Il concetto di limite

1. IL CONCETTO DI LIMITE: lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
In matematica, il limite serve a descrivere l'andamento di una funzione all'avvicinarsi del suo argomento a un
dato valore x0 (punto di accumulazione), non appartenente al dominio della funzione.
IL LIMITE INFINITO
 Per x finito: lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = ∞ ↔ ∀M > 0 ∃ r > 0 | f(x) > M v f(x) < – M se |x – x0| < r
 Per x infinito: lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = ∞ ↔ ∀M > 0 ∃ xM > 0 | f(x) > M v f(x) < – M se x > xM v x < xM
VERIFICA: impostare la disuguaglianza f(x) > M v f(x) < – M e risolverla; il limite è verificato se, nella
soluzione, si ritrova l’intorno di x, scritto all’inizio (|x – x0| < r v x > xM v x < xM).
IL LIMITE FINITO
 Per x finito: lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = l ↔ ∀ > 0 ∃ x > 0 | |f(x) – l| < se |x – x0| < x
 Per x infinito: lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = l ↔ ∀ > 0 ∃ x > 0 |f(x) – l| < se x > x v x < – x
VERIFICA: impostare la disuguaglianza |f(x) – l| < e risolverla; il limite è verificato se, nella
soluzione, si ritrova l’intorno di x, scritto all’inizio (|x – x0| < x v x > x v x < – x ).
TEOREMI PER CALCOLARE UN LIMITE
o Teorema di unicità: se il limite esiste, è unico;
o Teorema della funzione costante: lim
𝑥→𝑥0
𝑘 = k;
o Teorema della funzione d’identità: lim
𝑥→𝑥0
𝑥 = x0;
o Teorema delle funzioni continue: lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = f(x0) se x0 appartiene al dominio di f(x);
o Funzioni di funzioni
 SOMMA: avendo lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = l1 e lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥)= l2 ↔ lim
𝑥→𝑥0
[𝑓(𝑥)+ 𝑔(𝑥)]= l1 + l2;
 PRODOTTO: avendo lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)= l1 e lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = l2 ↔ lim
𝑥→𝑥0
[𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)] = l1  l2;
 QUOZIENTE: avendo lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)= l1 e lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = l2 ↔ lim
𝑥→𝑥0
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] =
l1
l2
;
o Confronto/carabinieri: se g(x) < f(x) < h(x) e lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑥0
ℎ(𝑥) = l ↔ lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = l;
o Permanenza del segno: se esiste lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = l con l ≠ 0 → in I (𝑥0), f(x) ha lo stesso segno
del limite.
Non sempre, però, è possibile applicare tali teoremi in quanto alcuni limiti si trovano nelle forme
indefinite:
 + ∞ - ∞ → il limite di polinomio generico di grado n, per un punto di accumulazione
infinito, è sempre infinito): raccoglimento del termine di grado massimo → P(x)= anxn + an-
1xn-1 + an-2xn-2 + … + a0 → lim
𝑥→∞
𝑃(𝑥) = lim
𝑥→∞
xn (an +
an−1
𝑥
+ … +
a0
𝑥 𝑛 ) = xn

2. Se il punto di accumulazione è finito, bisogna scomporre la funzione iniziale in modo da
semplificare dei membri.
Se la funzione iniziale è composta da radici, razionalizzo.

∞
∞
→ lim
𝑥→ ∞
[
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
]
 N(x) e D(x) sono polinomi di grado uguale: lim
𝑥→ ∞
[
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
] = lim
𝑥→ ∞
𝑥 ( 𝑎+
𝑏
𝑥
)
𝑥 ( 𝑐+
𝑑
𝑥
)
=
𝑎
𝑐
 N(x) ha grado maggiore rispetto a D(x): lim
𝑥→ ∞
[
𝑎 𝑥2
+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
] = lim
𝑥→ ∞
𝑥2( 𝑎+
𝑏
𝑥
)
𝑥 ( 𝑐+
𝑑
𝑥
)
= lim
𝑥→ ∞
𝑥 ( 𝑎+
𝑏
𝑥
)
( 𝑐+
𝑑
𝑥
)
= ∞
 D(x) ha grado maggiore rispetto a N(x): lim
𝑥→ ∞
[
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥2 +𝑑
] = lim
𝑥→ ∞
𝑥 ( 𝑎+
𝑏
𝑥
)
𝑥2 ( 𝑐+
𝑑
𝑥
)
= lim
𝑥→ ∞
( 𝑎+
𝑏
𝑥
)
𝑥 ( 𝑐+
𝑑
𝑥
)
= 0
I LIMITI NOTEVOLI: utilizzati per sciogliere alcune forme indefinite come
0
0
o 0  ∞
lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
= e lim
𝑥→0
(1 + 𝑥)
1
𝑥 = e lim
𝑥→0
[
1
𝑥
ln(1 + 𝑥)] = 1
lim
𝑥→0
𝑒 𝑥
− 1
𝑥
= 1 lim
𝑥→0
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥
= 1 lim
𝑥→0
𝑡𝑔 𝑥
𝑥
= 1
lim
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥
= 0 lim
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥2 =
1
2
lim
𝑥→0
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥
𝑥
= 1
lim
𝑥→0
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥
= 1 lim
𝑥→ ∞
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥
= 0
L’UTILIZZO DEI LIMITI
 Trovare asintoti orizzontali: lim
𝑥→ ∞
𝑓(𝑥) = l → asintoto: y = l;
 Trovare asintoti verticali: lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = ∞ → asintoto: x = x0;
 Trovare asintoti obliqui (y = mx + q):
1) Controllare se la funzione è infinita: lim
𝑥→ ∞
𝑓(𝑥) = ∞;
2) Controllare se la funzione ha lo stesso ordine di infinito di una retta: lim
𝑥→ ∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= m
≠ 0;
3) Trovare il termine noto: lim
𝑥→ ∞
[𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥] = q
 Studiare la continuità di una funzione: una funzione è continua in un punto x0 se f(x0) = :
lim
𝑥→𝑥0
+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑥0
−
𝑓(𝑥) = l
LA DISCONTINUITÀ IN UN PUNTO x0
Discontinuità di prima
specie (salto finito)
Discontinuità di seconda
specie (salto infinito)
Discontinuità di terza
specie (eliminabile)

3. lim
𝑥→𝑥0
+
𝑓(𝑥) = l1 e lim
𝑥→𝑥0
−
𝑓(𝑥)
= l2 → salto = | l2 - l1|
lim
𝑥→𝑥0
±
𝑓(𝑥) = ∞ (almeno
uno dei due) lim
𝑥→𝑥0
±
𝑓(𝑥) = l
→ salto = 0
I TEOREMI DELLE FUNZIONI CONTINUE
Teorema di Weierstrass: se la funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b],
essa ha massimi e minimi assoluti
Teorema di Bolzano o dei valori intermedi: se la funzione è continua in un intervallo chiuso
e limitato [a,b], essa assume tutti i valori compresi tra minimo e massimo
Teorema dell’esistenza degli zeri: se la funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato
[a,b] e se f(a)  f(b) < 0, esiste almeno un punto appartenente all’intervallo tale che la
funzione sia nulla
Corollario: sia P(x) un polinomio di grado dispari, continuo in un intervallo chiuso e limitato
[a,b], allora esso attraverserà l’asse x un numero dispari di volte (lo attraversa almeno una
volta)