Educación

1. INSTITUCIÓN EDUCATIVA “INEM JORGE ISAACS”
GUÍA DE APOYO PEDAGOGICO SEGUNDO PERIODO 2021 DE MATEMATICAS 8°
Docentes: Paulo Cesar Dávalos, Juan Carlos Llantén, Fernando bastidas, David Salgado,
Maritza Herrera, Adolfo Saavedra, Mayerlin Chavarro, Justo Ortiz, Jaime Londoño, Robert
Araujo, Jeny Castillo, Javier Ochoa, Geremias Gonzales.
Segundo Periodo académico año lectivo 2021: Fecha de entrega de la guía de
aprendizaje SEGÚN CRONOGRAMA ES: hasta el 27 de agosto.
NOTA
El cumplimiento de las actividades propuestas en las fechas estipuladas se tendrá en cuenta
para la valoración de cada actividad, para presentar sustentación se debe entregar
previamente todas las actividades propuestas en esta guía en formato pdf. No se aceptaran y
calificaran trabajos por fuera de las fechas estipuladas en el cronograma.
ESTANDARES:
 Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba
conjeturas.
 Identifico diferentes métodos para solucionar ecuaciones lineales.
 Idéntico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones
algebraicas.
DERECHOS BASICOS DE APRENDIZAJE:
3. Reconoce los diferentes usos y significados de las operaciones (convencionales y no
convencionales) y del signo igual (relación de equivalencia e igualdad condicionada) y los
utiliza para argumentar equivalencias entre expresiones algebraicas y resolver ecuaciones
lineales.

2. 9. Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y
poner a prueba conjeturas en diversas situaciones o contextos.
•Identifica y analiza relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de
expresiones algebraicas y relaciona la variación y covariación con los comportamientos
gráficos, numéricos y características de las expresiones algebraicas en situaciones de
modelación.
•Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y
poner a prueba conjeturas en diversas situaciones o contextos.
NIVELES DE DESEMPEÑO – COMPETENCIAS
COMUNICACIÓN:
• Representa relaciones numéricas mediante expresiones algebraicas y opera con y
sobre variables
RAZONAMIENTO:
 Reconoce el uso del signo igual como relación de equivalencia de expresiones
algebraicas en los números reales.
 Usa el conjunto solución de una relación (de equivalencia y de orden) para argumentar
la validez o no de un procedimiento.
 Opera con formas simbólicas que representan números y encuentra valores
desconocidos en ecuaciones numéricas.
 Reconoce patrones numéricos y los describe verbalmente.
 Describe diferentes usos del signo igual (equivalencia, igualdad condicionada) en las
expresiones algebraicas.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:
 Propone y ejecuta procedimientos para resolver una ecuación lineal y
argumenta la validez o no de un procedimiento.
 Utiliza las propiedades de los conjuntos numéricos para resolver ecuaciones en
diferentes contextos.

3. SABERES PREVIOS

4. ACTIVIDAD # 1 DE SABERES PREVIOS (Entrega mes de junio)

5. POLINOMIOS
Definición del polinomio:
Un monomio es una expresión algebraica conformada por un coeficiente, una variable (generalmente ) y
un exponente, por ejemplo:
Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de un número finito de monomios
donde, es un número natural y
Coeficientes:
Variable o indeterminada:
Coeficiente principal:
Término independiente:
Ejemplo 1
Coeficientes: 2, 3, 5 , -3
Variable o indeterminada:
Grado de un Polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x

6. Según su grado los polinomios pueden ser de:
TIPO EJEMPLO
Grado cero
Primer grado
Segundo grado
Tercer grado
Cuarto grado
Quinto grado
Tipos de polinomios
1. Polinomio nulo
Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.
2. Polinomio homogéneo
Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.
3. Polinomio heterogéneo
Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.
4. Polinomio completo
Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de
mayor grado.

7. 5. Polinomio incompleto
Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término
de mayor grado.
Tipos de polinomios según el número de términos
 Monomio: Es un polinomio que consta de un sólo monomio.
 Binomio: Es un polinomio que consta de dos monomios.
 Trinomio: Es un polinomio que consta de tres monomios.
Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un
número cualquiera.
Ejemplo 2:
Calcular el valor numérico del polinomio: ,
para los valores iguales a :



8. 
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE # 2 (Entrega mes de julio)
1. Completar la siguiente tabla.
POLINOMIO COEFICIENTES VARIABLE GRADO TERMINOS
2. Calcula los valores numéricos indicados en cada caso del siguiente polinomio
a. X=1
b. X=2
c. X= -2
d. X=3
3. EDUCACIÓN AMBIENTAL
La producción de partículas contaminantes en un día normal en cierta ciudad
está representado por el polinomio (4x2
+ 5x +12) toneladas, mientras que en un
día sin carro es de (2x +4) toneladas. Si se reemplaza el valor de x=2, ¿Cuál es la
diferencia en la producción de contaminantes entre los dos días?, ¿es importante
participar en el día sin carro?

9. OPERACIONES CON POLINOMIOS: SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN
Y DIVISIÓN
Suma de polinomios
Para realizar la suma de dos o más polinomios, se debe sumar los coeficientes de los términos cuya parte literal
sean iguales, es decir, las variables y exponentes (o grados) deben ser los mismos en los términos a sumar.
Método 1 para sumar polinomios
Pasos:
1. Ordenar los polinomios del término de mayor grado al de menor.
2. Agrupar los monomios del mismo grado.
3. Sumar los monomios semejantes.
Ejemplo 3
Sumar los polinomios P(x) = 2x³ + 5x − 3, Q(x) = 4x − 3x² + 2x³.
1. Ordenamos los polinomios, si no lo están.
P(x) = 2x³ + 5x − 3
Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x
2. Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)
P(x) + Q(x) = (2x³ + 2x³) + (− 3 x²) + (5x + 4x) + (− 3)
3. Sumamos los monomios semejantes, para ello solo se suma sus coeficientes y su parte literal
queda igual.
P(x) + Q(x) = 4x³ − 3x² + 9x − 3

10. Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
Ejemplo 4
Restar los polinomios P(x) = 2x3
+ 5x – 3 ; Q(x) = 2x³ - 3x² + 4x.
1. P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)
2. Obtenemos el opuesto al sustraendo de Q(x).
P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x
3. Agrupamos.
P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3
4. Resultado de la resta.
P(x) − Q(x) = 3x² + x – 3
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Multiplicación de un número por un polinomio
La multiplicación de un número por un polinomio es, otro polinomio. El polinomio que se obtiene tiene el
mismo grado del polinomio inicial. Los coeficientes del polinomio que resulta, son el producto de los
coeficientes del polinomio inicial, por el número y dejando las mismas partes literales.
En otras palabras se multiplica el número por cada uno de los términos del polinomio

11. Ejemplo 4:
 3 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x – 6
 2 · (3x³ + 4x² + 2x − 1) = 6x³ + 8x² + 4x − 2
Multiplicación de un monomio por un polinomio
En la multiplicación de un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por todos y cada uno de los
monomios que forman el polinomio. Recordar que primero debemos multiplicar signos, posteriormente
multiplicar los monomios correspondientes, para lo cual, se debe multiplicar los coeficientes, y luego, realizar la
multiplicación de la parte literal, en donde, al multiplicar variables iguales los exponentes se sumarán.
Recordar que cuando se multiplican dos o más variables de la misma base se suman sus exponentes asi:
Xn
· Xm
= Xn+m

X2
· X3
= X2+3
= X5

4X2
· 5X3
= 20X2+3
=20 X5

3Y X2
· 4Y3
X3
= 12 Y1+3
X2+3
= 12 Y4
X5
Ejemplo 5:
 3x² · (2x³− 3x²+ 4x − 2) = (3x² · 2x³) - (3x² · 3x²) + (3x² · 4x) - (3x² · 2) = 6x5− 9x4 + 12x³ − 6x²
Multiplicación de polinomios
Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de la siguiente forma.
Método para multiplicar polinomios
Pasos:
1. Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.
2. Se suman los monomios del mismo grado, obteniendo otro polinomio cuyo grado es la suma de los
grados de los polinomios que se multiplican.

12. Ejemplo 6:
Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = 2x²− 3, Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x.
1. Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³− 3x² + 4x) = 4x5
− 6x4
+ 8x³− 6x³+ 9x²− 12x
2. Se suman los monomios del mismo grado.
P(x) · Q(x) = 4x5
− 6x4
+ 8x³− 6x³+ 9x²− 12x
= 4x5
− 6x4
+ 2x³ + 9x² − 12x
3. Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
P(x) · Q(x) = 4x5
− 6x4
+ 2x³ + 9x² − 12x
División de polinomios
Abordaremos la explicación con un ejemplo.
Ejemplo 7:
Resolver la división de los polinomios P(x) = x5
+ 2x3
− x − 8, Q(x) = x2
− 2x + 1.
P(x) ÷ Q(x)
1. A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que
correspondan.

13. 2. A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
3. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
Recordar que: xn
÷ xm
= xn - m
x5
÷ x2
= x5 - 2
= x3
4. Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio
dividendo:
5. Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el
resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
(2x4
÷ x2
= 2 x2
)
6. Procedemos igual que antes.
(5x3
÷ x2
= 5 x)

14. 10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE # 3 (Entrega mes de Julio)
1. Dados los polinomios
Realiza las operaciones que se indican a continuación:
a) A(x) + B(x)
b) A(x) – B(x)
c) D(x) + C(x)
d) B(x) – D(x)
2. Determina el perímetro de las siguientes figuras. Recordar que el
perímetro de una figura geométrica se calcula sumando las medidas de
todos sus lados. Por lo tanto un cuadrado de lado x su perímetro es
igual a P = x+x+x+x = 4x

15. 3. Halla los polinomios cuya suma sea cada uno de los siguientes
polinomios.
a. 2y + 4
b. 2x2
- 10x +20
c. -5x3
+ 3x2
-4x + 10
4. ESTILOS DE VIDA SALUDABLE
Sofía duerme tres horas diarias más de lo que duerme Isabela. Si x representa el número de
horas que duerme Isabela, ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el número de
horas que Sofía duerme en una semana? Un buen descanso ayuda a conseguir bienestar
mental y emocional. ¿Qué sucede si no duermes lo suficiente?
5. Resuelva las multiplicaciones entre polinomios.
a. (3x3) (4x4)
b. (4x5 ) (5x5 + 8x3)
c. (3x3 y2) (6x5y3 + 7x3)
d. (5x8 ) (4x5 - 11x3)
e. (2x6 ) (5x5 + 8x3)
f. (4x5 + 3x4y ) (5x5 + 8x3)

16. 6. Relaciona cada figura geométrica con el polinomio que representa su área.
7. Un lado de un rectángulo se representa con el polinomio x + 3 y el otro lado,
con el polinomio 3x + 1. A partir de esta información , determina:
a. El área del rectángulo en términos de x
b. El área del rectángulo si x = 2 cm.
8. Realice las siguientes divisiones dando el cociente y el resto en cada
una de ellas:
a. (2x² + 4x − 2) / 2
b. (15x6
− 20x5
+ 10x4
− 5x³) / 5x³
c. (2x³ + 9x² + 16x + 26) / (2x² + 3x + 7)
d. (3x7
− 4x6
+ 9x5
+ 30x² − 38x + 91) / (3x² − 4x + 9)
9. El área del triángulo es (2x3
+ 8x2
+ 3x + 12). Si su base es igual a (4x2
+ 6), ¿Cuál es la altura del triángulo?
Recordar que el área de un triángulo es igual a:

17. EXPRESIONES ALGEBRAICAS COMUNES
El doble o duplo de un número:
El triple de un número:
El cuádruplo de un número:
La mitad de un número:
Un tercio de un número:
Un cuarto de un número:
Un número al cuadrado:
Un número al cubo:
Ejemplos de Expresiones algebraicas
El triple de un número menos dos:
La mitad de un número menos cinco elevada al cubo:
El cuadrado de la suma de un número más tres:

18. PRODUCTOS NOTABLES
Binomio al cuadrado
Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el
segundo, más el cuadrado del segundo.
Si los dos signos del binomio son iguales, el doble del primero por el segundo es positivo.
Si los signos del binomio son distintos, el doble del primero por el segundo es negativo.
Ejemplos de ejercicios con binomios al cuadrado
1. (x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x ² + 6 x + 9
2. (2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² − 12x + 9
Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
Ejemplos de ejercicios con suma por diferencia
1. (2x + 5) · (2x - 5) = (2x)² − 5² = 4x² − 25
2. (2x² + y³) · (2x² − y³) = (2x²)² − (y³)² = 4x4
− y6

19. Binomio al cubo
Un binomio al cubo es igual al cubo del primero más el triple del cuadrado del primero por el
segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
Recomendamos aprenderte esta fórmula.
Ejemplos de ejercicios con binomios al cubo
1 .(x + 3)³
= x³ + 3 · x² · 3 + 3 · x · 3² + 3³
= x³ + 9x² + 27x + 27
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE # 4 (Entrega mes de agosto)
1. Escribe las expresiones algebraicas correspondientes a cada uno de los enunciados:
ENUNCIADO EXPRESIÓN ALGEBRAICA
El doble de un número más cuatro
Un número menos siete
La mitad de un número menos tres
elevada al cuadrado
El cubo de la suma de un número más
seis
El número once menos el triple de un
número
El doble de un número más cuatro
La suma de dos números consecutivos
2. Calcula el producto notable según sea el caso
a. (x + 4)²
b. (2x + 3)²
c. (x + 5) · (x - 5)
d. (5x + 6) · (5x - 6)

20. e. .(x + 7)³
3. Un carpintero necesita hacer una puerta para una alacena en una cocina. Si se
sabe que las medidas de la puerta son (3x + 9)(3x - 9), respectivamente. ¿Cuál es
el área de la puerta?
ECUACIONES
En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:
1. Quitar paréntesis.
2. Quitar denominadores.
3. Agrupar los términos en en un miembro y los términos independientes en el otro.
4. Reducir los términos semejantes.
5. Despejar la incógnita.
Para resolver ecuaciones tendremos en cuenta las propiedades de la igualdad.
1. Propiedades de la adición y sustracción de la igualdad
Sean a, b y c números enteros, si a = b, entonces:
𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 y 𝑎 − 𝑐 = 𝑏 − 𝑐
Es decir, en una igualdad podemos sumar o restar el mismo número a ambos lados de la
igualdad.
Resolver las siguientes ecuaciones:
a. 𝑥 − 5 = −2,
Sumando 5 a ambos lados de la igualdad tendremos:
𝑥 − 5 + 5 = −2 + 5,
𝑥 + 0 = +3
𝑥 = +3
b. 𝑥 + 6 = 3
Restando 6 a ambos lados de igualdad tendremos:
𝑥 + 6 − 6 = 3 − 6
𝑥 + 0 = −3

21. 𝑥 = −3
2. Propiedades de la división y multiplicación de la igualdad.
Sean a, b y c (diferente de cero) números enteros, si a = b, entonces:
𝑎
𝑐
=
𝑏
𝑐
y 𝑎 . 𝑐 = 𝑏 . 𝑐
Es decir, en una igualdad podemos dividir (por un número diferente de cero) o multiplicar
por un mismo número a ambos lados de la igualdad.
Resolver las siguientes ecuaciones:
a. 6 . 𝑦 = 84
Dividiendo por 6 ambos lados de la igualdad tendremos
𝟔 .𝒚
𝟔
=
𝟖𝟒
𝟔
𝑦 = 14
b.
𝑥
5
= −30
Multiplicando por 5 ambos lados de la igualdad tendremos
5.
𝑥
5
= 5 . (−30)
𝑥 = −150
 Ecuaciones que contienen más de una operación: Cuando existe más de una
operación en el lado donde se encuentra la incógnita, debemos primero eliminar
las cantidades que suman o que restan, y por último eliminar las cantidades que
multiplican o dividen.
Ejemplo: resolver las ecuaciones
1. 2𝑥 + 5 = −9
Restamos 5 a ambos lados de la igualdad: 2𝑥 + 5 − 5 = −9 − 5
2𝑥 + 0 = −14
2𝑥 = −14
Dividimos por 2 a ambos lados de la igualdad
2𝑥
2
=
−14
2
𝑥 = −7
 En algunas ocasiones debemos aplicar la propiedad distributiva de la
multiplicación con respecto de la suma o de la resta.
2. Resolver la ecuación
3(2𝑥 + 7) = −21

22. Aplicando la propiedad distributiva tendremos
6𝑥 + 21 = −21
Restando 21 a ambos lados de la igualdad
6𝑥 + 21 − 21 = −21 − 21
6𝑥 + 0 = − 42
6𝑥 = −42
Dividiendo ambos lados de la igualdad por 6 tendremos
6𝑥
6
=
−42
6
𝑥 = −7
Resolviendo ecuaciones que involucran − 𝑥
Consideremos la ecuación − 𝑥 = 5. La incógnita x no está aislada, porque hay un
signo menos delante de ella. La notación − 𝑥 significa que la incógnita está
multiplicada por - 1.
Por la tanto, la ecuación − 𝑥 = 5 puede reescribirse como −1. 𝑥 = 5 . Para aislar la
variable, podemos utilizar dos métodos:
a. Multiplicar ambos lados por -1
− 𝑥 = 5 Ecuación inicial
−1. 𝑥 = 5 Reemplazamos el signo menos por -1
(−1)(−1). 𝑥 = (−1)(5) Multiplicamos ambos lados por -1
1. 𝑥 = −5 Escribimos el producto de (−1). (−1) = 1
𝑥 = −5 Todo número multiplicado por uno da el mismo
número.
b. Dividimos ambos lados de la igualdad por -1
− 𝑥 = 5 Ecuación inicial
−1. 𝑥 = 5 Reemplazamos el signo menos por -1
−1 .𝑥
−1
=
5
−1
Dividimos ambos lados por -1
𝑥 = −5 Realizando las divisiones
Resolver la ecuación: −𝑥 = −8
−1. 𝑥 = −8 Reescribimos la ecuación
(−1)(−1). 𝑥 = (−1)(−8) Multiplicamos por -1 a ambos lados de la igualdad
1. 𝑥 = +8 Escribimos el producto de (−1). (−1) = 1
𝑥 = 8
todo número multiplicado por uno da el mismo número.
APLICACIONES EN LA RESOLUCION DE PROBLEMAS
1. Encontrar el número que cumple que la suma de su doble y de su triple es igual a 100.
Solución:

23. Si x es el número que buscamos, su doble es 2x y su triple es 3x La suma de los dos últimos debe ser
100:
Resolvemos la ecuación:
El número buscado es 20.
En efecto, el doble de 20 es 40, su triple es 60 y ambos números suman 100.
2. Si Ana es 12 años menor que Eva y dentro de 7 años la edad de Eva es el doble que la
edad de Ana, ¿qué edad tiene Eva?
Solución:
Supongamos que x es la edad de Ana. Como Eva tiene 12 años más que Ana, su edad
es x+12
Dentro de 7 años, Ana tendrá la edad actual más 7, es decir, tendrá x+7. Del mismo modo,
Eva tendrá (x+12)+7=x+19. Además, el doble de la edad de Ana será 2⋅(x+7).
Debemos resolver la ecuación
Resolvemos la ecuación:
Por tanto, la edad actual de Ana es 5 y la de Eva es 17. Dentro de 7 años, Ana tendrá 12 y
Eva tendrá 24 (el doble que Ana).

24. ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE # 5 (Entrega mes de agosto)
1. Resolver las siguientes ecuaciones
a) 𝑥 + 8 = −14
b) 𝑦 − 3 = −4
c) 3. (𝑥 + 7) = −24
d) −5. (7𝑥 + 2) = −80
e) 16 − 2x = 20
f) 3. (𝑥 + 15) = 45
g) −6(𝑥 + 2 ) = −48
h) −15 = 5 + 5(2𝑥 + 10)
2. Resolución de problemas.
3. Educación Ambiental

25. 4. La edad de Carlos es el triple de la de Juan. La suma de sus edades es 48. ¿Cuál es
la edad de Carlos?
5. Un número es el doble de otro. Al sumar ambos números da 33.¿de qué números
estamos hablando?
PROPIEDADES EN LOS NÙMEROS RACIONALES Y ECUACIONES
1. PROPIEDADES DE LA SUMA Y LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS
RACIONALES Y ECUACIONES.
a. Propiedad clausurativa:
La suma o la multiplicación de dos números racionales da otro número
racional
Sean
𝑎
𝑏
𝑦
𝑐
𝑑
números racionales entonces:
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
=
𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 ;
𝑎
𝑏
.
𝑐
𝑑
= 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
2
3
+
1
2
=
4+3
6
=
7
6
;
2
3
.
1
2
=
2
6
=
1
3
b. Propiedad conmutativa:
Al cambiar el orden de los sumandos se obtiene el mismo resultado y al cambiar el
orden de los factores se obtiene el mismo producto.
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
=
𝑐
𝑑
+
𝑎
𝑏
;
𝑎
𝑏
.
𝑐
𝑑
=
𝑐
𝑑
.
𝑎
𝑏
2
3
+
1
2
=
4+3
6
=
7
6
;
1
2
+
2
3
=
3+4
6
=
7
6

26. 2
3
.
1
2
=
2
6
=
1
3
;
1
2
.
2
3
=
2
6
=
1
3
c. Propiedad asociativa:
Al asociar tres o más sumandos de diferentes formas, se obtiene el mismo resultado
y al asociar tres o más factores de diferentes formas, se obtiene el mismo producto.
[
3
4
+
1
2
] +
1
3
=
3
4
+ [
1
2
+
1
3
] [
3
4
.
1
2
] .
1
3
=
3
4
. [
1
2
.
1
3
]
[
6+4
8
] +
1
3
=
3
4
+ [
3+2
6
] [
3
8
] .
1
3
=
3
4
. [
1
6
]
[
10
8
] +
1
3
=
3
4
+ [
5
6
]
3
24
=
3
24
5
4
+
1
3
=
3
4
+
5
6
1
8
=
1
8
15+4
12
=
18+20
24
19
12
=
38
24
19
12
=
19
12
d. Propiedad modulativa.
Al sumar cualquier número racional con el cero, se obtiene el mismo número
racional (el módulo de la suma es el cero)
La multiplicación de un número racional con el uno, da como producto el mismo
número racional (el módulo de la multiplicación es el uno)
𝑎
𝑏
+ 0 =
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
. 1 =
𝑎
𝑏
5
6
+ 0 =
5
6
5
6
. 1 =
5
6
e. Propiedad invertiva:
Para todo número racional
𝑎
𝑏
, existe otro número racional −
𝑎
𝑏
, tal que:
𝑎
𝑏
+ (−
𝑎
𝑏
) = 0
6
7
+ (−
6
7
) = 0
Para todo número racional
𝑎
𝑏
, existe otro número racional
𝑏
𝑎
, tal que:
𝑎
𝑏
. (
𝑏
𝑎
) = 1
6
7
. (
7
6
) = 1
2. ECUACIONES EN LOS NÚMEROS RACIONALES
Para resolver ecuaciones en los números racionales utilizaremos las propiedades
anteriores.

27. Ejemplo: resolver las siguientes ecuaciones
a.
2
3
𝑥 = 8
Debemos eliminar el número que acompaña a la incógnita (
2
3
)
Para ello aplicamos la propiedad invertiva de la multiplicación: Multiplicamos ambos lados de
la ecuación por el inverso de
2
3
, 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠
3
2
.
(
3
2
) (
2
3
) 𝑥 = (
3
2
) (8)
(
6
6
) 𝑥 = (
3
2
) (
8
1
)
(1)𝑥 = (
24
2
)
𝑥 = 12
Podemos verificar este valor en la ecuación inicial:
2
3
𝑥 = 8
2
3
(12) = 8, 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎
2
3
(
12
1
) =
24
3
= 8
b.
3
8
𝑥 = 2
3
4
Transformamos el número mixto a fracción.
3
8
𝑥 =
11
4
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el inverso multiplicativo de
3
8
, 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠
8
3
(
8
3
)
3
8
𝑥 = (
8
3
)
11
4
24
24
𝑥 =
88
12
Simplificamos:
(1) 𝑥 =
44
6
=
22
3
𝑥 =
22
3
c. 𝑥 +
1
3
=
5
6
Eliminamos el número que acompaña a la incógnita, para ello sumamos el inverso
aditivo de
1
3
, 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 −
1
3
.

28. 𝑥 +
1
3
+ (−
1
3
) =
5
6
+ (−
1
3
)
𝑥 + (
1
3
−
1
3
) =
5
6
−
1
3
𝑥 + (0) =
15 − 6
18
𝑥 =
9
18
=
3
6
=
1
2
d.
3
4
− 𝑥 = −
15
8
Eliminamos el número que acompaña a la incógnita (
3
4
) . Sumamos su inverso
aditivo (−
3
4
).
(−
3
4
) +
3
4
− 𝑥 = (−
3
4
) −
15
8
(−
3
4
+
3
4
) − 𝑥 =
−24 − 60
32
0 − 𝑥 =
−84
32
−𝑥 =
−84
32
Multiplicamos ambos lados de la igualdad por -1
(−1)(−𝑥) = (−1) (
−84
32
)
𝑥 =
84
32
=
42
16
=
21
8
e. 7 −
1
2
𝑥 = 3
Eliminamos primero el número 7 sumando su inverso aditivo el -7 a ambos lados
de la igualdad.
(−7) + 7 −
1
2
𝑥 = (−7) + 3
0 −
1
2
𝑥 = −4
−
1
2
𝑥 = −4 Eliminamos el número −
1
2
, multiplicando ambos lados de la igualdad
por su inverso multiplicativo −
2
1
(−
2
1
) (−
1
2
) 𝑥 = (−
2
1
) (−4)

29. 1. 𝑥 = (−
2
1
) (−
4
1
)
𝑥 = (
8
1
) = 8
APLICACIONES EN LA RESOLUCION DE PROBLEMAS
1. Carlos se comió 2/5 de un pastel y Juliana se comió 1/5, ¿Qué parte del pastel
quedó?
Llamaremos x a la parte del pastel que quedó y todo el pastel se representará por la
unidad.
Entonces la parte que quedó más la parte que se comieron Carlos y Juliana serán
iguales a todo el pastel (es decir a la unidad)
𝒙 +
𝟐
𝟓
+
𝟏
𝟓
= 𝟏
𝑥 +
3
5
= 1
𝑥 = 1 −
3
5
𝑥 =
5 − 3
5
=
2
5
Respuesta: La parte del pastel que quedó fue
2
5
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE # 6 (Entrega mes de agosto)
1. Resolver las siguientes ecuaciones
a) 𝑥 +
3
4
=
2
5
b) 𝑥 −
7
2
=
1
3
c)
3
5
𝑥 = −
5
2
d) 3 +
3
8
𝑥 = 1
3
4
e)
1
3
− 𝑥 =
1
2
2. La edad de Beatriz es
2
5
de la edad de Ana. Si la edad de Ana es de 40 años, ¿Cuántos años tiene
Beatriz?
3. La suma de un número más la mitad del mismo número es 24. ¿cuál es el número?

30. LO QUE DEBO ENTREGAR
Debes enviar al correo de tu profesor los procedimientos utilizados para encontrar las
respuestas a las actividades de saberes previos, actividades #1 HASTA LA # 6 propuesta en
esta guía en u solo pdf. Recomendamos mandar las actividades en pdf en los tiempos
estipulados. Para presentar sustentación debes enviar previamente todas las actividades
con procedimiento.
Docentes:
Juan Carlos Llantén d.ine.juan.llanten@cali.edu.co
Fernando bastidas d.ine.fernando.bastidas@cali.edu.co
Paulo Cesar Dávalos d.ine.paulo.davalos@cali.edu.co
David Salgado davidsalgado80@gmail.com
Maritza Herrera d.ine.maritza.herrera@cali.edu.co
Adolfo Saavedra d.ine.adolfo.saavedra@cali.edu.co
Mayerlin Chavarro profemayerlinch@gmail.com
Justo Ortiz d.ine.justo.ortiz@cali.edu.co
Jaime Londoño d.ine.jaime.londono@cali.edu.co
Robert Araujo d.ine.robert.araujo@cali.edu.co
Jeny Castillo j.castilloinem@gmail.com
Juan Jose Jaramillo d.ine.juan.jaramillo@cali.edu.co
Jose Nolberto Patiño d.ine.jose.patino@cali.edu.co
Javier Ochoa d.ine.javier.ochoa@cali.edu.co
Geremias Gonzales d.ine.geremias.gonzalez@cali.edu.co