Aliran logisisme berpandangan bahwa matematika merupakan bagian dari logika, dimana konsep dan obyek matematika dapat didefinisikan dari terminologi logika. Namun, tidak semua kebenaran matematika dapat dibuktikan hanya berdasarkan prinsip-prinsip logika.

1. FILSAFAT MATEMATIKA DAN
PENDIDIKAN MATEMATIKA
THINKING ABOUT MATHEMATICS
Ditulis Oleh Steward Shapiro
THE PHILOSOPHY OF MATHEMATICS EDUCATION
Ditulis Oleh: Paul Ernest
FILSAFAT MATEMATIKA
The Liang Gie

2. Dalam fakta sejarah perkembangan ilmu pengetahuan pikiran seorang
ilmuwan seringkali tidak disetujui oleh ilmuwan yang lain. Hal ini telah terjadi
sejak zaman dahulu.
Salah satu akibat dari kejadian ini tampak dari munculnya paham-paham
yang ada dalam filsafat matematika
paham platonisme, logisisme, empirisme, formalisme. intuisionisme

3. BEBERAPA ALIRAN FILSAFAT
MATEMATIKA
1 Mathematical realism (REALISME)
1.1 Platonism (PLATONISME)
1.2 Logicism (LOGISISME)
1.3 Empiricism (EMPIRISME)
1.4 Formalism (FORMALISME)
2 Intuitionism (INTUiSIONISME)
3 Constructivism (KONSTRUKTIVISME)
4 Fictionalism (FIKSIONALISME)

4. Mathematical realism, like realism in general, holds that mathematical entities exist
independently of the human mind. Thus humans do not invent mathematics, but rather
discover it, and any other intelligent beings in the universe would presumably do the
same. In this point of view, there is really one sort of mathematics that can be discovered:
Triangles, for example, are real entities, not the creations of the human mind.
Platonism is the form of realism that suggests that mathematical entities are abstract,
have no spatiotemporal or causal properties, and are eternal and unchanging. This is often
claimed to be the view most people have of numbers.
Logicism is the thesis that mathematics is reducible to logic, and hence nothing but a part
of logic (Carnap 1931/1883, 41). Logicists hold that mathematics can be known a priori,
but suggest that our knowledge of mathematics is just part of our knowledge of logic in
general, and is thus analytic, not requiring any special faculty of mathematical intuition.
In this view, logic is the proper foundation of mathematics, and all mathematical
statements are necessary logical truths.
Rudolf Carnap (1931) presents the logicist thesis in two parts:
1. The concepts of mathematics can be derived from logical concepts through
explicit definitions.
2. The theorems of mathematics can be derived from logical axioms through
purely logical deduction.

5. Empiricism is a form of realism that denies that mathematics can be known a priori at all.
It says that we discover mathematical facts by empirical research, just like facts in any of
the other sciences. It is not one of the classical three positions advocated in the early 20th
century, but primarily arose in the middle of the century. However, an important early
proponent of a view like this was John Stuart Mill. Mill's view was widely criticized,
because it makes statements like "2 + 2 = 4" come out as uncertain, contingent truths,
which we can only learn by observing instances of two pairs coming together and
forming a quartet.
Formalism holds that mathematical statements may be thought of as statements about the
consequences of certain string manipulation rules. For example, in the "game" of
Euclidean geometry (which is seen as consisting of some strings called "axioms", and
some "rules of inference" to generate new strings from given ones), one can prove that
the Pythagorean theorem holds (that is, you can generate the string corresponding to the
Pythagorean theorem). Mathematical truths are not about numbers and sets and triangles
and the like — in fact, they aren't "about" anything at all!

6. In mathematics, intuitionism is a program of methodological reform whose motto is that
"there are no non-experienced mathematical truths" (L.E.J. Brouwer). From this
springboard, intuitionists seek to reconstruct what they consider to be the corrigible
portion of mathematics in accordance with Kantian concepts of being, becoming,
intuition, and knowledge. Brouwer, the founder of the movement, held that mathematical
objects arise from the a priori forms of the volitions that inform the perception of
empirical objects. (CDP, 542)
Fictionalism in mathematics was brought to fame in 1980 when Hartry Field published
Science Without Numbers, which rejected and in fact reversed Quine's indispensability
argument. Where Quine suggested that mathematics was indispensable for our best
scientific theories, and therefore should be accepted as a body of truths talking about
independently existing entities, Field suggested that mathematics was dispensable, and
therefore should be considered as a body of falsehoods not talking about anything real.
He did this by giving a complete axiomatization of Newtonian mechanics that didn't
reference numbers or functions at all. He started with the "betweenness" of Hilbert's
axioms to characterize space without coordinatizing it, and then added extra relations
between points to do the work formerly done by vector fields. Hilbert's geometry is
mathematical, because it talks about abstract points, but in Field's theory, these points are
the concrete points of physical space, so no special mathematical objects at all are
needed.

7. Realisme memandang bahwa entitas matematika ada
terbebas dari pikiran.
Logisisme memandang bahwa matematika merupakan
bagian dari logika.
Empirisme memandang bahwa matematika harus
dikembangkan secara empiris.
Formalisme menyatakan bahwa pernyatan-pernyatan dalam
matematika harus dipikirkansebagai serangkaian konsekuensi
dari manipulasi serangkaian aturan.

8. Aliran logisisme adalah aliran yang berpandangan bahwa matematika murni
merupakan bagian dari logika. Pengagas utama dari pandangan ini adalah
Leibniz, Frege (1983), Russel (1919), Whitehead dan Carnap (1931).
Ada dua hal pokok dalam aliran ini, yaitu
(1). Semua konsep dalam matematika pada akhirnya dapat
diturunkan dari konsep-konsep logika, penyajian dari penurunan
tersebut meliputi konsep-konsep teori bilangan maupun
beberapa sistim yang terdapat pada teori Russsel.
(2). Semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari
aksioma-aksioma dan aturan-aturan logika.

9. Jadi secara singkat dapat dikatakan bahwa hakekat dari aliran ini adalah
bahwa jika semua matematika dapat diekspresikan dalam bentuk-bentuk
logika secara murni dan dibuktikan dari prinsip-prinsip logika itu sendiri,
maka kepastian dari pengetahuan matematika dapat direduksi menjadi
logika.
Ternyata tujuan ini tidak dapat tercapai karena memang matematika tidak
hanya merupakan logika. Sebagai contoh aksioma ketakhinggan dapat
disajikan dalam bentuk-bentuk proposisi logika tetapi tidak dapat dinyatakan
kebenarannya secara logika.

10. Idea atau tujuan aliran formalisme adalah kemungkinan menggambarkan
bahwa matematika sebagai permainan formal yang tak bermakna yang
dimainkan dengan menuliskan simbol-simbol pada kertas dengan
menggunakan aturan tertentu. Tokoh dalam aliran ini adalah Hilbert Dalam
aliran formlisme pernyatan-pernyatan dalam matematika harus dipikirkan
sebagai serangkaian konsekuensi dari manipulasi serangkaian aturan.
Para formalist mempunyai dua pernyataan yang diyakininya yaitu :
(1). Matematika murni dapat diekspresikan ke dalam sistem formal yang
tak bermakna, dimana kebenaran matematika direpresentasikan dengan
teori formal.
(2). Kekuatan dari sistem formal dapat didemonstrasikan dalam
pernyataan yang bebas dari ketidak konsistenan

11. Idea atau tujuan aliran formalisme adalah kemungkinan menggambarkan
bahwa matematika sebagai permainan formal yang tak bermakna yang
dimainkan dengan menuliskan simbol-simbol pada kertas dengan
menggunakan aturan tertentu. Tokoh dalam aliran ini adalah Hilbert Dalam
aliran formlisme pernyatan-pernyatan dalam matematika harus dipikirkan
sebagai serangkaian konsekuensi dari manipulasi serangkaian aturan.
Para formalist mempunyai dua pernyataan yang diyakininya yaitu :
(1). Matematika murni dapat diekspresikan ke dalam sistem formal yang
tak bermakna, dimana kebenaran matematika direpresentasikan dengan
teori formal.
(2). Kekuatan dari sistem formal dapat didemonstrasikan dalam
pernyataan yang bebas dari ketidak konsistenan

12. Idea atau tujuan dari aliran intuisionisme adalah bahwa keberadaan
matematika dipandang sebagai bebas dari ahli matematika itu sendiri. Objek
matematika dikonstruk dalam pikiran dengan cara menghilangkan
semantiknya. Tokoh dari aliran ini adalah Brouwer.

13. Manfaat dari aliran logisisme diantaranya adalah pembuktian induksi
matematika, penggunaan implikasi dan pembuktian matematika baik dengan
cara bukti langsung maupun bukti tidak langsung yang sangat bermanfaat
dalam perkembangan matematika. Aliran logicisme merupakan dasar untuk
pembentukan pola pikir deduktif yang merupakan ciri atau karakteristik dari
matematika yang menekankan pada penataan nalar.

14. Manfaat dari aliran Formalisme misalnya prosedur dalam memunculkan
struktur aljabar seperti grup, ring maupun field. Contoh lain yang menonjol
dari manfaat aliran formalisme adalah banyaknya perkembangan baru dari
matematika. Sebagai contoh cabang matematika baru tersebut adalah fuzzy
set. Pada sistem matematika yang lama konsep himpunan menggunakan
konsep himpunan dua nilai, yaitu x anggota A atau x bukan anggota
himpunan A. Namun pada sistem matematika yang baru konsep himpunan
dapat dikembangkan tidak hanya konsep himpunan dua nilai. Keanggotaan x
pada sebuah himpunan tidak hanya anggota dan bukan anggota.
Keanggotaan x dapat berupa ½ anggota, ¼ anggota, ¾ anggota dan lain-lain.
Dengan konsep matematika yang demikian, berkembanglah cabang
matematika yang baru namun demikian cabang matematika tersebut tidak
kontradiksi dengan sistem yang lama.

15. Manfaat aliran intuisionisme diantaranya adalah cara-cara pembuktian dalam
matematika misalnya pembuktian dalam analisis real. Dalam pembuktian-
pembuktian pada hakekatnya didasarkan pada aliran intuisionisme.

17. Aliran Logika (Logisisme) berpandangan bahwa
konsep dan obyek matematika seperti bilangan dapat
didefinisikan dari terminology logika dan dengan
definisi ini teorema matematika berasal dari prinsip
logika. Hal ini menunjukkan bahwa kebenaran
matematika dapat diterima jika berasal dari prinsip
logika.
Matematika sebenarnya merupakan bagian dari logika dan
keduanya saling berhubungan atau matematika merupakan
cabang dari logika. Hal ini tertuang dalam salah satu tulisan
Russel yang menyatakan bahwa logika telah menjadi lebih
bersifat matematis dan matematika menjadi lebih logis. Bahkan
dikatakan bahwa logika dan matematika memiliki hubungan
seperti anak dan orang dewasa. Logika merupakan masa
mudanya matematika dan matematika adalah masa dewasanya
logika

18. Secara umum pandangan aliran logika bertujuan
mengembalikan matematika kepada logika. Hal ini
menunjukkan bahwa kebenaran matematika dapat
diterima jika berasal dari prinsip logika. Dalam hal ini
ingin ditunjukkan bahwa konsep-konsep matematika
seperti bilangan-bilangan dapat dinyatakan dalam
bentuk kata-kata atau menggunakan operator logika
dan sifat-sifatnya ditunjukkan oleh logika murni.
Hal ini tertuang dalam pandangan Frege dalam
mendefinisikan tentang bilangan dengan
menggunakan prinsip Hume, bahwa semua konsep
dalam matematika dapat dinyatakan dalam
bentuk-bentuk logika murni dan dapat
dibuktikan dengan prinsip-prinsip logika saja.

19. Hal ini berlebihan sehingga kebenaran dalam matematika
dapat direduksi menjadi logika. Padahal pada perkembangan
matematika tidak semua matematika dapat dibuktikan
kebenarannya berdasarkan prinsip logika, dengan kata lain
terdapat beberapa konsep matematika yang tidak dapat
dibuktikan kebenarannya menggunakan prinsip logika.

20. Pandangan Russel lebih fleksibel dibandingkan
pandangan Frege dengan kata lain Russel memberi
ruang pembuktian matematika tanpa menggunakan
prinsip logika umum.
Russel berpandangan matematika memerlukan
aksioma non logika seperti aksioma ketakhinggaan
(himpunan dari semua bilangan asli adalah tak hingga)
dan aksioma pilihan (choice) perkalian kartesius dari
keluarga himpunan tak kosong adalah himpunan tak
kosong itu sendiri
Karakteristik-karakteristik ide-ide dasar dari semua ide
matematika dapat didefinisikan. Tetapi tidak semua
proposisi-proposisi primitif dari semua proposisi
matematika tersebut dapat dideduksi. Ini merupakan suatu
masalah yang lebih sulit karena belum diketahui jawaban
yang sebenarnya.

21. Matematika adalah sistem hipotetik deduktif dimana
konsekuen dari aksioma-aksioma yang akan diselidiki,
tanpa menyatakan kebenarannya. Namun hal ini juga
merupakan suatu kegagalan dalam paham ini, karena
tidak semua kebenaran matematika (seperti Aritmatika
Peano) secara konsisten dapat disajikan sebagai
pernyataan-pernyataan implikasi (Macofer, 1983).

22. Berdasarkan uraian-uraian di atas dapat
disimpulkan bahwa kebenaran matematika
tetap berlandaskan pada prinsip-prinsip
logika, namun tetap memperhatikan dan
melakukan analisis empirikal dalam
merumuskan proposisi-proposisi matematika
sebagai suatu kebenaran sintetik. Jika
kebenaran yang diperlukan adalah kebenaran
definisi maka kebenaran itu tetap
berlandaskan pada aspek semantik dalam
penggunaan bahasa dan pemaknaan terhadap
simbol dan variabel yang digunakan dalam
merumuskan proposisi matematika.