En la siguiente presentación se muestran ejemplos de límites indeterminados

1. Prof.: Ing. Jocabed Pulido (Esp.)
Santa de Coro, septiembre de 2021

2. Forma Indeterminada
𝟎
𝟎
Si lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 0 y lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 0 , y buscamos lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
En este caso no se puede aplicar el límite de una división ya que la sustitución nos lleva a una
expresión indeterminada
𝟎
𝟎
la cual no da información suficiente para encontrar el límite. La
indeterminación se salva recurriendo a métodos algebraicos como simplificación,
factorización y racionalización.
Racionalización

3. lim
𝑥→4
𝑥2 − 16
𝑥 − 4
Ejemplo:
Resolver
lim
𝑥→4
𝑥2 − 16
lim
𝑥→4
𝑥 − 4
=
42
− 16
4 − 4
=
0
0
𝑥2 − 𝑎2 = 𝑥 − 𝑎 ∗ 𝑥 + 𝑎
𝑥2
− 16 = 𝑥2
− 42
= 𝑥 − 4 ∗ 𝑥 + 4
lim
𝑥→4
𝑥2
− 16
lim
𝑥→4
𝑥 − 4
=
𝑥 − 4 𝑥 + 4
𝑥 − 4
= 𝑥 + 4 = 8
SIMPLIFICACIÓN

4. Ejemplo:
Resolver
FACTORIZACIÓN
lim
𝑥→4
𝑥2 + 4𝑥 − 32
𝑥 − 4
lim
𝑥→4
𝑥2
+ 4𝑥 − 32
lim
𝑥→4
𝑥 − 4
=
42
+ 4 4 − 32
4 − 4
=
0
0
𝑥2
+ 4𝑥 − 32 = 𝑥 − 4 𝑥 + 8 lim
𝑥→4
𝑥2 + 4𝑥 − 32
𝑥 − 4
=
𝑥 − 4 𝑥 + 8
𝑥 − 4
= 𝑥 + 8 = 12

5. Racionalización
Ejemplo:
Hallar lim
𝑥→1
𝑥 + 3 − 2
𝑥 − 1
Aplicando las leyes de los límites
lim
𝑥→1
𝑥 + 3 − 2
lim
𝑥→1
𝑥 − 1
=
lim
𝑥→1
𝑥 + 3 − lim
𝑥→1
2
lim
𝑥→1
𝑥 − 1
=
1 + 3 − 2
1 − 1
=
0
0
Aplicación de la Conjugada 𝑥 + 3 + 2
𝑥 + 3 − 2
𝑥 − 1
∗
𝑥 + 3 + 2
𝑥 + 3 + 2
=
𝑥 + 3 − 4
𝑥 − 1 . 𝑥 + 3 + 2
=
𝑥 − 1
𝑥 − 1 . 𝑥 + 3 + 2
=
1
𝑥 + 3 + 2

6. Racionalización
lim
𝑥→1
𝑥 + 3 − 2
𝑥 − 1
lim
𝑥→1
1
𝑥 + 3 + 2
lim
𝑥→1
1
𝑥 + 3 + 2
=
lim
𝑥→1
1
lim
𝑥→1
𝑥 + 3 + lim
𝑥→1
2
=
1
4
Aplicando nuevamente las leyes de los límites tenemos
lim
𝑥→1
𝑥 + 3 − 2
𝑥 − 1
=
1
4

7. Ejemplo:
Racionalización
lim
𝑥→0
𝑥
𝑥 + 2 − 2
Hallar
Aplicando las leyes de los límites
lim
𝑥→0
𝑥
𝑥 + 2 − 2
=
lim
𝑥→0
𝑥
lim
𝑥→0
𝑥 + 2 − lim
𝑥→0
2
=
0
0
Aplicación de la Conjugada 𝑥 + 2 + 2
𝑥
𝑥 + 2 − 2
𝑥 + 2 + 2
𝑥 + 2 + 2
=
𝑥. 𝑥 + 2 + 2
𝑥 + 2 − 2
= 𝑥 + 2 + 2

8. Racionalización
lim
𝑥→0
𝑥
𝑥 + 2 − 2
lim
𝑥→0
𝑥 + 2 + 2
lim
𝑥→0
𝑥 + 2 + 2 = lim
𝑥→0
𝑥 + 2 + lim
𝑥→0
2 = 2 2
lim
𝑥→0
𝑥
𝑥 + 2 − 2
= 2 2