Informe de Matematicas

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL ANDRES ELOY BLANCO
PROGRAMA NACIONAL DE FORMACION CONTADURIA PUBLICA
MATEMATICAS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Rodríguez Wiscarleis
CI: 21.243.909
Sección: 0402

2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se conoce como Álgebra a la rama de la matemática que combina los números, signos
y letras para realizar operaciones aritméticas, respetando diferentes reglas.7
Una expresión
algebraica es donde se estudian las operaciones (adición, sustracción, multiplicación,
división y potenciación) de los números y símbolos, que nos permite traducir el lenguaje
matemático en expresiones del lenguaje habitual.1,11
CONCEPTOS BASICOS
Término: es cada grupo de letras y números que consta de dos partes.
1) Coeficiente: Es el número que va delante de las letras (si no lleva ninguna cifra se
sobreentiende que lleva el 1)
2) Factor Literal: Esta compuesto por letras con sus exponentes, si lo tienen.
Un término lo separamos de otro con los signos más o menos.
Ejemplo. 3a3
b4
+ 7x2
– axc5
 aquí tenemos, 3 términos.
TIPOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:
• Monomio: es la expresión que tiene un solo término. Ejemplo:
1) 5a2
b3
2) √4𝑎2𝑏2
• Binomios: es la expresión que tiene dos términos. Ejemplo:
1) 5a2
b3
+√𝑎2 + 𝑏2
2) √4𝑎2𝑏2 + (a+b)2
• Trinomio: es la expresión tres términos. Ejemplo
7x3
y2
z4
– 4m2
n5
+
3𝑥2𝑚7𝑐
2𝑎𝑛3
• Polinomio: Representa varios monomios. En ellos las variables estarán siempre
elevadas a un número entero y positivo, se pueden combinar operaciones como: suma,
resta, multiplicación; pero las divisiones no están permitidas. A través de ellos
podemos encontrar un valor desconocido de cualquier elemento (variable o
incógnita).1,9
Monomio Binomio Trinomio
3x 2x + 4 2x + x + 5
Grado de un Polinomio: El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que
se encuentra elevada la variable X.

3. Según su grado los polinomios pueden ser:
TIPO EJEMPLO
Primer grado P(x) = 3x+2
Segundo grado P(x) = 2x2
+3x +2
Tercer grado P(x) = x3
– 2x2
+3x +2
SUMA Y RESTA DE MONOMIOS
Para sumar o restar dos monomios y poder juntar los términos (simplificar), las
variables que hay en ellos deben ser las mismas y, además, tener las mismas potencias. El
resultado de la suma o resta será un monomio cuyo coeficiente será la suma o resta de los
coeficientes que se estén sumando o restando multiplicando las variables con sus respectivas
potencias.6
Suma
1) 3x + 2x = 5x
2) 3xy2
+ 7xy2
= (3+7) xy2
= 10xy2
Resta
1) 7x – 4x = 3x
2) 2x3
– 5x3
= (2-5) x3
= -3x3
MULTIPLICACION DE MONOMIOS
Es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte
literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan las mismas bases, es decir sumando
los exponentes.1
Sabemos que, al multiplicar dos términos con misma base, el resultado es la base
elevado a la suma de las potencias.
(42
) (45
) = 42+5
= 47
Ahora tenemos:
1) 2x2
. 8x = (2.8) x2
. x1
= 16x2+1
= 16x3
2) 7x2
. y5
. (-3) x3
. y4
= (7.-3) x2
. x3
. y5
. y4
= -21x5
. y9

4. SUMA DE POLINOMIOS
Para realizar la suma de dos o más polinomios, se debe sumar los coeficientes de los
términos cuya parte literal sean iguales, es decir, las variables y exponentes (grados) deben
ser los mismos en los términos a sumar.5
Método 1 para sumar polinomios
• Ordenar los polinomios del término de mayor grado al de menor.
• Agrupar los monomios del mismo grado.
• Sumar los monomios semejantes.
Ejemplo:
P(x) = 2x3
+ 5x -3  P(x) + Q(x) =
Q(x) = 4x - 3x2
+ 2x3
- Ordenamos: (2x3
+ 5x -3) + (2x3
– 3x2
+ 4x)
- Agrupamos: (2x3
+ 2x3
) + (-3x2
) + (5x+4x) + (-3)
- Sumamos: 4x3
– 3x2
+ 9x -3
Método 2 para sumar polinomios
También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que
los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
Ejemplo:
P(x) = 7x4
+ 4x2
+ 7x + 2  P(x) + Q(x)
Q(x) = 6x3
+ 8x + 3
Acomodar las columnas 7x4
+ 4x2
+ 7x + 2
+ 6x3
+ 8x + 3
7x4
+6x3
+4x2
+15x+ 5
Asi P(x) + Q(x) = 7x4
+6x3
+4x2
+15x+5

5. RESTAS DE POLINOMIOS
La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo en el opuesto del sustraendo.5
P(x) = 2x3
+ 5x - 3  P(x) - Q(x)
Q(x) = 2x3
- 3x2
+ 4x
Resta (2x3
+ 5x – 3) – (2x3
- 3x2
+ 4x)
Obtenemos el opuesto al sustraendo: 2x3
+ 5x - 3 - 2x3
+ 3x2
- 4x
Agrupamos: 2x3
- 2x3
+ 3x2
+ 5x - 4x – 3
Resultado: P(x) - Q(x)= 3x2
+ x – 3
MULTIPLICACION DE POLINOMIOS
Es multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio;
sumar las respuestas, y simplificar si hace falta.5
Método 1 para multiplicar polinomios:
• Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del
segundo polinomio.
• Se suman los monomios del mismo grado, obteniendo otro polinomio cuyo grado es
la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
Ejemplo:
P(x) = 2x2
-3
Q(x) = 2x3
– 3x2
+ 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo
polinomio.
P(x) . Q(x) = (2x2
-3) . (2x3
– 3x2
+ 4x)
= 4x5
-6x4
+8x3
-6x3
+9x2
-12x
Se suman los monomios del mismo grado.
P(x) . Q(x) = 4x5
-6x4
+8x3
-6x3
+9x2
-12x
= 4x5
-6x4
+2x3
+9x2
-12x

6. Grado del polinomio= Grado de P(x) + Q(x)= 2 + 3= 5
Y P(x) . Q(x) = 4x5
-6x4
+2x3
+9x2
-12x
Método 2 para multiplicar polinomios
También podemos multiplicar polinomios escribiendo un polinomio debajo del otro.
En cada fila se multiplica cada uno de los monomios del segundo polinomio por todos
los monomios del primer polinomio. Se colocan los monomios semejantes en la misma
columna y posteriormente se suman los monomios semejantes.5
Ejemplo:
P(x) = 2x2
-3
Q(x) = 2x2
-3x2
+4x
2x2
-3x2
+4x
x 2x2
-3
-6x3
+ 9x2
- 12x
4x5
-6x4
+8x3
4x5
-6x4
+2x3
+9x2
-12x
Multiplicación de un monomio por un polinomio:
En la multiplicación de un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por
todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. Primero debemos
multiplicar signos, posteriormente multiplicar los monomios correspondientes, para lo
cual, se debe multiplicar los coeficientes, y luego, realizar la multiplicación de la parte
literal, en donde, al multiplicar variables iguales los exponentes se sumaran.5
Ejemplo:
3x2
. (2x3
-3x2
+4x -2)
= (3x2
. 2x3
) – (3x2
. 3x2
) + (3x2
. 4x) – (3x2
. 2)
= 6x5
– 9x4
+12x3
– 6x2

7. Multiplicación de un número por un polinomio:
Es polinomio que se obtiene tiene el mismo grado del polinomio inicial. Los coeficientes
del polinomio que resulta, son el producto de los coeficientes del polinomio inicial, por
el número y dejando las mismas partes literales.5
Ejemplo:
3. (2x3
– 3x2
+ 4x – 2) = 6x3
– 9x2
+ 8x – 6
PRODUCTOS NOTABLES
Es un cierto producto que cumple reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por
simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.10,12
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización:
• La suma de un binomio al cuadrado: Un binomio al cuadrado (suma) es igual al
cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más
el cuadrado del segundo.
Formula: (a+b)2
= a2
+ 2.a.b+b2
1) (x + 3)2
= (x2
) + 2 . x . 3 + (3)2
= x2
+ 2x + 6 + 9
Formula: (a+b)2
= a2
+ b2
+2.a.b
2) (4x + 3y)2
= (4x2
) + (3y2
) + 2 .4x . 3y
= 8x + 9y + 24xy
• Resta de un binomio al cuadrado: Un binomio al cuadrado (resta) es igual al
cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo.
más el cuadrado segundo.
Formula: (a-b)2
= a2
– 2. a.b + b2
1) (2x – 3)2
= (2x2
) – 2. 2x . 3 +32
= 4x2
-12x + 9
Formula: (a+b)2
= a2
+ b2
- 2.a.b
2) (4x – 5y)2
= (4x)2
+ (5y)2
– 2 . 4x . 5y
= 8x2
+ 10y2
– 40xy

8. • Un producto de dos binomios conjugados: Dos binomios conjugados se diferencian
solo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al
cuadrado (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene
una diferencia de cuadrados.
Formula: (a + b) (a - b) = a2
– b2
1) (3x + 5y) (3x – 5y)=
(3x) (3x) + (3x) (-5y) + (5y) (3x) + (5y) (-5y)
Agrupamos términos:
(3x + 5y) (3x – 5y) = 9x2
– 25y2
DESCOMPOSICION DE POLINOMIOS (Factorización)
La descomposición factorial de un polinomio consiste en expresar un polinomio como
producto de otros polinomios de menor grado. A la descomposición factorial de polinomios
también se le denomina factorización de polinomios.
Para conseguir esta factorización se pueden usar varios procedimientos, ya sea por
separado o bien combinando varios de ellos. Hay que tener en cuenta que no todos los
polinomios son susceptibles de ser descompuestos en factores.9
• DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL SACANDO FACTOR COMÚN:
Sacar factor común en un polinomio es expresar el polinomio de forma que lo que
esta repetido en todos los términos del polinomio aparezca solo una vez y
multiplicando el resto del polinomio.3
Para poder aplicar este método todos los monomios del polinomio tienen que
tener un mismo factor común.
En todos los casos en los que extraemos factor común es muy interesante
realizar la multiplicación para ver si nos da lo que teníamos al principio, y asegurarnos
asi de que no nos hemos equivocado.
Ejemplo:
1) P(x) = 25x4
– 30x3
+ 5x2
= 5x2
. (5x2
– 6x +1)
2) P(x) =
4𝑥𝑦
𝑧
-
8𝑥2𝑦
𝑧2 =
𝟐𝒙𝒚
𝒛
. ( 2 -
𝟒𝒙
𝒛
)
• DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN TRINOMIO CUADRADO
PERFECTO:
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado:3
Formula: a2
+ 2ab + b2
= (a + b)2
Formula: a2
- 2ab + b2
= (a - b)2
Ejemplo:
1) x2
+ 2x + 1 = (x + 1)2

9. 2) x2
– 2x + 1 = (x − 1)2
• DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UNA DIFERENCIA DE
CUADRADOS
Una diferencia de cuadrados es igual a una suma por una diferencia.3
Formula: a2
- b2
= (a + b) . (a - b)
Ejemplo:
1) x2
– 4 = x2
– 22
= (x+2)⋅(x–2)
• DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN TRINOMIO DE SEGUNDO
GRADO
Para descomponer en factores un trinomio de segundo grado, igualamos el
polinomio a cero y resolvemos la ecuación de segundo grado resultante.3
Ecuación de segundo grado: ax2
+ bx + c = 0
Para resolver esta ecuación aplicamos la siguiente fórmula: X =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Donde a es el coeficiente del monomio de segundo grado, b es el coeficiente del
monomio de primer grado y c es el término independiente. Estas ecuaciones pueden
tener ninguna, una o dos soluciones (las soluciones de una ecuación de segundo
grado también reciben el nombre de raíces). A estas soluciones o raíces las vamos a
denotar como x1 y x2. Una vez que tengamos las soluciones de la ecuación (x1 y x2),
ya podemos descomponer en factores el polinomio:
ax2
+ bx + c = a . (x – x1) . (x – x2)
Ejemplo:
p(x)=3x2
– x – 2
3x2
– x – 2 = 0
Aplicamos la fórmula
Entonces:
Por lo tanto:
P (x) = 3 . (x - 1) . (x + 2/3)

10. DIVISION DE POLINOMIOS
Es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio que no sea nulo.
El algoritmo es una versión generalizada de la técnica aritmética de división larga.3
Formula: D= d.c+R
Ejemplo:
D(x) = x4
– 2x3
-11x2
+ 30x – 20  Dividiendo
D(x) = x2
+ 3x -2  divisor
Se colocan los polinomios igual que en la división de números y ordenados de forma
creciente.
x4
– 2x3
-11x2
+ 30x – 20 x2
+ 3x -2
Se divide el primer monomio del dividendo por el primer monomio del divisor. El
resultado se pone en el cociente.
x4
– 2x3
-11x2
+ 30x – 20 x2
+ 3x -2
x2
Se multiplica el cociente por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo.
x4
– 2x3
-11x2
+ 30x – 20 x2
+ 3x -2
-x4
-3x3
+2x2
x2
-5x3
-9x2
Se baja el término siguiente y se divide.
x4
– 2x3
-11x2
+ 30x – 20 x2
+ 3x -2
-x4
-3x3
+2x2
x2
-5x +6
-5x3
-9x2
+ 30x
5x3
+15x2
-10x
6x2
+ 20x -20
2x -8
Como 2x no se puede dividir por x2
la división se ha terminado.
Entonces obtenemos que el polinomio cociente es:
C(x) = x2
-5x +6
Y el polinomio Resto es: R(x) = 2x – 8
Comprobamos que: Grado c(x)= grado D(x) – grado d(x)
Grado c(x)= 4 – 2= 2
Y que: D(x) = d(x) . c(x) + R(x)
D(x) = (x2
+ 3x – 2) . (x2
-5x +6) + (2x -8)= x4
–2x3
–11x2
+30x - 20

11. DIVISION DE POLINOMIOS POR REGLA DE RUFFINI:
Es un método que nos permite obtener las raíces de un polinomio. Cada vez
que hacemos una tabla a partir de los coeficientes del polinomio, obtenemos una raíz
y los coeficientes de un polinomio de grado menor (un polinomio que divide al propio
polinomio) 4
Ejemplo: X3
– 5x2
– 9x +45
Escribimos en la primera fila los coeficientes de cada monomio en orden decreciente
de grado. Si hay algún coeficiente que sea 0 (en nuestro caso no lo hay), también hay
que escribirlo.
X3
-5x2
-9x 45
1 -5 -9 45
Ahora buscamos un número que sea divisor del termino independiente, es decir, del
término que no tiene parte literal (ninguna x) y lo escribimos en la columna de la
izquierda.
En nuestro polinomio el independiente es 45 podemos escoger 1, -1, 3, -3, 5, -5, 9, -
9… Escogemos, por ejemplo 5, que es divisor de 45.
1 -5 -9 45
5
1
Ahora multiplicamos el coeficiente que hemos bajado por el numero de la columna
izquierda y el resultado lo escribimos debajo del siguiente coeficiente, pero arriba de
la línea.
5 . 1 = 5
1 -5 -9 45
5 5
1
Sumamos el número que hemos escrito con el coeficiente que tiene arriba y el
resultado lo escribimos debajo de la línea.
-5 . 5 = 0
5 -5 -9 45
5 5 0 -45
1 0 -9 0
Es importante que el último número del proceso sea 0. Si no es así, significa que
el número de la columna izquierda no nos sirve y debemos escoger otro.

12. La raíz que del polinomio que hemos calculado está en la columna izquierda.
Tenemos la raíz x = 5
Por lo tanto, la primera factorización es
X3
– 5x2
– 9x +45 = (x2
– 9) (x – 5)
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Es una expresión fraccionaria en la que el numerador y el denominador son
polinomios:2
Son fracciones algebraicas:
x−3
𝑥2
1
𝑥+2
𝑥3−2 𝑥2+𝑥−1
3𝑥2+2
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones
numéricas. El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y
denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.
Ejemplo:
Si
x−1
𝑥+3
se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:
x−1(x+2)
𝑥+3(𝑥+2)
=
𝑥2+2x−1𝑥−2
𝑥2+2𝑥+3𝑥+6
=
𝒙𝟐+𝐱−𝟐
𝒙𝟐+𝟓𝒙+𝟔
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones
de números enteros, reduciendo primero a común denominador.2
Ejemplo:
2x−1
𝑥+1
-
x−1
𝑥+1
+
x
𝑥+1
=
(2x−1)−(𝑥−1)+𝑥
𝑥+1
=
Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción,
que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las
fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre
paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos. Ahora sacamos los
paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay
un signo (-) y nos queda:

13. =
2x−1−x+1+x
𝑥+1
=
𝟐𝐱
𝒙+𝟏
Otro ejemplo:
x+1
𝑥−1
-
1
𝑥
+
𝐱+𝟏
(𝒙−𝟏)𝟐 = M.C.M (x-1, x, (x-1)2
) = x.(x-1)2
Se transforma
𝒙.(𝒙−𝟏)𝟐
𝒙.(𝒙−𝟏)𝟐
x+1
𝑥−1
.
𝒙.(𝒙−𝟏)𝟐
𝒙.(𝒙−𝟏)𝟐 -
1
𝑥
.
𝒙.(𝒙−𝟏)𝟐
𝒙.(𝒙−𝟏)𝟐 +
𝐱+𝟏
(𝒙−𝟏)𝟐 .
𝒙.(𝒙−𝟏)𝟐
𝒙.(𝒙−𝟏)𝟐 se simplifica
=
(𝒙+𝟏).𝒙(𝒙−𝟏)
𝒙.(𝒙−𝟏)𝟐 -
(𝒙−𝟏)𝟐
𝒙.(𝒙−𝟏)𝟐 +
(𝐱+𝟏)
𝒙.(𝒙−𝟏)𝟐 =
x(𝒙+𝟏)(𝒙−𝟏)−(𝒙−𝟏)𝟐 +(𝒙+𝟏)𝒙
𝒙.(𝒙−𝟏)𝟐
=
x(𝒙𝟐 −𝟏)−𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟏+𝒙𝟐+𝟏
𝒙.(𝒙−𝟏)𝟐 =
𝒙𝟑−𝒙−𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟏+𝒙𝟐+𝟏
𝒙.(𝒙−𝟏)𝟐
=
𝒙𝟑 −𝒙
𝒙.(𝒙−𝟏)𝟐 =
𝒙.(𝒙+𝟏)
𝒙.(𝒙−𝟏)𝟐 =
𝒙+𝟏
(𝒙−𝟏)𝟐
MULTIPLICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el
numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los
denominadores.2
Ejemplo:
3
5
x
7
11
significa
3𝑥7
5𝑥11
que puede ser simplificado
21
55
Aquí multiplicamos los numeradores para obtener el numerador del producto. Con
frecuencia podemos simplificar la multiplicación cambiando los términos de las fracciones a
forma de factorización y luego cancelando factores iguales antes de multiplicar.

14. 15
7
x
14
25
significa
15𝑥14
7𝑥25
cancelamos (dividimos)
15𝑥14
7𝑥25
3𝑥2
1𝑥5
=
𝟔
𝟓
Otro ejemplo:
𝒙𝟐 −𝟑𝒙𝒚
𝒙𝟐−𝟒𝒙𝒚+𝟑𝒚𝟐 .
𝒚(𝒙−𝒚)
𝟑𝒙𝒚
=
𝒙 (𝒙−𝟑𝒚)
(𝒙−𝟑𝒚)(𝒙−𝒚)
.
𝒚(𝒙−𝒚)
𝟑𝒚𝒙
=
1
3
DIVISIONES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Es otra fracción algebraica donde el numerador es el producto del numerador de la
primera por el denominador de la segunda, y como denominador el producto del
denominador de la primera por el numerador de la segunda.2
Ejemplo:
𝑎
𝑏
÷
𝑐
𝑑
=
𝑎 .𝑑
𝑏 . 𝑐
A)
𝒙𝟐 +𝟐𝒙
𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟔
÷
𝒙𝟐 +𝟒𝒙+𝟒
𝒙𝟐−𝟒
𝒙𝟐 +𝟐𝒙
𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟔
÷
𝒙𝟐 +𝟒𝒙+𝟒
𝒙𝟐−𝟒
=
(𝒙𝟐 +𝟐𝒙) . (𝒙𝟐−𝟒)
(𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟔) .(𝒙𝟐+𝟒𝒙+𝟒)
En el numerador sacamos factor común X en el primer binomio y la diferencia de cuadrados
la transformamos en una diferencia de cuadrados.
𝒙𝟐 +𝟐𝒙
𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟔
÷
𝒙𝟐 +𝟒𝒙+𝟒
𝒙𝟐−𝟒
=
(𝒙𝟐 +𝟐𝒙) . (𝒙𝟐−𝟒)
(𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟔) .(𝒙𝟐+𝟒𝒙+𝟒)
=
x(𝐱+𝟐) . (𝐱−𝟐)(𝒙+𝟐)
(𝒙+𝟐)(𝒙−𝟑) .(𝒙+𝟐)𝟐
Simplificando nos queda =
𝒙
𝒙−𝟑
B)
𝑥
3
÷
𝑥+1
𝑥−1
=
𝑥 .(𝑥−1)
3 . (𝑥+1)
=
𝒙𝟐 −𝒙
𝟑𝐱+𝟑

15. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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https://www.monografias.com/trabajos106/expresiones-algebraicas/expresiones-
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https://laescuelaencasa.com/matematicas-2/polinomios/clase-9-descomposicion-
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https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/ejercicio
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