tugas

1. 1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaran-
pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal tambahan untuk
menyampaikan pelajaran di sekolah. Dalam Logika dipelajari metode-metode dan prinsip-
prinsip yang dapat dipakai untuk membedakan cara berpikir benar (correct) atau tidak benar
(incorrect), sehingga dapat membantu menyatakan ide-ide tepat dan tidak mempunyai arti
ganda. Jadi, dalam ilmu logika hanya mempelajari atau memperhatikan kebenaran dan
kesalahan dari penalaran, dan penarikan kesimpulan dari sebuah pernyataan atau lebih.
Logika pertama kali dikembangkan oleh filusuf Yunani, Aristoteles, sekitar 2300 tahun yang
lalu. Logika mempunyai aplikasi yang luas di dalam ilmu komputer,misalnya dalam bidang
pemrograman, analisis kebenaran algoritma, kecerdasan buatan, perancangan komputer, dan
sebagainya. Logika penting untuk penalaran matematis. Logika adalah sistem yang di dasari
proposisi.
1.2 Rumusan Masalah
1. Bagaimana yang dimaksud dengan logika?
2. Bagaimana cara mengkombinasikan proposisi majemuk dan membentuk tabel kebenaran ?
1.3 Tujuan
Tujuan di buat makalah ini untuk mempermudah mahasiswa dalam belajar dan
mahasiswa dapat membuktikan teorema di dalam matematika.

2. 2
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Proposisi
 Proposisi adalah pernyataan bernilai benar(T) atau bernilai salah(F), tetapi tidak
kedua-duanya.
 Dalam dunia digital nilai kebenaran(T) biasa diganti dengan 1 dan nilai kesalah
diganti dengan 0.
Contoh proposisi :
1. 10 adalah bilangan genap.
2. Ibu kota jawa barat adalah surabaya
2.2 Mengombinasikan Proposisi
 Mengkombinasikan proposisi, kita dapat membentuk proposisi baru dengan
menggabungkan satu atau lebih dari proposisi. Kita sering menformalkan notasi
proposisi dengan huruf alfabet seperti p, q, r, s dan beberapa operator logika.
 Ada 2 jenis proposisi, yaitu proposisi majemuk dan atomik.
Proposisi majemuk adalah proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian yaitu
pengkombinasian dari proposisi- proposisi atomik.
Proposisi atomik adalah proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi.
Operator Logika
 Konjungsi (dan) di simbolkan dengan “^”
 Disjungsi (atau) di simbolkan dengan “v”
 Negasi (ingkaran) di simbolkan dengan “~”

3. 3
Contoh :
p: hari ini hujan
q: mahasiswa di liburkan kuliah
Maka:
p ^ q : hari ini hujan dan mahasiswa diliburkan kuliah
p v q : hari ini hujan atau mahasiswa diliburkan kuliah
~p : hari ini tidak hujan
2.3 Tabel Kebenaran
 Konjungsi bernilai benar jika keduanya bernilai benar selain itu nilainya salah.
 Disjungsi bernilai salah jika keduanya bernilai salah selain itu bernilai benar.
 Negasi merupakan kebalikan dari nilai yang di inputkan.
=> Tabel Konjungsi
=> Tabel Disjungsi

4. 4
=> Tabel Negasi
2.4 Disjungsi Eksklusif
Selain 3 operasi di atas ada juga operasi logika yang disebut disjungsi eksklusif atau di sebut
XOR dan di simbolkan dengan . Disjungsi eksklusif adalah proposisi yang bernilai benar
jika salah satu pernyataan bernilai benar,selain itu bernilai salah.
=> Disjungsi Eksklusif
2.5 Hukum-hukum Logika Proposisi
Beberapa hukum logika proposisi mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil,
misalnya a(b + c) = ab + bc, yaitu hukum distributif, sehingga hukum logika proposisi disebut
juga hukum aljabar proposisi.

5. 5
2.6 Operasi Logika di dalam Komputer
 Dalam bahasa pemograman umumnya menyediakan tipe data boolean yang hanya
mempunyai nilai true dan false. Biasanya dinyatakan biasanya dengan ekspesi
boolean dan operator yang digunakan adalah AND,OR,NAND,NOR,XOR dan NOT.
 Operasi lain dalam pemograman adalah operasi bit dan sebuah bit menpunyai 2 nilai
yaitu 1 dan 0.
 1 = true dan 0 = false

6. 6

7. 7
2.7 Proposisi Bersyarat (Implikasi)
 Proposisi bersyarat atau disebut juga implikasi(jika maka) biasa dilambangkan dengan
→
 Implikasi p → q adalah proposisi yang bernilai salah jika p benar dan q salah, dan
bernilai benar jika lainnya.

8. 8
Analogi Implikasi
 Jika nilai ujian akhir anda 80 atau lebih, maka anda akan mendapat nilai A untuk
kuliah MATDIS”
o Analisa :
1. Nilai ujian akhir anda diatas 80 (hipotesis benar) dan anda mendapat nilai
A untuk kuliah tersebut (konklusi benar)
2. Nilai ujian akhir anda diatas 80 (hipotesis benar) tetapi anda tidak
mendapat nilai A (konklusi salah). Pada kasus ini, dosen anda berbohong
(pernyataannya salah.
2.8 Varian Implikasi
Ada 3 varian implikasi yaitu :
 Konvers dari implikasi p → q adalah q → p
 Invers dari implikasi p → q adalah ~ p → ~ q
 Kontraposisi dari implikasi p → q adalah ~ q → ~p
2.9 Bikondisional atau Bi-implikasi
 Bi-impkikasi (jika dan hanya jika) biasanya di lambangkan dengan simbol ↔
 Bi-impkikasi bernilai benar hanya jika komponen-komponennya bernilai sama.
Contoh bi-implikasi :
 Jika p : 2 bilangan genap (T)

9. 9
q : 3 bilangan ganjil (T)
maka p ↔ q : 2 bilangan genap jika dan hanya jika 3 bilangan ganjil (T)
 Jika r : 2 + 2 ≠5 (T)
s : 4 + 4 < 8 (F)
maka r ↔ s : 2 + 2 ≠ 5 jika dan hanya jika 4 + 4 < 8 (F)
 Jika a : Surabaya ada di jawa barat (F)
b : 23 = 6 (F)
maka a ↔: Surabaya ada di jawa barat jika dan hanya jika 23 = 6 (T)
2.10 INTERFERENSI
Inferensi adalah proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi.
Beberapa kaidah inferensi :
1. Modus Ponen
Premis 1 : p →q
Premis 2 : p
______________________
… : q
Cara membacanya : Apabila diketahui jika p maka q benar, dan p benar, disimpulkan q benar.
Contoh :
Premis 1 : Jika saya belajar, maka saya lulus ujian (benar)
Premis 2 : Saya belajar (benar)
________________________________________________

10. 10
… : Saya lulus ujian (T)
Baris pertama dari tabel kebenaran kondisional (implikasi) menunjukkan validitas dari bentuk
argumen modus ponen.
Modus Tolen :
Premis 1 : p →q
Premis 2 : ~ q
_____________________
… : ~ p
Contoh :
Premis 1 : Jika hari hujan maka saya memakai jas hujan (T)
Premis 2 : Saya tidak memakai jas hujan (T)
_________________________________________________________
… : Hari tidak hujan (benar)
Perhatikan bahwa jika p terjadi maka q terjadi, sehingga jika q tidak terjadi maka p tidak
terjadi.
Silogisme Hipotesis:
Premis 1 : p →q
Premis 2 : q →r
_________________
… : p →r

11. 11
Contoh :
Premis 1 : Jika kamu benar, saya bersalah (T)
Premis 2 : Jika saya bersalah, saya minta maaf (T)
_____________________________________________
… : Jika kamu benar, saya minta maaf (T)
Silogisme Disjungtif
Premis 1 : p Ú q
Premis 2 : ~ q
__________________
… : p
Jika ada kemungkinan bahwa kedua pernyataan p dan q dapat sekaligus bernilai benar, maka
argumen di bawah ini tidak valid.
Premis 1 : p ∨ q
Premis 2 : q
___________________
… : ~ p
Tetapi jika ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai benar
(disjungsi eksklusif), maka sillogisma disjungtif di atas adalah valid.
Contoh :
1. Premis 1 : Pengalaman ini berbahaya atau membosankan (T)
Premis 2 : Pengalaman ini tidak berbahaya (T)

12. 12
_______________________________________________________
… : Pengalaman ini membosankan (T)
2. Premis 1 : Obyeknya berwarna merah atau sepatu
Premis 2 : Obyek ini berwarna merah
_____________________________________________
… : Obyeknya bukan sepatu (tidak valid)
Simplikasi
Premis 1 : p ^ q
__________________
… : p
Contoh :
Premis 1 : Hamid adalah mahasiwa ITB dan Unes
_________________________________________________________
… : Hamid adalah mahasiwa ITB
Konjungsi
Premis 1 : p
Premis 2 : q
__________________
… : p Λ q
Artinya : p benar, q benar. Maka p Λ q benar.

13. 13
Tambahan (Addition)
Premis 1 : p
__________________
… : p ν q
Artinya : p benar, maka p ν q benar (tidak peduli nilai benar atau nilai salah yang dimiliki q).
2.11 Argumen
Argumen adalah suatu deret proposisi yang ditulis sebagai
p1
p2
p3
.
.
pn
yang dalam hal ini, p1,p2,p3….. pn disebut hipotesis (premis), dan q disebut klonkusi.
Argument hanya bernilai sahih (valid) dan palsu (invalid). Catatlah bahwa kata “valid” tidak
sama maknanya denga kata “benar(True)”.
Contoh argument :
“jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.air laut surut setelah gempa di
laut. Karena itu tsunami datang.”
Adalah sahih.

14. 14
Penyelesaian:
Misalkan p adalah “jika air laut surut setelah gempa di laut” dan q adalah proposisi “tsunami
datang. Makadapat ditulis sebagai berikut :
Premis 1 : p→q
Premis 2 : q
__________________
… : q
2.12 Aksioma, teorema, lemma, corollary
Aksioma adalah proposisi yang diasumsikan benar, aksioma tidak memerlukan pembuktian
kebenaran lagi.
Contoh aksioma :
Untuk semua bilangan real x dan y, berlaku x + y = y + x (hukum komutatif penjumlahan)
Teorema adalah proposisi yang sudah terbukti benar.
Contoh teorema:
Jika dua sisi dari sebuah segitiga sama panjang, maka sudut yang berlawanan dengan sisi
tersebut sama besar.
Lemma adalah teorema yang digunakan dalam pembuktian teorema lain.
contoh lemma: jika n adalah bilangan bulat positif, maka n-1 bilangan positif atau n-1 = 0.
Carollary adalah teorema yang mengikuti teorema lain.
Contoh carollary: Jika sebuah segitiga sama sisi,maka segitiga tersebut sama sudut.
Carolarry ini mengikuti teorema diatas.

15. 15
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
 Proposisi adalah pernyataan bernilai benar(T) atau bernilai salah(F), tetapi tidak
kedua-duanya.
 Konjungsi bernilai benar jika keduanya bernilai benar selain itu nilainya salah.
 Disjungsi bernilai salah jika keduanya bernilai salah selain itu bernilai benar.
 Negasi merupakan kebalikan dari nilai yang di inputkan.
 Dalam bahasa pemograman umumnya menyediakan tipe data boolean yang hanya
mempunyai nilai true dan false. Biasanya dinyatakan biasanya dengan ekspesi
boolean dan operator yang digunakan adalah AND,OR,NAND,NOR,XOR dan NOT.
3.2 Saran
Semoga makalah yang penulis buat berguna untuk semua orang yang membaca, dan
saran penulis supaya makalah ini di baca dan di pelajari agar dapat membantu kita untuk
belajar tentang Logika.

16. 16
Daftar Pustaka
Munir, Rinaldi.,matematika Diskrit,Informatika ITB,2005