Disequazioni esponenziali e logaritmiche

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Escursione attraverso esercizi ed esempi

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Disequazioni esponenziali e logaritmiche

  1. 1. Disequazioni Esponenziali x a
  2. 2. Definizioni e proprietà Esponenziale: ax a ∈ ℜ+ x∈ℜ Proprietà: 1. ax > 0 ∀x ∈ ℜ, a > 0 x 2. 0 < a < 1 allora x<x ⇔a >a x x 3. a >1 allora x<x ⇔a <a x
  3. 3. Disequazioni EsponenzialiDef. Le disequazioni esponenzialisono quelle nelle quali l’incognitacompare ad esponente di una certaespressione.
  4. 4. Soluzione Le disequazioni esponenziali si risolvono sfruttando le proprietà 1.2.3.
  5. 5. Es.1 x  1  < 32   2 −5 1 132 = 2 = −5 =   5 S = { x ∈ ℜ / x > −5} 2 2 x −51 1  < 2 2Applico 2
  6. 6. Es.2 4 > 16 x 4 >4 x 2 S = { x ∈ ℜ / x > 2}Applico 3 x>2
  7. 7. Es.3 32 x +1 + 3 x − 1 < 0 3 ⋅ 32 x + 3 x − 1 < 0Cambio variabile 3x = z 3z 2 + z − 1 < 0 → − 1 − 13 6 <z< − 1 + 13 6
  8. 8.  Da z torno a x: − 1 − 13 − 1 + 13 <3 < x <0 6 s.v. 6 ?
  9. 9. Problema…. Dobbiamo trovare quel numero ? tale che: − 1 + 13 3 = ? 6
  10. 10. Logaritmi Def. log a b = c ⇔ a = b c Nel nostro caso: c − 1 + 13 − 1 + 13 3 = ? ? = log 3a 6 b 6
  11. 11. ?????
  12. 12. Definizione: Definizione: dati due numeri a,b strettamente positivi con a ≠ 1si definisce logaritmo in base a di b il numero c al quale si deve elevare a per ottenere b; si ha quindi: log a b = c ⇔ a = b c
  13. 13.  Dalla definizine di logaritmo si ha: log a a = bb a log a b =b
  14. 14.  Allora un qualsiasi numero b può essere espresso attraverso il logaritmo in una qualsiasi base a>0 (diversa da 1) utilizzando una delle due relazioni viste.
  15. 15. Dalla definizione dilogaritmo…….Proprietà:1. log a 1 = 0 ∀a > 0, a ≠ 12. Se 0 < a <1 allora x < x ⇔ log a x > log a x x, x > 03. Se a >1 allora x < x ⇔ log a x < log a x x, x > 0
  16. 16. 4. log a x + log a y = log a ( xy ) x, y > 0 x x, y > 05. log a x − log a y = log a ( ) y6. log a x p = p log a x x>0 log c b7. log a b = a > 0, a ≠ 1.b > 0, c > 0, c ≠ 1 log c a
  17. 17. Alle disequazioni logaritmiche Def.: Le disequazioni logaritmiche sono quelle che contengono l’incognita nell’argomento di un logaritmo. Per risolverle occorre innanzitutto richieder la CDE del logaritmo(argomento strett.positivo), dopodichè si sfruttano le proprietà appena elencate.
  18. 18. Es.1 log 1 x < −3 2CDE x>0Per def.di logaritmo −3 1 log 1 x < log 1   log 1 x < log 1 8 2 2 2 2 2
  19. 19. La base è minore di uno, vale la 2. log 1 x < log 1 8 Allora passando 2 2 dalla disuguaglianza tra logaritmi a quella tra i rispettivi x>8 CDEok argomenti il verso della S = { x ∈ ℜ / x > 8} disuguaglianza cambia verso.
  20. 20. Es.2 log 2 x > 4CDE: x>0(Per def log) log 2 x > log 2 (2) 4
  21. 21. log 2 x > log 2 16poiché la base è maggiore di 1, passo alla disuguaglianza tra gli argomenti(uso 3.) x > 16 S = { x ∈ ℜ / x > 16} CDEok
  22. 22. Es.3 x2 log 1 <0 3 x+3 CDE: x + 3 ≠ 0  2  x >0 x + 3 x > −3 ∧ x ≠ 0 
  23. 23. x 2 x2 log 1 <0 log 1 < log 1 1 x+3 3 x+3 3 3 Passo agli argomenti x2 rovesciando la >1 disuguaglianza: x+3 1 + 13−3< x < 1 − 13 ∨ x> 2  1 − 13 1 + 13  2 S = − 3 < x < ∨x>   2 2  x > −3 ∧ x ≠ 0 CDEok
  24. 24. Proposta: log x + 4 ≤ 2
  25. 25. soluzione log x + 4 ≤ 2 CDE:  x+4≥0  x ≥ −4  x+4 >0
  26. 26. la base del logaritmo è “e”, la base naturale, ed essendo e=2.7182…la disequazione di partenza può essere scritta come: log x + 4 ≤ log e 2
  27. 27. Da cui: x + 4 ≤ e2 positivo positivoElevo al quadrato ambo i membri x ≤ e4 − 4
  28. 28. Ricordo la CDE e la combino con la soluzione appena trovata: x ≥ −4 { } S = x ∈ ℜ /− 4 < x ≤ e4 − 4x ≤e −4 4
  29. 29. Esercizi:1) log 3 ( x + 2) < 2 log 1 ( x + 2) < 22) 3 log 1 ( x 2 + 7) < −23) 44) log 1 x − 1 ≥ −1 3

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