hirarki matematika yang unik, matematika, filsafat

1. 1
BAB I
PENDAHULUAN
Filsafat sebagai proses berfikir yang sistematis dan radikal memiliki objek
material dan formal. Objek material filsafat adalah segala yang ada, mencakup ada
yang tampak dan yang tidak tampak. Yang tampak adalah dunia empiris, sedangkan
yang tidak tampak adalah dunia metafisika. Sedangkan objek formal filsafat adalah
sudut pandang yang menyeluruh, radikala, rasional, tentang segala yang ada. Seiring
berkembangya objek kajian filsafat, mak filsafat dijadikan tempat berpijaknya
kegiatan keilmuan, filsafat oleh filosof disebut sebagai induk ilmu. Sebab dari
filsafatlahilmu-ilmu modern dan kotemporer berkembang sehingga, manusia dapat
menikmati ilmu sekaligus hasilnya yaitu teknologi.
BAB II
PEMBAHASAN
1. Hirarki dalam Matematika
Tema pada bab sebelumnya membahas asumsi dimana matematika memiliki
struktur hirarki tetap yang unik. Analog tesis ini mencakup asumsi dimana
pembelajaran matematika disusun dengan cara terbaik, dalam arti kemampuan
matematika yang terstruktur dan masyarakat memiliki struktur hirarki yang tetap
terkait dengan bidang pendidikan yang ditunjukkan. Asumsi ini berkaitan dengan
arti penting masyarakat dan pendidikan.
A. Apakah matematika memiliki struktur hirarki yang unik ?
Pertanyaan ini dapat dianalisa dalam dua bagian, berkaitan dengan
keberadaan dan keunikan struktur hirarki untuk matematika. Dalam hal ini, dua
pertanyaan diajukan yakni : apakah struktur hirarki pengetahuan matematika yang
menyeluruh ada ? Dan jika demikian, apakah struktur hirarki tersebut tetap dan
unik ?
Hirarki dapat didefenisikan untuk badan pengetahuan matematis dengan
struktur menyeluruh. Apakah hal tersebut dikatakan sebagai struktur aksiomatik
berdasarkan atas axiom dan aturan penarikan kesimpulan, atau struktur defenisi
berdasarkan ketentuan primitif dan defenisi lainnya, maka hirarki tersebut dijelaskan
sebagai berikut. Ungkapan primitif mengenai hirarki (istilah axiom atau primitif)

2. 2
terdiri dari tingkat yang paling rendah (0). Ungkapan E lainnya dalam struktur
tersebut dapat dicapai dengan jumlah minimum n dari aturan aplikasi (aturan
kesimpulan atau defenisi) dari ungkapan tingkat 0. Jumlah n mendefenisikan tingkat
ungkapan E dalam hirarki tersebut. Dengan demikian,setiap ungkapan tersebut
dibuat pada tingkat unik dalam hirarki. Karenanya, pengetahuan matematika dapat
diberikan dalam bentuk hirarki besar yang menyatakan bahwa hal tersebut
menggantikan sistem atau struktur matematika tertentu, yang dihubungkan dengan
kesimpulan atau hubungan definisi. Hubungan inferensial yang dimaksud perlu
dipertimbangkan karena hal tersebut menunjukkan hubungan pembenaran antara
ketentuan matematika dan rumusan yang ada dan menjelaskan struktur tentang teori
aksiomatik deduktif.
Dengan menggunakan defenisi tingkat formal, informal dan wacana sosial
tentang matematika, selanjutnya kami menemukan teori matematika yang lebih
formal dan kemudian hirarki tersebut dapat dijelaskan. Terkait dengan hasil kajian
matematika yang tidak formal, hal ini tidak memungkinkan. Untuk aksiomatik, dasar
tersebut tidak ditentukan sepenuhnya, dan hubungan logika antara ketentuan
matematika informal tidak dapat dibuat dengan baik. Pada bagian selanjutnya, kami
hanya berfokus pada teor matematika formal, atau teori matematika informal yang
siap dirumuskan. Untuk tujuan lain, ketentuan untuk menetapkan hirarki tersebut
tidak terpenuhi.
Sekarang, kami siap ditanya mengenai kedua pertanyaan tersebut. Pertama,
apakah struktur hirarki menyeluruh tentang pengetahuan matematika ada ? Kami
melihat bahwa untuk teori matematika formal dengan rangkaian axiom yang tetap
ditemukan ada struktur hirarki. Pilihan terhadap rangkaian axiom tersebut,
bersamaan dengan spesifikasi aturan kesimpulan dan bahasa formal latarbelakang
menentukan teori matematika hirarki. Namun, matematika terdiri dari beberapa teori
yang berbeda, dan banyak diantaranya yang memiilki rumusan aksiomatik yang
berbeda. Teori rangkaian aksiomatik memiliki jumlah aksiomasi yang berbeda
seperti teori Zermelo-Eranekel Set dan Teori Godel-Bernays-von Neumann
(Kneebone, 1963). Diluar teori ini, banyak ahli matematika selanjutnya
membedakan teori aksiomatik set yang mereka pelajari dengan mengunakan aksiom
selanjutnya (Jech, 1971, Maddy, 984).
Hasilnya, tidak ada struktur menyeluruh terhadap matematika formal,
karena hal tersebut terbuat dari rangkaian teori yang berbeda dan formulasi teori,

3. 3
dan masing-masing memiliki hirarki dan susunan tersendiri. Selanjutnya, menurut
dalil Godel (1931), tidak satupun teori aksiomatik tersebut yang tidak lengkap.
Dalam hal ini ada kebenaran teori yang tidak ditemukan dalam hirarki deduktif.
Seperti yang kita lihat pada bab sebelumnya, usaha-usaha yang dilakukan oleh ahli
matematika pada abad ini untuk menetapkan pengetahuan matematis dalam sistem
fundasi tunggal dimana semua ahli logistic, formalistic atau lembaga gagal
melakukannya. Karenanya, hasil meta-matematika memaksa kami mengetahui
bahwa matematika terdiri dari beberapa teori yang berbeda, dan tidak dapat
dikurangi menjadi sistem tunggal, dan tidak ada yang dianggap cukup untuk
menjelaskan semua kebenaran bahkan dalam domain aplikasi yang terbatas.
Hal ini menjelaskan bahwa pertanyaan mengenai keberadaan hirarki
matematika secara menyeluruh pasti dijawab dengan cara negatif. Hal ini tidak
dapat dibantah lagi. Namun, kita sebaiknya lebih fair lagi untuk mempertimbangkan
pertanyaan yang lebih lemah. Apakah struktur matematika informal yang besar dan
baik ada bahkan jika gagal memenuhi kriteria yang diperlukan untuk menghasilkan
susunan ganda terhadap matematika ? Struktur tersebut dapat ditemukan dalam
elemen-elemen Bourbaki (Kneebone, 1963). Bourbaki melengkapi pertimbangan
sistemik tentang matemtika, mulai dengan teori rangkaian, dan berkemban ke teori
murni lainnya, struktur matematika. Walaupun struktur Bourbaki dianggap tidak
lengkap (dalam arti informal), karena menunjukkan perhitungan dan aspek lainnya
untuk bidang matematika, maka hal ini menghadirkan kodifikasi informal terkait
dengan porsi substansial bidang matematika. Apakah hal ini melengkapi jawaban
yang jelas terhadap pertanyaan yang lema ? Jika kita mengatakan memang demikian
adanya, maka aturan berikut perlu diingat.
1. Porsi signifikan untuk pengetahuan matematika dihilangkan.
2. Sistem tersebut tidak didefenisikan dengan cara formal untuk membuat
hirarki tetap dan hasil dari pengetahuan matematika.
3. Sistem menyeluruh tergantung pada asumsi teori rangkaian klasik sebagai
dasar matematika.
4. Sistem menyeluruh yang terikat terhadap budaya, menunjukkan
strukturalisme abad pertengahan dua puluh.
Dengan demikian, hanya dalam bentuk yang sangat lemah, kita dapat menyatakan
adanya struktur menyeluruh terhadap bagian matematika yang perlu.

4. 4
Pertanyaan kedua adalah sebagai berikut. Ada asumsi bahwa ada struktur
menyeluruh terhadap pengetahuan matematika. Apakah hal ini merupakan struktur
yang unik dan tetap untuk dasar hirarki ? Pertanyaan ini juga memiliki dua bagian.
Yang pertama berkaitan dengan keunikan struktur matematika. Yang kedua
berkaitan dengan defenisi hirarki tetap dalam kaitannya dengan struktur yang ada.
Kami melihat bahwa bagian kedua ini tidak dapat dipertahankan. Bahkan jika
struktur tersebut dilengkapi dengan Bourbaki dengan keunikan yang ada, ini
merupakan hal informal dan tidak cukup untuk defenisi tetap mengenai hirarki.
Dalam arti yang jelas, kami menyatakan bahwa dalam hal ini tidak ada hirarki yang
unik terhadap matematika.
Mari kita kembali ke bagian keunikan struktur matematika. Keunikan
tersebut tergantung pada kesepakatan mengenai dasar-dasar matematika. Bourbaki
mengasumsikan dasar-dasar rangkaian teoritis. Dengan mengabaikan perbedaan teori
yang ada, apakah dapat dikatakan bahwa teori tersebut melengkapi dasar-dasar unik
yang disepakati secara universal untuk matematika ? Pertanyaan yang demikian
pasti dijawab dengan cara negative. Kami sudah melihat bahwa para pendiri
menyatakan bahwa matematika yang terletak pada fundasi yang unik ternyata
gagal. Dalam hal ini setidaknya ada dua pilihan terhadap rangkaian dasar-dasar
teoritis untuk matematika. Pertama-tama, dinyatakan bahwa teori Category dapat
melengkapi dasar pilihan terhadap matematika, yakni teori rangkaian (Lawvere,
1966). Pandangan ini belum sepenuhnya dibenarkan, namun tidak menggantikan
tantangan terhadap keuniukan dasar-dasar rangkaian teoritis. Dalam hal ini juga
ada cabang teori kategori (teori Topos) dalam hal logika instuionist dan klasik
dapat dikurangi (Bell, 1981). Karena teori rangkaian aksiomatik dapat dinyatakan
dalam logika klasik urutan pertama, maka hal tersebut selanjutnya dapat dikurangi
untuk teori kategori.
Kedua instuisi yang masuk akal memberikan dasar untuk matematika.
Walaupun tidak semua matematika klasik dalam hal dasar ini, banyak program
instuisi sudah diterapkan untuk menganalisis , oleh uskup (1967) dan lain-lain.
Selanjutnya intuisi yang masuk akal berisi tentang penggabungan matematika, tidak
seperti dasar penetapan teori pada matematika klasik. Demikianlah didasar ini ada 2
pendapat,yaitu tuntutan untuk membantah struktur matematika yang unik..
Faktanya, sejarah matematika mengajarkan kita pelajaran yang berlawanan.
Seluruhnya perkembangan matematika itu berubah melalui dasar penyusunan kembali

5. 5
konsep matematika, teori dan pengetahuan (Lakatos, 1976). Jadi meskipun struktur
memainkan peran sentral dan mengatur pengetahuan matematika, mereka adalah
beberapa struktur yang mengatasi dan memperbaiki selama perjalanan waktu. Tidak
ada alasan untuk menduga bahwa teori-teori alternatif dan formulasi akan pernah
habis. Pandangan semacam itu merupakan pusat costructivisim sosial, dan filsafat lain
yang mengakui matematika sebagai dasar sejarah. Jadi tidak hanya itu benar bahwa
pada satu waktu matematika dapat dijelaskan oleh struktur hirarkis tunggal yang unik,
tetapi juga dari waktu ke waktu apa struktur yang hadir berubah dan berkembang.
Dalam menyangkal dianggap bahwa matematika memiliki struktur hirarkis
yang unik, perhatian larangan yang telah dibatasi secara masuk akal, itu adalah
struktur deduktif dari teori matematika. Sebagaimana telah kita lihat hierarki dapat
didefinisikan dengan cara lain, yang paling menonjol, memiliki hirarki istilah dan
definisi. Meskipun hal ini hampir tidak signifikan dalam matematika sebagai struktur
deduktif, argumen yang sama dapat ditransposisikan dalam bidang ini. Untuk struktur
deduktif teori apapun disertai dengan definisi hirarki, dan hampir sebanyak struktur
definisi yang ada deduktif. Jadi tidak ada definisi hirarki yang unik. Untuk lebih
lanjut, hierarki global digunakan dalam matematika. Dalam teori individul atau
domain beberapa hierarki tentu memang ada, seperti derajat turing (dari unsolvability)
dalam teori rekursi (lonceng dan machover, 1977). Tapi ini bukan dalam struktur satu
pun pecahan yang signifikan pengetahuan matematika. Dengan demikian dapat
ditegaskan bahwa matematika unequaivocally tidak memiliki struktur hirarki secara
keseluruhan, dan tentu bukan satu yang unik, bahkan ketika menduga itu ditafsirkan
murah hati dan longgar.
Apakah matematika seperangkat komponen pengetahuan diskrit?
Ada anggagpan lebih lanjut mengenai dalam sifat dan struktur pengetahuan
matematika yang layak impor pemeriksaan karena pendidikannya. Ini adalah asumsi
bahwa matematika dapat dianalisa menjadi komponen-komponen pengetahuan diskrit,
jumlah tidak terstruktur (atau lebih tepatnya set) yang lebih tepatnya merupakan
disiplin. Anggapan ini mensyaratkan bahwa proposisi matematika adalah pembawa
independen makna dan signifikansi.
Membedakan antara formal, informal dan wacana matematika sosial, jelas
bahwa tuduhan ini yang terbaik dibuat untuk matematika formal. Selama dua domain
lainnya mengandaikan makna konteks, seperti yang akan dikatakan di bawah ini.

6. 6
Karena struktur adalah salah satu ciri pengetahuan matematika, tuduhan ini juga
dapat beristirahat dianggap yang tidak beralasan bahwa ada struktur yang unik untuk
matematika. Hal ini mungkin diperlukan agar ketika diskrit 'molekul' pengetahuan
adalah rekombinasi, tetap dan ditentukan seluruh (tubuh pengetahuan matematika)
hasil: kami telah membuang anggapan kedua di atas. Namun, perkiraan bahwa
proposisi matematika adalah pembawa makna bebas dan signifikansi juga gagal.
Pertama-tama, ekspresi matematika formal maknanya berasal dari teori aksiomatik
atau sistem formal di mana mereka muncul. Tanpa konteks ini mereka kehilangan
beberapa signifikansi mereka, dan struktur yang dikenakan oleh teori kegagalan.
Kedua, ekspresi matematika formal secara tegas makna semantik mereka dari
kelas interpretasi atau interpretasi yang dimaksudkan terkait dengan teori formal
diberikan dan bahasa. semantik tersebut telah menjadi bagian standar yang masuk
akal secara resmi sejak Tarski (1936). bangsa ini telah diperpanjang untuk perawatan
teori-teori ilmiah secara resmil oleh sneed (1971), yang menambahkan kelas
penafsiran dimaksudkan untuk struktur secara resmi dari teori. Jadi perbedaan
ungkapan matematika ke bagian terisolasi dan diskrit menyangkal mereka banyak
signifikansi mereka dan semua makna semantik. ungkapan tersebut akibatnya
memiliki sedikit tuduhan dianggap sebagai komponen "molekul" pengetahuan
matematika.
Bahkan lebih daripada di atas, ungkapan matematika informal wacana
memiliki makna yang tersirat berkaitan dengan latar belakang teori dan konteks
keseluruhan. Untuk aturan dan makna yang mengatur ekspresi seperti tidak memiliki
ketentuan formal tepat, tetapi lebih bergantung pada aturan implicit/mutlak
penggunaan (Wittgenstein, 1955). Model semantik bahasa baik formal dan informal
semakin menarik konteks ujaran (barwise dan perry, 1982). Apakah diekspresikan
dalam bahasa formal atau informal, ekspresi matematika tidak dapat dianggap sebagai
berdiri sendiri, makna bebas. Jadi matematika tidak dapat diwakili hanya sebagai satu
set 'molekul' proposisi, karena ini tidak mewakili hubungan struktural antara
proposisi, serta kehilangan maknanya tergantung pada konteks.
B. Pendapat yang berbeda tentang masalah dan penylidikan
Salah satu dari perbedaan diatas bahwa tafsiran yang berbeda telah diberikan
kepada masalah-masalah dan penyelidikan-penyelidikan, dan peranya dalam
pengajaran matematika.

7. 7
Penolakan terhadap pemecahan masalah dan penyelidikan
Reaksi negatif yang sangat kuat terhadap masalah dan penyelidikan adalah
tertolaknya mereka sebagai ketidak pantasan untuk matematika sekolah. Hal ini
didasarkan pada persepsi bahwa matematika sekolah yang berorientasi pada isi, dan
fungsi utamanya untuk menanamkan ketrampilan matematika dasar. Di dalam
masalah dan penyelidikan dianggap sesuatu yang sembrono, yang menyia-nyiakan
waktu yang seharusnya lebih kepada 'kerja keras'.
Hal ini merupakan respon dari kelompok industri. Secara khusus, menentang
dengan tegas penelitian secaara eksplisit (Froome, 1970; Lawlor, 1988). Kelompok
ini memiliki pandangan yang sempit tentang isi matematika karena epistemologi
dualistiknya. Selain itu, teori industri mengatakan, mengajar merupakan sebuah model
pengiriman yang otoriter, dan sangat menentang setiap langkah untuk meningkatkan
otonomi pembelajaran (Lawlor, 1.988).
Penggabungan masalah dan pemeriksaan sebagai suatu isi
Tanggapan kelompok kedua atas masalah dan penyelidikan adalah
memperlakukan sebagai isi tambahan yang akan disatukan dalam kurikulum
matematika. Jadi, ini dianggap sebagai obyek penelitian yang digunakan untuk
memperkaya pengajaran, dan bukan dalam hal proses pembelajaran atau pendekatan
pedagogis yang dianut dalam matematika. Secara khusus, penyelidikan ini tidak
dipahami dalam syarat-syarat pengajuan masalah.
Dalam cara yang berbeda, ideologi humanis dan teknologi pragmatis,
keduanya berbagi tentang pandangan ini. Keduanya didasarkan pada filsafat yang
absolut dalam matematika. Yang lebih melihat masalah sebagai jalan memperkaya isi
dalam kurikulum matematika, dan lebih kurang mengidentifikasi penyelidikan dengan
masalah.
Orang-orang humanis lama berperspektif bahwa masalah sebagai aplikasi
pengetetahuan non-rutin, atau sebagai sarana penting untuk demonstrasi
pembelajaran, pemahaman dan bakat.Namun, perspektif ini menaruh perhatian pada
pengetahuan matematika murni untuk pelajar, sehingga penyelidikan tidak saja
dipahami sebagai hal mengajukan soal oleh peserta didik.
Nilai-nilai perspektif teknologi pragmatis mendorong diterapkanya pemecahan
masalah, dan pemodelan matematika. Dengan demikian pemecahan masalah dipahami
dalam hal ysng praktis, yang menyebabkan hasil nyata. Penyelidikan Matematika

8. 8
yang dimasukkan di dalam konsepsi masalah ini, dipahami sebagai teka-teki. Jadi
Burghes (1984), yang mewakili perspektif ini, mengkategorikan investigasi kedalam 4
bagian (1) eureka penyelidikan, (2) eskalator penyidikan, (3) keputusan masalah dan
(4) masalah nyata. Ini merupakan identifikasi penyelidikan berbasis masalah, untuk
mengajukan dimensi soal yang diabaikan atau ditolak. Secara keseluruhan, masalah
dan investigasi diidentifikasi dengan objek penelitian, dan diperlakukan sebagai
tambahan dalam kurikulum, kecuali pemodelan matematika yang dipahami dalam hal
proses.
Pemecahan masalah dan penelitian sebagai pedagogi
Prespektif kelompok ketiga melihat pemecahan masalah dan penyelidikan
sebagai pendekatan pedagogis untuk seluruh kurikulum, dan bukan hanya sekedar
tambahan. Pandangan semacam itu muncul dari filsafat matematika yang melihatnya
setidaknya sebagai bidang pengembangan ilmu pengetahuan, atau sebagai konstruksi
sosial. Mereka prihatin dengan peran manusia dalam perkembanan pengetahuan, dan
sebab itu hal ini mencerminkan proses pemecahan masalah dan investigasi dalam
kurikulum matematika, termasuk pengajuan masalah, yang mengarah pada
pemecahan masalah dan pedagogi dalam penelitian.
Perspektif pendidik progresif yang bersangkutan memfasilitasi kreativitas
individu dalam matematika, pemecahan masalah dan investigasi dianggap sebagai
pusatnya. Dengan demikian pemecahan masalah dan penyelidikan diterapkan dalam
ruang kelas baik dari segi proses pembelajaran dan pendekatan pedagogis. Untuk
mendukung pembelajaran ini pedagogi ditawarkan dan dirancang khusus dalam
lingkungan dan situasi untuk eksplorasi matematika, mendorong merumuskan dan
melanjutkan investigasi mereka sendiri. Peran guru dipahami dengan cara mendukung
pedagogi ini, sebagai manajer lingkungan belajar, sebagai sumber belajar dan
fasilitator belajar. Rentang mata pelajaran untuk investigasi mungkin dalam situasi
matematika murni, atau topik skematis tentang 'aman' sebagai lawan politik. Sesuai
dengan ideologi keseluruhan, penekanannya pada individu siswa dan kepentingan
mereka, dan bukan struktural dalam konteks sosial dimana mereka tinggal, belajar dan
akan mencari nafkah.
Pendidik publik ini menerima banyak pandangan perspektif yang sebelumnya
dari pemecahan masalah dan pedagogi yang diteliti, tetapi menambahkan dimensi
sosial-politik. Jadi pedagogi yang dianut oleh pendekatan ini akan melibatkan

9. 9
sejumlah fitur yang memudahkan pendekatan penelitian, termasuk kerja kelompok
dan diskusi, otonomi dan diri mahasiswa dalam pengajauan masalah dan investigasi.
Semua ini dapat dipergunakan bersama-sama dengan perspektif pendidik progresif.
Namun pendidik masyarakat melampaui hal ini, melalui dorongan dari pemikiran
kritis mempertanyakan pembelajaran yang berpusat pada isinya saja. Penilaian dan
penggunaan masalah pedagogy sosial yang relevan terhadap situasi, proyek dan topik,
keterlibatan sosial dan penguasaan pada pembelajaran. Dengan demikian pemecahan
masalah dan penyelidikan sebagian didasarkan pada bahan otentik seperti koran,
statistik resmi, dan masalah sosial. Untuk pendidik publik, pedagogi ini merupakan
sarana untuk mengembangkan keterampilan kewarganegaraan dan keterlibatan sosial
antara peserta didik.
C. Hubungan antara Epistemologi dan Pedagogi
Dalam beberapa tahun terakhir, sejumlah laporan resmi dan otoritatif telah
merekomendasikan pemecahan masalah untuk digabungankan ke dalam pengajaran
matematika sekolah. Di dalam Cockcroft (1982), Majesty’s Inspektorat (1985), dan di
Amerika Serikat NCTM (1989) hal ini telah termasuk di dalamnya.
Namun, satu hambatan bagi reformasi kurikulum adalah interpretasi yang
diberikan kepada rekomendasi tersebut. Untuk konsep pemecahan masalah dan
penyelidikan berasimilasi dengan perspektif penafsir dan dipahami seperti yang kita
lihat di atas. Kemampuan guru dalam pemecahan masalah, belum lagi pendekatan
mengajar mereka, tergantung pada keyakinan mereka tentang matematika
(Schoenfeld, 1985). Bukti empiris menunjukkan bahwa guru dapat menafsirkan
masalah dan penyelidikan dalam hal yang sempit. Lerman (1989a), misalnya,
menjelaskan bagaimana penelitian bekerja di dalam matematika sekolah yang
digerogoti oleh pandangan bahwa ada hasil yang unik, suatu filsafat absolut
mengkhianati dasar matematika tersebut.
Hambatan kedua adalah implementasinya. Hal ini melibatkan hubungan antara
teori-teori pengajaran dan pembelajaran, yang mewujudkan pedagogi dari perspektif
tertentu, dan praktek di dalam kelas. Pada skala besar, ini adalah perbedaan antara
rencanakan akan kurikulum yang diajarkan. Pada skala kecil, ini adalah perbedaan
antara teori-teori yang dianut guru dalam belajar mengajar. Beberapa studi telah
mengungkapkan guru yang menganut pendekatan pemecahan masalah, mengajar
matematika dengan tipenya konsonan atau hampir sama dengan pendidik progresif.

10. 10
Tapi hal yang dipraktekan hanya berkisar ekspositoris saja, dan model transmisi
pengajaran diperkaya dengan penambahan masalah (Cooney, 1983; 1985; Thompson,
1984; Brown, 1986). Gambar 13.1 menyediakan model dari beberapa hubungan yang
terlibat.
Gambar 13.1
Hal ini menunjukkan bagaimana salah satu komponen utama ideologi guru,
dari filosofi pribadi matematika, yang mendasari dua komponen sekunder, yaitu teori
belajar dan mengajar matematika. Pada akhirnya berdampak pada praktek sebagai
model pembelajaran matematika, termasuk penggunaan salah satu sumber daya yang
dipilih, yaitu penggunaan teks matematika. Ini cukup penting untuk dibedakan, untuk
mewujudkan teks dan epistemologi, dan sejauh mana mereka mengurutkan presentasi
matematika sekolah dan kurikulum yang penting untuk dilaksanakan (Cooney,
1988;Goffree, 1985). Tanda panah ke bawah pada gambar menunjukkan arah
pengaruh yang utama. Isi komponen yang lebih tinggi tercermin pada komponen yang
lebih rendah. Karena model yang berlaku saat ini saling berkaitan, seperti teori belajar
mengajar yang dianut, ini diwakili dalam gambar sebagai rantai horisontal yang
digambar di antara mereka.
Epistemologi secara keselurahan Dan
Perspektif Etis
Pandangan alam pada
matematika
Model pendukung
mengajar matematika
Membuat model
mengajar
matematika
Mengunakan
teks-teks
matematika
Model pendukung
belajar matematika
Batasan dan kesempatan yang diberikan oleh konteks sosial
mengajar
Membuat
model belajar
matematika

11. 11
Namun dampak dari teori-teori yang dianut pada praktek ditengahi oleh
peluang dan batasan yang disediakan oleh konteks sosial pengajaran (Clarkdan
Peterson, 1986). Konteks sosial memiliki pengaruh kuat, sebagai hasil dari sejumlah
faktor mencakup harapan dari yang lain, seperti para siswa, orang tua mereka, rekan-
rekan guru dan atasan. Ini juga hasil dari kurikulum dilembagakan; teks yang diambil
atau skema rencana kurikuler sistem penilaian, dan sistem pendidikan nasional secara
keseluruhan. Konteks sosial memimpin guru untuk menginternalisasi serangkaian
kendala yang kuat yang mempengaruhi diberlakukannya model pembelajaran
matematika. Model yang digambarkan pada Gambar 13.1 sangat sederhana, ini
terlihat karena hubungannya yang lebih kompleks dan lebih mekanistik. Jadi,
misalnya, walaupun kepercayaan yang ditetapkan saat ini ditampilkan terpisah dari
konteks sosial, mereka melekat di dalamnya. Selain itu, semua praktek dan
kepercayaan menjadi bagian dari suatu sistem interaktif, dan tekanan pada setiap titik,
seperti dalam kelas praktek, akankah umpan balik dapat mempengaruhi semua
komponen lainnya.
3. Kekuatan Masalah Pedagogi
Masalah pedagogi, seperti dalam teori mengajar matematika, dan pada tingkat
lebih rendah, teori progresif pendidik, merupakan emansipator yang kuat dalam
pendekatan pengajaran, dan ketika berhasil dilaksanakan, memberdayakan pelajar
epistemologis. Mengetahui aktif mendorong dan penciptaan pengetahuan oleh peserta
didik, dan melegitimasi bahwa matematika, setidaknya dalam konteks sekolah. Pada
umumnya bahwa bukan bentuk dan isi pendidikan yang memiliki dampak terbesar,
telah dikemukakan (Bowles dan Gintis, 1976), dan matemmatika (Noss, 1989).
Pandangan ini ditantang di bab 11, yang dikatakan bahwa pandangan hierarkis
pengetahuan serta bentuk hirarki organisasi berkontribusi terhadap penciptaan-ulang,
jika tidak reproduksi, dari pertidaksamaan sosial melalui pendidikan. Implikasi ini
adalah bahwa baik isi dan bentuk materi pengajaran, meskipun mungkin ilusi untuk
berpikir bahwa mereka dapat dipisahkan. Untuk mencerminkan konstruktivis sosial,
atau bahkan pandangan progresif absolut matematika, masalah berpose pedagogi
harus mencakup perlakuan terhadap konten serta pendekatan pengajaran.
A. Melawan reproduksi dalam Kurikulum Matematika
Empat dari lima ideologi pendidikan matematika yang disajikan di atas memiliki
tujuan yang sosial reproduksi, baik dalam arti keras atau lembut. Rasa keras kaku

12. 12
sesuai dengan definisi batas kelas, sedangkan rasa lembut sesuai dengan semi-
permeabel definisi batas kelas, memungkinkan peningkatan sosial yang terbatas pada
merit, dalam masyarakat dilihat sebagai progresif dan mendebat balik. Dari lima
ideologi, hanya dari pendidik progresif adalah ideologi perubahan sosial. Ini bertujuan
untuk memberdayakan peserta didik untuk menjadi sadar dan kemudian untuk
mengendalikan kehidupan mereka untuk menantang kekuatan reproduksi di tempat
kerja di sekolah dan masyarakat. Berarti pusat untuk mencapainya adalah dengan
mengajukan soal pedagogi. Hal ini tercermin dalam pemberdayaan pelajar kelas, pada
awal dan akhir epistemologis, sosial dan politik, melalui kesadaran kritis tentang
peran matematika dalam masyarakat. Pendekatan ini berupaya untuk meminimalkan
atau membuat eksplisit hierarki kekuatan tersembunyi yang dicontohkan di kelas,
yang memainkan peran penting dalam memperkuat penerimaan dari hierarki sosial
tetap. Perspektif pendidik publik juga tantangan rigit hierarki dalam sifat pengetahuan
matematika, dalam kurikulum matematika, dan di atribusi kemampuan matematika
untuk pelajar. Semua hierarki dapat melayani untuk mendukung dan
mengkonsolidasikan reproduksi hirarki sosial.
Melanjutkan kesempatan yang sama dalam matematika
Ada masalah khusus reproduksi sosial dengan perhatian penolakan
kesempatan yang sama dalam matematika kelompok minoritas etnis, terutama orang
kulit hitam, dan untuk perempuan (chapter 12). Solusi yang diusulkan untuk masalah
ini adalah implementasi dari masalah berpose pedagogi, berdasarkan ideologi
pendidik publik. Semakin lebih lanjut peluang yang sama kulit hitam dalam
matematika, maka sekolah dan masyarakat memerlukan anti-rasis mengajar
matematika. Seperti bijaksana, untuk lebih lanjut peluang perempuan membutuhkan
anti-seksis mengajar matematika. Kedua pendekatan lain pada masalah berpose
pedagogi, yang diusulkan karena memberdayakan semua peserta didik, bukan
minoritas defcient.
BAB III
KESIMPULAN
Pandangan semacam itu merupakan pusat pembangunan sosial, dan filsafat
lain yang mengakui matematika sebagai dasar historisnya. Jadi tidak benar bahwa

13. 13
pada satu waktu matematika dapat dijelaskan oleh struktur hirarkis tunggal yang unik,
tetapi juga dari waktu ke waktu struktur yang hadir selalu berubah dan berkembang.
Dengan demikian dapat ditegaskan bahwa matematika tidak memiliki struktur
hirarki secara keseluruhan, dan tentu bukan satu yang unik, bahkan ketika klaim itu
ditafsirkan murah hati dan longgar.
Penyelidikan Matematika yang dimasukkan di dalam konsepsi masalah ini,
atau dipahami sebagai teka-teki. Jadi Burghes (1984), yang mewakili perspektif ini,
mengkategorikan investigasi kedalam (1) eureka penyelidikan, (2) eskalator
penyidikan, (3) keputusan masalah dan (4) masalah nyata. Ini merupakan identifikasi
penyelidikan dengan masalah, untuk mengajukan soal dimensi yang diabaikan atau
ditolak. Secara keseluruhan, masalah dan investigasi yang diidentifikasi dengan objek
penelitian, dan diperlakukan sebagai tambahan isi kurikulum, kecuali bahwa
pemodelan matematika dipahami dalam hal proses.