Aplikasi dari teori bilangan

1. Aplikasi Teori Bilangan
Satu tahun (waktu yang diperlukan bumi untuk menyelesaikan 1 orbit mengelilingi matahari) tepatnya
adalah 365,2422 hari. Dalam kalender sebelumnya (Julian), satu tahun dihitung 365, 25 hari yang kurang
sesuai dengan waktu 1 orbit tersebut. Hal ini berakibat setiap 128 hari kalender Julian ketinggalan 1 hari.
Dalam kalender Gregorian, diadakan penyesuaian yang lebih akurat, dengan cara:
a. dalam tahun kabisat bulan Februari berumur 29 hari, yang lainnya 28 hari,
b. setiap abad yang tidak habis dibagi 400 ditambah 1 hari (dari setiap 128 tahun ditambah 1 hari
dibulatkan menjadi setiap 400 tahun ditambah 3 hari).
Untuk kemudahan perhitungan awal tahun ditempatkan pada bulan Maret dan akhir tahun pada bulan
Februari.
Untuk menyatakan hari-hari dalam satu minggu digunakan aturan:
Minggu Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu
0 1 2 3 4 5 6
Di bawah ini diberikan teorema utama untuk perhitungan kalender. Teorema (Teorema Perhitungan
Kalender) Diberikan suatu tanggal (waktu tertentu) dengan hari d, bulan m, tahun, 100 y c Y + = di mana
16 ≥ c dan . 100 0 < ≤ y Maka tanggal tersebut jatuh pada hari dengan bilangan hari mingguan yang
diberikan dengan formula.
𝑤 ≡ 𝑑 + [(2,6)𝑚 − 0,2] − 2𝑐 + 𝑦 + [
𝑐
4
] + [
𝑦
4
] (𝑚𝑜𝑑7).
CONTOH APLIKASI
Di bawah ini diberikan dua contoh aplikasi pada perhitungan kalender. Solusi dari kedua contoh tersebut
berdasarkan pada teorema di atas dengan menentukan dahulu nilai-nilai d, m, c dan y yang sesuai.
Contoh I: Dengan menerapkan teorema di atas akan ditentukan jatuh pada hari apa tanggal 1 Maret
1990?
Dalam hal ini bulan Maret 1990 diperlakukan sebagai bulan ke-1 tahun 1990. Dengan formula pada
teorema di atas, diperoleh
𝑤 ≡ 1 + [(2,6)1 − 0,2] − 38 + 90 + [
19
4
] + [
90
4
] (𝑚𝑜𝑑7)
𝑤 ≡ 1 + 2 − 38 + 90 + 4 + 22 ≡ 81 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑7)
Jadi tanggal 1 Maret 1990 akan jatuh pada hari Kamis.
Contoh II: Dengan menerapkan teorema di atas akan ditentukan jatuh pada hari apa tanggal
14 Januari 2020?

2. Dalam hal ini bulan Januari 2020 diperlakukan sebagai bulan ke-11 dari tahun 2019. Dengan formula
pada teorema di atas, diperoleh
𝑤 ≡ 14 + [(2,6)1 − 0,2] − 40 + 19 + [
20
4
] + [
19
4
] (𝑚𝑜𝑑7)
𝑤 ≡ 14 + 28 − 40 + 19 + 5 + 4 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑7)
Jadi tanggal 14 Januari 2020 akan jatuh pada hari Selasa.
1 Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Teknologi
Sistem bilangan atau number system adalah suatu cara untuk mewakili besaran suatu
item fisik. Sistem bilangan menggunakan bilangan dasar atau basis (base/radix) tertentu. Dalam
hubungannya dengan komputer, ada 4 jenis Sistem Bilangan yang dikenal yaitu: Desimal
(Basis 10), Biner (Basis 2), Oktal (Basis 8) dan Hexadesimal (Basis 16). Berikut penjelasan
mengenai 4 sistem bilangan ini:
a. Desimal (Basis 10)
Desimal (Basis 10) adalah sistem bilangan yang paling umum digunakan dalam
kehidupan sehari-hari. Sistem bilangan desimal menggunakan basis 10 dan menggunakan 10
macam simbol bilangan yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Sistem bilangan desimal dapat
berupa integer desimal (decimal integer) dan dapat juga berupa pecahan desimal (decimal
fraction). Untuk melihat bilangan desimal dapat digunakan perhitungan seperti berikut,
misalkan contoh bilangan desimal adalah 8598. Ini dapat diartikan
Dalam gambar di atas disebutkan Absolut Value dan Position Value. Setiap simbol
dalam sistem bilangan desimal memiliki bentuk Absolut Value dan Position Value. Absolut
Value adalah nilai mutlak dari masing-masing digit bilangan. Sedangkan Position Value adalah
nilai penimbang atau bobot dari masing-masing digit bilangan tergantung dari letak posisinya
yaitu bernilai basis di pangkatkan dengan urutan posisinya.
b. Biner (Basis 2)
Biner (Basis 2) adalah sistem bilangan yang terdiri dari 2 simbol yaitu 2 dan 1. Bilangan
biner ini dipopulerkan oleh John Von Neuman. Contoh bilangan biner ini adalah 1001, ini
dapat diartikan (di konversi ke sistem bilangan desimal). Position Value dalam sistem bilangan
biner merupakan perpangkatan dari nilai 2 (basis). Berarti, bilangan biner 1001 .
c. Oktal (Basis 8)

3. Oktal (Basis 8) adalah sistem bilangan yang terdiri dari 8 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
dan 7. Contoh oktal adalah 1024, ini dapat diartikan (dikonversikan ke sistem bilangan
desimal). Position Value dalam sistem bilangan oktal merupakan perpangkatan dari nilai 8
(basis).
d. Hexadesimal (Basis 16)
Hexadesimal (Basis 16), Hexa berarti 6 dan desimal berarti 10 adalah sistem bilangan
yang terdiri dari 16 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14),
F(15). Pada sistem bilangan hexsadesimal memadukan 2 unsur yaitu angka dan huruf. Huruf A
mewakili angka 10, B mewakili angka 11 dan seterusnya sampai huruf F mewakili angka 15.
Contoh hexadesimal F3D4, ini dapat diartikan (dikonversikan ke sistem bilangan
desimal). Position Value dalam sistem bilangan hexsadesimal merupakan perpangkatan dari
nilai 16 (basis).
2 Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Sains
Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan
konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7
pada suhu 25℃, sehingga pH-nya 7.
Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti
perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi,
elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telingan
manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk
mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan
desibel (dB), yang sama dengan 0,1 bel, lebih sering digunakan.
Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma
berbasis 10.
Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala
logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.
3 Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Ekonomi
Menganalisis dan mengevaluasi strategi penyelesaian masalah serta menemukan
strategi penyelesaian masalah yang baru. Matematika dapat digunakan untuk menyeleksi atau
menyaring data yang ada. Seperti tes seleksi calon PNS, Polisi, TNI, pelajar, mahasaiswa atau

4. karyawan menggunakan tes tulis dengan materi matematika (biasanya logika dan berhitung)
untuk mengetahui kemampuan berpikir cepat dan dapat menyelesaikan masalah. Dalam bidang
teknik matematika digunakan seperti teknik informatika atau komputer menggunakan konsep
bilangan basis, teknik industri atau mesin matematika digunakan untuk menentukan ketelitian
suatu alat ukur atau peralatan yang digunakan. Bidang ekonomi menggunakan konsep fungsi
untuk memprediksikan produksi maupun penjualan.
4 Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Musik
Teori Musik sering menggunakan matematika untuk memahami musik. Memang,
matematika adalah “dasar suara” dan suara itu sendiri “dalam aspek musik nya menunjukkan
array yang luar biasa dari sifat nomor”, hanya karena alam itu sendiri “adalah matematika luar
biasa”. Meskipun kuno, Cina, Mesir dan Mesopotamians diketahui telah mempelajari prinsip-
prinsip matematika suara, dengan ilmu Pythagoras dari Yunani kuno adalah peneliti pertama
yang diketahui telah menyelidiki ekspresi skala musik dalam hal rasio numerik, khususnya rasio
bilangan bulat kecil. Doktrin utama mereka adalah bahwa “seluruh alam terdiri dari harmoni
timbul dari nomor”.
Dari waktu Plato, harmoni dianggap sebagai cabang dasar fisika, sekarang dikenal
sebagai musik akustik. Awal teori India dan Cina menunjukkan pendekatan serupa. Semua
berusaha untuk menunjukkan bahwa hukum-hukum matematika dari harmonisa dan ritme yang
fundamental tidak hanya untuk pemahaman kita tentang dunia tetapi untuk kesejahteraan
manusia. Konfusius, seperti Pythagoras, menganggap nomor kecil 1,2,3,4 sebagai sumber
semua kesempurnaan.
Untuk hari ini matematika lebih berkaitan dengan akustik dibandingkan dengan
komposisi, dan penggunaan matematika dalam komposisi secara historis terbatas pada operasi
sederhana penghitungan dan pengukuran. Upaya untuk struktur dan mengkomunikasikan cara-
cara baru penyusunan dan mendengar musik telah menyebabkan aplikasi musik teori
himpunan, aljabar abstrak dan teori bilangan. Beberapa komposer telah memasukkan rasio
Emas dan angka Fibonacci ke dalam pekerjaan mereka
Bentuk musik
Formulir Musik adalah rencana dimana sepotong pendek musik diperpanjang. The
“Rencana” istilah juga digunakan dalam arsitektur, yang membentuk musik sering

5. dibandingkan. Seperti arsitek, komposer harus memperhitungkan fungsi yang pekerjaan
dimaksudkan dan sarana yang tersedia, berlatih ekonomi dan memanfaatkan pengulangan dan
ketertiban. Jenis umum dikenal sebagai bentuk biner dan terner (“dua kali lipat” dan “tiga”)
sekali lagi menunjukkan pentingnya nilai-nilai integral kecil terhadap kejelasan dan daya tarik
musik.
5 Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Filsafat
Filsafat membahas bilangan sebagai objek studi material artinya filsafat menjadikan
bilangan sebagai objek sasaran untuk menyelidiki ilmu tentang bilangan itu sendiri. Objek
material filsafat ilmu bilangan adalah bilangan itu sendiri. Bilangan itu sendiri dimulai dari
yang paling sederhana, yakni bilangan asli, bilangan cacah, kemudian bilangan bulat, dan
seterusnya hingga bilangan kompleks. Sebagai objek formal filsafat, bilangan dikaji hakikat.
Pengkajian filsafat tentang bilangan misalnya mengenai apa hakikat dari bilangan itu,
bagaimana merealisasikan konsep bilangan yang abstrak menjadi riil atau nyata, bagaimana
penggunaan bilangan untuk penghitungan dan atau pengukuran.
6 Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Hiburan (Permainan)
a. Ambil tanggal lahir kamu lalu kali 4, hasilnya tambah 13, hasilnya kali 25 lalu kurangi
dengan 200, hasilnya tambah dengan bulan lahir kamu lalu hasilnya kali 2 terus kurangi
dengan 40, hasilnya kali dengan 50 hasilnya lagi tambah dengan 2 digit terakhir tahun lahir
kamu lalu hasilnya kurangi dengan 10500..berapa hasilnya?
b. Ambil dua digit terakhir tahun lahir kamu dan tambahkan dengan umurmu di tahun 2011.
Berapa hasilnya? Selalu 111 kan?
c. Dalam astronomi dan fisika, kita mengenal adanya suatu fenomena alam yang sangat
menarik yaitu lubang hitam (black hole). Lubang hitam adalah suatu entitas yang memiliki
medan gravitasi yang sangat kuat sehingga setiap benda yang telah jatuh di wilayah horizon
peristiwa (daerah di sekitar inti lubang hitam), tidak akan bisa kabur lagi. Bahkan radiasi
elektromagnetik seperti cahaya pun tidak dapat melarikan diri, akibatnya lubang hitam
menjadi “tidak kelihatan”. Ternyata, dalam matematika juga ada fenomena unik yang mirip
dengan fenomena lubang hitam yaitu bilangan lubang hitam. Bagaimana sebenarnya
bilangan lubang hitam itu? Mari kita bermain-main sebentar dengan angka. Coba pilih
sesuka hati Anda sebuah bilangan asli (bilangan mulai dari 1 sampai tak hingga). Sebagai

6. contoh, katakanlah 141.985. Kemudian hitunglah jumlah digit genap, digit ganjil, dan total
digit bilangan tersebut. Dalam kasus ini, kita dapatkan 2 (dua buah digit genap), 4 (empat
buah digit ganjil), dan 6 (enam adalah jumlah total digit). Lalu gunakan digit-digit ini (2, 4,
dan 6) untuk membentuk bilangan berikutnya, yaitu 246.
Ulangi hitung jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit pada bilangan 246 ini. Kita
dapatkan 3 (digit genap), 0 (digit ganjil), dan 3 (jumlah total digit), sehingga kita peroleh 303.
Ulangi lagi hitung jumlah digit genap, ganjil, dan total digit pada bilangan 303. (Catatan: 0
adalah bilangan genap). Kita dapatkan 1, 2, 3 yang dapat dituliskan 123. Jika kita mengulangi
langkah di atas terhadap bilangan 123, kita akan dapatkan 123 lagi. Dengan
demikian, bilangan 123 melalui proses ini adalah lubang hitam bagi seluruh bilangan lainnya.
Semua bilangan di alam semesta akan ditarik menjadi bilangan 123 melalui proses ini, tak satu
pun yang akan lolos. Tapi benarkah semua bilangan akan menjadi 123? Sekarang mari kita
coba suatu bilangan yang bernilai sangat besar, sebagai contoh katakanlah
122333444455555666666777777788888888999999999. Jumlah digit genap, ganjil, dan total
adalah 20, 25, dan 45. Jadi, bilangan berikutnya adalah 202.545. Lakukan lagi iterasi
(pengulangan), kita peroleh 4, 2, dan 6; jadi sekarang kita peroleh 426. Iterasi sekali lagi
terhadap 426 akan menghasilkan 303 dan iterasi terakhir dari 303 akan diperoleh 123. Sampai
pada titik ini, iterasi berapa kali pun terhadap 123 akan tetap diperoleh 123 lagi. Dengan
demikian, 123 adalah titik absolut sang lubang hitam dalam dunia bilangan. Namun, apakah
mungkin saja ada suatu bilangan, terselip di antara rimba raya alam semesta bilangan yang
jumlahnya tak terhingga ini, yang dapat lolos dari jeratan maut sang bilangan lubang hitam,
sang 123 yang misterius ini?
Aplikasi Teori Bilangan dalam bidang Ilmu Pengetahuan dan Teknologi
a) Aplikasi Teori Bilangan pada Algoritma Divide dan Conquer Algoritma Divide and
Conquer merupakan salah satu algoritma yang cukup populer di dunia ilmu komputer
yang berprinsip memecah belah permasalahan yang terlalu besar menjadi beberapa
bagian kecil sehingga lebih mudah untuk diselesaikan. Penerapan konsep algoritma ini
menggunakan prinsip basis bilangan dan konversinya.
b) Aplikasi Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi Kriptografi adalah ilmu yang
mempelajari teknik-teknik matematika yang berhubungan dengan aspek integritas data,
otentikasi, serta keamanan informasi seperti kerahasiaan dengan cara menyamarkannya

7. menjadi bentuk sandi yang tidak mempunyai makna. Ilmu ini ditemukan dan
dikembangkan berdasarkan konsep-konsep yang terdapat dalam bidang matematika
seperti bilangan prima, aritmetika modulo, dan algoritma Euclidean. Kriptografi sebagai
ilmu keamanan informasi menggunakan berbagai jenis sandi, diantaranya adalah sandi
Caesar dan sandi Vigenere. Sandi Caesar pertama kali digunakan oleh Julius Caesar,
seorang Jendral Romawi, untuk berkomunikasi dengan para panglimanya. Sedangkan
Sandi Vigenere pertama kali dijelaskan oleh Giovan Batista Belaso, lalu disempurnakan
oleh seorang diplomat Perancis yang bernama Vigenere.
c) Aplikasi Teori Bilangan Bulat pada Metode Barcode (Kode Baris) Pada awal
perkembangannya, penggunaan kode baris dilakukan untuk membantu proses
pemeriksaan barang-barang secara otomatis pada pasar-pasar swalayan. Namun, pada
saat ini kode baris sudah banyak digunakan pada kartu identitas, kartu kredit, maupun
untuk pemeriksaan secara otomatis pada perpustakaan. Pada dasarnya kode baris terdiri
atas susunan garis-garis vertical hitam (bar) dan putih (spasi) dengan ketebalan yang
berbeda-beda. Selain itu, kode baris juga dapat digambarkan dengan angka 1 untuk
melambangkan garis hitam dan 0 untuk garis putih. Misalnya 0011001
merepresentasikan spasi-spasi-garisgaris-spasi-spasi-garis. Garis-garis ini digambarkan
berderet secara horisontal dan merupakan representasi karakter-karakter alpha- numerik
(alphabet dan numerik). Untuk membantu pembacaan kode baris secara manual,
biasanya dicantumkan juga angka-angka atau huruf-huruf di bawah kode baris tersebut.
Fungsi dari kode baris ini adalah menyimpan data- data spesifik seperti: kode produksi,
tanggal kadaluwarsa, maupun nomor identitas. Tujuan pokok dari kode baris adalah
mengidentifikasi sesuatu dengan memberi label yang berisi kode baris.
DAFTAR PUSTAKA
1. BURTON, DAVID, Elementary Number Theory, Fifth Edition, McGraw-Hill Higher
Education, Boston, USA, 2002.
2. BURTON, DAVID, The History of Mathematics: An Introduction, Fourth Edition,
McGraw-Hill Book Company, New York, USA, 1998.
3. NIVEN, I., H. ZUCKERMAN, and H. MONTGOMERY, An Introduction to the
Theory of Numbers, Fifth Edition, John Wiley and Sons, New York, USA, 1991.

8. 4. ROSEN, KENNETH, Elementary Number Theory and Its Applications, Third Edition,
Addison Wesley, Reading, Massachussetts, 1992
5. Dinata, A. (2007). Aplikasi Teori Bilangan Bulat pada Sistem Barcode [Online], Vol 1
(1), 10 halaman. Tersedia : http//www.informatika.org/~rinaldi/
Matdis/2006.../Makalah0607-100.pdf [12 Oktober 2010]