 3x2 - 6 ;
4x2 = 5; х 2 = ^ ; X , ,
Відповідь: А.
«
■ І
2 1 , 1
х 2 = — ; х = + —
12 2л/з
Відповідь: Б.
7
. (X - 7)(х + 3)
х2 - 4х - 21 = 0.
а) (х - 2)2 - -17;
х2 - 4х -І- 4 + 17 = О,
х2 - 4х -І- 21 = 0;
X = ±
0;
12)
6
= 0;
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

б ) { X - 2 У = - 2 5 ;
- 4 х + 4 + 2 5 = О,
- 4 л : + 2 9 = 0 ;
в ) { X - 2 ) 2 = 2 5 ; х ^ - 4 х - 21 = 0 ;
г ) ( X - 2 Y = 1 7 ; - 4 д : - 1 3 = 0 .
Відповідь: В.
8. х ‘ - 6х + 5 = 0;
- 2 X Зх + 9 - 9 + 5 = 0;
(х - ЗУ - 4 =0; (X - 3)2 =
д: - З = -2 або X - З = 2,
тобто j: = 1 або х = 5.
Відповідь: Б.
9. (і - 2){t + 2) = 4;
<
2 - 4 - 4, = 8.
t = -2-j2 або t = 2 ^ .
■
'о
'х
ос
.5
ю
ос
о
г
о
S
X
т
а
. 5
Ъ
о
S
LÜ
Ш
1_
с ;
<
§ 21. ФОРМУЛА КОРЕНІВ КВАДРАТНОГО РІВНЯННЯ
4 3 6 Л ) Х‘ + 12х + 20 = О,
+ 2 X д: X 6 + 36 - 16 = О,
{х + 6)2 = 16, X + 6 = -4
або ;с + 6 = 4, тобто х = -10
або д: = -2;
2) 1
/
2 - 8і/ - 9 = О,
і / 2 - 2 х і / х 4 + 1 6 - 1 6 - 9 = 0.
(у - 4)2 - 25 = О, (і/ - 4)2 = 25,
(!/ - 4) = - 5 або (і/ - 4) = 5,
тобто і/ = -1 або у = 9;
3) х ‘ - вх + 5 = О,
д ; 2 - 2 х д : х З + 9 - 9 + 5 = 0,
(л: - 3)2 - 4 = О, іх - 3)2 = 4,
(х - 3) = -2 або (д: - 3) = 2,
тобто X = 1 або X = 5;
4) 1
/
2 + lOj/ + 24 = О, (і/ + 5)2 - 1 = О,
(у + 5)2 =« 1; 1
/ + 5 = -1 або
1
/ + 5 = 1, і/ = -6 або = -4;
5) д
:2 - 8д^ + 12 = О,
О,
д:2 - 2 X 4 X X + 16 - 16 + 12 =
(х - 4)2 - 4 = О, (х - 4)2 = 4;
(д: - 4) = -2 або (д: - 4) = 2, тобто
X = 2 або X = 6;
6) 1
/
2 + І4у + 13 = О,
1
/
2 + 2 X 7 X ^ + 49 - 49 + 13 = О,
(і/ + 7)2 - 36 = О, (!/ + 7)2 = 36,
у + 7 = - 6 або у + 7 = 6, і/ = -13
або ^ = -1.
438.1) 6x2 - 8х + 13 = О,
Ö = 64 - 4 X 6 X 13 = 64 - 312 < 0.
Рівняння не має коренів.
2) х2 + 4 - 4х = О, х2 - 4х + 4 = О,
£> = 16 - 16 = 0. Рівняння має два
рівних кореня.
3) х2 - 4х + 5 = О, D = 16 - 20 < 0.
4) х2 - 4х - 5 = О,
ß = 16 + 20 = 36. D > 0. Рівняння
має два різних кореня.
5) 2x2 - 2х + 0,5 = О,
Л = 4 - 4 х 2 х 0 , 5 = 4 - 4 = 0.
d = 0. рівняння має два рівних ко
реня.
6) З + 5x2 - 7;с = о,
5x2 - 7х + З =
Л = 49 - 4 x 5 x 3 = 49 - 60 < 0 .
440.1) 5т2 - 8 т + З = О,
Z) = 64 - 60 = 4;
8 + 2
8 - 2
д
:, = ^ ^ = 0,6; X, = ■
10 10
2) 35x2 + 2х - 1 = О,
D = 4 + 140 = 144;
-2 - 1 2 -14 1
70 ” 5 ’
= 1.
= ■
Хл —
70
- 2 + 12
70
3) 9у2 - 30j/ + 25 = О,
D = 900 - 900 = 0;
^ _ 3 0 ± 0 _ 3 0 _ 5 ^2
* 18 “ 18 “ З ~ З ’
і ) іу^ - у - 5
1 - 9
О, И = 1 + 80 = 81;
1+ 9
= - 1;
- Л = 1 І .
4 4
^
8 " 8
5) 2x2 + 67 + X = Q
_
2x2 + X + 67 = О,
І 3 = 1 - 4 х 2 х 6 7 < 0 . Рівнянні не
має коренів.
6) -2х^ + Зх + 5 = О,
і) = 9 - 4 X (-2 ) X 5 = 49;
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

- 3 - 7 -10
-4
= - 1.
= 2, 5;
»1 _4
-3 + 7
*2 = - Ц -
442. 1) 0.2m2 = 10m - 125,
0,2m‘ — 10m + 125 = 0,
= 100 - 4 X 0,2 X 125 = 100 - 100 = 0,
* = ^ = 25;
0,4
2) - 1,2 = 2 ,62,
- 2,62 - 1,2 = 0 ,
D = (-2 ,6 )2 - 4 X 1 X (-1 ,2 ) = 6,76 +
+ 4,8 = 11,56,
2 ,6 -3 ,4
2,6 + 3,
= -0,4;
= 3;
3) - x ^ - 9 = -2x, + 6x - 27 = 0,
3
D = 36 - 4 X 1 X (-2 7 ) = 36
- 144,
-6 - 1 2
108 =
= -9;
^ - 4 ^ = 3 .
У* - 14y + 49 = 0,
ß - 196 - 196 = О,
1 ^ 0
2
444.1) x^ - 8x - 84 = 0,
y= ■= 7.
D _
4 “
*1 =
*2 = -
8^
2
4 -1 0
1
4 + 10
1
- 1 ■(-84) = 16 + 84 = 100,
= - 6;
= 14;
2) 8x‘ - 14л: + 5 = 0,
M l
2 ,
7 - 3 4
8 “ 8
7 + 3
- 8 5 = 49 - 40 = 9,
1.
2 ’
= i ^ = l i ;
8 8 4
3) 4x‘ + 4x + 1 = 0,
D
--- =
4
X=
4
U
- 2 ± 0
- 4 1 = 4 - 4 = 0,
1 ,
2 ’
4) 3x^ + 32x + 80 = 0,
~ = 16" -2 4 0 = 16.
‘ 3 3 3
2
5) 36t^ - 12« + 1 = 0,
" = 3 6 -3 6 = 0, =
4 36 6
446.2x^ - л: - m = 0, ж, = -3 ;
2 X (-3)2 - (-3 ) - m = 0,18 + 3 - m = 0,
m = 21.
448.x^ + 3x - 4p = 0;
1) D = 9 + 16p, 9 + 16p >0-, p > - — —
16
два різні корені;
2) D = 9 + 16p, 9 + 16p < 0; p < —
16
немає жодного кореня;
3) D = 9 + 16p, 9 + 16p = 0; p = -----
16
два рівні корені.
1. б. 2. в. 3. б. 4. а. 5. г.
6. 2л:2 - 5л: + 2 = О, d = 25 - 16= 9;
5 - 3 1 5 + 3 „
X, = ------ = - ; X, = -------- = 2,
' 4 2 ^ 4
х, + х , - 2,5.
Відповідь: б.
7. 4х^ + сх - 16 ~ О,
х^ = -4 , 4 X 16 - 4с - 16 = О,
-4с = -48, с = 12.
Відповідь: а.
8. 2а‘ - 1,6а = 1,8а2 + 0,4о + 5-
О Ж - 2а - 5 = О,
2а^ - 20а - 50 = О,
D
= 100 + 100 = 200;
, = 1 5 ^ = 5±5V ^;
Відповідь: г.
9. ах^ + Зх + 6 = О,
0 = 9 - 24а, 9 - 24а = О, а = — ;
З 24
“ 8 ‘
Відповідь: б.
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

§ 22. ТЕОРЕМА ВІЄТА
X
''О
X
‘х
ос
5
La
ос
О
(D
S
X
т
>ч
а
5
с
S
ю
ш
І—
с ;
<
2
459.1) 2х^ - х - 1 = 0 ;
= 0;
2 1 1
' S 1
^. + ^2 = 2 ’
2 ) - З т ‘ + 2 т + 1 = 0 ;
- з [ т ‘ - - ^ 1 = 0;
З 3J
т , + т , = - , т , т , = ~ - .
3) 15*2 - 12x + 1 = 0;
15
2 12 1
х + —
15 15
= 0 ;( 1Е.
15
4 1
4) і « “ -1 7 t-1 0 0 = 0;
З
i ( t '- 5 1 f - 3 0 0 ) = 0;
З
t, + «2 = 51, t^x t^ = -300.
5) -1 6 т ‘ + т + 2008 = 0;
-1б|тп' - — m + 125,5 1= 0;
І 16 )
+ m2 = т^ - т^= 125,5.
1 6
п
C
S
J
6 ) 9 у ( ' + | < + 1 1 2 = 0 ;
g i U Л П ^ ' 1 = 0 ;
7 [ 1 6 0 4 J
7 4 9
“ 1 6 0 " 4 ■
463.1) х^ - X - 5 6 = 0,
X , + Х2 = 1, : = 8 :
X , • X j = - 5 6 . X., = - 7 .
2 ) m 2 + 1 2 m - 4 5 = 0 ,
m , + /Tij = - 1 2 , m , = 3;
' ^ 2 — —
4 5 . = - 1 5 .
3 ) + 2t - 63 = 0 ,
«, + І2 = -2. I = - 9 ;
f, ■t, = - 6 3 . I <2 = 7 .
4 ) + lOt + 2 5 = 0 ,
t. + <2 = -1 0 . *1 = - 5 ;
2 5 .
h = - 5 .
5) л:2 - Ібд: + 64 = О,
, + *2 = 16,
= 64.
X. • X
,2
X. = 8;
X, = 8.
6) + 20р + 100 = О,
Рі + Р2 = -20, |р, = -10;
р, -ft = 100- ІР2 = - іо .
7) - m + 5 = О,
т. + т, = 1,
Коренів немає
Г
П
у ■/
Т
І2 = —
5.
8) + 4( + 6 = о.
■f. + t , = - 4 ,
t, = 6.
Коренів немає.
9) х ‘ - 2х + 2008 = 0,
Коренів немає.
465.1) *2 + п х + ЗО = 0.
Якщо jCj = -2 , тоді X; + х^
-2 + X,
X, + Х2 = 2,
X, ■X, = 2008.
- 1 7 ,
-17, X, = -15.
2) 7х‘ + 1 І Х - 6 = О. Якщо X, = -2,
тоді X, + х^ = -11, -2 + Xj = -11,
X , = - 9 .
466.1) x “ + 5х + ft =
(-2)^ + 5 X (-2 ) + *
4 - 1 0 + Ä = О, ft = 6.
х^ + 5х + 6 = О, Xj + Xj
X, = -5 - X.
О, Xj = -2.
= О,
-5:
'2 •*!
х^ = -5 - (-2 ) = -3.
2) 5х^ - 7х + ft = О, X , = -2.
5 X 4 - 7 X (-2 ) + ft = 0.
20 +14 +ft = О, ft = -34.
5х^ - 7х - 34 = О, X ,+ Х 2 = - :
. . . Л ,
- 2 = і 5 + 2 ;
3) х^ + ftx - 16 “ О, X , = -2.
4 - 2ft - 16 = О, -2ft = 12, ft = -6.
х^ - 6х - 16 = О, Xj + х^ = 6;
х^ = 6 - X,; х^ = 8.
4) Зх^ + ftx + 10 = О, X, = -2.
12 - 2А + 10 = О, -2ft = -22,
ft = 11.
Зх^ + И х + 10 = О,
- 4
^ 2 = - з | + 2: х2
X, + Xj g ,
= - 1 ^ .
з
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

4 6 8 Л ) - 5, = 4; -p = 5 + 4;
p ^ - 9 , X = g, q = 20,
,[
2- 9x + 20 = 0.
2) = 12. ^2 = -8 ; -p = 12 - 8;
p = - A , x^ X x^ = q, q = -9 6 ,
- 4x - 96 = 0.
3) x, = -2 , = 8; -p = -2 + 8;
p = -6 , Xj X = g, g = -1 6 ,
;c2 - бд: - 16 = 0.
4) jtj = 13, = 5; -p = 13 + 5;
p = -1 8 , x^ X x^ = q, q = 65,
x‘ - 18x + 65 = 0.
5) X, = 10, = -2 0 ; -p = 10 - 20;
p = 10, j:, X = g, g = -200,
+ Юл: - 200 = 0.
6) Xj = 8, ^2 = -8 ; -p = 8 + (-8 );
x, = q, q = -64,
p = 0,
*2 - 64 = 0.
7) X, = -3 , д
:
p = 2,5, X,
+ 2,5x - 1,5 = 0.
7) = 0, a:^ = 6; -p
X . X X ^ = q , q = 0, x
2 = 0,5; -p = -3 + 0,5;
X X , = q, q = -1 ,5 ,
= 0 + 6; p = -6 ,
^ - бд: = 0.
- і ; - p . 1 , 1 ;
2 ^ ^ 2
■x^=q.
^ = 2 '
+ i = 0.
2
470. 1) +-Jl4x + 2 = 0;
X» - 17 - 8 = 9, 9 > 0.
Рівняння має два різні корені.
2) 2i/' + Vl9i/ + 27 = 0:
ß = 19 - 216 = -197, -197 < 0.
3) л/2у' + і/-1 = 0: 0 = 1 + 4n
/2, ß > 0.
4) І/' + ч/7і/ +10 = 0; Ö = 7 - 40 < О,
5) Ьх^ - n/Si - 5%
/з = 0;
Л = 5 + 100n
/3 >0 .
6) Ііх^ - 9х + 1 - Ь - Я = 0;
0 = 8 1 -4 1 1 (7 -5л/2) =
= 81 - 308 + 220V2 >0 .
ї. в. 2. г. З.а.
4. . , = у - 2 ;
г - З а.
5. г.
с , 2 5 4 -2 5
0. б; маємо х , + х ^ ^ - - ~ = =
Р = 2,1; х, х , = ^ . ( - ^ У - 1 - . д = -1.
+ 2,їх - 1 = О ^
7. 5 X (-3)2 - ЗА - 12 = 0;
45 - 12 = ЗА; k = 11;
. 2 = Z i i - , _ 3 ) ;
4° ^
а.
11
8.
X, +х^ = 12,
х , - х , = 2;
2х, 14, ж, = 7,
5.
q = х ^ х х.^, q 35, і = — , в.
q 35
9. Г; xfx^ + х^х = x^x^{xf + хі) =
= x^x^ixf + + 2х^х^ - 2х^х,^) =
' ^2) ~ 2X^X2) =
= х^х^(х^ + x^f - 2xfxl.
4х^ - 9х - 2 = 0; х. + х, = - ;
2 1 ^
JC
, ■х„ = — = — .
‘ ‘“ 4 2
Отже, ,х?дг, + х.х^ =
' г '9 '
. 2у ,4,
- 2
' 2 ; 32
- ^ І = -3-?-.
32 32
1. Б; Г.
2. А — 3;Б — 5; в — 4; Г — 2;
Д - 1.
3. Б, д . 4. Б. 5. в.
6. А — 5;Б — 3; в — 2; Г — 1;
Д - 4.
7. г. 8. А.9. Д.
ЇО. А — 2;Б — 4; в — 1; Г — 5.
ї ї Г; /) = 16^ - 4 X З X80 = 256 -
- 960 < 0.
12. А — 4; Б — 3; в — 1; Г — 5;
Д - 2.
73. А — 2; в — 5; в — 4; Г — 1;
Д - 3.
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

' о
X
' x
О
С
5
Lü
ОС
О
го
Ь£
S
X
т
>S
о .
ч:
'с
о
3
LO
Ш
1_
<
и . в: Д; Ї5. Д.
16. А — 2; Б — 5; В — 1; Г — 3;
Д - 4.
Ї7. А - 3: Б - 2; в - 4; г - 5;
Д - 1
.
18 Д, 6о о = 49 - 40 = 9, дг,, =
5
“ 1. ^2 = 2;
1 ; - = 0,4: 0.4 = 40 %.
2
)9 . - 3;с + 9 = О, д:, = 5;
25 - 15 + g = О, 9 = - 10; Г.
20. {х^ - = xf - 2х^х^ + х1 =
= xf + - 2 ■5 = xf + 2х^х^ + -
- 2х,х^ - 10 = (д:^ + х^У - 20 = 13^ - 20 =
= 169 - 20 = 149; Г.
21. Д, бо 5д:(д; - 0,4) = О, д: = 0;
X = 0,4, тоді (О+ 0,4)^ =0,16 або
16 %.
22. г, бо 2) - 16- 4= 12,
4 ± 2ч/з „ г-
X, , = ---- = 2 ± V3.
23. А — 5; Б — 1; в — 4; г — 2;
Д - 3.
24. Б, Д.
26.
-2 (x , +х^) = -
23
x^ ■х^ - 2х , - 2х^ = д:, • * 2 -
5
4
; А — 4;
X,- + д:| = x f + 2д:,д:, + д:| - гх^д:^ =
= (Х, + Х,)^ - 2XjX2 =
129
16
Б - 3;
5 Гігд
4 16 , 4 ;
_ 5 Г129 .1 1 ' _ 5 Гі29 + 52^
4 1 16 4 ; 4 ' 16 ^
5 181 905
64 64
в — правильної відповіді немає;
xf •Xj + Хі .х| =
=Х1Х2(Х, + X j) =
13 '5 ' 65. J
.’ 1•
4 ' 1 6 ’ ^
-- 1,
(Х.-Х2>2 = •2х,Х2 + х| = xf + *2 +
+ 2 х л - •2хл - 2x,*2 = (X, +Х2>2 - 4х,Х
2 =
1 1 ^
- 4а -
9
- - 2 •
U . 4 у ЗО. ß =
X," + х1 = (X, + X,) = (xf - X,Xj + х|) =
f s Y . г ІЗ 'І 25
“ 1 4 ] ' [ 4 ) ~ 16
U
233
16
27.
- 4 -
Д - 2.
2х, + Зх^ = 6,
X, + X, = 5 I (-2);
+ 13 =
25 + 208
16
ж, = 4,
X, = 9.
Тоді
2х, + Зх^ = 6,
-2х, - 2Xj = -10,
= X, X х^ = -4 X 9 -----36, Б
X, + х^ = - 5а,
Xi •Xj = ба - 1;
але X , + «2 = -6 , тоді - 5а = -6,
- 5а + 6 = О, а;
Ь
28.
2, а^ = 3 А .
29.
X, + х^ = а,
X. • X , = 2а,
xf + х1 = 5. Тоді
X, + Xj + 2x,xj - 2XiXj = (x, + x^f -
- 2x,xj = a‘ - 4a, або a“ - 4a = 5,
0, a, = 5, a^ = -1 , А
f 1)2 - 4(2a + 5) = 4a^
+ 8a + 4 - 8a - 20 = 4a^ - 16,
D = 0, тобто
4a^ - 16 = 0, a'* = 4, а = ±2, A.
§ 23. КВАДРАТНИЙ ТРИЧЛЕН, ЙОГО КОРЕНІ.
РОЗКЛАДАННЯ КВАДРАТНОГО ТРИЧЛЕНА
C
N
J
ІП
C
N
J
479.1) х^ + X + 10 = о,
ІЗ = 1 “ 40 < 0. Квадратний тричлен
х^ + X + 10 не має коренів;
2) 3x2 _ 2х - 1
1 + 2
'^
1
.2
D
X, 9 — •
О, — = 1 + 3 = 4,
_ 1
З . ж
, - З- ^2 1:
3) 9x2 - І2 х + 4 = О,
f - 5 6 - З в .О .
4) - х 2 - х - 3 = 0, І> - 1 + З
1± 2
X , 2 = ^ > X j = -2, X j ■= 6;
2
4,
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

5) Зж
' + б
д
: + з = о, - = 9-9 = 0,
1- ^
^,.2 - 3 - - 1 ’
6) + Эх + 20 - о, в = 81 - 80 = 1 ,
-9 ± 1
= “ -5 . ^2 = -4.
484.1) -9д:' + 12д:-4 = -9
3
_ 2 '
3,
-9д:^ + 12л: - 4 =
Z) = 36 - 36 = О,
-6 2
* « " - 9 " з ’
= -(З х - 2)(3x - 2), бо
О,
D
2) 16(2 + 24t + 9 = О, — = 144 -144 = 0.
-12 3 ^
* - = 1 6 = - i = .
3) 6ж - 13л: + 6 = 6(х - 1,5) X ----
3
= (2х - 3)(3д: - 2), бо - 13л: + 6 = О,
D = 169 - 144 = 25,
1 3 ±5 18 3 , ,
X,, = -------, X, = — = —= 1,5,
12 ‘ 12 2
1
X ----
2
8 2
** 12 3 ’
5) 2х' - 7л: + 3 = 2(л: - 3)
= (л: - 3)(2л: - 1), бо
2л;2 - 7л + 3 = О, Ö = 49 - 24 = 25,
^ - I M
* м - 4 > 3.
5^
л: + —
6) Зд:^' - д
: - 10 = 3(л: - 2)
= ( х ~ 2)(3л: + 5), бо Зл:^ - л: - 10 = О,
ß = 1 + 120 = 121,
1±11
486.1)
2 о -1
2,
2а-1
10а^ - а - 2
2 (а -0 ,5 )
10
1 )
а —
2,
2
о + --
5 )
2(а - 0,5)(5а + 2) 5а + 2 ’
2)
3)
h i ]
6а^ - 5а + 1
1 - 4а' ” 1 Г - 2а)(1 + 2а)
(2а - 1)(3а - 1) 1 -З а
(2а - 1)(1 + 2а) “ 1 + 2а ’
2 - л : - д : ' ^ - { х ^ + х - 2)
2 - 5 х + гх^ ~Зх‘ - Ь х + 2
- ( х + 2)(л: - 1) _ -(л: + 2) _
2 )’
3(д: -1 )
4)
2
3
За^ + 5а - 2
1 - 6а + 9а*
3(а + 2)
(Зл:-
За* + 5о - 2
9а* - 6а + 1
1
а ----
3J
1
а ----
3)
1
а ----
3
а + 2
З а - Г
488. 1) -л:* + 4л: - 3 = ~(х‘ + 4х +3) =
= -(л:* + 4л: +4 - 1) = - ( х + 2)* + 1;
2) -л:* - 2л: - 2 = -(л:* + 2х + 2) = -(х* +
+ 2л: +1 + 1) = -(л: + 1)^ - 1.
4 8 9 . 1) f* - 4t + 10 = г* - 4f + 4 + 6 =
= (t - 2)* + 6.
Вираз має найменше значення 6 при
t = 2.
2) л:* - 6л: - 2 = л:* - 6л: + 9 - 9 - 2 =
= {х -3)* - 11.
Вираз має найменше значення (-1 1 )
при л: = 3.
3) 2х* - 4л: + 12 = 2(л:* - 2л: + 6) =
= 2(ж* - 2л: + 1 + 5) = 2(л: - 1)* + 10.
л: = 1.
4) 3f* - 12t + 48 = 3(t* - 4t + 16) =
= 3(t* - 4f + 4 + 12) = 3(t - 2)* + 36.
t = 2.
5) л:*+ З л:-1 = х* + 2 - л: + - - —- 1 =
З
х + -
2
4 4
Вираз має найменше значення
13
’ 4
при х = - ~ .
6) іл:* + л :-6 = і(л:* + 2д:-12) =
' 2 2
= і(.г * + 2л: + 1 - 13) = і(л : + 1)* - у .
Вираз має найменше значення
при л: “ -1.
1
. а. 2. а. 3. а.
16 - _ (4 - 6)(4 + Ь) _
Ь * - Ь - 1 2 (ft-4)(fc + 3)
11
’ 2
4. б;
-(& - 4)(4 + ft) _ 4 + 6
(6 - 4)(Ь + 3) Ь + З
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

X
о
X
'x
D
C
5
La
cc
d
ro
iC
s:
X
X
>4
Q.
q;
20+x -x ‘ -(X- - x - 2 0 ) ^
3(x - 5)
З х -1 5
- ( X + 4)(.r - 5) ^ - ( x + 4) ^ ^ 4)
3 (x - 5) 3 3
a
■ + X + 2
x^ - 5x + 6
Дріб скоротити неможна, бо чисель
ник неможна розкласти на множники;
61 - 2 - х ^ Х - - Х - 2 ^ ( X - 2 ) ( х + 1)
.г^ + 5дг + 6 + 5дг + 6 (дг -і-2 ) ( х т 3)
Дріб скоротити неможна, бо немає
спільного множника;
в)
х ^ + х - 2 (х + 2 ) ( х - 1 )
х^ - 5 х + 6 ( X - 2)(х - 3)
Дріб скоротити неможна, бо немає
спільного множника;
х~ - 2 - X _ - X - 2 _
^ 6 - 5 х + х^ х^ - 5 х + 6
_ ( х - 2 ) ( х + 1) _ х + 1
~ ( х - 2 ) ( х - 3 ) ~ X - З ’
7. 2х^ - 4х + 7 = 2(х^ - 2х + 3,5) =
= 2(х- - 2х +1 - 1 + 3,5) = 2(х - 1)= + 5.
Вираз набуває найменшого значення
5 при X = 1, б .
2т^ - Ьт + 2
8.
тп - 2п - Зт + 6
2 (т - 2) т ----
2
п(т - 2) - 3(т - 2)
2 т - X
(т - 2)(2т - 1)
( т ~ 2 ) { п - 3 )
п - 3
При т = -10, п = -0,5 маємо
2 ( - Ю ) - І -21 210 ЗО _ д ^
- 0 ,5 - 3 ” -3,5 ~ 35 ” 5 “ ’
9.
-9ж + 2
( х - 2 )
х + 26
(4х - 1)(д: - 2)
х + 2Ь
х + 2Ь
Якщо д: + 2Ь = - 2, то при Ь =
дріб можна скоротити. Якщо 4jc - 1 =
= X + 2Ь,
То при Ь = - — дріб можна скороти-
О
ти, в.
о
з
іп
с :
<
ч-
іп
S
N
J
§ 24. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ, ЯКІ ЗВОДЯТЬСЯ д о КВАДРАТНИХ
498.1) - 26х^ + 25 = 0.
Нехай X - = t , тоді - 26і + 25 = О,
і, = 25, = 1.
Отже, х^ = 25 або х^ = 1, тоді д; = ±5
або J
T = ±1.
2) х' + 8д:^ - 9 = 0.
Нехай х^ = у, тоді + 8у - 9 = О,
г, - -9 , t, = 1.
Отже, рівняння = -9 не має ко
ренів, а рівняння х^ = 1 має корені
(-1 ) і 1.
3) 9х* - 32х^ - 16 = 0.
Нехай х^ = t, тоді - 32( - 16 = О,
— - 16" -ь 144 = 256 -г 144 = 400,
16±20 , , 4
‘ 9 ’ ^ - 9 •
Отже, рівняння х^ = 4 має корені (-2 )
і 2, а рівняння х * = - — коренів не
має; ^
4) ЮОх^ - 41х=* + 4 = 0.
Нехай X - “ у , тоді ІООі/“
' - 4 1 у + 4 = 0.
D = 4 V ~ 1600 = 1681 - 1600 = 81,
Уі.г =
У2 =
41 + 9
200 ’
32 16
Уі =
50
200
200 100
Отже, х ^ = і , тоді х = + і ,
2 16 ^ ^ 4 ^ ^2
X = ----- , тоді X = ± ---- , X = ± —.
100 10 5
497. 5) - 8х" + 16 = о, (х^ -4У
= 0,
х^ = 4, X = ±2;
6) 25х‘ - 40х^ + 16 = О, (5х^ - 4)2 = О,
5х= - 4 = О,
4 , 2 , 2ч/5
Я Ё ’
= +-
5 ’ ‘
500.1) ( - Х - 1 )(х - 4 ) = х ( 4 х + 1 1 );
- х ^ + 4 х - X + 4 = 4х^ + 1 1 х ;
5x2 -г 8х - 4 =0; — = 16 + 20 = gg,
- І 2 . = 0,1^
2) 5(х - 2) = (Зх + 2)(х - 2);
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

Г "
5 ж - 10 = Зх^ - 6х + 2х ~ 4;
- 9х + 6 = О, х^ ~ Зх + 2
X, - 2. X, = 1.
3) - х | і - д ; ] = -(1 + х )(1 -х );
Л х + х^ = х^ -1-, - - х = - и X
3 3
4 ) (8л: - 1)(2х -3) - {4х - 1)^ - 38;
16ж* - 24х - 2х + 3 - 16л;2 + 8л: -1 -
- 38 = 0;
О,
3;
-18х - 36 = 0; -18д:
5) ^ ^ 4 х = 3
-.
36; д: = -2;
J
C
» - 4 + 12д: - 9 = 0;
- 12х - 13 = 0; ж, = 13; = -1;
6)
4х‘ + х 5 х - 1 х ^ +17
3 6 9
24х‘ + бд: - 15x + 3 - 2х^ + 34;
22х‘ - 9л: - 31 = 0;
Z) - 81 + 2728 = 2809;
*1.2 ~
*» =
9 ± 5 3 .
44 ’
-44
ЁЗ.
44 2 2 ’
= -1.
44
504.1) + ЗУ = 2 8 (у ‘ + 3) - 171;
у* + 6у^ + 9 = 281/* + 84 - 171;
у* - 22j/‘ + 96 = 0;
ä/f=16; ä,|=6.
j = 1 2 1-9 6 = 25,
, 11±5
Отже, у = ±4, у =+/б:
П спосіб:
(у‘ + 3)* = 28(1/* +3) - 171;
(у‘ +3)* - 28(1/* +3) + 171 = 0;
у* + 3 = (, f* - 28f + 171 = 0;
^ = 196-171 = 25, 2 = 14 ± 5;
t, = 19; <2= 9.
Отже, j/* + З = 19 або у* + З = 9.
Тоді у = ±4, або у = ±7б.
2) (f* + 4<)* - (і* + 4t) = 20.
Нехай і* + 4t = у, тоді
V* - у - 20 = 0; j/j = 5, i/j = -4. Отже,
t* + 4t = 5 або t* + 4f = -4 . тоді
+ 4f - 5 = О, це рівняння має ко
рені, jCj = -5 , х^ = 1;
рівняння t* + 4f + 4 = о має корені,
бо (f + 2)* = О, t + 2 = О, t -
-
= -2.
3) (m* + m)(m* + m - 5) = 84.
Нехай ni^ + m = t, тоді t(t - 5) = 84,
- bt - HA ^ 0,
Л = 25 + 336 = 361,
t, = -7 , t, = 12. Отже,
1) m* + m = -7, /П
* + m + 7 ~ 0,
ß = 1 - 28 < 0, коренів немає;
2) m* + m = 12, от* + от - 12 = 0,
от, “ -4, O
Tj “ 3.
Числа (-4 ) і З корені даного рівняння.
4) 2(х^ - д
г + 1)* - 3(л* - л: + 1) - 2 = 0.
Нехай д:* - jr 1 = t, тоді 2t* - 3t - 2 = 0;
D = 9 + 16 = 25,
3 ± 5
1) X*
2, t = -0,5. Отже,
+ 1 = 2, д:* - д: - 1 = 0,
ö = 1 + 4 = 5, д:, = - ~ ,
^ 2 - 2 •
2) x* - д
: + 1 = -0,5; д:* - д: + 1,5 = 0;
D = 1 - 6 < О, коренів немає.
507.1)
д:' - 2д: д: - 2
д: + 4 4 + д
: ’
д:* - 2д: = д: - 2, д: -4.
д:*
корені даного рівнян-
:* - Зх + 2 = О, X , = 1, х^ = 2.
Числа 1 і 2
ня.
2)
X *
ї* - 2х 4х - З
2х - 1 1 - 2х ’
* - 2х = -4 х + З, X -А 0.5.
X * + 2х - З = О, X , = -З, х^ = 1.
Числа (-3 ) і 1 — корені даного рів
няння.
5 х - 2 б х -2 1
(5х - 2)(х - 3) = (6х - 21)(х -ь 2),
якщо X -2 і X ^ 3.
5х* - 15х - 2х -І- 6 = 6х^ + 12х - 2ІХ - 42;
X * -І- 8х - 48 = О,
^ = 16 + 48 = 64, X, = -4 + 8 “ 4;
х^ =- -4 - 8 = -12.
Числа 4 і (-1 2 ) — корені даного рів
няння.
2 у - 5 Зу + 21
І/+ 5 2у - І ’
(2у - Ь)(2у - 1) = (Зі/ + 21)(у + 5), при
у * - Ь у * 0,5.
Отже, і у ‘
‘ - 2у - lOj/ + 5 -= Зі/* -І- ІЬу +
+ 21у + 105;
у* - 48і/ - 100 - 0;
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

p
'о
I
'x
ос
5
in
ОС
го
sc
s
X
3
-
>4
Q.
5
'c
о
in
Ln
C
S
J
j = 24" + 100 = 576 + 100 = 676,
I/, = 24 + 26 = 50,
!/, = 24 - 26 = -2.
Числа 50 і (-2 ) — корені даного рів
няння.
511. 1) л:' - д
:' - 4
(д
: - 1)" = 0;
хЦх - 1) - Ц х - 1)(л: - 1) = 0;
(х - 1)(х2 - 4л: + 4) = 0;
(X - 1)(д: - 2У = 0;
X = 1 або X = 2.
2) 2і/^ + 2у^ = (у + 1)2;
2уНу + D - {у + т + 1) = 0;
(у + 1) (,2у‘ - і/ - 1 ) = 0;і/ + 1 = 0 або
“ і/ “ 1 = 0. тобто
у = - 1 або і/ =
1 + л/і + 8 1+ 3
4 4
Отже, !/ = -1 , або І/ = 1, або
І/ = -0,5.
3) 6х^ - г і х ' ‘ - ЗІХ + 6 = 0;
6(х» + 1) - 31л:(л: + 1) = 0;
6(х + 1)(х2 - X + 1) - 31х(х + 1) = 0;
(X +1)(6х2 - 6х + 6 - ЗІХ) = 0;
(X + 1)(6х2 - 37х + 6) = О, тобто
X + 1 = О або 6х^ - 37х + 6 = 0;
X = -1 або
37 ± ч/37* - 4 -36 37 + 35
12 12 ■ ^
Отже, X = -1 , або X = 6, або ^ = g •
4) 5х^ - 19х^ - 38х + 40 = 0;
5(х^ + 8) - 19х(л: + 2) = 0;
5(х + 2)(х2 - 2х + 4) - 19х(х + 2) - 0;
(X + 2)(5х^ - Ю х + 20 - 19х) = 0;
(х + 2)(5х2 - 29х + 20 = О,
X = - 2 або; х =
X = -2 або X =
29 + V29" - 4-5 20
29 ±21
10
10
Отже, X = -2 , або X = 5,
або X = 0,8.
512.1)
1 ]
з
Зх^ - 5х - 2
2 - х
( х - 2 )
-{X - 2)
= 0;
= 0;
Зх + 1 = О,
X - 2 * 0 - ,
х * 2 ;
2 ) 5 l ! - t £ ^ = 0;
9 - Г
ЗІу + 3) у - 2 -
V ^
( з - у ) ( г + у)
= 0;
(3 -і/ )
= О, у ^ -3.
. - 2 - = 0,
3)
З —у ^ О
,
У * -3;
9
. = 2 |,
У З,
У *■-3;
= 2х -1;
-4
х + З
9 - (X + 3)(2х - 1) _ Q
.
(х + З)
9 - 2х^ + X - 6х + З
(л: + 3)
= 0;
-2х=' - 5х + 12 ^ ^ 2х" + 5 Х -1 2 ^ ^
(х + З) ” ■ (х + З) " ’
X = -4 , X = 1,5.
4 ) І £ ^ = х -6 ; =
1 + 2х
2 = X - 6,
1 + 2х ^ 0;
1 + 2х
х = 8,
X =4-0,5;
X = 8.
514.1) ^ + ^ = 1;
х - 2 х + 2
(х - 7)(х + 2) + (X + 4)(х - 2) = (X - 2)(х + 2),
(х - 2)(х + 2) 0;
X* + 2х - 7х -14 + х" - 2х + 4х - 8 = х^ - 4,
х * 2 ,
X Ф -2;
х ' - Зх - 18 = О,
X ті 2, X = 6; X = -3.
2 ) " ^ , | ± ^ _ 2 = 0;
Зі/ - 2 Зі/+ 2
(Зі/- 3)(3і/ + 2) + (6 + 2і/)(3і/- 2) - 2(9і/* - 4) = О
,
З
і/- 2 # О
,
Зі/+ 2*0;
Розв’яжемо (1) рівняння:
9і/2 + 6у - 9і/ - б + 18і/ - 12 + W -
- 4у -18у^ + 8 = 0;
-Зг/2 + Н і/ - 10 = Q
Зу^ - 11у + 10 = 0;
11±л/і21-120 11 + 1
!/ = ----------S-----------= ^ - ; і/. = 2,
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

. - ■ I -
При цих значеннях змінної знамен-
вики даних дробів не дорівнюють
нулю.
4 2 З
д
^+ 5 х - 5 “ 2 5 - х " ’
4(* - 5) - 2(д: + 5) - З = О, якщо
X Ф -5, д: 5
* 5.
4;t - 20 - 2х - 10 - З = О,
2л: - 33 = О, X = 16,5.
2 < -2 18 _ < - 6 .
( + 3 ^ 9 - < - 3 ’
2 t- 2 18 t - Q
t + 3 ( « - 3 ) « + 3) ( - 3
= 0;
(2f - 2 )(( - 3) - 18 - (( - 6)(f + 3) = О,
якщо t Ф з, t * -3.
2t* - 6t - 2< + 6 - 18 - - 3« + 6t +
+ 18 = 0;
t» - 5f + 6 = 0; ( = 2, < ■
= 3.
Отже, коренем даного рівняння є чис
ло 2.
5 З 2+_у_ _
516.1) - + - = ■
у + 3 у ' + 3 у ’
бу + 3(1/ + 3) 2+ у ^
у{у + 3) у(.у + 3)
Якщо у * О і у Ф -З, то
5у + Зу + 9 - 2 - 1
/ = 0;
7у - -7 ; у = -1. Відповідь: -1.
2 х - 7 х + 2 ^ х + 6
х - 4 х + 1 (х - 4 )(х + 1 )’
(2х - 7)(х + 1) - (д: + 2)(х - 4) - (х + 6) = О,
*jt4 ;
* Ф-1;
Розв’яжемо (1) рівняння:
2ж* + 2x - 7д: - 7 - (х^ - 4х + 2х - S ) -
- X - 6 = 0; 2х^ - Ьх - 7 - х ‘ + 2х +
+ 8 - x - 6 = 0 ; x 2 - 4 x - 5 = 0;
ж - 5 або X = -1. Але х ф -1 , тому
X — 5 — корінь даного рівняння.
8
518.1) х ^ +3 х = ~ ^ ----- - .
х^ + 3 х - 2
** + Зд: = у.
Нехай
тоді х ‘ Зх - 2
У - 2 '
У -
8
У - 2
У - 2 .
= 0:
1/(і/ - 2) - 8 = О,
У * 2;
У = 4 або у = -2,
У * 2;
9 Супер ГДЗ, 8кл.. кн. 2
у^ - 2 у - 9
, = Q
,
У *2-,
Відповідь: у = і , у = -2.
2) U - 2)(х + 7) =
z ^ -1 ; X Ф -4.
х" + 7х - 2х - 14 =
іх + 1)(х + 4)
19
х " + 5 х - 1 4 =
(X + 1)(х + 4)
19
Нехай + 5х + 4 = t,
тоді х^ + 5х - 14 = t - 18.
. - 1 8 = і^ ;
t
- 1 8 і- 1 9 = 0,
< 0;
г = 19 або t = -1
і. х^ + 5х + 4 = 19; х ‘ +5х - 15
< '-1 8 < = 19,
t Ф О,
0:
-5 ± V25 + 60 -5 ± Vs5
2. + 5х + 4 = -1 ; + 5х + 5 = 0;
-5 ± ч/25 - 20 -5±ч/5
2 2 ■
-5±ч/85 -5 ±7 5
Відповідь: ----------- ; ------------.
2 2
3) (х^ + 2хУ - (X + 1)2 = 55; (х^ + 2х)" -
- (х^ + 2х + 1) - 55.
Нехай х^ + 2х = t, тоді маємо:
- 1 - 55 = 0; і*' - і - 56 = 0;
t = - 7 або і = 8.
1. х^ + 2х = -7 ; х^ + 2х + 7 = 0;
x = - l ± ^ f Г ^ .
2. х^ + 2х = 8; х^ + 2х - 8 = 0;
X = -1 ± Vl + 8 х = - 1 ± 3 ;х = -4абох = 2.
Відповідь: -4 ; 2.
4) (х^ - 5х)(х + 3)(х - 8) + 108 = 0;
(х^ - 5х)(х^ -8 х + Зх - 24) + 108 = 0;
(х^ - 5х)(х‘ - 5х - 24) + 108 = 0.
Нехай X* - 5х = і, тоді t(t - 24) + 108 = 0;
х ' - 24( + 108 = 0;
« = 12 ± Vl44 - 108 = 12 ± = 12 ± 6;
і = 18 або f = 6.
1. х ‘ - 5х = 18; х^ - 5х - 18 = 0;
5±уІ97
5 ±V 25 + 72
2 ’ 2
2. х^ - 5х = 6; х “ - 5х - 6
X = 6 або X = -1;
5 + ^/97
Відповідь: -1 ; 6; ---- .
0;
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

Вправи для самооцінювавня
1. б.
2. б; бо 0,5х(х^ - 144) = О, д: = О,
або X = -12, або х = 12.
3. в, бо - 7x2 + 2 = 0. Нехай
х^ = у, тоді Ьу^ - Ту + 2 = О,
7 ± 749 - 40 7 ± 3
10
_ І
ъ
, І
'і
О
С
їй
ос
0
S
S
1
т
>ч
о .
5
[=
о
З
LO
Ш
І—
с :
<
у =
2
Тоді х^ = 1; X
10
!/, = 1.
х = ±
- ±1: х ' = - :
4. а, бо 36 - х‘ - х‘ + 1ІХ - 18 = О,
-2д;2 + 1 І Ї + 18 = О,
1 1 ± У ^
*1.2 - .
2x2 _ _ 18
11 + 7265 + 1 1 2 2
= ------------- 1------------- = т = ^’ ^-
5. б, 6om* + 8m 2+16 + 6 m 2 + ll= 0 ;
т* + 14т^ + 27 = 0.
Нехай тому + 14( + 27 = 0;
( = -7 + 7 4 9 -2 7 ; t = - 7 ± 7 ^ .
Вираз -7 + < О, тому рівняння
= -7 - 7 Й не має дійсних ко
ренів.
Вираз 7 - = 7 ^ < О, тому рівняння
от' = - 7 + 7 ^ не має дійсних коренів.
Отже,
Рівняння (т * + 4)2 + 6m2 + 11 = О не
має дійсних коренів.
1
X = — знаменник
2
першого дробу дорівнює нулю, при
X = о і ^ = ~ знаменник другого
^ 1
дробу дорівнює нулю, а при х = ± -
знаменник третього дробу дорівнює
нулю.
б. а, бо при
7. г, бо
18
g (2х + 1)” х(2х - 1)
(2 х -1 )(2 х + 1)
18х(2х - 1) - (2х + 1)2 - 6х(2х + 1) = 0.
X ^ О, X ±0,5.
36x2 _ їзд. _ 4Д
.2_ 4^. _ X_ 12x2 _ бх = О,
20x2 - 28х - 1 = О,
1 4 - 7 ^ 14±72Ї6
20 ’ 20 ’
(14 - %^І6)(14 + 7216)
400
= -0,05.
X , • х^ =
196-216
400
о - . 3 З 4 —х ^
О. в, бо — + ------------------------ = 0;
X х ( х - И ) 11-л:
З З 4 - х „
— + + = 0.
X х ( х - И ) х - 1 1
Якщо X * О, XФ 11,
то 3(х - 11) + З + х(4- х) = 0;
Зх - 33 + З + 4х - х2= 0;
х2 - 7х + ЗО = 0;
7 ± 749 -1 2 0
^1.2 - 2
D = 49 - 120 < О, тому коренів не
має.
^ - 2 /
X -
9. а, бо 4
Гх + 1^
2
+ 5
. X + 1 ^
Нехай ------- = t,
X
тоді 4(2 + 5( + 1 = О,
-5 ± 7 2 5 -1 6 - 5 ± 3
8
Кг ~ ■ Q
° 1
t = -1,
X + 1 ^
Отже, ------- = -1, X + 1 + X
X
X 0;
О,
-0,5 або
х + 1
4(х + 1) ■
= - X , X # 0; 5х + 4 = 0;
X - -0,8,
іп
C
S
J
§ 25. РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ ЗА ДОПОМОГОЮ КВАДРАТНИХ РІВНЯНЬ ТА РІВНЯНЬ,
ЯКІ ЗВОДЯТЬСЯ ДО КВАДРАТНИХ
528. Нехай X і (х + 1) — два послідов
них натуральних числа. Квадрат суми
двох послідовних натуральних чисел
дорівнює
(х + X + 1)2 = (2х +1)2.
Потроєний квадрат більш ого числа
дорівнює 3(х +1)2. За умовою маємо
(2х + 1)2 - 3(х + 1)2 = 13.
Розв’яжемо рівняння:
4x2 + 4х + 1 - 3x2 - 6х - З - 13 = о
х2 - 2х - 15 = О, X , = 5, X j = -3 .
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

умову задачі задовольняє число 5,
тоді 5 і 6 — дані натуральні послі
довні числа. ^
536.(1) Нехай - роботи перша
друкарка виконує за х годин, а
друга — за (х - 1) годину, тоді за
1 годину перша виконує — роботи,
1 2х
роботи. Разом за
а друга - —
1 годину вони виконують
1 1______ Х - 1 + Х 2х - 1
2х 2(х - 1) 2х(х - 1) 2х(х - 1)
роботи. За 2 год. 24 хв. = 2 — = —
60 5
годив вони разом виконують всю ро
боту, тобто
2 х - 1 12
= 1.
2х(х - 1) 5
24* - 12 - Юд:* - ІОх, х ^ О, х ^ 1.
Юх* - 34JC -Ь 12 = О,
5ж* - 17л: -t- 6 = О,
*1,2 ^
17 ±> / 2 8 9-1 20 1 7 ± 1 3
10 10
Xj ~ З, X = 0,4 (не задовольняє умову
задачі).
За З години перша друкарка виконує
— роботи, тому всю роботу вона ви
ковує за 6 годин.
За (З - 1) = 2 години друга друкарка
виковує і роботи, тому всю роботу
вова виконує за 4 години.
537. (2) Нехай X км/год швидкість
поїзда за розкладом, а (х + 10) км/
. . . 20
год фактична швидкість поїзда. —
год. — час, який поїзд повинен вит-
20
рачати за розкладом, а -----— год. —
* + 10
час, який він витрачав фактично. За
20 20
умовою --------- < — на
* +10 *
4 хв = А ,од = ± ,од.
V, . 20 20 1
^ІвЄМО ІЗІВНЯННЯ! " ■' — f
X * -н10 15
15(20* + 200) - 15 X 20* = * (* + 10),
X О, X * -10.
300* -f 3000 - 300* = *2 + 10*;
+ 10* - 3000 = 0;
*,.j = -5 ± V25 + 3000 = -5 ± 55;
*, = -60 (не задовольняє умову зада
чі), *2 = 50.
Поїзд мав рухатись зі швидкістю
50 км/год.
542. Нехай власна швидкість катера *
км/год, тоді швидкість його за течією
дорівнює (* + 2) км/год, а проти течії —
(* - 2) км/год. Проти течії він вит-
15 6
ратив год, а за течією —
год.,
год.
* - 2 * + 2
22
для проходження озером —
15 22
15*2 + ЗО* + 6*2 - 12* = 22*2 _ 88;
*2 - 18* - 88 = О,
*, 2 = 9 + х/81 -н88 = 9 ± ч/їб9;
* ; = 9 + 13 = 22, *2 = 9 - 13 = -4 (не
задовольняє умову).
Власна швидкість катера 22 км/год.
543.Нехай * км/год швидкість річки,
тоді швидкість теплоходу за течією
дорівнює (* + 34) км/год, проти течії —
(34 - * ) км/год. Час, витрачений за
144
течією, дорівнює -------- год., проти
144 34 + *
течії —
3 4 - *
год.
144 144 „1
34 + *
2 X 144(34 - * ) + 2 X 144(34 + * ) =
= 17(342 _ ^2).
9792 - 288* + 9792 + 288* = 17(1156 -
- *2);
19584 = 19652 - 17*2;
17*2 = 68; *2 = 4; * = 2 або * = -2 (не
задовольняє умову задачі). Швидкість
течії річки дорівнює 2 км/год.
548.Нехай * — перше натуральне чис
ло, а (17 - * ) — друге натуральне число.
*^ + (17 - хУ = 1547;
*ä + 4913 - 867* + 51*2 _ ^3 _ 1547 = О;
51*2 _ 867Д. + 3366 = 0;
* ,, = ■
867 + V751689 - 686664
102
867 + V65025 867±255
102
867 + 255
102
8 6 7-2 5 5
102
102
= І І ^ = П ;
102
642 ЗО 15
102 102 51 ■
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

Jz
ъ
I
'і
5
in
ос
0
(О
S
1
т
>ч
Q.
5
Ъ
а
<
Число 11 — натуральне, а 6 — — не
є натуральним.
11 — більш е натуральне число,
1 7 -1 1 = 6 — менше натуральне число.
— ■100 % = = 54 — % — стіль-
11 11 11
ки відсотків складає менше натураль
не число від більш ого натурального
числа.
553. Нехай перша цифра двоцифро
вого числа дорівнює х, а друга його
цифра (х - 3). Відомо, що д
: > О і
д: - З > 0.
(Юд: -І- д: - 3)2 + ((х - 3) х 19 -f x f = 1877;
(Ид: - ЗУ + (Ид: - 30)^ = 1877;
121х^ - ббд: + 9 + 121д:=' - ббОд: +
-I- 900 = 1877;
242x2 _ J26X - 968 = 0;
726 + л/726' -н4 ■242 •968
72 6±1 2 1 0 .
484
726 н-1210
~ 484
726-1210
484
= 4;
-484
= -1
" 484 484
(не задовольняє умову задачі)
Дане число 41, у зворотному порядку
це число 14.
1. в.
2. а і б, бо якщо ширина прямокут
ника X м, тоді (х + 10) м — довжина,
а площа дорівнює х(х + 10) або 600 м^.
Маємо рівняння д:“ -І- Юд: - 600 = О,
X, 2 = -5 ± л/25 -н600 = -5 + >/б25 =
= -5 ± 25;
х^ = -ЗО (не задовольняє умову зада
чі), д:^ = 20.
Тоді Р = (20 Ч
- ЗО) X 2 = 100 (м).
3. г, (х- 1
)2 + (д: - 8)2=
- 2д: -Ь 1 -І- - Ібд: -І- 64 - д;2 = 0;
- 18д: 65 = 0;
X, J = 9 ± V 8 1 -6 5 = 9 ± 4;
Xj = 13, *2 “ ^ задовольняє умову
задачі).
4. а, б. 5. б, в.
Якщ о X рядів, то (х - 4) — к іль
кість стільців у ряді. Кількість місць
х(х - 4).
1) х(х - 4) = 192, х2 - 4х - 192 =
= О,
х, 2 = 2 + 74-1-192 = 2 ±14
2) х(х - 4) = 221, х2 - 4х - 221 = О,
х,2 =2±V4-i-221 = 2±15.
власна швидкість
б. б, X км/год
моторного човна,
(х -І- 1,5) км/год — швидкість човна
за течією,
(х - 1,5) км/год — швидкість човна
проти течії.
60 60
-------- -І------------= 9;
X -ь 1,5 X - 1,5
бО(х - 1,5) + бО(х 4- 1,5) = 9(х2 - 1,52);
бОх - 9 + бОх -І- 9 = 9x2 _ 20,25;
9x2 _ і2 0 х - 20,25 = 0;
60 ±73600-1-182,25 60 ±61,5
^1.2 - Q о ’
х . = і ^ = 13,5;
9
-1,5
< О (не задовольняє умову
2 9
задачі).
7
. в. Нехай перший виконує всю
роботу за X годин, якщо він працює
окремо, а другий — за (х -І- 2) годи
ни. За одну годину, працюючи окре
мо, перший виконує за — годин, а
другий — за години. За 2 год
24 4 2
24 хв = 2 — = 2 — = 2 — години вони
60 10 5
разом виконують всю роботу, тобто
1 1
X х-і-2
і^ = і;
5
(х 4
- 2 -f X ) 12 = 5х(х -І- 2), X ^ О,
X ^ 2.
24х -І- 24 = 5x2 + іо х ,
5x2 _ 14^ - 24 = О,
_ 7 ± V l9 -f 120 7 ±13
5 g ' 5 '
Xj “ 4, Х2 = — (не задовольняє умову
задачі).
Якщо один виконує роботу за 4 годи
ни, то другий за б годин.
8. а — 2; б — 4; в — 1; г — 3.
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g

8_gdz_a_bil.pdf

More Related Content

What's hot

Similar to 8_gdz_a_bil.pdf

More from Mihailichenk Lud

Recently uploaded

8_gdz_a_bil.pdf