Geometri mtk

1. M AT E M AT I K A X S M A
GEOMETRI

2. PENGERTIAN TITIK, GARIS DAN
BIDANG
• TITIK
 Titik hanya dapat ditentukan oleh letaknya tidak
berukuran (tidak berdimensi).
 Titik digambarkan dengan tanda noktah dan dibubuhi
nama, biasanya dengan huruf kapital.
A P
Titik A Titik P

3.  Garis merupakan himpunan titik-titik.
 Memiliki ukuran panjang, tetapi tak punya ukuran
lebar.
 Biasanya garis hanya dilukiskan sebagian saja,
disebut segmen garis.
 Nama segmen garis dilambangkan dengan huruf
kecil (g, h, k) atau menyebutkan nama segmen
garis dari titik pangkal ke titik ujung.
• GARIS
g
Garis g
A
B
Segmen/ ruas garis AB

4.  Bidang (Bidang datar) memiliki ukuran panjang
dan lebar.
 Sebuah bidang memiliki luas yang tak terbatas.
Dalam geometri, sebuah bidang cukup
digambarkan wakilnya saja, yaitu suatu daerah
terbatas yang terletak pada bidang.
 Wakil bidang berbentuk persegi, persegi panjang,
atau jajar genjang, diberi nama α, β, µ atau H, U,
V, W, atau dengan menyebutkan titik-titik sudut
bidang tersebut.
• BIDANG
µ
Bidang µ Bidang ABCD
A B
C
D

5. Dalil 1
Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik
sembarang.
Dalil 2
Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis
dan sebuah titik (titik berada di luar garis).
Dalil 3
Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah
garis berpotongan.
Dalil 4
Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah
garis sejajar
A B
C
A
g
g
h
g
h

6. Aksioma EUCLIDES
Aksioma adalah pernyataan yang diandaikan benar dalam sebuah sistem
dan kebenaran itu diterima tanpa pembuktian. Euclides,
memperkenalkan 3 aksioma penting dalam geometri.
Aksioma 1
Melalui dua buah titik sembarang (tidak berimpit)
hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.
Aksioma 2
Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai
dua buah titik persekutuan, maka garis tersebut
seluruhnya terletak pada bidang
Aksioma 3
Melalui tiga buah titik sembarang (tidak pada satu
garis) hanya dapat dibuat sebuah bidang.
A
B
α
α
A
A B
B
C

7. KEDUDUKAN TITIK
Kedudukan titik terhadap garis
• Titik terletak pada garis
• Titik terletak di luar garis
A
A

8. Kedudukan titik terhadap bidang
• Titik terletak pada bidang
• Titik terletak di luar bidang
α
α
A
A

9. KEDUDUKAN GARIS
Kedudukan garis terhadap garis
• Dua buah garis berpotongan
Ada satu titik persekutuan
• Dua garis berhimpitan
Ada lebih dari satu titik persekutuan
• Dua garis bersilangan
Tidak berpotongan, tidak terletak
dalam satu bidang
α
A
α
h
α
A
𝑔
𝑔
h

10. • Dua garis sejajar
Tidak ada titik persekutuan, dalam satu bidang
α h
𝑔
Aksioma 4
Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis, hanya dapat dibuat
sebuah garis yang sejajar dengan garis itu.
α h
𝑔
A

11. Dalil 5
k // l
l // m
Maka, k // m
Dalil 6
k // l
k dan l memotong g
Maka, k, l, dan g terletak dalam satu bidang
Dalil 7
k // l
l menembus bidang α
Maka, k menembus bidang α
k
l
m
α
k
l
g
α
k
l
Dalil tentang dua garis sejajar

12. Kedudukan garis terhadap bidang
1. Garis terletak pada bidang
Dua atau lebih titik persekutuan
2. Garis sejajar bidang
Tidak terdapat titik persekutuan
3. Garis memotong bidang
Ada satu titik persekutuan (titik
tembus)
α
α
α
A
B
g
g
A
g

13. Dalil tentang garis sejajar bidang
Dalil 8
g // h
h terletak pada bidang α
Maka, g // bidang α
Dalil 9
α melalui g
g // bidang β
Maka, (a, β) // g
α
g
β
α
g

14. Dalil 10
g // h
h // bidang α
Maka, g // bidang α
Dalil 11
α berpotongan dengan β
a // g
β // g
Maka, (a, β) // g
α
h
β
(a,β)
α
g

15. 1. Dua bidang berimpit
2. Dua bidang sejajar
Tak punya titik persekutuan
3. Dua bidang berpotongan
Memiliki satu garis persekutuan
(garis potong)
(a,β)
α
β
β
(a,β)
α
KEDUDUKAN BIDANG

16. Dalil 12
a // g
b // h
a dan b berpotongan pada bidang α
g dan h berpotongan pada bidang β
Maka, bidang α // bidang β
Dalil 13
bidang α // bidang β
Bidang µ memotong bidang α dan β
Maka, (α,µ) // (β,µ)
α
β
b
a
h
g
α
β
µ
(α,µ)
(β,µ)

17. Dalil 14
g menembus α
bidang α // bidang β
Maka, g menembus bidang β
Dalil 15
g // bidang α
Bidang α // bidang β
Maka, g // bidang β
α
β
g
g
α
β

18. Dalil 16
g terletak di bidang α
bidang α // bidang β
Maka, g // bidang β
Dalil 17
bidang α // bidang β
Bidang µ memotong bidang α
Maka, Bidang µ memotong bidang β
α
β
g
α
β
µ

19. Dalil 18
bidang α // bidang β
bidang β // bidang µ
Maka, Bidang α // bidang µ
Dalil 19
bidang α // bidang U
Bidang β // bidang V
Bidang α dan bidang β berpotongan di (α,β)
Bidang U dan bidang V berpotongan di (U,V)
Maka, (α,β) // (U,V)
α
β
µ
V
(U,V)
U
β
(a,β)
α

20. SOAL NOMOR 1
Diketahui garis 𝑔 dan h bersilangan. Bidang V melalui 𝑔 dan
sejajar dengan h. Bidang W melalui h dan berpotongan
dengan bidang V. 𝑚 adalah garis potong kedua bidang
tersebut maka ...
A. 𝑚 berhimpit dengan 𝑔
B. 𝑚 sejajar h dan memotong 𝑔
C. 𝑚 dan h bersilangan
D. 𝑚 memotong 𝑔 dan h
E. 𝑚 sejajar dengan 𝑔 dan memotong
h V
W
𝑚
h
𝑔

21. SOAL NOMOR 2
Diketahui garis 𝑙 dan 𝑚 masing-masing sejajar dengan
bidang. Pernyataan berikut yang benar adalah ...
A. garis 𝑙 sejajar dengan semua garis pada bidang
B. garis 𝑙 sejajar 𝑚 dan sejajar bidang
C. bidang yang memuat 𝑙 dan 𝑚 sejajar
D. jika 𝑙 dan 𝑚 berpotong garis 𝑙 dan 𝑚 sejajar dengan
bidang
E. garis 𝑚 sejajar dengan semua garis pada bidang
𝑙
𝑚

22. SOAL NOMOR 4
Diketahui garis 𝑎 tegak lurus 𝑏 pada bidang β. Garis h tegak
lurus pada bidang β maka :
(1) Terdapat bidang yang melalui garis h sejajar 𝑎
(2) Terdapat garis yang memotong h, sejajar β dan tegak
lurus 𝑎
(3) h tegak lurus 𝑎 dan h tegak lurus b
(4) Terdapat bidang yang tegak lurus h dan tegak lurus 𝑎
𝑎
𝑏
β
h