Expresiones Algebraicas, Factorización y Radicación. Monomios, binomios y polinomios.

3. Una expresión
algebraica contiene
letras, números y signos.
La manipulación de
expresiones algebraicas
tiene las mismas
propiedades que la
manipulación de
expresiones numéricas,
ya que las letras se
comportan como si
fuesen números. Las
expresiones algebraicas
que se tratarán en este
curso tendrán, por lo
general, una o dos letras.
La factorización es una técnica que
consiste en la descomposición en
factores de una expresión algebraica
(que puede ser un número, una suma o
resta, una matriz, un polinomio, etc.) en
forma de producto.
La racionalización de radicales es un
proceso en el cual se transforma una
expresión, la cual es una fracción con raíz
en el denominador, a otra equivalente sin
raíz en el denominador.

4. Suma y resta de monomios
a) 𝟔𝒙 + 𝟐𝒙 =
=8x
b) 𝟑𝒙𝒚𝟐
+ 𝟕𝒙𝒚𝟐
=
=(3 + 7) 𝒙𝒚𝟐=
=𝟏𝟎𝒙𝒚𝟐
Para ello sumamos
las dos bases que
tienen la misma
variable con la
misma potencia ya
que esto hace que
sea un monomio.
Juntamos las dos bases para la
suma y lo que se repite que en
éste caso es 𝑥𝑦2
lo sacamos del
paréntesis, así realizamos la
suma y quedan las mismas
incógnitas con el mismo
exponente.
a) 𝟖𝒙 − 𝟓𝒙 =
=3x
Para ello restamos
las dos bases que
tienen la misma
variable con la
misma potencia y
obtenemos el
resultado.
b) 4xyz − 3xyz=
= xyz
Restamos las dos bases y
nos queda el resultado qué
éste es 1 pero no se
sobreentiende.

5. Dados dos monomios, al hacer su producto, el coeficiente resultante será el producto de
los respectivos coeficientes y respecto a las variables simplemente agrupamos aquellas
con la misma base y hacemos sus respectivos productos, en caso de haber variables que
solo aparezcan en un monomio pero no el otro, entonces lo pasamos directamente.
a) (𝟑𝐱𝐲𝟐𝐳) (𝟕𝐱𝟐) =
=(3)(7)(𝐱𝐱𝟐
) 𝐲𝟐
𝐳 =
=𝟐𝟏𝐱𝟑𝐲𝟐𝐳
b) (5) (𝟔𝒙𝒚𝟐𝒛𝟓) =
= ((5)(6)𝒙𝒚𝟐𝒛𝟓 =
=𝟑𝟎𝒙𝒚𝟐
𝒛𝟓
Sacamos el factor común que en este
caso es x, separamos las bases de los
números y dejamos lo no común fuera
de los paréntesis.
Luego multiplicamos el 3x7, la x por
𝑥2
𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑟í𝑎 𝑥3
𝑦
𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙.
En éste caso no tenemos
factor común por lo tanto
hacemos una separación
de números con la
variables, multiplicamos
y obtenemos ese total.
a) (𝟑𝐱𝐲𝟐𝐳) (𝟕𝐱𝟐) =
=(3)(7)(𝐱𝐱𝟐
) 𝐲𝟐
𝐳 =
=𝟐𝟏𝐱𝟑𝐲𝟐𝐳
b) (5) (𝟔𝒙𝒚𝟐𝒛𝟓) =
= ((5)(6)𝒙𝒚𝟐𝒛𝟓 =
=𝟑𝟎𝒙𝒚𝟐
𝒛𝟓

6. Dados dos monomios, al hacer su división, el coeficiente resultante será división de los
respectivos coeficientes y respecto a las variables simplemente agrupamos aquellas con la
misma base y hacemos sus respectivas divisiones, en caso de haber variables en el
numerador que no estén en el denominador, entonces las pasamos directamente, sin
embargo, si hay variables en el denominador que no estén en el numerador, entonces las
pasamos pero cambiando el signo de la potencia.
a) (𝟏𝟐𝒙𝟑
) ∶ 𝟒𝒙 =
=
𝟏𝟐𝒙𝟑
𝟒𝒙
=
𝟏𝟐
𝟒
𝒙𝟑
𝒙
=𝟑𝒙𝟑−𝟏
=𝟑𝒙𝟐
b) (𝟏𝟖𝒙𝟔𝒚𝟐𝒛𝟓) ∶ 𝟔𝒙𝟑𝒚 =
=
𝟏𝟖𝒙𝟔
𝒚𝟐
𝒛𝟓
𝟔𝒙𝟑𝒚
=
𝟏𝟖
𝟔
𝒙𝟐
𝒙𝟑
𝒚𝟐
𝒚
𝒛𝟓
=𝟑𝒙𝟔−𝟑𝒚𝟐−𝟏𝒛𝟓
=𝟑𝒙𝟑
𝒚𝒛𝟓
Se colocan los términos
en forma de división, los
números se dividen entre
sí y queda la misma
variable ya que se repite
arriba y abajo, luego se
restan los exponentes por
ser una división y da el
total.
Igual acá, se colocan los
términos en forma de
división, luego los números
de base se dividen, luego se
escribe cada variable
restando los exponentes de
las qué son comunes y por
último queda un total.

7. Suma de polinomios
1) Ordenar los polinomios del término de mayor grado al de menor.
2 )Agrupar los monomios del mismo grado.
3) Sumar los monomios semejantes.
a) Dado el siguiente ejercicio resolver según los pasos.
P(x) = 2x³ + 5x − 3,
Q(x) = 4x − 3x² + 2x³.
1) Ordenamos los polinomios, si no lo están.
P(x) = 2x³ + 5x − 3
Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x
2) Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)
P(x) + Q(x) = (2x³ + 2x³) + (− 3 x²) + (5x + 4x) + (− 3)
3) Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x³ − 3x² + 9x − 3

8. b) Dado el siguiente ejercicio resolver según los pasos.
P (x)= (𝟒𝒙𝟐
– 12xy + 𝟗𝒚𝟐
)
Q (x)= (𝟐𝟓𝒙𝟐 + 4xy – 𝟑𝟐𝒚𝟐)
𝟒𝒙𝟐
+(−12xy) + 𝟗𝒚𝟐
+ 𝟐𝟓𝒙𝟐
+ 4xy + (−𝟑𝟐𝒚𝟐
)
Elimina los paréntesis agrupando el polinomio y reescribe cualquier resta como la
suma del opuesto.
(𝟒𝒙𝟐
+𝟐𝟓𝒙𝟐
) +[(−12xy)+ 4xy] + [𝟗𝒚𝟐
+ (−𝟑𝟐𝒚𝟐
)]
Agrupa los términos semejantes usando las propiedades conmutativa y asociativa.
𝟐𝟗𝒙𝟐
+ (−8xy) +(−𝟐𝟑𝒚𝟐
)
Combina los términos semejantes.
𝟐𝟗𝒙𝟐
– 8xy – 𝟐𝟑𝒚𝟐
.
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
1)Restar los polinomios
P(x) = 2x3 + 5x - 3,
Q(x) = 2x³ - 3x² + 4x.
P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)
2)Obtenemos el opuesto al sustraendo de Q(x).
P)(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x
3)Agrupamos.
P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3
4)Resultado de la resta.
P(x) − Q(x) = 3x² + x − 3

9. 1)Restar los polinomios
Q(x)=(𝟏𝟒𝒙𝟑𝒚𝟐– 5xy + 14y)
P(x)=(𝟕𝒙𝟑
𝒚𝟐
– 8xy + 10y)
𝟏𝟒𝒙𝟑
𝒚𝟐
– 5xy + 14y – 𝟕𝒙𝟑
𝒚𝟐
+ 8xy – 10y
Elimina los paréntesis.
𝟏𝟒𝒙𝟑𝒚𝟐 – 𝟕𝒙𝟑𝒚𝟐 – 5xy + 8xy + 14y – 10y
Reagrupa para juntar los términos. Cuando reagrupas términos que son restados,
piensa en la resta como la “suma del opuesto” y mueve el signo negativo junto con el
término.
𝟕𝒙𝟑
𝒚𝟐
+ 3xy + 4y
Combina los términos semejantes.
𝟕𝒙𝟑
𝒚𝟐
+ 3xy + 4y.
Multiplicación de polinomios
La multiplicación de un número por un polinomio es, otro polinomio. El polinomio que se
obtiene tiene el mismo grado del polinomio inicial. Los coeficientes del polinomio que
resulta, son el producto de los coeficientes del polinomio inicial, por el número y dejando las
mismas partes literales.
1) Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo
polinomio.
2) Se suman los monomios del mismo grado, obteniendo otro polinomio cuyo grado es la
suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

10. 4) Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo
restamos del polinomio dividendo
𝒙𝟓
+ 𝟐𝒙𝟑
− 𝒙 − 𝟖 𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟏
−𝒙𝟓 + 𝟐𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 𝒙𝟑
𝟐𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 −x−𝟖
5) Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del
divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
𝒙𝟓
+ 𝟐𝒙𝟑
− 𝒙 − 𝟖 𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟏
−𝒙𝟓 + 𝟐𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐
𝟐𝒙𝟒
+ 𝒙𝟑
−x−𝟖
−𝟐𝒙𝟒
+ 𝟒𝒙𝟑
− 𝟐𝒙𝟐
𝟓𝒙𝟑
− 𝟐𝒙𝟐
− 𝒙 − 𝟖
6) Procedemos igual que antes.
𝒙𝟓 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝒙 − 𝟖 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏
−𝒙𝟓
+ 𝟐𝒙𝟒
− 𝒙𝟑
𝒙𝟑
− 𝟐𝒙𝟐
+5x
𝟐𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 −x−𝟖
−𝟐𝒙𝟒
+ 𝟒𝒙𝟑
− 𝟐𝒙𝟐
𝟓𝒙𝟑
− 𝟐𝒙𝟐
− 𝒙 − 𝟖
−𝟓𝒙𝟑 +𝟏𝟎𝒙𝟐 −𝟓𝒙
𝟖𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟖
7) Como en los pasos anteriores, dividimos 𝟖𝒙𝟐
por 𝒙𝟐
, y obtenemos 8.
Multiplicamos por 8 cada término del divisor y obtenemos:

11. a) Multiplicar los siguientes polinomios
P(x) = 2x²− 3,
Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x.
1)Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del
segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³− 3x² + 4x) = 4x5 − 6x4 + 8x³− 6x³+ 9x²− 12x
2)Se suman los monomios del mismo grado.
P(x) · Q(x) = 4x5 − 6x4 + 8x³− 6x³+ 9x²− 12x = 4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x
3)Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que
se multiplican.
Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5
P(x) · Q(x) = 4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x
b) Multiplicar los siguientes polinomios:
𝟓𝒙𝟐𝒚𝟐(𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙𝒚 − 𝟏𝟎)
Multiplica mediante propiedad distributiva, esto quiere decir qué 𝟓𝒙𝟐
𝒚𝟐
va a
multiplicar a cada uno de los términos qué están dentro del paréntesis.
𝟓𝒙𝟐
𝒚𝟐
𝟐𝒙𝟐
+𝟓𝒙𝟐
𝒚𝟐
𝟓𝒙𝒚 − 𝟓𝒙𝟐
𝒚𝟐
(𝟏𝟎)
5(2)𝒙𝟐(𝒙𝟐)𝒚𝟐+5(5)𝒙𝟐(x)𝒚𝟐(y)-5(10)𝒙𝟐𝒚𝟐
𝟏𝟎𝒙𝟒
𝒚𝟐
+𝟐𝟓𝒙𝟑
𝒚𝟑
-𝟓𝟎𝒙𝟐
𝒚𝟐
𝟏𝟎𝒙𝟒
𝒚𝟐
+𝟐𝟓𝒙𝟑
𝒚𝟑
-𝟓𝟎𝒙𝟐
𝒚𝟐

12. División de polinomios
P(x) = 𝟒𝒙𝟒
𝒚𝟓
− 𝟐𝒙𝟖
𝒚𝟑
+ 𝟔𝒙𝟑
𝒚𝟐
Q(x) = 𝟐𝒙𝟐
𝒚
P(x) : Q(x)
Para hacerlo más fácil, puedes romper la división en términos en el polinomio ya que
cada término está siendo dividido entre 2x2y.
𝟒𝒙𝟒𝒚𝟓
𝟐𝒙𝟐𝒚
-
𝟐𝒙𝟖𝒚𝟑
𝟐𝒙𝟐𝒚
+
𝟔𝒙𝟑𝒚𝟐
𝟐𝒙𝟐𝒚
Se realiza la división de cada término dividiendo los coeficientes y dividiendo las
variables restando los exponentes de las variables con bases similares.
𝟐𝒙𝟐
𝒚𝟒
− 𝒙𝟔
𝒚𝟐
+ 𝟑𝐱𝐲 es el cociente
P(x) = x5 + 2x3 − x − 8
Q(x) = x2 − 2x + 1
P(x) : Q(x)
1) A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos
en los lugares que correspondan.
𝒙𝟓
+ 𝟐𝒙𝟑
− 𝒙 − 𝟖 𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟏
2) A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
3) Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
𝒙𝟓: 𝒙𝟐 = 𝒙𝟑

13. 𝟖𝒙𝟐
− 𝟏𝟔𝒙 + 𝟖
Procedemos con la resta:
(𝟖𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟖) − (𝟖𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟖) = 𝟖𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟖 + 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 − 𝟖 = 𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟔
10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede
continuar dividiendo.
𝒙𝟑
+ 𝟐𝒙𝟐
+ 𝟓𝒙 + 𝟖 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆.
El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al evaluarlo, esto es, al
sustituir la variable x por un número dado, notemos que esto implica que el valor numérico
depende del número por el cual sustituyamos nuestra variable.
1) Calcula el valor numérico del polinomio
2) P(x) = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟓𝒙 − 𝟑
Evaluando en el siguiente valor
x=-1
P(-1)=2(−𝟏)𝟑+ 5(-1)-3
=2(-1)-5-3
=-2-8
=-10

14. http://cimanet.uoc.edu/cursMates0/IniciacionMatematicas/s2/1_2_1.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Factorización#:~:text=En%20matemáticas%20la%20factorizac
ión%20es,en%20forma%20de%20producto.
https://es.wikipedia.org/wiki/Racionalización_de_radicales#:~:text=También%20se%20le%
20conoce%20como,elimine%20la%20raíz%20del%20denominador.
Libro Sáenz segunda edición.