PEMBAHASAN UAS FISIKA UNTUK MATEMATIKA

1. TUGAS UAS FISIKA MATEMATIKA 2
Disusun untuk memenuhi Mata Kuliah Fisika Matematika 2
Dosen Pengampu : Drs. Pujayanto, M.Si
Disusun oleh :
May Nurhayati
K2315048
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2016

2. 1. Sebuah senapan mainan menembakkan peluru karet yang massa 20 g dari
permukaan tanah vertikal ke atas dengan kelajuan 20m/s. Bila gaya gesekan udara
0.1v, tentukan :
a. Tinggi maksimum yang dicapai peluru
b. Lama peluru di udara
Diketahui :
m = 0.02 kg
v = 20m/s
k = 0.1
Ditanyakan :
a. h max…….?
b. t d udara….?
Jawab :
a. Gesekan udara = kv = 0.1 v k=0.1
Jawab :
*Waktu pada ketinggian maksimum
∑ 𝐹 = −𝑤 − 𝑓
𝑚 𝑎 = −𝑚 𝑔 − 𝑘𝑣
𝑚 𝑎 + 𝑘 𝑣 = −𝑚 𝑔
𝑎 +
𝑘
𝑚
𝑣 = −𝑔
𝑤 = 𝑚𝑔
𝑓 = 𝑘 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
𝑘𝑣
𝑚
= −𝑔
𝑣′
+
𝑘
𝑚
𝑣 = −𝑔
𝐷𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝
=
𝑘
𝑚
𝑑𝑎𝑛 𝑄 = −𝑔
𝐼 = ∫ 𝑃𝑑𝑡
𝐼 = ∫
𝑘
𝑚
𝑑𝑡
𝐼 =
𝑘
𝑚
𝑡

3. 𝑣 = 𝑒−𝐼
∫ 𝑄𝑒 𝐼
𝑑𝑥 + 𝑐𝑒−𝐼
𝑣(𝑡) = 𝑒
−
𝑘
𝑚
𝑡
∫ −𝑔. 𝑒
−
𝑘
𝑚
𝑡
𝑑𝑥 + 𝑐 𝑒
−
𝑘
𝑚
𝑡
𝑣(𝑡) = 𝑒
−
𝑘
𝑚
𝑡
−
𝑔
𝑘
𝑚
. 𝑒
−
𝑘
𝑚
𝑡
+ 𝑐𝑒
−
𝑘
𝑚
𝑡
𝑣( 𝑡) = −
𝑚𝑔
𝑘
𝑒0
+ 𝑐𝑒
−
𝑘
𝑚
𝑡
𝑣( 𝑡) = −
𝑚𝑔
𝑘
+ 𝑐𝑒
−
𝑘
𝑚
𝑡
𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑎𝑎𝑡 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑎𝑤𝑎𝑙 𝑡 = 0
𝑣 = 𝑣0, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎
𝑣( 𝑡) = −
𝑚𝑔
𝑘
+ 𝑐𝑒
−
𝑘
𝑚
𝑡
𝑣(0) = −
𝑚𝑔
𝑘
+ 𝑐𝑒
−
𝑘
𝑚
0
𝑣( 𝑡) +
𝑚𝑔
𝑘
= 𝑐𝑒0
𝑣( 𝑡) +
𝑚𝑔
𝑘
= 𝑐
Sehingga
𝑣( 𝑡) = −
𝑚𝑔
𝑘
+ (𝑣0 +
𝑚𝑔
𝑘
) 𝑒
−
𝑘
𝑚
𝑡
𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 𝑦 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑣( 𝑡) = 0
𝑣( 𝑡) = −
𝑚𝑔
𝑘
+ (𝑣0 +
𝑚𝑔
𝑘
) 𝑒
−
𝑘
𝑚
𝑡
0 = −
𝑚𝑔
𝑘
+ (𝑣0 +
𝑚𝑔
𝑘
) 𝑒
−
𝑘
𝑚
𝑡
𝑒−
𝑘
𝑚
𝑡
=
𝑚 𝑔
𝑘 (𝑣0 +
𝑚𝑔
𝑘
)
𝑒
−
𝑘
𝑚
𝑡
=
𝑚 𝑔
( 𝑣0 𝑘 + 𝑚𝑔)
𝑙𝑛 (
𝑚 𝑔
( 𝑣0 𝑘 + 𝑚𝑔)
) = −
𝑘
𝑚
𝑡
t = −
m
k
𝑙𝑛 (
𝑚 𝑔
( 𝑣0 𝑘 + 𝑚𝑔)
)
*ketinggian maksimum
𝑣 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −𝑚.
𝑔
𝑘
+ (𝑣0 +
𝑚𝑔
𝑘
) 𝑒
−
𝑘
𝑚
𝑡
𝑑𝑦 = −𝑚.
𝑔
𝑘
+ (𝑣0 +
𝑚𝑔
𝑘
) 𝑒
−
𝑘
𝑚
𝑡
𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑦 = ∫ −𝑚.
𝑔
𝑘
+ (𝑣0 +
𝑚𝑔
𝑘
) 𝑒
−
𝑘
𝑚
𝑡
𝑑𝑡
𝑦 = −𝑚.
𝑔
𝑘
𝑡 + (−
𝑚
𝑘
) (𝑣0 +
𝑚𝑔
𝑘
) 𝑒
−
𝑘
𝑚
𝑡
+ 𝑐
*Ketika t = 0 >> y=0
𝑦 = −𝑚.
𝑔
𝑘
𝑡 + (−
𝑚
𝑘
)(𝑣0 +
𝑚𝑔
𝑘
) 𝑒
−
𝑘
𝑚
𝑡
+ 𝑐
0 = −𝑚.
𝑔
𝑘
0 + (−
𝑚
𝑘
)(𝑣0 +
𝑚𝑔
𝑘
) 𝑒0
+ 𝑐
𝑐 =
𝑚
𝑘
(𝑣0 +
𝑚𝑔
𝑘
)
Jadi
𝑦 =
−𝑚𝑔𝑡
𝑘
−
𝑚
𝑘
(𝑣0 +
𝑚𝑔
𝑘
) 𝑒−
𝑘
𝑚
𝑡
+
𝑚
𝑘
(𝑣0 +
𝑚𝑔
𝑘
)

4. Y maksimumketika
t = −
m
k
𝑙𝑛 (
𝑚 𝑔
( 𝑣0 𝑘 + 𝑚𝑔)
)
𝑦 𝑚𝑎𝑥 = −𝑚.
𝑔
𝑘
(−
m
k
𝑙𝑛 (
𝑚 𝑔
( 𝑣0 𝑘 + 𝑚𝑔)
)) + (−
𝑚
𝑘
)(𝑣0 +
𝑚𝑔
𝑘
) 𝑒
−
𝑘
𝑚
(−
m
k
𝑙𝑛(
𝑚 𝑔
( 𝑣0 𝑘+𝑚𝑔)
))
+
𝑚
𝑘
(𝑣0 +
𝑚𝑔
𝑘
)
=
𝑚2 𝑔
𝑘2 𝑙𝑛 (
𝑚 𝑔
( 𝑣0 𝑘 + 𝑚𝑔)
) −
𝑚
𝑘
(𝑣0 +
𝑚𝑔
𝑘
) 𝑒
−
𝑘
𝑚
(−
m
k
𝑙𝑛(
𝑚 𝑔
( 𝑣0 𝑘+𝑚𝑔)
))
+
𝑚
𝑘
(𝑣0 +
𝑚𝑔
𝑘
)
=
𝑚2 𝑔
𝑘2 𝑙𝑛 (
𝑚 𝑔
( 𝑣0 𝑘 + 𝑚𝑔)
) − (
𝑚𝑣0
𝑘
+
𝑚2 𝑔
𝑘2
) (
𝑚 𝑔
( 𝑣0 𝑘 + 𝑚𝑔)
) + (
𝑚𝑣0
𝑘
+
𝑚2 𝑔
𝑘2
)
=
𝑚2 𝑔
𝑘2 𝑙𝑛 (
𝑚 𝑔
( 𝑣0 𝑘 + 𝑚𝑔)
) + (1 −
𝑚 𝑔
( 𝑣0 𝑘 + 𝑚𝑔)
)(
𝑚𝑣0
𝑘
+
𝑚2 𝑔
𝑘2
)
𝑦 𝑚𝑎𝑘𝑠 =
𝑚2 𝑔
𝑘2 𝑙𝑛 (
𝑚 𝑔
( 𝑣0 𝑘 + 𝑚𝑔)
) + (1 −
𝑚 𝑔
( 𝑣0 𝑘 + 𝑚𝑔)
) (
𝑚𝑣0
𝑘
+
𝑚2 𝑔
𝑘2
)
=
(0.02)2(10)
(0.1)2 𝑙𝑛 (
(0.02)(10)
((20)(0.1) + (0.02)10)
)
+ (1−
(0.02)(10)
((20)(0.1) + (0.02)10)
) (
0.02(20)
0.1
+
(0.02)2(10)
(0.1)2
)
=
0.004
0.01
𝑙𝑛 (
0.2
2.2
) + (1 −
0.2
2.2
)(4 + 0.4)
= 0.4(−2.407)+ (0.8)(4.4)
= −0.9628 + 3.52
= 2,577 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟
𝑡 𝑑𝑖 𝑢𝑑𝑎𝑟𝑎 = 2(−
m
k
𝑙𝑛 (
𝑚 𝑔
( 𝑣0 𝑘 + 𝑚𝑔)
)
= 2 {−
0.02
0.1
ln (
(0.02)(10)
((20)(0.1)+ (0.02)10)
)} = 2(−0.2)(−2.407)
= 0.9628 𝑠𝑒𝑘𝑜𝑛

5. 2. Benda 100 g digantungkan pada pegas yang konstantanya 8,1 N/m. Benda
disimpangkan 6 cm ke bawah kemudian dilepaskan. Apabila sistem berada dalam
medium sehingga benda mengalami redaman/gesekan 1,8 kali kecepatannya,
tentukan a) simpangan benda sebagai fungsi waktu; b) simpangan benda 3s setelah
dilepaskan.
Penyelesaian :
Diketahui : Massa benda (m) = 100 gram = 0,1 kg
Konstanta (k) = 8,1 N/m
Simpangan (Xo) = 6 cm = 0,06 m
Redaman (b) = 1,8 v
Kecepatan (𝑣 𝑜) = 0
Ditanyakan :
a. Simpangan benda sebagai fungsi waktu
b. Simpangan benda 3s setelah dilepaskan
Jawab :
a. Simpangan benda sebagai fungsi waktu
𝜔 𝑜 = √
𝑘
𝑚
= √
8,1
0,1
= √81 = 9
𝛾 =
𝑏
2𝑚
=
1,8
2(0,1)
=
1,8
0,2
= 9
Menentukan jenis osilasinya : 𝛾2
...... 𝜔 𝑜
2
81 = 81
Karena 𝜔 𝑜
2
= 𝛾2
maka terjadi osilasi Teredam Kritis :
𝑚
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑘 x = 0
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
+
𝑏
𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑘
𝑚
x = 0
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
+
1,8
0,1
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
8,1
0,1
x = 0
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
+ 18
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 81x = 0

6. 𝐷2
+ 18𝐷 + 81 = 0
Kemudian dicari akar-akarnya :
𝐷12 =
−18 ± √324 − 4.1.81
2.1
𝐷12 =
−18 ± √0
2
𝐷12 =
−18
2
𝐷12 = −9
solusi umum persamaan teredam kritis :
𝑥(𝑡) =( 𝐴𝑡 + 𝐵) 𝑒−9𝑡
Saat t = 0; v = 0,06 :
𝑥(𝑡) =( 𝐴𝑡 + 𝐵) 𝑒−9𝑡
0,06 =( 𝐴. 0 + 𝐵) 𝑒−9.0
0,06 =(0 + 𝐵). 1
𝐵 =0,06
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑( 𝐴𝑡 + 𝐵) 𝑒−9𝑡
𝑑𝑡
= 𝐴𝑒−9𝑡
− 9( 𝐴𝑡 + 𝐵) 𝑒−9𝑡
Saat t = 0; v = 0 :
𝑣 = 𝐴𝑒−9𝑡
− 9( 𝐴𝑡 + 𝐵) 𝑒−9𝑡
0 = 𝐴𝑒−9.0
− 9( 𝐴. 0 + 𝐵) 𝑒−9.0
0 = 𝐴 − 9(0 + 𝐵). 1
0 = 𝐴 − 9𝐵
𝐴 = 9𝐵
𝐴 = 0,06(9) = 0,54
Jadi simpangan benda sebagai fungsi waktu adalah :
𝑥(𝑡) =(0,54𝑡 + 0,06) 𝑒−9𝑡

7. y − y1
y2 − y1
=
x − x1
x2 − x1
y − 4
2− 4
=
x − 2
0 − 2
y− 4
−2
=
x − 2
−2
y− 4 = x − 2
y = x + 2
b. Simpangan benda 3s setelah dilepaskan
𝑥( 𝑡) =(0,54𝑡 + 0,06) 𝑒−9𝑡
=(0,54(3) + 0,06) 𝑒−9.3
=(1,62+ 0,06) 𝑒−27
=(1,68)(1,879𝑥10−12)
= 3,1576𝑥10−12
meter
3. Tunjukkan kebenaran theorema green untuk menghitung ∮ y2
dx + xydy pada
lintasan seperti pada gambar
Cara 1 Theorema Green
∮ P dx+ Q dy = ∫∫
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dxdy

8. ∮ y2
dx + xydy = ∫ ∫
∂xy
∂x
−
∂y2
∂y
dydx
x+2
y=x2
2
0
= ∫ ∫ y − 2y
x+2
y=x2
2
0
dydx
= ∫ ∫ −y
x+2
y=x2
2
0
dydx
= −1 ∫ [
1
2
y2
]
x2
x+22
0
dx
= −1 (
1
2
)∫ ((x + 2)(x + 2) − (x2)2
)
2
0
dx
= −
1
2
∫ (x2
+ 4x + 4 − x4)
2
0
dx
= −
1
2
([−
1
5
x5
+
1
3
x3
+ 2x2
+ 4x]
0
2
)
= −
1
2
(−
32
5
+
8
3
+ 8 + 8)
= −
1
2
(−
96
15
+
46
15
+ 16)
= −
1
2
(−
56
15
+
240
15
)
= −
1
2
(
184
15
)
= −
92
15

9. Cara 2 Integral Terbuka
𝑊 = W1 + W2 + W3
1. W1
Dari (0,0) ke (2,4)
y = x2
dy
= 2xdx
W1 = ∫ y2
dx+ xydy
= ∫ (x2)2
dx + x. x2
.2x dx
2
0
= ∫ x4
dx+ 2x4
dx
2
0
= ∫ 3x4
2
0
= [
3
5
𝑥5
]
0
2
=
96
5
2. W 2
Dari (2,4) ke (0,2)
y − y1
y2 − y1
=
x − x1
x2 − x1
y − 4
2− 4
=
x − 2
0 − 2
y− 4
−2
=
x − 2
−2
y− 4 = x − 2
y = x + 2
dy = dx
W2 = ∫ y2
dx + xydy
= ∫ (x + 2)2
dx + x (x+ 2)dx
0
2
= ∫ (x + 2)(x + 2)dx + x (x + 2)dx
0
2
= ∫ x2
+ 4x+ 4 + x2
+ 2x dx
0
2
= ∫ 2x2
+ 6x + 4
0
2
= [
2
3
𝑥3
+ 3𝑥2
+ 4𝑥]
2
0
= 0 − (
16
3
+ 12 + 8) = −
76
3

10. 3. W 3
Dari (0.2) ke (0,0)
x = 0 dx = 0
W3 = ∫ y2
dx + xydy
= ∫ y2
.0 + 0. ydy
= 0
𝑊 𝑡𝑜𝑡 =W1 + W2 + W3
=
96
5
−
76
3
=
288
15
−
380
15
= −
92
15
Hasil Cara 1 (Teorema Green) = Hasil Cara 2 (Integral Terbuka)
Terbukti

11. 4. Jika 𝐹1 = 2𝑥 𝑖 − 2𝑦𝑧 𝑗− 𝑦2
𝑘 dan 𝐹2 = 𝑦 𝑖 − 𝑥 𝑗. Tentukan :
a. Gaya manakah yang konservatif ?
b. Tentukan tenaga potensial dari gaya yang konservatif
c. Tentukan usaha yang dilakukan oleh gaya non konservatif untuk memindahkan
benda dari titik (0,0) ke titik (4,2) melalui lintasan berikut :
Penyelesaian :
Diketahui :
𝐹1 = 2𝑥 𝑖 − 2𝑦𝑧 𝑗 − 𝑦2
𝑘
𝐹2 = 𝑦 𝑖 − 𝑥 𝑗
Ditanyakan :
a. Gaya manakah yang konservatif ?
𝐹1 = 2𝑥 𝑖 − 2𝑦𝑧 𝑗 − 𝑦2
𝑘
∇x𝐹1 = ||
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
2𝑥 −2𝑦𝑧 −𝑦2
||
= 𝑖(−2𝑦 − (−2𝑦)) + 𝑗(0 − 0) + 𝑘(0 − 0)
= 0
𝐹2 = 𝑦 𝑖 − 𝑥 𝑗
∇x𝐹2 = ||
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑦 −𝑥 0
||
= 𝑖(0 − 0) + 𝑗(0 − 0) + 𝑘(−1 − 1)
= -2k
Jadi yang merupakan gaya konservatif adalah 𝐹1 = 2𝑥 𝑖 − 2𝑦𝑧 𝑗 − 𝑦2
𝑘

12. b. Tenaga potensial dari gaya yang konservatif
F = −∇ 𝑥 𝐹
2𝑥 𝑖 − 2𝑦𝑧 𝑗 − 𝑦2
𝑘 = −𝑖
𝜕
𝜕𝑥
− 𝑗
𝜕
𝜕𝑦
− 𝑘
𝜕
𝜕𝑧
𝜕𝑉
𝜕𝑥
= −2𝑥 ;
𝜕𝑉
𝜕𝑦
= 2𝑦𝑧 ;
𝜕𝑉
𝜕𝑧
= 𝑦2
(i)
𝜕𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)
𝜕𝑦
= 2𝑦𝑧
V = ∫2𝑦𝑧 𝑑𝑦
V = 𝑦2
𝑧 + 𝑎( 𝑥, 𝑧)
(ii)
𝜕𝑉( 𝑥,𝑦,𝑧)
𝜕𝑧
=
𝜕( 𝑦2 𝑧+𝑎( 𝑥,𝑧))
𝜕𝑧
= 𝑦2
𝑦2
+
𝜕(𝑎( 𝑥, 𝑧))
𝜕𝑧
= 𝑦2
𝜕( 𝑎( 𝑥,𝑧))
𝜕𝑧
= 0
𝑎( 𝑥, 𝑧) = 𝑏(𝑥)
(iii)
𝜕𝑉( 𝑥,𝑦,𝑧)
𝜕𝑥
=
𝜕( 𝑦2 𝑧+𝑏( 𝑥))
𝜕𝑥
= −2𝑥
0 +
𝜕(𝑏( 𝑥))
𝜕𝑥
= −2𝑥
𝜕(𝑏( 𝑥))
𝜕𝑥
= −2𝑥
𝑏( 𝑥) = ∫2𝑥 𝑑𝑥
𝑏( 𝑥) = −𝑥2
Jadi tenaga potensial dari gaya konservatif 𝐹1 = 2𝑥 𝑖 − 2𝑦𝑧 𝑗 − 𝑦2
𝑘 adalah 𝑉 =
𝑦2
𝑧−𝑥2

13. c. Usaha yang dilakukan oleh gaya 𝐹2 = 𝑦 𝑖 − 𝑥 𝑗 untuk memindahkan benda dari
titik (0,0) ke titik (4,2).
a. Lintasan a (posisi bawah)
 Lintasan 1 melalui (0,0) ke (1,0)
y = 0 dy = 0
W1= ∫ 𝐹⃗. 𝑑𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ = ∫( 𝑦𝑖 − 𝑥𝑗).( 𝑖 𝑑𝑥 + 𝑗 𝑑𝑦)
= ∫ 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦
= ∫ (0) 𝑑𝑥 − 𝑥(0)
𝑥=1
𝑥=0
= ∫ 0 − 0
𝑥=1
𝑥=0
= 0
 Lintasan 2 melalui (0,0) ke (4,2)
𝑥 = 𝑦2
maka dx = 2y dy
Wc = ∫( 𝑦𝑖 − 𝑥𝑗). ( 𝑖 𝑑𝑥 + 𝑗 𝑑𝑦)
= ∫ 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦
= ∫ 𝑦(2𝑦 𝑑𝑦) − 𝑦2
𝑦=2
𝑦=0
𝑑𝑦
= ∫ 𝑦2
𝑦=2
𝑦=0
𝑑𝑦 = (
𝑦3
3
)
0
2
=
8
3

14. Jadi usaha totalnya : W = W1 + W2 = 0 +
8
3
=
8
3
b. Lintasan b (posisi atas)
 Lintasan melalui (1,0) ke (4,2)
𝑦 − 𝑦1
𝑥 − 𝑥1
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑦 − 0
𝑥 − 1
=
2 − 0
4 − 1
𝑦
𝑥 − 1
=
2
3
𝑦 =
2
3
(𝑥 − 1)
𝑦 =
2
3
𝑥 −
2
3
𝑑𝑦 =
2
3
𝑑𝑥
Wb= ∫( 𝑦𝑖 − 𝑥𝑗). ( 𝑖 𝑑𝑥 + 𝑗 𝑑𝑦)
= ∫ 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦
= ∫ (
2
3
𝑥 −
2
3
) 𝑑𝑥 − 𝑥 (
2
3
𝑑𝑥)
𝑥=4
𝑥=1
= ∫
2
3
𝑥 −
2
3
𝑑𝑥 −
2
3
𝑥𝑑𝑥
𝑥=4
𝑥=1
= ∫ −
2
3
𝑑𝑥
𝑥=4
𝑥=1
= (−
2
3
𝑥)
1
4
= −
2
3
(4) +
2
3
(1)
= −
8
3
+
2
3
= −
6
3
= −2
Jadi usaha totalnya : W = -2