1. LembarKerja Siswa (LKS)
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/ Semester : X / 2
Pokok Bahasan : Ruang Dimensi Tiga
Sub Pokok Bahasan : Jarak pada Bangun Ruang
Alokasi Waktu : 2 x 45 menit (1 x pertemuan)
Kedudukan Titik Terhadap Garis
Jarak dua benda pada ruang merupakan jarak terdekat antara dua titik pada benda
tersebut. Hubungan titik dan ruas garis pada gambar di atas dapat disajikan berikut:
Titik A terletak pada garis g. Garis g melalui titik A.
Jadi jarak titik A dengan garis g adalah ….
Titik B berada di luar garis g. Garis g tidak melalui
titik B.
Jadi jarak titik B dengan garis g adalah ….
Jadi bila benda-benda dan burung itu diandaikan sebagai titik dan jalan raya itu sebagai
garis maka:
a. Titik dikatakan terletak pada garis jika antara titik dan garis itu tidak ada jarak sama
sekali.
b. Titik dikatakan di luar garis, jika ada jarak antara titik dan garis itu
Dari gambar di samping kita melihat
bahwa pohon dan tiang lampu jalan
terletak di pinggir jalan. Terletak artinya
tidak ada jarak antara benda-benda
tersebut dengan jalan raya, sebesar atau
setinggi apapun benda itu.
Sedangkan antara burung dan lampu
terhadap jalan raya ada suatu jarak,
karena memang burung dan lampu itu
tidak terlekat di jalan/pinggir jalan raya.
2. Contoh Soal
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Tentukan jarak titik F ke
garis AC.
Beberapa langkah dalam menyelesaikan soal tersebut adalah sebagai berikut:
a. Gambarkan kubus tersebut
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
Jumlah titik sudut ada…..
Jumlah rusuk ada…..
Jumlah sisi ada…..
Diagonal sisi adalah AC, BD, …,….
Diagonal ruang adalah BH, …,….
Bidang diagonal adalah ACGE, ……
b. Panjang AB = BC = BD = ….= 2 cm
Panjang semua rusuk kubus adalah ……… = 2 cm
Sisi ABCD // sisi EFGH, sisi BCGF // sisi……, dan …… / / …….
Jadi ketiga pasang sisi kubus saling …..
Sketsa segitiga yang terbentuk :
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
Jadi jarak titik F ke garis AC adalah ……….
c. Jika A, C, dan H dihubungkan maka akan membentuk bidang segitiga…..
Panjang sisi-sisi segitiga itu adalah :
AC adalah sisi miring dari segitiga siku-siku ABC. Maka menurut dalil Pythagoras
AC2 = AB2 + BC22
sehingga AC =
2
2
BC
AB
=
2
2
....
2 = 4
... = 8 = ....
...
2
.
4
2
.
4
3. A B
H
M
F
E
D C
G
N
O
M
N
O
Karena segitiga sama sisi maka AC = CF = … = …
AP = ½ AC = …….
Jarak titik F ke garis AC sama dengan garis FP, sehingga panjang FP adalah:
FP = 2
2
AP
AF = 2
2
......
)
2
2
( = …..
d. Jika kubus ABCD.EFGH berukuran a, tunjukkan bahwa panjang diagonal sisinya
adalah a 2
Perhatikan segitiga ABC pada kubus. Segitiga ABC siku-siku di B. menurut teorema
Pythagoras AC2 = AB2 + BC22.
Sehingga AC =
2
2
BC
AB
=
2
2
.a
a =
2
... a
=
2
2a = 2
2
.
2 2
2
a
a
a
AC adalah salah satu diagonal sisi kubus. Karena panjang diagonal sisi kubus sama
panjang maka panjang AC = panjang diagonal sisi kubus = 2
a
e. Jika M adalah titik potong diagonal sisi EG dan FH pada kubus ABCD.EFGH di
atas. . Misalkan titik M dihubungkan ke titik A, B, C dan D, maka akan terbentuk
bangun ……..
Jarak titik M ke rusuk alas limas sama dengan mencari jarak titik ….. ke rusuk AB.
Misalkan N adalah titik tengah AB, maka jarak titik M ke ruas garis AB sama dengan
jarak titik M ke titik N. Misakan pula O adalah titik tengah EF, maka OM = ½ FG
dan ON = AE.
OM tegak lurus EF dan ON tegak lurus AB sehingga ruas garis MN tegak lurus ruas
garis AB. Hal ini berarti segitiga MON siku-siku di O.
Menurut dalil Pythagoras,
OM2 = OM2 + ON2
4. 2
......... ON
OM
......
2
1
2
a
OM
2
2
4
4
4
1
a
a
2
.....
.....
a
5
2
1
2
a
2
...
...
....
5
5
2
1
a
Jadi jarak titik M ke rusuk alas limas M.ABCD = 5
2
1
a
OM
5. K L
S R
Q
P
N
M
KUNCI JAWABAN PENILAIAN PRODUK DAN PROSES
Jawaban Tingkat
berpikir
Skor
a. Gambar kubus
Rusuk kubus : KL, LM, MN,KN, KP,LQ,MR,NS,PQ,QR,RS,SP
Diagonal sisi : KQ,LP,LR,MQ,MS,RN,KS,NP,KM,LN,QS,PR
Diagonal ruang :KR,LS,BQ,MP
Visualisasi
b. KL, LM, MN,KN = 8 cm.
sehingga panjang seluruh rusuk kubus adalah 8 cm
panjang KM = panjang MS = panjang KS.
Karena ketiga sisi tersebut sama panjang maka segitiga yang
terbentuk adalah segitiga sama sisi.
Gambar sketsa segitiga adalah:
M
K T S
Jadi jarak titik M ke garis KS adalah MT
Analisis
c. Menghitung panjang KS.
KS adalah sisi miring dari segitiga siku-siku KSP. Maka
menurut dalil Pythagoras
KS2 = KS2 + SP2
sehingga KS = 2
2
SP
KS
= 2
2
8
8 = 64
64 = 2
8
Karena segitiga sama sisi maka KS = KM = SM = cm
2
8
KT = ½ KS = ½ . 2
4
2
8
Jarak titik M ke garis KS sama dengan garis MT, sehingga
panjang MT adalah:
Deduksi
informal
6. MT = 2
2
KT
KM = 6
4
)
2
4
(
)
2
8
( 2
2
Jadi jarak M ke garis KS adalah 4√6 cm
d. Menentukan jarak titik sudut ke diagonal sisi
M
2
a
K 2
2
1
a T S
Deduksi
e. Semua diagonal ruang kubus berpotongan di satu titik, yaitu
dipertengahan ruas garis diagonal ruangnya. Misalkan
perpotongan diagonal-diagonal ruang adalah titik T, maka
T.KLMN, T.OPQR, T.LMQP, T.KNRO, TKLPO dan
T.MQRN adalah limas persegi beraturan dengan tinggi ½
rusuk kubus KLMN.OPQR. Jarak titik T ke salah satu rusuk
kubus sama dengan jarak titik T rusuk alas limas. Salah satu
limas yang terbentuk dapat digambarkan berrikut.
Pada gambar limas T.KLMN di atas, O adalah titik potong
diagonal sisi KM dan LN, serta P adalah titik tengah LM.
Pada segitiga POT, siku-siku di O dan OP = ½ KL dan OT =
½ LQ.Menurut dalil pythagoras,
PT2 = PO2 + OT2
2
2
2
1
2
1
a
a
PT
2
2
4
1
4
1
a
a
PT
Rigor
KT = ½ KS = ½. A = 2
2
1
a
Jadi
MT = 2
2
KT
KM
6
2
1
2
3
2
1
2
)
2
(
)
2
(
2
2
2
2
1
2
a
a
a
a
a
a
