Himpunan fungsi-fungsi yang ada pada kita sekarang terdiri atas apa yang dinamakan fungsi-fungsi elementer, yaitu fungsi konstanta, fungsi pangkat, fungsi logaritma dan fungsi eksponen, fungsi trigonometri dan bahkan fungsi trigonometri kebalikan, berikut fungsi-fungsi yang di peroleh dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan komposisi.

1. 8.1 PENGINTEGRALAN DENGAN SUBSTITUSI
Himpunan fungsi-fungsi yang ada pada kita sekarang terdiri atas apa yang dinamakan
fungsi-fungsi elementer, yaitu fungsi konstanta, fungsi pangkat, fungsi logaritma dan fungsi
eksponen, fungsi trigonometri dan bahkan fungsi trigonometri kebalikan, berikut fungsi-fungsi
yang di peroleh dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan komposisi.
Jadi,
F(x) =
푒푥+ 푒−푥
2
= cosh x
g(x) = (1 + cos4 x)1/2
h(x) =
3푥2−2푥
ln (푥2+ 1)
- sin [cos(cosh x)]
adalah fungsi elementer.
Pendiferensialan suatu fungsi elementer dapat di lakukan langsung dengan aturan-aturan
yang dapat kita kenal. Hasilnya selalu fungsi elementer. Pengintegralan(anti
pendiferensial) adalah persoalan yang berbedasekali. Iamelibatkan sedikit teknik dan banyak
sekali akal; lebih celaka lagi hasilnya bukan selalu fungsi elementer. Misalnya telah kita ketahui
bahwa antiturunan 푒−푥2 dan (sin x)/x bukan fungsi-fungsi elementer.
SUBSTITUSI DALAM INTEGRAL TAK-TENTU
Andaikan menghadapi suatu integral tak tentu. Apabilaa ini bentuk baku, segera
dapatlah ditulis hasilnya. Apabila tidak carilah sebuah subsitusi yang akan mengubah menjadi
suatu bentuk baku. Apabila pada susitusi pertama anda tidak berhasil memperoleh bentuk
baku, anda dapat mencoba dengan cara lain.
Kelompok 8 1

2. Metode subsitusi ini didasarkan pada teorema 5.8A
1.∫ 푘 푑푢 = 푘푢 + 퐶 2. ∫ 푢푟 푑푢 = {
3.∫ 푒푢 푑푢 = 푒푢 + 퐶 4.∫ 푎푢푑푢 =
5.∫ sin 푢 푑푢 = − cos 푢 + 퐶 6.∫ cos 푢 푑푢 = sin 푢 + 퐶
7.∫ 푠푒푐2 푢 푑푢 = tan 푢 + 퐶 8.∫ 푠푐푠2 푢 푑푢 = − cot푢 + 퐶
9.∫ sec 푢 tan 푢 푑푢 = sec 푢 + 퐶 10.∫ csc 푢 cot푢 푑푢 = − csc 푢 + 퐶
11.∫ tan 푢 푑푢 = − ln 퐼푐표푠 푢퐼 + 퐶 12.∫ cot푢 푑푢 = ln 퐼푠푖푛 푢퐼 + 퐶
13.∫
푑푢
푢
= 푠푖푛−1 √푎2+ 푢2 푎
15.∫
푑푢
푢√푢2+ 푎2 =
Teorema A
Konstanta, pangkat
푢푟
푟+1
r ≠ −1
ln 퐼푢퐼 + 퐶 푟 = −1
Eksponen
푎푢
ln 푎
+ 퐶, 푎 ≠ 1, 푎 > 0
Fungsi Trigonometri
Fungsi Aljabar
+ C 14.∫
푑푢
푎2+ 푢2 =
1
푎
푢
푎
푡푎푛−1 (
) + 퐶
1
푎
퐼푢퐼
푎
푠푒푐−1 (
) + 퐶 =
1
푎
푐표푠−1 (
푎
퐼푢퐼
) + 퐶
(substitusi). Untuk menentukan ∫ 푓(푥)푑푥, kita dapat mensubstitusi 푢 = 푔(푥), dengan g fungsi
yang dapat diintegralkan. Apabila substitusi itu mengubah 푓(푥)푑푥 menjadi ℎ(푢)푑푢 dan apabila
퐻 sebuah antiturunan ℎ, maka
∫ 푓(푥)푑푥 = ∫ ℎ(푢) + 퐶 = 퐻(푔(푥)) + 퐶
Kelompok 8 2

3. Contoh 1
Tentukan ∫
푥
cos2(푥2)
푑푥
Penyelesaian: Perhatikan integral tersebuat sejenak. Anda akan teringat pada bentuk baku
∫ 푠푒푐2 푢 푑푢. andaikan 푢 = 푥2, 푑푢 = 2푥 푑푥. maka
∫
푥
푐표푠2(푥)
푑푥 =
1
2
∫
1
푐표푠2(푥2)
. 2푥 푑푥 =
1
2
∫ 푠푒푐2 푑푢
=
1
2
tan 푢 + 퐶 =
1
2
tan(푥2) + 퐶
Contoh 2
Tentukan ∫
3
√5−9푥2 푑푥
Penyelesaian: Ingatlah bentuk ∫
푑푢
√푎2−푢2 andaikan 푢 = 3푥, 푚푎푘푎 푑푢 = 3 푑푥
Sehingga ∫
3
√5−9푥2 푑푥 = ∫
1
√5−푢2 푑푢 = 푠푖푛−1 (
푢
√5
) + 퐶
3푥
√5
푠푖푛−1 (
) + 퐶
Contoh 3
Hitunglah ∫
6푒1/푥
푥2 푑푥 = −6 ∫ 푒1/푥 (
−1
푥2 푑푥) = −6 ∫ 푒푢푑푢
= −6푒푢 + 퐶 = −6푒푢 + 퐶
Contoh 4
Tentukan ∫
푒푥
4+9푒2푥 푑푥
Penyelesaian ingat∫
1
푎2+ 푢2 푑푢. 퐴푛푑푎푖푘푎푛 푢 =
1
푥
푚푎푘푎 푑푢 = 3푒푥 푑푥. 푆푒ℎ푖푛푔푔푎
∫
푒푥
4 + 9푒2푥 푑푥 =
1
3
∫
1
4 + 9푒2푥 (3푒푥 ) =
1
3
∫
1
4 + 푢2 푑푢
=
1
3
.
1
2
푡푎푛−1 (
푢
2
) + 퐶 =
1
6
3푒푥
2
푡푎푛−1 (
) + 퐶
Kelompok 8 3

4. tidak ada hukum yang mengharuskan anda menggunakan substitusi-u. Bila anda dapat
melakukan tanpa penggantian, lakukanlah. Dibawah ini ada dua contoh yang kita maksudkan.
Contoh 5
Tentukanlah ∫ 푥3 √푥4 + 11푑푥
Penyelesaian dalam ingatan, gantilah 푢 = 푥4 + 11
∫ 푥3√푥4 + 11푑푥 =
1
4
∫(푥4 + 11)
1
2(4푥3푑푥)
=
1
4
∫(푥4)
1
2 푑(푥4 + 11) =
1
6
(푥4 + 11)
3
2 + 퐶
Contoh 6
Tentukan ∫
푎푡푎푛 푡
푐표푠2푡
푑푡.
Penyelesaian dalam ingatan, gunakan substitusi 푢 = 푡푎푛 푡
∫
푎푡푎푛푡
푐표푠2 푡
푑푡 = ∫ 푎푡푎푛 푡 푠푒푐2푡 푑푡
= ∫ 푎푡푎푛푡 푑(푡푎푛 푡) =
푎푡푎푛 푡
푙푛 푎
+ 퐶
MENGUBAH-UBAH INTEGRAN
Sebelum mengunakan sesuatu subsitusi, kerapkali kita perlu menulis integran dalam bentuk
yang lebih cocok.
Contoh 7
Tentukan ∫
7
푥2−6푥+25
푑푥
Kelompok 8 4

5. Penyelesaian : Suatu integran yang penyebutnya berbentuk suatu kuadrat kerap kali dapat
diubah menjadi bentuk baku setelah melengkapkannya menjadi sebuah kuadrat. Ingat bahwa
푏
2
푥2 + 푏푥 menjadi suatu kuadrat dengan menambahkan (
2
.
)
∫
7
푥2 − 6푥 + 25
푑푥 = ∫
7
푥2 − 6푥 + 9 + 16
푑푥
= 7 ∫
1
(푥 − 3)242 푑(푥 − 3)
=
7
4
tan−1 (
푥−3
4
) + 푐
Dalam fikiran, kita gunakan substitusi 푢 = 푥 − 3
Contoh 8
Tentukan ∫
푥2−푥
푥+1
푑푥
Penyelesaian : Apabila integran hasil bagi dua suku banyak (yaitu suatu fungsi rasional) dan
derajat pembilang sama atau melebihi derajat penyebut, lakukanlah pembagian pembilang oleh
penyebut terlebih dahulu (Gambar 1)
푥2−푥
푥+1
= 푥 − 2 +
2
푥+1
Sehingga :
∫
푥2−2
푥 +1
푑푥 = ∫(푥 − 2)푑푥 + 2 ∫
1
푥+1
푑푥
=
푥2
2
− 2푥 + 2 ∫
1
푥+1
푑(푥 + 1)
=
푥2
2
− 2푥 + 2ln|푥 + 1| + 푐
x +1 x2 - x
Contoh 9.
x - 2
x2 + x
-2x
-2x – 2
2
Tentukan ∫ sec 푥 푑푥
Penyelesaian : Perubahan – perubahan yang kita lakukan dalam integral pada contoh 7 dan 8
tampak masuk akal, dan dapat dipahami, tetapi contoh 9 ini agak lain, seperti yang terlihat
dibawah ini:
Kelompok 8 5

6. ∫ sec 푥 푑푥 = ∫ sec 푥
sec 푥+ tan 푥
sec 푥+ tan 푥
푑푥
= ∫
푠푒푐2푥+ sec 푥 tan 푥
sec 푥+tan 푥
푑푥
= ∫
1
sec 푥+tan 푥
푑(sec 푥 + tan 푥)
= ln |sec 푥 + tan 푥| + 푐
SUBSTITUSI DALAM INTEGRAL TENTU
Topik ini telah dibahas dalam pasal 5.8 substitusi dalam integral tentu seperti substitusi dalam
integral tak tentu, tetapi kita tidak boleh lupa untuk mengubah batas – batas pengintegralan
seperlunya.
Contoh 10.
5
2 푑푡.
Tentukan ∫ 푡 √푡2 − 4
Penyelesaian : andaikan 푢 = 푡2 − 4, dengan demikian 푑푢 = 2푡 푑푡 ; perhatikan bahwa u = 0 jika
t = 2 dan u = 21 jika t = 5. Jadi,
5
2 푑푡 =
∫ 푡√푡2 − 4
1
2
5
2
∫ (푡2 − 4)
1
2 ( 2푡 푑푡)
=
1
2
21
∫ 푢
1
2 푑푢
0
1
3
= [
푢
3
2]0
21 =
1
3
(21)
3
2 ≈ 32,08
PENGGUNAAN DAFTAR INTEGRAL
Daftar bentuk baku kita sangat pendek (hanya 15 rumus); daftar yang ada pada halaman –
halaman terakhir buku ini mengandung lebih banyak bentuk baku (ada 113 rumus) dan lebih
banyak manfaatnya. Perhatikan bahwa integral – integral disitu dikelompokkan menurut
berbagai jenis. Kita beri contoh penggunaan daftar itu.
Contoh 11.
휋
2
0
Tentukan ∫ √6푥 − 푥2 푑푥 dan ∫ (cos 푥) √6 sin 푥 − 푠푖푛2푥 푑푥.
Kelompok 8 6

7. Penyelesaian : kita gunakan rumus 102 dengan a = 3.
∫ √6푥 − 푥3 푑푥 =
푥 − 3
2
√6푥 − 푥2 +
9
2
sin−1 (
푥 − 3
3
) + 푐
Dalam integral kedua andaikan 푢 = sin 푥, sehingga 푑푢 = cos 푥 푑푥. maka
1
휋
2
∫ cos 푥 √6 sin 푥 − 푠푖푛2푥 푑푥 = ∫ √6푢 − 푢2 푑푢
0
0
= [
푢 − 3
2
√6푢 − 푢2 +
9
2
푢 − 3
sin−1(
3
)]0 1
= − √5 +
9
2
−2
3
sin−1(
) −
9
2
sin−1(−1)
≈ 1,55
Daftar integral baku yang lebih luas dapat ditemukan diperpustakaa. Salah satu yang terkenal
ialah “ satndart mathematical tables” yang diterbitkan oleh “ Chemical Rubber Company”.
8.2 BEBERAPA INTEGRAL TRIGONOMETRI
Apabila kita menggunakan metode penggantian dan dibarengi dengan pemakaian kesamaan
trigonometri yang tepat, maka kita dapat mengintegralkan banyak bentuk trigonometri. Kita
perhatikan terlebih dahulu lima jenis integral yang sering muncul.
1. ∫ 푠푖푛n 푥 푑푥 푑푎푛 ∫ 푐표푠n 푥 푑푥
2. ∫ 푠푖푛m 푥 푐표푠n 푥 푑푥
3. ∫ 푡푎푛n 푥 푑푥 dan ∫ 푐표푡n 푥 푑푥
4. ∫ 푡푎푛m 푥 푠푒푐n 푥 푑푥 dan ∫ 푐표푡m 푥 푐푠푐n 푥 푑푥
5. ∫ sin 푚푥 cos 푛푥 푑푥, ∫ sin 푚푥 sin 푛푥 푑푥, ∫ cos 푚푥 cos 푛푥 푑푥
JENIS 1 (∫ 풔풊풏n 풙 풅풙,∫ 풄풐풔n 풙 풅풙)
Perhatikan pertama apabila n bilangan bulat ganjil dan positif. Setelah kita mngeluarkan faktor
sin x atau cos x, gunakan kemudian kesamaan sin2 x + cos2 x = 1.
Contoh 1 (n ganjil).
Tentukan ∫ 푠푖푛5 푥 푑푥
Kelompok 8 7

8. Penyelesaian :
∫ 푠푖푛5 푥 푑푥 = ∫ 푠푖푛4 푥 sin 푥 푑푥
= ∫(1 − 푐표푠2 푥)2 sin 푥 푑푥
= ∫(1 − 2 푐표푠2 푥 + 푐표푠4 푥) sin 푥 푑푥
= ∫(1 − 2 푐표푠2 푥 + 푐표푠4 푥)푑(cos 푥)
= - cos x +
2
3
cos3 x -
1
5
cos5 x + C
Apabila n positif genap, kita gunakan rumus setengah sudut
Sin2 x =
1−cos2푥
2
, cos2 x =
1+cos2푥
2
Contoh 2 (n genap).
Tentukan ∫ 푠푖푛2 푥 푑푥 dan ∫ 푐표푠4 푥 푑푥
Penyelesaian :
∫ 푠푖푛2 푥 푑푥 = ∫
1−cos2푥
2
푑푥
=
1
2
∫ 푑푥 −
1
4
∫(cos 2푥) (2)푑푥
=
1
2
∫ 푑푥 −
1
4
∫ cos 2푥 푑(2푥)
=
1
2
푥 −
1
4
sin 2푥 + 퐶
∫ 푐표푠4 푥 푑푥 = ∫ (
1+cos2푥
2
2
푑푥
)
=
1
4
∫(1 + 2 cos 2푥 + 푐표푠2 2푥) 푑푥
=
1
4
∫ 푑푥 +
1
4
∫(cos 2푥) (2)푑푥 +
1
8
∫(1 + cos 4푥) 푑푥
=
3
8
∫ 푑푥 +
1
4
∫ cos 2푥 푑(2푥)+
1
32
∫ cos 4푥 푑(4푥)
=
3
8
푥 +
1
4
sin 2푥 +
1
32
sin 4푥 + 퐶
Kelompok 8 8

9. JENIS 2 (∫ 퐬퐢퐧풎 풙 퐜퐨퐬풏 풙 풅풙).
Apabila m atau n ganjil positif sedangkan eksponen yang lain bilangan sebarang, kita keluarkan
sin 푥 atau cos 푥 dan menggunakan kesamaan sin2 푥 + cos2 푥 = 1.
Contoh 3 (m atau n ganjil)
Tentukan ∫ sin3 푥 cos−4 푥 푑푥
Penyelesaian
∫ sin3 푥 cos−4 푥 푑푥 = ∫(1 − cos2 푥)(cos−4 푥) sin 푥 푑푥
= − ∫(cos−4 푥 − cos−2 푥)푑(cos 푥)
= − [
(cos 푥)−3
−3
−
(cos 푥)−1
−1
] + 퐶
=
1
3
sec 3 푥 − sec 푥 + 퐶
Contoh 4 (m dan n genap)
Tentukan ∫ sin3 푥 cos−4 푥 푑푥
Penyelesaian
1 − cos 2푥
∫ sin3 푥 cos−4 푥 푑푥 = ∫ (
2
) (
1 + cos 2푥
2
2
푑푥
)
=
1
8
∫(1 + cos 2푥 − cos2 2푥 − cos3 2푥)푑푥
=
1
8
∫ [1 + cos 2푥 −
1
2
(1 + cos 4푥) − (1 − sin2 2푥) cos 2푥] 푑푥
=
1
8
∫ [
1
2
−
1
2
cos 4푥 + sin2 2푥 cos 2푥] 푑푥
=
1
8
[∫
1
2
푑푥 −
1
8
∫ cos 4푥 푑(4푥) +
1
2
∫ sin2 2푥 푑(sin 2푥)]
Kelompok 8 9

10. =
1
8
[
1
2
푥 −
1
8
sin 4푥 +
1
6
sin3 2푥] + 퐶
JENIS 3 (∫ 퐭퐚퐧풏 풙 풅풙, ∫ 퐜퐨퐭 풏 풙 풅풙)
Dalam kasus tangen, keluarkan faktor tan2 푥 = sec 2 푥 − 1 ; dalam kasus kotangen, keluarkan
faktor cot2 푥 = csc 2 푥 − 1
Contoh 5
Tentukan ∫ 푐표푡4 x dx
Penyelesaian
∫ 푐표푡4 x dx = ∫ 푐표푡2 x (csc2 x – 1) dx
= ∫ 푐표푡2 x csc2 x dx - ∫ 푐표푡2 x dx
= - ∫ 푐표푡2 x d(cot x) – ∫(푐푠푐2 x – 1) dx
= -
1
3
cot3 x + cot x + x + c
Contoh 6
Tentukan ∫ tan5 푥 푑푥.
Penyelesaian
∫ Tan5 푥 푑푥 = ∫ tan3 푥 (sec 2푥 − 1)
= ∫ tan3 푥 sec 2 푥 푑푥 − ∫ tan3 푥 푑푥
= ∫ tan3 푥 푑(tan 푥) − ∫ tan 푥 (sec 2 − 1)푑푥
= ∫ tan3 푥 푑(tan 푥) − ∫ tan 푥 푑(tan 푥) + ∫ tan 푥 푑푥
=
1
4
tan4 푥 −
1
2
tan2푥 − ln|cos푥| + 퐶
Kelompok 8 10

11. JENIS 4 (∫ 퐭퐚퐧풎 풙 퐬퐞퐜풏 풙 풅풙,∫ 퐜퐨퐭 풎 풙 퐜퐬퐜풏 풙 풅풙)
Contoh 7 (n genap, m sebarang).
Tentukan ∫ tan−3⁄2 푥 sec4푥 푑푥
Penyelesaian
∫ Tan−3⁄2 푥 sec4 푥 푑푥 = ∫(tan−3⁄2 푥) (1 + tan2 푥) sec2푥 푑푥
= ∫(tan−3⁄2 푥) sec2 푥 푑푥 +∫(tan1⁄2 푥) sec2 푥 푑푥
= −2 tan−1/2 푥 + 2
3
tan3/2 푥 + 퐶
Contoh 8 (m ganjil, n sebarang).
Tentukan ∫ tan3 푥 sec −1/2 푥 푑푥
Penyelesaian
∫ Tan3 푥 sec −1/2 푥 푑푥 = ∫(tan2 푥) (sec −3/2 푥)(sec 푥 tan 푥)푑푥
= ∫(sec 2 푥 − 1) sec −3/2 푥 푑(sec 푥)
= ∫ sec 1/2 푥 푑(sec 푥) − ∫ sec −3/2 푥 푑(sec 푥)
=
2
3
sec 3/2 푥 + 2 sec −1/2 푥 + 퐶
JENIS 5 (∫ 퐬퐢퐧 풎풙 퐜퐨퐬 풏풙 풅풙,∫ 퐬퐢퐧 풎풙퐬퐢퐧 풏풙 풅풙,∫ 퐜퐨퐬 풎풙 퐜퐨퐬 풏풙 풅풙).
Integral jenis ini digunakan dalam teori arus listrik bolak-balik, teori perpindahan panas, dan
dalam teori-teori yang menggunakan deret Fourier. Untuk menyelesaikan integral tersebut kita
gunakan kesamaan berikut.
sin 푚푥 cos 푛푥 = 1
[sin(푚 + 푛)푥 + sin(푚 − 푛)푥]
2
sin 푚푥 sin 푛푥 = −1
[cos(푚 + 푛)푥 − cos(푚 − 푛)푥]
2
Kelompok 8 11

12. cos 푚푥 cos 푛푥 = 1
[cos(푚 + 푛)푥 + cos(푚 − 푛)푥]
2
Contoh 9
Tentukan ∫ sin 2푥 cos 3푥 푑푥
Penyelesaian
∫ sin 2푥 cos 3푥 푑푥 = 1
2
∫[sin 5푥 sin(−푥)] 푑푥
= 1
10
∫ sin 5푥 푑(5푥) − 1
2
∫ sin(−푥) 푑푥
= − 1
10
cos 5푥 + 1
2
cos 푥 + 퐶
Contoh 10
Apabila m dan n bilangan positif buktikan bahwa
휋
−휋 푑푥 = {
∫ sin 푚푥 sin 푛푥
0 jika n ≠ m
휋 jika n = m
Penyelesaian jika n ≠ m
휋
∫ sin 푚푥 sin 푛푥
−휋
푑푥 = −
1
2
휋
∫ [cos(푚 + 푛)푥 − cos(푚 − 푛)푥]
−휋
푑푥
= −
1
2
[
1
푚 + 푛
sin(푚 + 푛)푥 −
1
푚 − 푛
sin(푚 − 푛)푥]
휋
−휋
= 0
Jika n = m
휋
∫ sin 푚푥 sin 푛푥
−휋
푑푥 = −
1
2
휋
∫ [cos 2푚푥 − 1]
−휋
푑푥
= −
1
2
[
1
2푚
sin 2푚푥 − 푥]
휋
−휋
=
1
2
[−2휋] = 휋
Kelompok 8 12