Makalah ini membahas logika matematika, khususnya konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Diuraikan definisi dan contoh setiap konsep beserta penjelasan tabel kebenaran masing-masing. Tujuan makalah ini adalah agar pembaca memahami kebenaran suatu pernyataan yang menggunakan kata penghubung tersebut.

1. KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha
Esa, karena tuntunan-Nya sehingga makalah ini bisa terselesaikan tepat
pada waktunya.
Dengan tersusunnya makalah yang berisi tentang logika
matematika, dengan pembahasannya yaitu mengenai konjungsi,
disjungsi, implikasi dan biimplikasi, merupakan suatu bahan kajian bagi
kalangan pelajar untuk lebih memahami hal-hal tersebut.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang
telah membantu, terutama dosen pembimbing mata kuliah yang selalu
memberikan arahan kepada penulis.
Dengan segala kerendahan hati, penulis sangat mengharapkan
kritik & sarannya yang bersifat membangun, agar penulis dapat
menyusun makalah lebih baik lagi terima kasih.
Tondano, Mei 2013
Penulis
1 | L o g i k a M a t e m a t i k a

2. DAFTAR ISI
Hal
Kata Pengantar......................................................................................... 1
Daftar Isi................................................................................................... 2
...................................................................................................................
Daftar Tabel.............................................................................................. 3
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang................................................................................ 4
B. Tujuan……………………………………………………………………………..... 5
BAB II PEMBAHASAN
A. Konjungsi .................................................................................. 6
B. Disjungsi..................................................................................... 7
C. Implikasi.................................................................................... 9
D. Biimplikasi................................................................................. 12
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan................................................................................ 15
B. Latihan Soal............................................................................... 15
DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………………….. 16
2 | L o g i k a M a t e m a t i k a

3. DAFTAR TABEL
Hal
Tabel 1 : Tabel kebenaran konjungsi.................................................. 6
Tabel 2 : Tabel kebenaran disjungsi................................................... 8
Tabel 3 : Tabel kebenaran implikasi................................................... 10
Tabel 4 : Tabel kebenaran tautologi.................................................... 11
Tabel 5 : Tabel kebenaran kontradiksi............................................... 11
Tabel 6 : Tabel kebenaran implikasi logis.......................................... 12
Tabel 7 : Tabel kebenaran biimplikasi................................................ 13
Tabel 8 : Tabel kebenaran biimplikasi logis....................................... 13
3 | L o g i k a M a t e m a t i k a

4. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Belakangan ini, ilmu matematika telah berkembang pesat. Bukan
hanya sebatas hitung menghitung menggunakan skala statistik, nilai,
angka-angka real, kalkulus dan peluang. Akan tetapi, perkembangan ilmu
matematika juga terjadi didasarkan pada penalaran – penalaran yang
logis atas sistem matematis.
Penalaran yang dilakukan oleh para ahli matematik diperoleh atas
realita kehidupan yang nyata yang dirasakan oleh manusia.
Perkembangan dan aplikasi dan bagian matematik ini sangat dirasakan
oleh manusia di berbagai kehidupan. Penalaran inilah dalam bahasa
matematika sering disebut logika.
Logika merupakan suatu aktivitas manusia yang berkaitan dengan
penggunaan akal dan pikiran sehingga menghasilkan suatu penalaran
dengan kebenaran – kebenaran yang dapat dibuktikan secara matematis.
Meskipun tanpa perhitungan melalui angka-angka atau dengan statistik,
tetapi dapat diuji dan masuk akal akan kebenarannya.
Berbagai macam peralatan elektronik yang ada di sekitar kita,
merupakan contoh nyata dari kemampuan manusia dalam menerapkan
disiplin ilmu logika matematika di berbagai bidang kehidupan.
Diantaranya seperti listrik, komputer, televisi dan radio dikembangkan
atas dasar dan aturan logika matematika sederhana yang dibentuk dalam
sebuah rangkaian elektronik yaitu menggunakan rangkaian benar yang
biasanya dinyatakan dengan on dan off.
Berikut ini akan penulis uraiakan salah satu sub pokok kajian logika
matematika tentang konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi.
Kajian lokasi ini semua terlepas dari pernyataan – pernyataan yang
4 | L o g i k a M a t e m a t i k a

5. konkret. Biasanya pernyataan – pernyataan tersebut ditulis dengan huruf
p dan q dengan suatu ketentuan umum mengenai tabel kebenaran yang
biasa ditulis dengan huruf B dan pernyataan yang salah dengan huruf S
B. Tujuan
Kita dapat mengetahui kebenaran dari suatu pernyataan baik
mengenai benar dan salah yang memakai kata beberapa
penghubung yakni atau,dan,jika, dan hanya jika.
Sehingga dari kata penghubung tersebut kita mampu menerapkan
nilai kebenaran suatu pernyataan dalam kehidupan sehari-hari.
5 | L o g i k a M a t e m a t i k a

6. BAB II
PEMBAHASAN
A. Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan baru yang dinyatakan dari dua
pernyataan dengan kata hubung “dan”. Kalau tersebut dinotasikan
dengan ""∧ . Suatu pernyataan yang apabila kedua-duanya
memenuhi permintaan benar (B) maka jawabannya benar. Jika
tidak demikian maka salah. Misalnya : Alum dan Anton dipanggil
Kepala Sekolah. Apabila keduanya datang memenuhi panggilan
Kepala Sekolah berarti itu hal yang benar, dan salah apabila salah
satu diantara mereka yang memenuhi panggilan atau tidak sama
sekali.
Secara sederhana konjungsi dapat kita lihat contoh berikut ini :
p = Irwan anak yang pandai
q = Irwan anak yang rajin
p ∧ q = Irwan anak yang rajin dan sopan
Konjungsi dari pernyataan p dan q bernilai benar, apabila
komponen – komponen pembentukannya bernilai benar.
Sebaliknya bernilai salah, apabila salah satu komponen baik p atau
q bernilai salah atau kedua-duanya. Hal ini dapat dinyatakan
dengan tabel kebenaran berikut ini :
Tabel 1
p q p ∧ q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
6 | L o g i k a M a t e m a t i k a

7. Dari tabel di atas dapat kita ketahui bahwa pernyataan
konjungsi akan bernilai benar apabila p itu benar dan q juga benar.
Jika demikian berarti salah.
Kata penghubung konjungsi selain “dan” dapat pula diganti
dengan kata lain yang mempunyai arti sepadan atau sejajar dengan
“dan” diantaranya “tetapi, walaupun, sedangkan dan lagi pula”
misalnya
1. Alum wanita yang cantik, tetapi tidak sombong. Artinya Alum
wanita yang sangat cantik dan tidak sombong.
2. Walaupun sering dihina, tetapi Anton tidak pernah marah.
Artinya Anton sering dihina dan tidak pernah marah.
B. Disjungsi
Apabila terdapat dua pernyataan, dapat dibentuk sebuah
pernyataan baru dengan kata penghubung “atau” yang dinotasikan
“V”. Sesuatu pernyataan apabila salah satunya benar, maka
pernyataan disjungsi benar, jika tidak demikian bernilai salah.
Misalnya, Alum atau Anton ditunggu di ruang OSIS. Kalau
keduanya datang atau salah satunya saja berarti dapat memenuhi
kriteria kebenaran, dan apabila keduanya tidak hadir (S) berarti
salah.
Contoh lain yaitu :
p : Danar anak yang pandai
q : Danar anak yang pintar
p V q: Danar anak yang pandai atau pintar
Pernyataan Danar anak yang pandai atau pintar berarti Danar
anak yang pandai atau pintar atau kedua-duanya yaitu anak yang
pandai dan pintar. Disjungsi dari pernyataan bernilai benar apabila
paling sedikit salah satu dari kedua pernyataan tersebut bernilai
benar. Hal itu dapat dinyatakan dalam bentuk tabel berikut ini :
7 | L o g i k a M a t e m a t i k a

8. Tabel 2
p q p V q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
S
Dari tabel di atas dapat kita ketahui bahwa nilai kebenaran (B)
dari suatu pernyataan disjungsi diperoleh apabila salah satu
komponennya bernilai benar, apabila keduanya salah maka
pernyataan disjungsinya salah.
Latihan
1) p : Andi mempunyai anak
q : Andi menjadi ayah
p V q: ............................................
2) Diketahui : p : Siswa MAN Bayah memenangkan piala
olimpiade matematika
q : Siswa MAN Bayah menjadi juara
Ditanya : a) p V q
b) Buatlah tabel kebenarannya
Penyelesaian
1) p : Andi mempunyai anak
q : Andi menjadi ayah
p V q: Andi mempunyai anak atau menjadi ayah
2) p : Siswa MAN bayah memenangkan piala olimpiade
matematika
q : Siswa MAN bayah menjadi juara
p V q: Siswa MAN bayah memenangkan piala olimpiade
matematika atau menjadi juara
8 | L o g i k a M a t e m a t i k a

9. Tabel kebenarannya adalah :
p q p V q
Siswa MAN bayah
memenangkan piala
olimpiade
matematika (B)
Siswa MAN bayah
menjadi juara (B)
Siswa MAN bayah
memenangkan piala
olimpiade
matematika atau
menjadi juara (B)
Siswa MAN bayah
memenangkan piala
olimpiade
matematika (B)
Siswa MAN bayah
tidak menjadi juara
(S)
Siswa MAN bayah
memenangkan piala
olimpiade
matematika (B)
Siswa MAN bayah
tidak memenangkan
piala olimpiade
matematika (S)
Siswa MAN bayah
menjadi juara (B)
Siswa MAN bayah
menjadi juara (B)
Siswa MAN bayah
tidak memenangkan
piala olimpiade
matematika (S)
Siswa MAN bayah
tidak menjadi juara
(S)
Tidak mendapat
juara (S)
C. Implikasi
Suatu pernyataan kebenaran dari p dan q dalam bentuk
implikasi dinyatakan dengan pernyataan baru yaitu “Jika p maka q”.
Hal ini dinotasikan dengan “p  q”. Yaitu suatu pernyataan apabila
p benar, q salah bernilai salah. Bila tidak demikian bernilai benar.
Jadi pernyataan p  q terjadi pernyataan salah, hanya karena p
benar, q salah.
Contoh dalam kalimat yaitu :
p : 4 adalah bilangan real (B)
q : Jumlah sudut-sudut dalam segitiga 1800
(B)
p  q : Jika 4 adalah bilangan real maka jumlah sudut-
9 | L o g i k a M a t e m a t i k a

10. sudut segitiga 1800
(B)
Pernyataan implikasi p  q bernilai benar atau salah dapat
dilihat pada tabel berikut ini :
Tabel 3
p q p V q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
Implikasi p  dapat dibaca dengan beberapa cara, antara lain
a. Jika p maka q
b. p berimplikasi q
c. p berakibat q
d. q jika p
e. p syarat cukup bagi q
f. q syarat perlu bagi p
Perlu diingat bahwa penggunaan implikasi tidak diisyaratkan
adanya hubungan sebab akibat (hubungan kausalitas). Oleh karena
itu, nilai kebenaran implikasi hanya ditentukan oleh nilai kebenaran
komponen – komponennya.
Dalam implikasi terdapat implikasi logis, namun terlebih
dahulu akan diuraikan pengertian teutologi dan kontradiksi.
a. Tautologi
Tautologi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai
benar untuk nilai suatu kebenaran dari komponen –
komponennya. Untuk menentukan atau membuktikan apakah
suatu pernyataan merupakan tautologi. Kita dapat
menggunakan tabel kebenaran berikut ini :
10 | L o g i k a M a t e m a t i k a

11. Tabel 4
p q p ∧ q ( p ∧ q ) 
q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
B
B
B
B
Pada kolom terakhir terdapat ( p ∧ q )  q yaitu notasi
tautologi yang terbentuk dari pernyataan “jika ( p dan q ) maka
q”. Yang nilai kebenarannya selalu benar untuk semua
komponen – komponennya.
b. Kontradiksi
Kontradiksi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai
salah untuk setiap nilai kebenaran dari komponen –
komponennya. Hal ini merupakan kebalikan dari tautologi
yang tersusun dari komponen “p dan negari q” ( p ∧ ~ q),
sebagaimana tabel berikut ini
Tabel 5
p q ~ q p ∧ ~ q q ∧ ( p ∧ ~ q )
B
B
S
S
B
S
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
S
S
S
Kolom terakhir tampak jelas, bahwa semua komponen
bernilai salah. Oleh karena itu q ∧ ( p ∧ ~ q ) adalah suatu
kontradiksi.
c. Implikasi logis
Implikasi logis adalah sutau implikasi yang mempunyai
nilai logika selalu benar untuk nilai kebenaran dari
11 | L o g i k a M a t e m a t i k a

12. komponennya. Dengan kata lain, implikasi logis adalah
implikasi yang merupakan tautologi yang dilambangkan
dengan “  “
Contoh :
Dengan tabel kebenaran, tunjukan bahwa ( p ∧ q )  ( p
V q ) merupakan suatu implikasi logis.
Penyelesaian :
Tabel 6
p q p ∧ q p V q (p ∧ q )  (p V q )
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
B
B
B
S
B
B
B
B
Pada kolom kel enam tabel di atas, tampak bahwa nilai
logika ( p ∧ q )  ( p V q ) selalu benar. Hal ini yang
dinamakan implikasi logis.
D. Biimplikasi
Suatu pernyataan majemuk yang terbentuk “ .... jika dan hanya
jika ....” dinamakan diimplikasi yang dinyatakan dengan notasi p ↔
q (dibaca : p jika dan hanya jika q ) artinya pernyataan nilai
kebenaran akan bernilai benar apabila antara p dan q komponennya
sama, jika berbeda, maka bernilai salah. Biimplikasi merupakan
bentuk singkat dari ( p  q ) ∧ ( p  q ). Hal ini dinyatakan dalam
tabel di bawah ini.
Tabel 7
p q p ↔ q
B B B
12 | L o g i k a M a t e m a t i k a

13. B
S
S
S
B
S
S
S
B
Biimplikasi bernilai benar apabila komponen – komponennya
memiliki kebenaran yang sama.
Contoh :
1) p : Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi (B)
q : Ketiga sisi segitiga ABC sama panjang (B)
p ↔ q : Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi jika dan
hanya
jika Ketiga sisi segitiga ABC sama panjang (B)
2) p : Anton akan selalu mencintai Alum (B)
q : Alum setia kepada Anton sampai tua (B)
p ↔ q : Anton akan selalu mencintai Alum jika dan hanya
jika Alum setia kepada Anton sampai tua (B)
Mengenai biimplikasi logis, tidak jauh dari implikasi logis yang
merupakan tautologi yaitu suatu nilai logika yang selalu benar.
Diimplikasi logis dilambangkan “  “. Berikut ini tabel
kebenarannya, yaitu biimplikasi logis ( p  ~ q )  ( q  ~ p ).
Tabel 8
p q ~ p ~ q p ~q q ~p (p  ~ q)  (q  ~
p)
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
S
B
B
B
S
B
B
B
B
B
B
B
13 | L o g i k a M a t e m a t i k a

14. BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Dari berbagai uraian di atas, dapat penulis simpulkan bahwa :
1. Konjungsi merupakan pernyataan kebenaran apabila p dan q
benar, bila tidak demikian bernilai salah.
2. Disjungsi yaitu p atau q ( p V q ), suatu pernyataan harus salah
satu kompenen yang bernilai benar atau keduanya, maka akan
bernilai benar.
3. Implikasi yaitu pernyataan “jika p amaka q” dengan ketentuan
q tidak boleh salah (S) untuk mendapatkan nilai kebenaran
yang benar, kecuali kedua-duanya salah (S).
4. Biimplikasi (.... jika dan hanya jika ...” yaitu suatu pernyataan
bernilai benar apabila komponen – komponennya memiliki
kebenaran yang sama
B. Latihan Soal
Setelah mempelajari bahasan – bahasa di atas, silahkan
kerjakan soal – soal di bawah ini !
1. Tentukan konjungsi masing – masing pasangan di bawah ini !
a. p : Ahmad adalah adik Nova
q : Ahmad adalah adik Amin
b. p : Setiap hari Andi bangun pagi
q : Setiap hari Andi berolah raga
2. Diketahui p : 12 adalah bilangan genap dan q : 4 adalah faktor
dari 30. tentukan !
a. p ∧ q
b. q ∧ p
c. ~p V q
14 | L o g i k a M a t e m a t i k a

15. d. p V ~q
e. q ∧ ~ p
f. ~p ∧ ~q
3. Tentukan nilai kebenaran dari implikasi berikut ini !
a. Jika x = 5 ; maka x2
= 25
b. Jika 42
≠ 16 maka 416 =
c. ( p  q )  q
d. p  ~ q
e. ( p V q )  ( q ∧ p )
4. Tentukan biimplikasi di bawah ini !
a. p : 16 adalah bilangan kuadrat
q : 19 habis dibagi 2
b. p : Aku akan selalu menjagamu
q : Kamu tetap mencintaiku
5. Buatlah tabel kebenaran dari notasi di bawah ini :
a. ~ p V ( p ∧ q )
b. ( p V q )  ~ q
c. ( ~ p V ~ q ) ↔ (p ∧ q )
15 | L o g i k a M a t e m a t i k a

16. Daftar Pustaka
Edwin J Purcell. 2008. Kalkulus Edisi Sembilan. Jilid 1. Jakarta;
Erlangga
Theresia, M.H dan Seputro, Tirta. Pengantar Dasar Matematika.
Jilid 1. Jakarta; Erlangga
16 | L o g i k a M a t e m a t i k a