Funzioni

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slidelesson: La "relazione" di funzione. Materiale ad uso del triennio

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Funzioni

  1. 2. Le funzioni PROF. AURICCHIO ANTONIO corso abilitante in Matematica applicata
  2. 3. FUNZIONE: DEFINIZIONE Dati due insiemi non vuoti A e B, si dice applicazione o funzione da A a B una relazione tra i due insiemi, che ad ogni x A fa corrispondere uno ed un solo y B. L'insieme A viene chiamato dominio (o insieme di definizione) della funzione. L'insieme degli elementi di B che hanno almeno una contro-immagine in A, viene chiamato codominio  della funzione.
  3. 4. FUNZIONE: DEFINIZIONE <ul><li>Se x è un elemento di A, il suo corrispondente y di B si indica anche con f(x): </li></ul><ul><li>y = f(x) </li></ul><ul><li>Nel in cui A e B sono insiemi numerici si parla di funzioni numeriche, in tal caso: </li></ul><ul><li>x è detta variabile indipendente </li></ul><ul><li>y è detta variabile dipendente </li></ul><ul><li>La funzione numerica è definita matematica qualora i valori della x e i corrispondenti valori della y sono legati da operazioni matematiche, viene detta, invece, empirica qualora i valori della x e i corrispondenti valori della y sono legati dall’esperienza. </li></ul>
  4. 5. FUNZIONE NON NUMERICA: ESEMPIO Nell'insieme degli insegnanti della tua classe, si consideri la relazione che ad ogni insegnante associa la classe in cui insegna. E' una funzione? La risposta corretta è NO. Infatti solitamente ad un insegnante corrispondono più classi.
  5. 6. FUNZIONE NUMERICA Quale dei seguenti grafici rappresenta una funzione numerica?                                                                                                                                                                                                    Non è una funzione: un elemento di A ha più di una immagine in B Non è una funzione: un elemento di A non ha immagine in B E' una funzione: ad ogni elemento di A ne corrisponde uno ed un solo di B
  6. 7. FUNZIONE NUMERICA MATEMATICA: ESEMPIO Si consideri la relazione che ad un elemento di x di R associa il suo doppio. E' una funzione? La risposta corretta è SI. Infatti ad ogni elemento x di R corrisponde uno ed un solo elemento doppio.
  7. 8. FUNZIONE NUMERICA EMPIRICA: ESEMPIO Si consideri la relazione che allo scandire di ogni ora della giornata di domani associa la temperatura. E’ una funzione? La risposta corretta è SI. Infatti ad ogni ora corrisponde un solo valore della temperatura. La seguente funzione è un esempio di funzione empirica, infatti, i valori della y, in questo caso quelli della temperatura, non si possono determinare con operazioni matematiche, ma soltanto in seguito all’esperienza.
  8. 9. CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI MATEMATICHE Da ora in poi ci occuperemo solo di funzioni matematiche. E’ necessario prima di proseguire farne una classificazione: razionali intere funzioni trascendenti algebriche razionali fratte irrazionali esponenziali logaritmiche tutte quelle che non sono algebriche
  9. 10. Data la funzione f : A -> B chiameremo grafico della funzione f l’insieme G f definito da: G f = { ( x, y ) A × B | y = f ( x ) } GRAFICO DI UNA FUNZIONE Nel caso in cui A , B sono insiemi numerici questo insieme rappresenta una curva nel piano ( x, y ). Non tutte le curve nel piano sono grafici di funzione, affinchè lo siano devono verificare la definizione di funzione, cioè che per ogni x A esiste uno ed un solo y B tale che y=f(x)
  10. 11. GRAFICO DI FUNZIONE: ESEMPI Si, in quanto soddisfa la condizione di unicit à ; infatti come evidenziato dalle linee tratteggiate ad ogni x corrisponde una ed una sola y. La seguente curva rappresenta il grafico di una funzione?
  11. 12. GRAFICO DI FUNZIONE: ESEMPI No, in quanto non soddisfa la condizione di unicit à ; infatti come evidenziato dalla linea tratteggiata esiste una x a cui corrispondono ben tre y, ciò va contro la definizione di funzione che richiede che ad ogni x deve corrispondere una ed una sola y. La seguente curva rappresenta il grafico di una funzione?
  12. 13. Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B. FUNZIONE INIETTIVA: DEFINIZIONE Si può anche scrivere x 1 ,x 2 A, con x 1 ≠ x 2 allora f(x 1 ) ≠ f(x 2 ) Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivo y B da questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento x A
  13. 14. FUNZIONE INIETTIVA . Il primo grafico è una funzione iniettiva, infatti, ad elementi distinti del primo insieme, corrispondono elementi distinti del secondo insieme. Il secondo grafico non è invece una funzione, poiché non sempre ad elementi distinti del primo insieme corrispondono elementi distinti del secondo insieme. Funzione iniettiva Funzione non iniettiva                                                              
  14. 15. Dati gli insiemi A={1,2,3}, B={1,4,9,16} si consideri la funzione che ad un elemento di x associa il suo quadrato. La funzione è iniettiva . Infatti ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B. . FUNZIONE INIETTIVA: ESEMPI Dati gli insiemi A={-3,-2,-1,1,2,3}, B={1,4, 9,16} considera la funzione che ad un elemento di x associa il suo quadrato. La funzione non è iniettiva . Infatti ad elementi distinti di A non corrispondono elementi distinti di B. Ad esempio ad entrambi gli elementi -3, 3,  corrisponde lo stesso elemento 9
  15. 16. Grafico di funzione iniettiva, ad x distinte corrispondono y distinte. FUNZIONE INIETTIVA: ESEMPI Grafico di funzione non iniettiva, vi sono x distinte a cui corrisponde la stessa y (come evidenziato dai punti rossi).
  16. 17. FUNZIONE SURIETTIVA: DEFINIZIONE ED ESEMPI Una funzione da A a B si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. In altre parole il codominio coincide con B . Questa funzione non è suriettiva perché esiste un elemento di B (5) che non è immagine di qualche elemento di A Questa funzione è suriettiva, infatti non esiste alcun elemento di B che non sia immagine di elementi di A
  17. 18. FUNZIONE SURIETTIVA: DEFINIZIONE ED ESEMPI Sia f : R -> R La funzione non è suriettiva : si ha infatti che i numeri negativi non hanno controimmagine Sia f : R -> R La funzione è suriettiva : si ha infatti che ogni numero reale ha controimmagine
  18. 19. Una funzione da A a B che sia contemporaneamente iniettiva e suriettiva viene detta  biettiva (o corrispondenza biunivoca ). Poiché la funzione è iniettiva ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B, ma la funzione è anche suriettiva quindi non esiste alcun elemento di B che non sia immagine di un elemento di A.   FUNZIONE BIETTIVA: DEFINIZIONE
  19. 20. FUNZIONE BIETTIVA: ESEMPI                                                                                                                                                                                          La funzione è suriettiva perché non esiste un  elemento di B che non sia immagine di qualche elemento di A. Non è invece iniettiva. La funzione è iniettiva perché ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B. Non è invece suriettiva. La funzione è sia iniettiva che suriettiva. E' una corrispondenza biunivoca.
  20. 21. FUNZIONE BIETTIVA: ESEMPI NON NUMERICI Nell'insieme degli alunni di una classe, si consideri la funzione che associa ad ogni alunno il suo nome (e cognome) sul registro dell’ insegnante di matematica. Ad ogni studente corrisponde un solo nome e cognome. Viceversa ad ogni nome e cognome corrisponde un solo studente. La funzione è una corrispondenza biunivoca . Sempre in riferimento all'esempio precedente si consideri la relazione che associa ad ogni studente il suo numero d'ordine. La funzione è biunivoca? In genere la funzione sarà iniettiva , perché a studenti distinti corrispondono numeri distinti, ma probabilmente non suriettiva , perché ci saranno sul registro numeri ai quali non corrispondono studenti.
  21. 22. FUNZIONE BIETTIVA: ESEMPI Sia f : R -> R La funzione è biettiva essendo sia iniettiva che suriettiva
  22. 23. Sia data una funzione f biettiva di A in B. Allora ad ogni elemento di A corrisponde un solo elemento di B, o meglio ogni elemento di B è immagine di un solo elemento di A. La relazione che ad ogni elemento di B fa corrispondere un elemento di A è a sua volta una funzione: essa viene chiamata funzione inversa e viene indicata con il simbolo f -1 . Una funzione è quindi invertibile solo se è biunivoca. FUNZIONE INVERSA INVERTIBILITA’ DI UNA FUNZIONE
  23. 24. FUNZIONE INVERSA: ESEMPI Si consideri la relazione che ad un elemento di x di R associa il suo cubo. Essa è una funzione. E' invertibile? La risposta corretta è SI. Infatti la funzione è biettiva, e la sua inversa sarà la funzione che ad ogni elemento y di R associa la sua radice cubica. Si consideri la relazione che ad un elemento di x di R associa il suo quadrato. Essa è una funzione. E' invertibile? La risposta corretta è NO. Infatti la funzione non è biettiva, in quanto non iniettiva: il quadrato di un numero è infatti uguale a quello del suo opposto.
  24. 25. FUNZIONI PARI, DISPARI E PERIODICHE DEFINIZIONI <ul><li>Si consideri la funzione f di A in B </li></ul><ul><li>Diremo che f è una funzione </li></ul><ul><ul><li>pari se f(x) = f(−x) , per ogni x A </li></ul></ul><ul><ul><li>dispari se f(x) = −f(−x) , per ogni x A </li></ul></ul><ul><ul><li>periodica (di periodo T) se f(x + T) = f(x) , per ogni x A </li></ul></ul>
  25. 26. FUNZIONI PARI E DISPARI: ESEMPI Si consideri la funzione f che ad ogni x R associa il suo quadrato: Che tipo di funzione è ? La risposta corretta è PARI. Infatti, come già evidenziato in precedenza, il quadrato di un numero è infatti uguale a quello del suo opposto. Ad esempio, f(2) = f(-2) = 4. Si consideri la funzione f che ad ogni x R associa il suo cubo: Che tipo di funzione è ? La risposta corretta è DISPARI. Infatti, il cubo di un numero e del suo opposto sono a loro volta opposti. Ad esempio, f(3) = 9 ≠ f(-3) = -9.
  26. 27. FUNZIONI PARI E DISPARI: ESEMPI Come detto prima, la funzione che ad ogni x associa il suo quadrato è pari, il suo grafico è simmetrico rispetto all ’ asse delle y come per tutte le funzioni pari. Come detto prima, la funzione che ad ogni x associa il suo cubo è dispari, il suo grafico è simmetrico rispetto all ’ origine come per tutte le funzioni dispari.
  27. 28. FUNZIONI MONOTONE Una funzione f : A -> B si dice crescente in senso stretto se: x 1 , x 2 A, con x 1 < x 2 si ha che f(x 1 ) < f(x 2 ) Una funzione f : A -> B si dice crescente in senso lato se: x 1 , x 2 A, con x 1 < x 2 si ha che f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) Una funzione f : A -> B si dice decrescente in senso stretto se: x 1 , x 2 A, con x 1 < x 2 si ha che f(x 1 ) > f(x 2 ) Una funzione f : A -> B si dice decrescente in senso lato se: x 1 , x 2 A, con x 1 < x 2 si ha che f(x 1 ) ≥ f(x 2 )
  28. 29. FUNZIONI MONOTONE: ESEMPI Una funzione si dice monotona in un determinato intervallo, se in quell’intervallo risulta essere crescente in senso stretto o in senso lato, oppure decrescente in senso stretto o in senso lato. La funzione è crescente. La funzione è decrescente
  29. 30. FUNZIONI CONTINUE Sia A R un insieme numerico, diremo che il punto x 0 A è un punto interno di A se esiste un intorno completo di x 0 costituito da soli elementi di A. Prima di enunciare la definizione di funzione continua è necessario richiamare la definizione di punto interno e punto di frontiera . Sia A R un insieme numerico, diremo che il punto x 0 A è un punto di frontiera (o punto estremo) di A se comunque si prenda un intorno completo di x 0 , esso contiene almeno un punto non appartenente ad A.
  30. 31. FUNZIONI CONTINUE: DEFINIZIONE Intuitivamente possiamo dire che una funzione si dice continua quando possiamo disegnarla senza staccare la penna dal foglio (o il gessetto dalla lavagna); è necessario però darne una definizione matematica precisa utilizzando il concetto di limite. Diremo che una funzione f(x), definita in (a, b), è continua nel punto x 0 ]a, b[, interno all ’ intervallo (a, b) se accade che In altre parole, una funzione è continua in un punto x 0 se in quel punto esistono il suo limite destro e sinistro ed i due limiti sono finiti ed uguali.
  31. 32. FUNZIONI CONTINUE: DEFINIZIONE Nella precedente definizione nell ’ indicare il dominio abbiamo usato, invece del generico insieme A, un intervallo. Il motivo è che, nella maggior parte dei casi, le funzioni sono definite in un solo intervallo con la eventuale esclusione di qualche punto di esso. E ’ ovvio che quanto diremo sugli intervalli si può ripetere per domini generici per esempio costituiti dall ’ unione di pi ù intervalli.
  32. 33. FUNZIONI CONTINUE: DEFINIZIONE Diremo che una funzione f(x), definita in (a, b), è continua nei punti di frontiera a, b, se accade che: Ovviamente può accadere che la funzione sia continua in uno solo dei punti di frontiera.
  33. 34. FUNZIONI CONTINUE: DEFINIZIONE Diremo che la funzione f(x) definita nell ’ intervallo (a, b) (aperto o chiuso) è ivi continua se essa è continua per ogni x (a, b), cioè se la funzione è continua sia in tutti i punti interni ad (a,b), sia nei punti di frontiera.
  34. 35. FUNZIONI DISCONTINUE: DEFINIZIONE <ul><li>Sia f(x) una funzione definita in (a, b) e sia x 0 (a, b). Se </li></ul><ul><li>f(x) è non dotata di limite in x 0 , cioè se il limite in tal punto non esiste, oppure </li></ul><ul><li>se pur essendo convergente si ha: </li></ul><ul><li>allora </li></ul><ul><li>x 0 si dice punto singolare o punto di discontinuità della funzione f(x). </li></ul>
  35. 36. FUNZIONI DISCONTINUE: DEFINIZIONE 1. Discontinutà di I specie Sia f(x) una funzione definita in ( a, b ) e sia x 0 ( a, b ). Diremo che x 0 è un punto di discontinuità di I specie se la funzione, non è dotata di limite in x 0 , cioè è dotata di limite destro e sinistro distinti e finiti, cioè: 2. Discontinutà di II specie Diremo che x 0 e un punto di discontinuità di II specie se almeno uno (o entrambi) dei limiti destro o sinistro di f ( x ), per x che tende a x 0 non esiste o non esiste finito. 3. Discontinutà di III s pecie Diremo infine che x 0 è un punto di discontinuità di terza specie o eliminabile della funzione quando esiste finito il limite per x che tende a x 0 di f(x), ma f(x 0 ) o non esiste o è diversa dal valore del limite.
  36. 37. FUNZIONI CONTINUE: ESEMPI Sia f : R -> R Esempio di funzione continua; in qualsiasi suo punto il limite destro e sinistro coincidono Esempio di funzione discontinua; nel punto 0 infatti il limite destro e sinistro non coincidono (discontinuità di prima specie). Sia f : R -> R
  37. 38. STUDIO DI FUNZIONE - PROCEDIMENTO In matematica per studio di funzione si intende quell'insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare una funzione f(x) al fine di determinarne alcune caratteristiche qualitative. Uno studio di funzione correttamente condotto permette di tracciare il grafico della funzione. <ul><li>In sintesi, il procedimento per un corretto studio di funzione sono: </li></ul><ul><li>Determinazione dell'insieme di definizione </li></ul><ul><li>Intersezioni con gli assi </li></ul><ul><li>Segno della funzione </li></ul><ul><li>Calcolo dei limiti di frontiera </li></ul><ul><li>Continuità / Discontinuità della funzione </li></ul><ul><li>Individuazione degli asintoti </li></ul><ul><li>Monotonìa </li></ul><ul><li>Concavità/Convessità </li></ul>
  38. 39. STUDIO DI FUNZIONE INSIEME DI DEFINIZIONE Per determinare l'insieme di definizione (dominio) di una funzione assegnata in termini di funzioni elementari, a meno di indicazioni esplicite, si deve individuare il sottoinsieme dei reali più esteso entro il quale l'espressione che la definisce non perda di senso. <ul><li>In particolare conviene porre l'attenzione alle seguenti evenienze: </li></ul><ul><li>le funzioni fratte non esistono nei punti dove il denominatore si annulla, </li></ul><ul><li>le funzioni sotto radice di esponente pari non esistono se il radicando è minore di zero, </li></ul><ul><li>le funzioni logaritmiche non esistono nei punti dove l'argomento è minore o uguale a zero. </li></ul>
  39. 40. STUDIO DI FUNZIONE INTERSEZIONE CON GLI ASSI Può essere utile a questo punto cominciare ad individuare alcuni punti del piano che stanno sul grafico della funzione; in particolare si è soliti cercare le eventuali intersezioni con gli assi cartesiani. <ul><li>Per determinarle si opererà come segue: </li></ul><ul><li>intersezioni con l'asse x: sono i punti di coordinate (x,0) dove x è soluzione dell'equazione f(x) = 0. Si possono presentare diverse eventualità: </li></ul><ul><ul><li>l'equazione potrebbe non avere soluzioni, e in questo caso la funzione non ha intersezione con l'asse x, </li></ul></ul><ul><ul><li>potrebbe avere una o più soluzioni, ma comunque un numero finito di soluzioni (e quindi un numero finito di punti di intersezione), </li></ul></ul><ul><ul><li>potrebbe avere infinite soluzioni. </li></ul></ul><ul><li>intersezione con l'asse y: l'intersezione con l'asse y esiste solamente se lo zero appartiene al dominio della funzione, nel qual caso questa intersezione è unica per definizione stessa di una funzione, e sarà il punto di coordinate (0,f(0)). </li></ul>
  40. 41. STUDIO DI FUNZIONE – IL SEGNO Ci si chiede ora di studiare il segno della funzione, cioè ci si chiede quando la funzione è positiva (sopra l'asse x) o negativa (al di sotto dell'asse x). In altre parole quali sono i valori della x appartenenti al dominio tali che sia soddisfatta la disequazione f(x) > 0 e quali invece siano tali che sia soddisfatta la f(x) < 0. Può essere molto utile a questo punto annerire su un piano cartesiano tutte le zone in cui il grafico della funzione non può passare, se ad esempio nell'intervallo (a,b) la funzione risultasse positiva si annerirà la zona del piano sotto l'asse x, dove x è compresa fra a e b.
  41. 42. STUDIO DI FUNZIONE LIMITI DI FRONTIERA Una volta stabilito il dominio e le particolari caratteristiche che può avere la funzione, si studia il comportamento della funzione sulla frontiera del dominio. In particolare si andrà a calcolare i limiti: per x che tende a - ∞ se il dominio è illimitato inferiormente per x che tende a + ∞ se il dominio è illimitato superiormente Per c R se c è punto di accumulazione (un punto si dice di accumulazione se qualunque suo intorno contiene sempre almeno un punto del dominio diverso da esso stesso) del dominio ma non è un suo punto interno. In alcuni casi sarà necessario limitarsi a calcolare solo il limite destro o il limite sinistro
  42. 43. STUDIO DI FUNZIONE CONTINUITA’ ED ASINTOTI Il calcolo dei limiti permette di verificare la continuità di una funzione o di valutarne le discontinuità in quel punto. Infatti, basterà analizzare il limite destro e sinistro nei punti di accumulazione. Se essi coincidono, allora la funzione è continua, altrimenti in quel punto presenta una discontinuità.
  43. 44. STUDIO DI FUNZIONE CONTINUITA’ ED ASINTOTI Con il calcolo dei limiti si è in grado di individuare anche l'esistenza di eventuali asintoti sia verticali, orizzontali che obliqui. asintoto orizzontale : è la retta di equazione y = l se asintoto obliquo : è la retta di equazione y = mx + q se si verificano nell'ordine le seguenti proprietà: asintoto verticale : è la retta di equazione x = c se dove c è un eventuale punto di discontinuità o un estremo finito del dominio. dove più o meno infinito sono gli eventuali estremi infiniti del dominio. Quindi se la funzione ha un dominio limitato non può ammettere né asintoti orizzontali né obliqui.
  44. 45. <ul><li>Si devono inoltre precisare alcune caratteristiche specifiche: </li></ul><ul><li>le funzioni goniometriche non presentano alcun asintoto, </li></ul><ul><li>una funzione che ammette asintoti orizzontali, non ammette quelli obliqui e viceversa, mentre non c'è alcuna restrizione per gli asintoti verticali, </li></ul><ul><li>un asintoto verticale esiste se e solo se ci sono dei candidati asintoti nel campo d'esistenza; quindi, se la funzione è definita su tutto il campo dei numeri reali, non esiste alcun asintoto verticale. </li></ul>STUDIO DI FUNZIONE - ASINTOTI
  45. 46. STUDIO DI FUNZIONE MASSIMI E MINIMI Uguagliando a zero la derivata della funzione, cioè risolvendo l’equazione f ’ (x) = 0 si individuano i punti stazionari della funzione. Si studia, poi, il segno di f’(x), cioè si risolve la disequazione: f ’ (x) > 0 e si determinano gli eventuali punti di massimo relativo, minimo relativo e punto di flesso a tangente orizzontale. Detto x 0 uno di questi punti, esso sarà punto di massimo o di minimo relativo per la funzione, se la derivata prima cambia di segno passando dalla sinistra alla destra di x 0 , cioè se la derivata cambia di segni ‘attraversando’ x 0 . Se invece non cambia di segno esso sarà un punto di flesso a tangente orizzontale.
  46. 47. STUDIO DI FUNZIONE MONOTONIA, CONCAVITA’ E CONVESSITA’ Infine, vanno ricercati gli intervalli in cui la funzione è concava (convessa). Ciò si ottiene calcolando la derivata seconda della funzione, risolvendo la disequazione f ’’ (x) > 0 (f ’’ (x) < 0) Risolvendo l’equazione f ’’ (x) = 0 vengono individuati eventuali punti di flesso della funzione. Detto x 0 uno di questi punti, esso sarà un punto di flesso nel caso in cui la derivata seconda, a destra e a sinistra di x 0 cambia di segno . Il punto di massimo (minimo) in cui la funzione assume il valore maggiore (minore) è detto “punto di massimo (minimo) assoluto”. Gli altri punti sono detti di massimo (minimo) relativo

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