Università Degli Studi Di Reggio Calabria Facoltà Di Ingegneria                                            AUTORE. S. Calt...
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  1. 1. Università Degli Studi Di Reggio Calabria Facoltà Di Ingegneria AUTORE. S. Caltabiano
  2. 2. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) Indice GeneraleCapitolo 1 Nozioni propedeutiche ........................................................................... 1 1.1 Cambio di variabile ........................................................................................ 1 1.2 Forme indeterminate ....................................................................................... 3 1.3 Limiti notevoli. Limiti notevoli derivati ......................................................... 7Capitolo 2 Infinitesimi ed infiniti .......................................................................... 16 2.1 Definizione di funzione infinitesima ed infinita ............................................ 16 2.2 Simbolo di Landau. Relazioni di confronto .................................................. 17 2.3 Ordine di una funzione rispetto ad un’altra. Parte principale ........................ 39 2.4 Scale di confronto ......................................................................................... 44 2.5 Confronto asintotico ..................................................................................... 53Capitolo 3 Applicazione del calcolo differenziale per la risoluzione dei limiti ... 69 3.1 La regola di De L’Hospital ........................................................................... 69 3.2 Formula di Teylor con il resto di Peano e di Lagrange.................................. 88 3.3 Proprietà del polinomio di Taylor ................................................................. 99 3.4 Applicazioni della formula di Mac Laurin con il resto di Peano al calcolo dei limiti................................................................................................................... 114 3.5 Applicazione notevole del calcolo dei limiti per il calcolo di limiti di successioni numeriche ........................................................................................ 121Bibliografia ........................................................................................................... 123Dott. S. Caltabiano i
  3. 3. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Capitolo 1 Nozioni propedeutiche1.1 Cambio di variabile Gli enunciati dei teoremi che seguono vengono dati per spazi topologici astratti, ~cosicché R :=R{–,+} diviene un caso particolare. Si fa osservare a priori, chenell’ipotesi (a) del teorema che segue, equivalentemente si può ipotizzare che esistaun intorno nel quale la f assuma al più un numero finito di volte il valore y0, infatti intal caso basta privare l’intorno dei punti in corrispondenza dei quali la funzione fassume il valore y0, e si ottiene così un intorno sul quale la f è diversa da y0, cioè siricade nell’ipotesi (a).Teorema 1 (Cambio di variabile)Siano X,Y,Z spazi topologici di Hausdorff, siano AX e BY non vuoti, siano x0Xe y0Y di accumulazione rispettivamente per A e B, siano f:AY e g:BZ funzionicon f(A)B e supponiamo che siano soddisfatte le seguenti due condizioni:(a) WX intorno di x9 t.c. f(x)y0 xAW{x0}(b)  lim f(x)=y0 e  lim g(y)=z0 con z0Z x x0 y y0Ts:  lim g(f(x))= lim g(y) x x0 y y0DimFissato HZ intorno di z0, dobbiamo provare che: IX intorno di x0, t.c. g(f(x))H xAI{x0}Dott. S. Caltabiano 1
  4. 4. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)essendo per ipotesi g convergente a z0 z0, allora: VY intorno di y0, t.c. g(y)H yBV{y0}Per ipotesi f convergente a y0 e pertanto: UX intorno di x0, t.c. f(x)V xAU{x0}e poiché f è a valori in B sarà pure: f(x)VB xAU{x0}Per ipotesi f(x)y0 xAW{x0} e pertanto scelto I=WU si ottiene che: f(x)BV{y0,} xAI{x0}e quindi: g(f(x))H xAI{x0}come volevasi.Teorema 2 (Cambio di variabile in forma classica)Siano X,Y,Z spazi topologici di Hausdorff, siano AX e BY non vuoti, siano x0Xe y0Y di accumulazione rispettivamente per A e B, siano f:AY e g:BZ funzionicon f(A)B e supponiamo che f soddisfi alle seguenti due condizioni:(a) f è invertibile in un intorno di x0 eventualmente a meno di x0(b)  lim f(x)=y0 e  lim f–1(y)=x0 x x0 y y0Ts:  lim g(y) se e solo se  lim g(f(x)). Ed in tal caso i due limiti coincidono y y0 x x0DimPer ipotesi la f è invertibile su un intorno di x0, di conseguenza su tale intorno la fassume al più una volta il valore y0, segue allora dal teorema di cambio di variabileche la funzione g  f ammette limite per x x0. Viceversa, sia UX l’intorno di x0 sucui la f è invertibile. La funzione f ristretta a AU{x0} è una bigezione da AU{x0}a f(AU{x0}), denotiamo allora con h l’inversa AU{x0}f(AU{x0}). Peripotesi h converge a x0 per yy0 ed inoltre essendo bigettiva assume al più una voltaDott. S. Caltabiano 2
  5. 5. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)il valore y0, segue allora dal teorema di cambio di variabile che la funzione(g  f)  h =g ammette limite per yy0.Corollario 1 ~ ~Siano D,ER sottoinsiemi non vuoti, sia p R di accumulazione per D in R , sia ~ ~ R sia f:DE t.c. lim f(x)=   e sia g:E R e supponiamo che  lim g(t)= x p t  Ts: lim g(f(x))= x pDimComunque preso un intorno di p la funzione f non può assumere valore + (risp. –),e quindi applicando il Teorema 1 si ottiene la tesi.1.2 Forme indeterminate ~ ~Sia DR un sottoinsieme non vuoto, sia p R di accumulazione per D in R , sianof,gRD due funzioni. 0 Forma indeterminata 0 Questa forma di indeterminazione si presenta quando si deve calcolare il limite della forma: f ( x) lim x p g( x) con: lim f(x)=0 e lim g(x)=0 x p x p Ad esempio se f e g sono funzioni polinomiali, per la precedente saranno del tipo f(x)=P(x)(x–p) e g(x)=Q(x)(x–p) con P=P(x), Q=Q(x) polinomi e ,>0. Basterà semplificare l’esponente del fattore comune (x–p). Vedremo in seguito comeDott. S. Caltabiano 3
  6. 6. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) risolvere la forma 0/0 nel caso più generale in cui f e g non sono funzioni polinomiali.  Forma indeterminata  Questa forma di indeterminazione si presenta quando si deve calcolare il limite della forma: f ( x) lim x p g( x) con: lim f(x)= e lim g(x)= x p x p Se f e g sono due funzioni polinomiali e quindi infinite per x, un metodo per la risoluzione della forma / è quello di mettere in evidenza sia al numeratore che al denominatore il termine in x con esponente più grande, e fare quindi le ovvie semplificazioni. Vedremo in seguito come risolvere la forma / nel caso più generale in cui f e g non sono funzioni polinomiali. Forma indeterminata 0 Questa forma di indeterminazione si presenta quando si deve calcolare il limite dellaforma: lim f(x)g(x) x pcon: lim f(x)=0 e lim g(x)= x p x pIn questo caso basta osservare che: f ( x) g ( x) f(x)g(x)= = 1 1 g ( x ) f ( x) 0 e ci si riconduce così al caso oppure al caso . 0  Forma indeterminata +–Dott. S. Caltabiano 4
  7. 7. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Questa forma di indeterminazione si presenta quando si deve calcolare il limite dellaforma: lim f(x)–g(x) x pcon: lim f(x)= lim g(x)=+ x p x pIn questo caso si può procedere in uno dei seguenti tre modi. Il primo metodoconsiste nel operare opportune trasformazioni algebriche (ad esempio razionalizzarese compaiono delle espressioni sotto radici). Il secondo metodo consiste nelloscrivere: 1 1  g f f–g= 1 fg 0e ci si riconduce così alla forma . Ed infine il terzo metodo consiste nello scrivere: 0  g f  f–g=f 1   =g   1    f  g e studiare quindi il limite del rapporto g/f o f/g che è una forma indeterminata /.Se ad esempio il limite g/f o f/g tende ad 1 allora dall’espressione precedente siottiene la forma indeterminata 0, mentre se il limite di g/f o f/g tende ad infinito oad un valore diverso da 1, allora dall’espressione precedente si ottiene che il limite dif–g tende a . Forma indeterminata 00, 1, 0Queste forme di indeterminazione si presentano quando si deve calcolare il limitedella forma: lim [f(x)]g(x) x pdove rispettivamenteDott. S. Caltabiano 5
  8. 8. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) lim f(x)=0 e lim g(x)=0 x p x p lim f(x)=1 e lim g(x)= x p x p lim f(x)= e lim g(x)=0 x p x pIn questi casi basta osservare che: [f(x)]g(x)= e g ( x ) ln(f ( x ))e quindi per la continuità dell’esponenziale otteniamo: lim g ( x) ln(f ( x )) lim [f(x)]g(x)= lim e g ( x ) ln(f ( x )) = e x  p x p x pe pertanto il limite si riconduce alla risoluzione del limite: lim g(x)ln(f(x)) x pche è una forma indeterminata del tipo 0. Con riferimento all’ultima formaindeterminata, nell’applicazione del Teorema di De L’Hospital, che tratteremo inseguito è consigliabile adoperare la forma ln(f(x))/(1/g(x)) poiché ha denominatoremeno complesso in termini di derivata, rispetto alla forma g(x)/(1/ln(f(x))). Il seguente teorema rappresenta un importante espediente per la risoluzionedelle forme indeterminate 00, 0, 1. Tuttavia tale teorema non verrà utilizzatoinseguito.Teorema 3 ~ ~Siano DR sottoinsieme non vuoto, sia p R di accumulazione per D in R , sianof,g:DR due funzioni convergenti a 0 per xp e supponiamo inoltre che la f nonassuma il valore 0 in un intorno di p, eventualmente a meno di pTs: Valgono allora i seguenti fatti: g( x) g ( x)  1 (1) Se  lim = finito allora  lim f ( x) g ( x ) =1 e  lim  f ( x)  =1 x p f ( x) x p x p  Dott. S. Caltabiano 6
  9. 9. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) f ( x) f ( x) lim(2) Se  lim allora  lim (1+f(x))1/g(x)= e x  p g( x) x p g ( x ) x pDimVerifichiamo la (1). Posto t=f(x) per l’ipotesi e per il Teorema 1 segue che: g( x) g( x) lim g(x)ln(f(x))= lim f(x)ln(f(x))= lim lim f(x)ln(f(x))= lim tln(t)= x x0 x x0 f ( x) x x0 f ( x) x x0 t 0 =0=0E quindi: g( x) lim f ( x ) = lim eg(x)ln(f(x))=e0=1 x p x pPer l’altra parte basta osservare che ln(1/f(x))=–ln(f(x)) ed applicare il ragionamentoprecedente.Verifichiamo la (2). Posto t=f(x) per l’ipotesi e per il Teorema 1 segue che: ln(1  f ( x)) f ( x) ln(1  f ( x)) f ( x) ln(1  f ( x)) lim = lim = lim lim = x p g( x) x p g ( x ) f ( x) x p g ( x ) x p f ( x) f ( x) ln(1  t) f ( x) = lim lim = lim x p g ( x ) t 0 t x p g ( x )E quindi: ln(1 f ( x )) ln(1 f ( x )) f ( x) lim g( x ) lim g( x) g( x ) lim (1+f(x))1/g(x)= lim e =e x p = e x p x p x p1.3 Limiti notevoli. Limiti notevoli derivatiI tre limiti notevoli fondamentali sono: sin( x) (I) lim =1 x 0 x (II) lim (1+x)1/x=e x 0Dott. S. Caltabiano 7
  10. 10. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) ex (III) lim  =+ con R+:=[0,+[ x  xA partire da questi limiti si ricavano i limiti riportati nella tabella che segue, dettilimiti notevoli derivati: Limiti notevoli derivati, ottenuti dal corrispondente limite della prima Limiti notevoli derivati 1 colonna con il cambio di variabile y= x sin(x)  (1) lim = con R lim xsin   = con R x  x x  x 2 1  cos n (x) n 2 2 n    n(2) lim = con lim x 1  cos    = con nN0: x 0 x2 2 x    x  2 nN0:=N-{0} e R e R sin(cos( x ) )   1  1(3) lim 2 = lim x 2 sin cos   = x 0 x 2 x    x   2 tg (x)  (4) lim = con R lim xtg   = con R x 0 x x   x arcsin(x)  (5) lim = con R lim xarcsn  = con R x 0 x x  x arctg(x)  (6) lim = con R lim x arctg  = con R x 0 x x   x arccos 2 (1  x)   lim x arccos 2 1   =2 con R(7) lim =2 con R x 0 x x   x x(8) lim (1+x)1/x=e con R   x 0 lim 1   =e con R x   x ln(1  x)  (9) lim = con R lim x ln1   = con R x 0 x x   x a x  1 /x  (10) lim =ln(a) con a R0 e x x(a –1) =ln(a ) con a R0 e R  lim x 0 xDott. S. Caltabiano 8
  11. 11. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) R a x  b x  a   a (11) lim =ln   b   con lim x (a  / x  b  / x ) =ln   b   con x 0 x   x      a,b R0 e ,R a,b R0 e ,R    (1  x )  1 lim x  1     1 = con ,R(12) lim = con ,R  x 0 x x    x    sinh(x)  (13) lim = con R lim x sinh  = con R x 0 x x   x 2 cosh n (x)  1 n 2 2 n    n(14) lim = con lim x  cosh    1 = con x 0 x2 2 x   x  2 nN0:=N-{0} e R nN0: e R tgh(x)  (15) lim = con R lim xtgh  = con R x 0 x x  x settsinh(x)  (16) lim = con R lim xsettsnh  = con R x 0 x x   x setttgh(x)  (17) lim = con R lim xsettgh  = con R x 0 x x  x sett cosh 2 (1  x)(18) lim =2 con   x 0 x lim xsett cosh 2 1   =2 con R x   x R ax lim xa1/x=+ con a>1 e R+(19) lim =+ con a>1 e R+ x  x x 0 a 1/ x(20) lim xax=0 con a>1 e R+ lim =+ con a>1 e R+ x  x 0  x lg  ( x) 1(21) lim a =0 con a>1 e ,R+ lim x lg   =0 con a>1 e ,R+ a x  x x 0 xDott. S. Caltabiano 9
  12. 12. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) (22) lim x lg a ( x ) =0 con a>1 e 1 lg a   x 0  x lim =0 con a>1 e ,R+ ,R+ x  x Verifica dei limiti notevoli derivatiVerifica del limite notevole (1):Scartiamo il caso banale =0. Osserviamo che: sin(x) sin(x) sin( y ) = = x x ycon il cambio di variabile y=x e quindi x0  y0 e pertanto: sin(x) sin( y ) sin( y ) lim = lim  = lim = x 0 x y 0 y y 0 yVerifica del limite notevole (2):Scartiamo il caso banale =0. Dimostriamo a monte che: 1  cos(x )  2 lim 2 = x 0 x 2Osserviamo che: 1  cos(x ) 2 1  cos 2 (x) 2 sin 2 (x) = = x2 1  cos(x) (x) 2 1  cos(x) (x) 2Passando al limite e tenendo conto del limite (1) otteniamo: 1  cos(x ) 2 sin 2 (x) 2 sin 2 (x) lim = lim = lim lim = x 0 x2 x 0 1  cos(x) (x) 2 x 0 1  cos(x) x 0 (x) 2 2 sin 2 ( y )  2 = lim = 2 y 0 y 2 2con il cambio di variabile y=x (e quindi x0  y0). Ricordiamo adesso che: n an–bn=(a–b)  an–kbk–1 con a,bR e nN0 k 1Dimostriamo quindi il limite notevole (2). Osserviamo che:Dott. S. Caltabiano 10
  13. 13. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 1  cos n (x) 1  cos(x ) n lim 2 = lim 2  cosk–1(x)= x 0 x x 0 x k 1 1  cos(x ) n k–1 2 n n 2 = lim lim  cos (x)=  1= x 0 x2 x 0 k 1 2 k 1 2Verifica del limite notevole (3):Osserviamo che: sin(cos( x ) ) sin(  cos( x) ) sin( (1  cos( x))) 1  cos( x) = = x2 x2 1  cos( x) x2Tenendo conto del limite (1), del limite (2) otteniamo: sin(cos( x ) ) sin( (1  cos( x))) 1  cos( x) lim lim = x 0 x2 x 0 1  cos( x) x2 sin(y ) 1  cos( x) 1 = lim lim = y 0 y x 0 x2 2con il cambio di variabile y=1–cos(x) (e quindi x0  y0).Verifica del limite notevole (4):Tenendo conto del limite (1) otteniamo: tg (x) sin(x) 1 lim = lim = x 0 x x 0 x cos(x)Verifica del limite notevole (5):Tenendo conto del limite (1) otteniamo: arcsin(x) y lim = lim  = x 0 x y 0 sin( y )con il cambio di variabile x=sin(y) (e quindi x0  y0).Verifica del limite notevole (6):Tenendo conto del limite (4) otteniamo: arctg(x) y lim = lim  = x 0 x y 0 tg ( y )con il cambio di variabile x=tg(y) (e quindi x0  y0).Verifica del limite notevole (7):Dott. S. Caltabiano 11
  14. 14. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Tenendo conto del limite (2) otteniamo: arccos 2 (1  x) y2 lim = lim  =2 x 0 x y 0 1  cos( y )con il cambio di variabile 1–x=cos(y) (e quindi x0  y0).Verifica del limite notevole (8):Tenendo conto del limite (III) otteniamo: x 0 x 0  lim (1+x)1/x= lim (1  x )1 /(x )  = lim (1  y )  =(e) =e y 0 1/ y  con il cambio di variabile y=x (e quindi x0  y0).Verifica del limite notevole (9):Tenendo conto del limite (8) otteniamo: ln(1  x) lim = lim ln(1+x)1/x=ln(e)= x 0 x x 0Verifica del limite notevole (10):Tenendo conto del limite (9) osserviamo a monte che: a x  1 y lim = lim ln(a) =ln(a) x 0 x y 0 ln( y  1)con il cambio di variabile y=ax–1 (e quindi x0  y0).Verifica del limite notevole (11):Tenendo conto del limite (10) segue che: a x  b x a x  1  1  b x a x  1 1  b x lim = lim = lim  = x 0 x x 0 x x 0 x x a x  1 b x  1    a  lim – lim =ln(a )–ln(b )=ln   b   x 0 x x 0 x  Verifica del limite notevole (12):Tenendo conto del limite (11), del limite (9) segue che: (1  x )  1 e ln(1 x )  1 ln(1  x) e ln(1 x )  1 = = x x x ln(1  x)Dott. S. Caltabiano 12
  15. 15. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)E quindi tenendo conto del limite (11), del limite (9) segue che: (1  x )  1 ln(1  x) e ln(1 x )  1 ey  1 lim = lim lim = lim = x 0 x x 0 x x 0 ln(1  x) y 0 ycon il cambio di variabile y=ln(1+x) (e quindi x0  y0).Verifica del limite notevole (13):Tenendo conto del limite (11) segue che: sinh(x) ex  e x 1 ex  e x 1  e  1  e  lim = lim = lim = ln   = ln  = x 0 x x 0 2x 2 x 0 x 2 e   2  e     Verifica del limite notevole (14):Scartiamo il caso banale =0. Dimostriamo a monte che: cosh(x)  1  2 lim = x 0 x2 2Osserviamo che: cosh(x )  1 2 cosh 2 (x)  1 2 sinh 2 (x) = = x2 cosh(x)  1 (x) 2 cosh(x)  1 (x) 2Passando al limite e tenendo conto del limite (13) otteniamo: cosh(x)  1 2 sinh 2 (x) 2 sinh 2 (x) lim = lim = lim lim = x 0 x2 x 0 cosh(x)  1 (x) 2 x 0 cosh(x)  1 x 0 (x) 2 2 sinh 2 ( y )  2 = lim 2 = 2 y 0 y 2con il cambio di variabile y=x (e quindi x0  y0). Dimostriamo quindi illimite notevole (14). Osserviamo che: cosh n (x)  1 cosh(x )  1 n lim 2 = lim 2  coshn–k(x)= x 0 x x 0 x k 1 cosh(x )  1 n n–k 2 n n 2 = lim lim  cosh (x)=  1= x 0 x2 x 0 k 1 2 k 1 2Verifica del limite notevole (15):Tenendo conto del limite (13) otteniamo:Dott. S. Caltabiano 13
  16. 16. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) tgh(x) sinh(x) 1 lim = lim = x 0 x x 0 x cosh(x)Verifica del limite notevole (16):Tenendo conto del limite (13) otteniamo: settsinh(x) y lim = lim  = x 0 x y 0 sinh( y )con il cambio di variabile x=sinh(y) (e quindi x0  y0).Verifica del limite notevole (17):Tenendo conto del limite (15) otteniamo: setttgh(x) y lim = lim  = x 0 x y 0 tgh( y )con il cambio di variabile x=tg(y) (e quindi x0  y0).Verifica del limite notevole (18):Tenendo conto del limite (14) otteniamo: sett cosh 2 (1  x) y2 lim = lim  =2 x 0 x y 0 cosh( y )  1con il cambio di variabile 1+x=cosh(y) (e quindi x0  y0).Verifica del limite notevole (19):Tenendo conto del limite (III) segue che: ax e x ln(a ) e x ln(a )  ey lim = lim = lim = ln (a) lim =+ x  x x  x x  ( x ln( a )) yx ycon il cambio di variabile y=xln(a) (e quindi x+  y+).Verifica del limite notevole (20):Tenendo conto del limite (19) segue che: y 1 lim xax= lim (–x)ax= lim ya–y= lim = =0 x  x  x  yx ay con il cambio di variabile y=–x (e quindi x–  y+).Verifica del limite notevole (21):Dott. S. Caltabiano 14
  17. 17. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Tenendo conto del limite (19) segue che: lg  ( x) a 1 lg  ( x  ) a y 1 lim = lim = lim = =0 x  x   x x y  ay con il cambio di variabile x=ay (e quindi x+  y+).Verifica del limite notevole (22):Tenendo conto del limite (20) segue che: 1 1 lim x lg a ( x ) = lim x lg a ( x  ) = lim ay |y|=0 x 0   x0   ycon il cambio di variabile x=ay (e quindi x0+  y–).Dott. S. Caltabiano 15
  18. 18. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Capitolo 2 Infinitesimi ed infiniti2.1 Definizione di funzione infinitesima ed infinita ~ ~Sia DR un sottoinsieme non vuoto, sia p R di accumulazione per D in R , siaf:DR. Diciamo che la funzione f è infinitesima per xp se: lim f(x)=0 x pDiciamo che la funzione f è infinita per xp se: lim f(x) =+ x pNel caso p finito evidentemente è lecito considerare p=0, infatti se p0 allora bastafare il cambio di variabile (in questo caso più precisamente si parla di traslazione): y=x–p con y0  xpPertanto in seguito la maggior parte degli esempi e degli esercizi saranno daticonsiderando x0.Anche nel caso p= ci si può ricondurre al caso x0, infatti basta fare il cambio divariabile: 1 y= con y0  x xTuttavia per quest’ultimo caso ci asterremo dal fare il cambio di variabile suddetto.Inoltre nel caso p infinito evidentemente è lecito considerare p=+, infatti se p= –allora basta fare il cambio di variabile: y=–x con y+  x–Teorema 4Dott. S. Caltabiano 16
  19. 19. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) ~ ~Sia DR un sottoinsieme non vuoto, sia p R di accumulazione per D in R , sia fRDdiversa da 0 in un intorno di pTs: f è infinitesima per xp  1/f è infinita per xpDimDi facile verifica.Esercizi 1Verificare se le seguenti funzione sono infinitesime o infinite per xp1. sin2(x–1)/(x–1) ; p=1 7. sin(ln(1–x))–3x2 ; p=02. sin(x)/x2 ; p=0 8. ex–1 ; p=03. 1/(x+5) ; p=+ 9. sin(x)/x ; p=+4. ln[(2x–3)/(2x+5)] ; p=+ 10. (1–cos(x+1))/(x+1) ; p=–15. ln[( x +1)/( 3 x +1)] ; p=+ 11. ln(x)/(x–1) ; p=16. ln[( x +1)/( 3 x +1)] ; p=1 12. [esin(x)–cos(x)]tg(x) ; p=02.2 Simbolo di Landau. Relazioni di confrontoIl simbolo di Landau viene introdotto per esprimere sinteticamente relazioni diconfronto tra funzioni. ~Fissato p R , d’ora in avanti denoteremo con Ap la famiglia di tutte le funzioni realidefinite in un intorno di p, eventualmente a meno del punto p. Se f,gAp, diciamoallora che f è “o-piccolo” di g per x tendente a p se: Ap infinitesima per xp t.c. f=g in un intorno di pDenotiamo con op(g) la famiglia di tutte le funzioni di Ap che sono “o-piccolo” di gper x tendente a p. Se fop(g) si scrive anche: f=op(g)Dott. S. Caltabiano 17
  20. 20. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Si dice anche che f è trascurabile rispetto a g. Il simbolo “op” è detto simbolo diLandau.Se f,gAp, diciamo allora che f e g sono dello stesso ordine per xp se: R0:=R{0} t.c. f–gop(g)si adopera anche la scrittura: f=g+op(g)Se f,gAp, e se fop(g) o gop(g) o f dello stesso ordine di g allora diciamo che f e gsono confrontabili.La nozione di o-piccolo acquista un notevole interesse quando le funzioni inquestione sono infinitesime o infinite per xp.Se f,gAp infinitesime per xp, la condizione fop(g) si esprime dicendo che f èinfinitesima di ordine superiore rispetto a g per xp .Se f,gAp infinite per xp la condizione fop(g) si esprime dicendo che g è infinitadi ordine superiore rispetto a f per xp.Mostriamo qui di seguito alcune funzioni infinitesime ed infinite di uso frequente: Se pR la funzione f:RR con f(x)=x–p è detta infinitesimo campione per xp 1 Se pR la funzione f:R-{p}R con f(x)= è detta infinita campione per xp x p Se p= la funzione f:RR con f(x)=x è detta infinito campione per x 1 Se p= la funzione f:R0R con f(x)= è detta infinitesimo campione per x xTeorema 5 ~Sia p R , siano f,gAp e supponiamo che g sia diversa da 0 in un intorno di pTs: Valgono allora i seguenti fatti: f ( x)(a) fop(g)  lim =0 x p g( x)Dott. S. Caltabiano 18
  21. 21. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) f ( x)(b) f è dello stesso ordine di g   lim = con R0 x p g( x)DimDi facile verifica.Teorema 6 ~Sia p R , siano fApTs: Valgono allora i seguenti fatti:(a) f è infinitesima  fop(1)(b) f è infinita  1op(f)DimDi facile verifica.Teorema 7 ~Sia p RTs: Valgono allora i seguenti fatti:(a) Dette f,gAp consideriamo la relazione f=pg  f e g sono dello stesso ordine allora =p è una relazione di equivalenza su Ap(b) Dette f,gAp consideriamo la relazione f<pg  fop(g) allora <p è di ordine parziale su Ap in senso stretto (antiriflessiva e transitiva)(c) Dette f,gAp consideriamo la relazione fpg  f<pg o f=pg allora p è di ordine parziale su Ap (riflessiva, antisimmetrica e transitiva)DimLa dimostrazioni di (a), (b), (c) sono di facile verifica.Teorema 8 ~Sia p RDott. S. Caltabiano 19
  22. 22. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Ts: Valgono allora i seguenti fatti:(a) Se f,g,hAp con f<ph e g<ph allora fg<ph2 e f+g<ph(b) Se f,gAp con f<ph e se R0 allora f<ph(c) Se f,gAp con f<pg e se >0 allora f <pg(d) Se f,gAp con f<pg e supponiamo inoltre che f e g siano diverse da 0 in un intorno di p allora 1/g<p1/f ~(e) Sia q R , sia Aq a valori in un intorno di p, e diversa di p in un intorno di q, supponiamo inoltre che lim (t)=p. Se f,gAp con f<pg allora f   <q g   t qDimLa dimostrazioni di (a), (b), (c), (d) sono di facile verifica. Per verificare la (e) bastaapplicare il teorema di cambio di variabile.Teorema 9 ~Sia p RTs: Valgono allora i seguenti fatti:(a) Se f,g,hAp con f=ph e g=ph allora fg=ph2 e f+g=ph(b) Se f,gAp con f=ph e se R0 allora f=ph(c) Se f,gAp con f=pg e se >0 allora f =pg(d) Se f,gAp con f=pg e supponiamo inoltre che f e g siano diverse da 0 in un intorno di p allora 1/g=p1/f ~(e) Sia q R , sia Aq a valori in un intorno di p, e diversa di p in un intorno di q, supponiamo inoltre che lim (t)=p. Se f,gAp con f=pg allora f   =q g   t qDimLa dimostrazioni di (a), (b), (c), (d) sono di facile verifica. Per verificare la (e) bastaapplicare il teorema di cambio di variabile.Dott. S. Caltabiano 20
  23. 23. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Teorema 10 ~Sia p R , sia aR0, sia nN0:=N-{0}, siano f,gAp tali che lim f(x)= lim g(x)=a x p x p f n ( x )  g n ( x)Ts:  lim =nan–1 x p f( x)  g( x )Dim n n n [f( x)  g( x)]  f n  k ( x )g k 1 ( x) n f ( x )  g ( x)limx p f( x)  g( x ) = lim x p k 1 f( x)  g( x) == lim x p  f n k ( x)g k 1 ( x) = k 1 n n =  a n  k a k 1 =  a n 1 =nan–1 k 1 k 1Esempio 1Consideriamo le funzioni: f(x)=sin(3x) e g(x)=2xe confrontiamole per x0. Banalmente f e g sono infinitesime per x0. Osserviamoche: sin(3 x ) 3 sin(3 x ) 3 sin( y ) = = 2x 2 3x 2 ydove si è posto y=3x (cambio di variabile) e pertanto osservando che x0  y0allora: sin(3 x ) 3 sin(3 x ) 3 sin(3 x ) 3 sin( y ) 3 3 lim = lim = lim = lim = 1= x 0 2x x 0 2 3x 2 x 0 3 x 2 y 0 y 2 2quindi f e g sono dello steso ordine.Esempio 2Consideriamo le funzioni: f(x)=1–cos(x) e g(x)=sin(x)Dott. S. Caltabiano 21
  24. 24. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)e confrontiamole per x0. Banalmente f e g sono infinitesime per x0. Osserviamoche: 1  cos( x) 1  cos 2 ( x) sin 2 ( x) sin( x) = = = sin( x) sin( x )(1  cos( x)) sin( x)(1  cos( x)) (1  cos( x))passando al limite per x0 otteniamo: 1  cos( x) sin( x) lim = lim =0 x 0 sin( x) x 0 (1  cos( x))e quindi f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g.Esempio 3Consideriamo le funzioni: f(x)=x3–5x2+6 e g(x)= 3x4+xe confrontiamole per x+. Banalmente f e g sono infinite per x+. Osserviamoche:  5 6   5 6  3 2 x 3 1   3  1   3  x  5x  6  x x   x x  = = 3x 4  x  6  x 4 3  2   6  x 3  2   x   x passando al limite per x+ otteniamo:  5 6  1   3  x 3  5x 2  6  x x  lim = lim =0 x  3x 4  x x   6  x 3  2   x e quindi f è un infinito di ordine inferiore rispetto a g.Esempio 4Consideriamo le funzioni: f(x)=1–cos8(x) e g(x)=x2Dott. S. Caltabiano 22
  25. 25. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)e confrontiamole per x0. Banalmente f e g sono infinitesime per x0. Per ilTeorema 10 la funzione f e la funzione h(x):=1–cos(x) hanno lo stesso ordine edinoltre osserviamo che: 1  cos 8 ( x ) 1  cos 8 ( x ) 1  cos( x) lim = lim =8(1)8–1(1/2)=4 x 0 x2 x 0 1  cos( x) x2Esercizi 2Confrontare le seguenti coppie di funzioni infinitesime o infinite per xp.(Suggerimento: sfruttare i limiti notevoli ed il teorema di cambio di variabile)1. f(x)=3x4+x2–3x e g(x)=–7x4+2x3–8x ; x=02. f(x)=3x4+x2–8 e g(x)=–7x4+2x3–8x ; x=+3. f(x)=–2x6+x+3x e g(x)=5x6+2x3–3x ; x=04. f(x)=–2x6+x+3 e g(x)=–7x4+2x3–8x ; x=+5. f(x)=3x7+2x–6 e g(x)=2x4+5x3–4x ; x=–6. f(x)=2e2x+x3+3 e g(x)=x4+2x3–xsin(x)+2 ; x=+7. f(x)= x  x 2  2 e g(x)=x–1 ; x=18. f(x)=x–5 e g(x)= x  5 ; x=59. f(x)=ln(x) e g(x)=x–1 ; x=110. f(x)=x–ln(x) e g(x)=x ; x=+11. f(x)=x–ln(x) e g(x)=x+ln(x3) ; x=–12. f(x)=ln(2x) e g(x)=cotg(x) ; x=0+13. f(x)=cosec(2x) e g(x)=cotg(x) ; x=014. f(x)=ex–e2x e g(x)=x ; x=015. f(x)=a1/x–1 e g(x)=1/x ; x=+16. f(x)=cos(x) e g(x)=(x–/2); x=/217. f(x)=cos(x/2) e g(x)=(x–); x=18. f(x)=ex–e2x e g(x)=sin(x)–sin(2x) ; x=0Dott. S. Caltabiano 23
  26. 26. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)19. f(x)=3x–4x e g(x)=x ; x=020. f(x)=1–cos2(x) e g(x)=–2x2 ; x=021. f(x)=sin(x) e g(x)=–x ; x=22. f(x)=sin(+4x) e g(x)=x ; x=023. f(x)= 1  tg ( x)  1  tg ( x) e g(x)=sin(x) ; x=024. f(x)=x+cos(x) e g(x)=4x–sin(x); x=+25. f(x)=sinh(x) e g(x)=x ; x=026. f(x)=1–cosh(x) e g(x)=3x ; x=027. f(x)=1–cosh(x) e g(x)=x2 ; x=028. f(x)=sin(2x) e g(x)=tg(x) ; x=029. f(x)=tg(x)–sin(x) e g(x)=x3 ; x=030. f(x)=1–cos(2x) e g(x)=sin2(3x) ; x=031. f(x)=tgh(x) e g(x)=x ; x=032. f(x)=ln(ln(2x)) e g(x)=x ; x=+33. f(x)=ln(ln(x)) e g(x)=x ; x= –34. f(x)=ln(x) e g(x)=1/tg(x) ; x=0+35. f(x)=ln(l+sin(x)) e g(x)=x ; x=036. f(x)=arcsin( x ) e g(x)=x ; x=037. f(x)=arcsin(x2) e g(x)=x2 ; x=038. f(x)= x  5  cos( x) e g(x)=x2+1 ; x=+39. f(x)=cos(ex–e–x)–1 e g(x)=arctg(x2) ; x=040. f(x)=sin(cos(x)) e g(x)=x ; x=041. f(x)=e2x–e3x e g(x)=sin(x) ; x=042. f(x)=3x–3–x e g(x)=3x+3–x ; x=–43. f(x)=ex e g(x)=1/x ; x= –44. f(x)=exsin(e–xsin(x)) e g(x)=x ; x=+45. f(x)=exsin(e–xsin(x)) e g(x)=x ; x=0 446. f(x)=ln(tg4(x)+1) e g(x)= e 2 sin ( x) –1; x=0Dott. S. Caltabiano 24
  27. 27. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 247. f(x)=sin(cos(x)) e g(x)= e 2 sin ( x) –1; x=048. f(x)=ln(1–cos(x)) e g(x)=x2 ; x=049. f(x)= e tg 3 ( x)  –1 e g(x)=x cos( x)  e x 2  ; x=050. f(x)=(1–cos(x))2 e g(x)=sin(x4) ; x=051. f(x)=sin( 1  x 2 –1) e g(x)=x ; x=0 1 52. f(x)=sin e  x sin(2 / x) e g(x)=  x ; x=+ xe53. f(x)=tg2(x)ln4(x) e g(x)=x ; x=0+54. f(x)=xln(tg(x)) e g(x)=sin(x) ; x=0+55. f(x)=sin2(x)ln(tg3(x)) e g(x)=sinh(x) ; x=0+ Svolgimento di alcuni degli Esercizi 2Svolgimento esercizio 5 3x 7  2 x  6 3( y ) 7  2( y )  6  3y 7  2 y  6 lim = lim = lim = x  2x 4  5x 3  4x y   2( y ) 4  5( y ) 3  4( y ) y   2y 4  5y3  4 y  2 6  2 6 y7  3  6  7   3 6  7  y y  = lim y3 y y = lim = y    5 4  y   5 4 y42  3  4  2 3  4  y y  y y  2 6 3  3 y6 y7 = lim y lim =+(–3/2)=– y   y   5 4 2  y3 y4con il cambio di variabile y=–x (e quindi x–  y+). E quindi f un infinito diordine superiore rispetto a g.Svolgimento esercizio 6Dott. S. Caltabiano 25
  28. 28. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) x3 x cos 2 ( x) 3 2x 3 2 2   2e  x  x cos ( x)  3 e2 x e 2x e2x e2x = lim = lim x  x 4  2 x 3  xsinx( x) x  x4 1 2  sinx ( x) x x2 x3 x cos 2 ( x) 3 2x 2   lim e lim e 2x e2x e 2 x =+2=+ x  x 4 x 1 2  sinx ( x) x x2E quindi f un infinito di ordine superiore rispetto a g.Svolgimento esercizio 10  ln( x )  x 1   x  ln( x)  x  ln( x) ln( x) lim = lim = lim 1– =1– lim =1–0=1 x  x x  x x  x x  xE quindi f un infinito di ordine inferiore rispetto a g.Svolgimento esercizio 11 x  ln( x ) x  ln( x ) x  ln( x )  y  ln( y ) lim = lim = lim = lim = x  x  ln( x 3 ) x  x  3 ln( x ) x  x  3 ln( x) y   y  3 ln( y )  ln( y )  ln( y ) y  1    1   y   = lim y 1 = lim = =1 y   ln( y )  y   1  3 ln( y )  1 y  1  3    y   yE quindi f e g sono infiniti dello stesso ordine.Svolgimento esercizio 12 ln(2 x) ln(2 x) tg ( x) tg ( x) lim = lim = lim tg(x)ln(2x)= lim (xln(2x))= lim = x 0 cot g ( x) x0 1 / tg ( x) x0 x 0 x x 0 x = lim xln(2x)= 1 0 =0 x 0E quindi f è un infinito di ordine inferiore rispetto a g.Svolgimento esercizio 13Dott. S. Caltabiano 26
  29. 29. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) cos ec(2 x) 1 / sen(2 x) tg ( x ) tg ( x) x lim = lim = lim = lim = x 0 cot g ( x) x0 1 / tg ( x ) x0 sin(2 x ) x0 x sin(2 x ) tg ( x) 2x 2x 2x y = lim lim 2 =1 lim 2 =2 lim =2 lim =2 x 0 x x0 sin(2 x ) x0 sin(2 x ) x0 sin(2 x ) y 0 sin( y )con il cambio di variabile y=2x (e quindi x0  y0). E quindi f e g sono infinitidello stesso ordine.Svolgimento esercizio 16Osserviamo che: cos( x) 1 2sin( x ) cos( x) 1 sin(2 x ) = = x   / 2 2sin( x) x  / 2 2sin( x) x   / 2passando al limite per x/2: cos( x) cos( y   / 2) sin( y ) lim = lim = – lim = –1 x  / 2 x   / 2 x / 2 y x  / 2 ycon il cambio di variabile y=x–/2 e quindi x/2  y0.E quindi f e g sono dellostesso ordine.Svolgimento esercizio 17Osserviamo che: cos( x / 2) 1 2sin( x / 2) cos( x / 2) 1 sin( x ) = = x  2sin( x / 2) x  2sin( x / 2) x  passando al limite per x: 1 sin( x ) 1 sin( x ) 1 sin( x ) lim = lim lim = lim = x  2sin( x / 2) x   x 2sin( x / 2) x x   2 x x   1 sin( y   ) 1 sin( y ) 1 = lim = – lim =– 2 y 0 y 2 y 0 y 2con il cambio di variabile y=x– e quindi x  y0.E quindi f e g sono dellostesso ordine.Svolgimento esercizio 22Osserviamo che:Dott. S. Caltabiano 27
  30. 30. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) sin(  4 x) sin(4 x ) sin(4 x ) sin( y ) =– = –4 = –4 x x 4x ycon il cambio di variabile y=4x e quindi x0  y0 e pertanto: sin(  4 x) sin(4 x ) sin( y ) sin( y ) lim = lim –4 = lim –4 = –4 lim = –4 x 0 x x 0 4x y 0 y y 0 yE quindi f e g sono dello stesso ordine.Svolgimento esercizio 23Osserviamo che: 1  tg ( x)  1  tg ( x) 2tg ( x) = = sin( x)  sin( x) 1  tg ( x)  1  tg ( x)  tg ( x) x 1 =2 x sin(x) 1  tg ( x)  1  tg ( x)prodotto di tre limiti noti, segue che: 1  tg ( x)  1  tg ( x) 1 lim = 2  1 =1 x 0 sin( x) 2E quindi f e g sono dello stesso ordine.Svolgimento esercizio 29Osserviamo che: tg ( x)  sin( x ) tg ( x )(1  cos( x)) tg ( x) 1  cos( x) 3 = 3 = x x x x2prodotto di due limiti noti, segue che: tg ( x)  sin( x ) 1 1 lim =1 = x 0 x3 2 2E quindi f e g sono dello stesso ordine.Svolgimento esercizio 30Osserviamo che: 1  cos(2 x) 1  cos(2 x) x2 4 1  cos(2 x) (3 x) 2 = = sin 2 (3 x) x2 sin 2 (3 x) 9 (4 x) 2 sin 2 (3 x)prodotto di due limiti noti, infatti:Dott. S. Caltabiano 28
  31. 31. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 1  cos(2 x) 1  cos( y ) 1 lim = lim = x 0 ( 2 x) 2 y 0 y2 2ed ancora: 2 2 (3 x) 2  3x   y  2 lim 2 = lim   sin(3 x)  y 0  sin( y )  =1 =1  = lim   x 0 sin (3 x) x 0    e pertanto: 1  cos(2 x) 4 1 2 lim = 1= x 0 sin 2 ( x) 9 2 9E quindi f e g sono dello stesso ordine.Svolgimento esercizio 32Osserviamo che: ln(ln(( 2 x)) ln(ln((2 x)) ln( 2 x ) =2 x ln(2 x) 2xprodotto di due limiti noti, infatti: ln(ln((2 x)) ln( y) lim = lim =0 x  ln(2 x) y  ycon il cambio di variabile y=ln(2x) e quindi x+  y+, e quindi: ln(ln(( 2 x)) lim =0 x 0 xE pertanto f è un infinito di ordine inferiore rispetto a g.Svolgimento esercizio 33Osserviamo che per x<0: ln(ln(( x )) ln(ln(( x)) ln(ln((  x)) = =– x x xfacendo il cambio di variabile y=–x e quindi x–  y+ allora per quanto vistonell’esercizio 32 segue che: ln(ln(( x )) ln(ln(( y)) lim = lim – =0 x  x y  yE pertanto f è un infinito di ordine inferiore rispetto a g.Dott. S. Caltabiano 29
  32. 32. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Svolgimento esercizio 34Osserviamo che: ln( x) tg ( x) =tg(x)ln(x)= xln(x) 1 / tg ( x) xprodotto di due limiti noti, e quindi: ln( x) tg ( x) lim = lim lim xln(x)= 1 0 =0 x 0 1 / tg ( x) x0 x x0Svolgimento esercizio 35Osserviamo che: ln(1  sin( x)) ln(1  sin( x)) sin( x ) = x sin( x) xprodotto di due limiti noti, infatti: ln(1  sin( x)) ln(1  y) lim ) lim =1 x 0 sin( x) x 0 ycon il cambio di variabile y=sin(x) e quindi x0  y0, e quindi: ln(1  sin( x)) lim =1 x 0 xE pertanto f è un infinitesimo dello stesso ordine di g.Svolgimento esercizio 39Osserviamo che: cos(e x  e  x )  1 cos(2 sinh( x))  1 cos(2 sinh( x))  1 4 sinh 2 ( x) = = = arctg( x 2 ) arctg( x 2 ) (2 sinh( x)) 2 arctg( x 2 ) cos(2 sinh( x))  1 sinh 2 ( x) x2 =4 (2 sinh( x)) 2 x2 arctg( x 2 )per x0 è il prodotto di tre limiti noti, infatti: cos(2 sinh( x))  1 cos( y )  1 1 lim 2 = lim 2 =– x 0 (2 sinh( x)) y 0 y 2con il cambio di variabile y=2sinh(x) e quindi x0  y0.Dott. S. Caltabiano 30
  33. 33. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) x2 y lim = lim =1 x 0 arctg( x 2 ) y 0 arctg(y )con il cambio di variabile y=x2 e quindi x0  y0. In definitiva: cos(e x  e  x )  1 1 lim 2 =4 =2 x 0 arctg( x ) 2E quindi f e g sono dello stesso ordine-Svolgimento esercizio 40Osserviamo che: sin(cos( x) ) sin(  cos( x) ) sin(  cos( x) )   cos( x) = = = x x   cos( x) x sin(  cos( x) ) 1  cos( x) = x   cos( x) x2per x0 è il prodotto di tre limiti noti, infatti: sin(  cos( x) ) sin( y ) lim = lim =1 x 0   cos( x) y 0 ycon il cambio di variabile y=–cos(x) e quindi x0  y0.In definitiva: sin(cos( x) ) 1 lim =1 0=0 x 0 x 2E quindi f è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g.Svolgimento esercizio 43Osserviamo che: ex x =xex = –(–x)e–(–x) = –  x 1/ x efacendo il cambio di variabile y=–x (e quindi per x–  y+) segue che: ex y lim = lim – y =0 x  1 / x y  eE pertanto f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g.Svolgimento esercizio 44Dott. S. Caltabiano 31
  34. 34. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Osserviamo che: e x sin(e  x sin( x)) x sin(e  x sin( x)) e  x sin( x ) sin(e  x sin( x)) sin( x) =e = x e  x sin( x) x e  x sin( x) xper x+ è il prodotto di due limiti noti, infatti: sin(e  x sin( x)) sin( y ) lim x = lim =1 x  e sin( x) y 0 ycon il cambio di variabile y=e–xsin(x) e quindi x+  y0. In definitiva: e x sin(e  x sin( x)) lim =0 x  xE pertanto f è un infinito di ordine inferiore rispetto a g.Svolgimento esercizio 45Osserviamo che: e x sin(e  x sin( x)) x sin(e  x sin( x)) e  x sin( x ) sin(e  x sin( x)) sin( x) =e = x e  x sin( x) x e  x sin( x) xper x0 è il prodotto di due limiti noti, infatti: sin(e  x sin( x)) sin( y ) lim = lim =1 x 0 e  x sin( x) y 0 ycon il cambio di variabile y=e–xsin(x) e quindi x0  y0. In definitiva: e x sin(e  x sin( x)) lim =1 x 0 xE pertanto f è un infinitesimo dello stesso ordine di g.Svolgimento esercizio 46Osserviamo che: ln(tg 4 ( x)  1) ln(tg 4 ( x )  1) tg 4 ( x ) ln(tg 4 ( x )  1) sin 4 ( x) tg 4 ( x) = = = 2 sin 4 ( x ) 4 tg ( x) 2 sin 4 ( x ) 4 tg ( x) 2 sin4 ( x ) 4 e 1 e 1 e  1 sin ( x) ln(tg 4 ( x )  1) sin 4 ( x) tg 4 ( x ) x4 = 4 tg 4 ( x) e 2 sin ( x) 1 x4 sin 4 ( x)per x0 otteniamo quindi il prodotto di quattro limiti noti.Dott. S. Caltabiano 32
  35. 35. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Svolgimento esercizio 47Osserviamo che: sin(cos( x ) ) sin(  cos( x) ) sin(  cos( x) )   cos( x) = 2 = = e 2 sin 2 ( x) 1 e 2 sin ( x) 1   cos( x) e 2 sin 2 ( x )  1 sin(  cos( x) ) 2 sin 2 ( x )   cos( x) = =   cos( x) e 2 sin 2 ( x )  1 2sin 2 ( x ) sin(  cos( x) ) 2 sin 2 ( x )   cos( x) x2 = =   cos( x) e 2 sin 2 ( x )  1 x 2 2 2 sin ( x )  sin(  cos( x) ) 2 sin 2 ( x )   cos( x) ( x ) 2 = x 2   cos( x) 2 sin 2 ( x ) x2 sin 2 ( x ) e 1per x0 otteniamo quindi il prodotto di cinque limiti noti.Svolgimento esercizio 49Osserviamo che: 3 3 3 e tg ( x) 1 e tg ( x) 1 tg 3 ( x ) e tg ( x)  1 tg 3 ( x) x3 = = =  x cos( x )  e x2  tg 3 ( x )  x cos( x )  e x2  tg 3 ( x ) x3  x cos( x )  e x2  3 3 e tg ( x)  1 tg 3 ( x) x2 e tg ( x)  1 tg 3 ( x) 1 = 2 = = tg 3 ( x ) x3 x tg 3 ( x ) x3 x2 cos( x)  e cos( x )  e x2 3 3 e tg ( x)  1 tg 3 ( x) 1 e tg ( x)  1 tg 3 ( x) 1 3 3 2 = 3 3 2 tg ( x ) x cos( x)  1  1  e x tg ( x ) x cos( x)  1 1  e x  x2 x2 x2per x0 otteniamo quindi il prodotto di limiti noti.Svolgimento esercizio 53Innanzitutto verifichiamo che le funzioni f e g sono infinitesime per x0+. 2 4 tg 2 ( x) 2 4 tg 2 ( x) lim tg (x)ln (x)= lim x ln (x)= lim lim x2ln4(x)= lim x2ln4(x)=0 x 0 x 0 x2 x 0 x2 x 0 x 0La funzione g è banalmente infinitesima. Confrontiamo quindi f e g per x0+:Dott. S. Caltabiano 33
  36. 36. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) tg 2 ( x ) ln 4 ( x) tg 2 ( x ) ln 4 ( x) tg 2 ( x) 4 lim = lim = lim xln (x)= x 0 x x 0 x x 0 x2 tg 2 ( x) = lim lim xln4(x)= lim xln4(x)=0 x 0 x2 x 0 x 0Svolgimento esercizio 54Innanzitutto verifichiamo che le funzioni f e g sono infinitesime per x0+. x x lim xln(tg(x))= lim tg(x)ln(tg(x))= lim lim tg(x)ln(tg(x))= x 0 x 0 tg (x) x 0 tg (x) x 0 = lim tg(x)ln(tg(x))= lim tln(t)=0 x 0 t 0con il cambio di variabile t=tg(x) (e quindi x0+  t0+). La funzione g èbanalmente infinitesima. Confrontiamo quindi f e g per x0+: x ln(tg ( x)) x x lim = lim ln(tg(x))= lim lim ln(tg(x))= lim ln(tg(x))= x 0 sin( x) x 0 sin(x) x 0 sin(x) x 0 x 0 = lim ln(t)= – t 0con il cambio di variabile t=tg(x) (e quindi x0+  t0+).Svolgimento esercizio 55Innanzitutto verifichiamo che le funzioni f e g sono infinitesime per x0+. 2 3 2 sin 2 ( x) x lim sin (x)ln(tg (x))= lim 3sin (x)ln(tg(x))= lim 3x tg(x)ln(tg(x))= x 0 x 0 x 0 x2 tg (x) sin 2 ( x) x = lim 3x lim lim lim tg(x)ln(tg(x))=0 x 0 x 0 x2 x 0 tg (x) x0La funzione g è banalmente infinitesima. Confrontiamo quindi f e g per x0+: sin 2 ( x) ln(tg 3 ( x)) x sin 2 ( x) x lim = lim 3 tg(x)ln(tg(x))= x 0 sinh( x) x 0 sinh(x) x 2 tg (x) x sin 2 ( x) x lim 3 lim 2 lim lim tg(x)ln(tg(x))=0 x 0 sinh(x) x0 x x 0 tg (x) x 0Dott. S. Caltabiano 34
  37. 37. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) Se f=f(x) e g=g(x) sono due funzioni polinomiali allora passando al limite per x nel loro quoziente otteniamo la forma indeterminata e per uscire da questa forma indeterminata abbiamo visto che è sufficiente mettere in evidenza sia alnumeratore che al denominatore il termine in x con esponente più grande. Più ingenerale se f e g sono somma di addendi infiniti per xp allora per uscire dalla forma indeterminata è sufficiente mettere in evidenza sia al numeratore che al denominatore il termine infinito di ordine superiore cosicché il confronto si riducesoltanto agli infiniti di ordine superiore. Tale affermazione è suffragata dal seguentefondamentale teorema il quale afferma che se in un limite ci sono addendiinfinitesimi (infiniti) allora è possibile trascurare gli infinitesimi (infiniti) di ordinesuperiore (inferiore).Teorema 11 (Principio fondamentale di sostituzione) ~Sia p R , siano f,gAp e supponiamo che esista il limite del quoziente per xp edinoltre siano f1<p(f) e g1<p(g) f ( x)  f 1 ( x ) f ( x)Ts: lim = lim x p g ( x)  g1 ( x ) x p g( x )DimBasta osservare che: f1 1 f  f1 f f  g  g1 g g 1 1 gEsempio 5Calcolare il seguente limite facendo uso del principio fondamentale di sostituzione:Dott. S. Caltabiano 35
  38. 38. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) sin( x )  x 5  sin 3 ( x )  x 2 tg ( x ) lim x 0 x  x 3  xsin 2 ( x)confrontando al numeratore si verifica facilmente che x5, sin3(x), –x2tg(x) sono degliinfinitesimi di ordine superiore rispetto a sin(x). Analogamente al denominatore –x3,xsin2(x) sono infinitesimi di ordine superiore rispetto ad x. E quindi per principiofondamentale di sostituzione segue che: sin( x )  x 5  sin 3 ( x )  x 2 tg ( x ) sin( x) lim = lim =1 x 0 x  x 3  xsin 2 ( x) x 0 xEsempio 6Calcolare il seguente limite facendo uso del principio fondamentale di sostituzione: x 2 sin ( x )  x 5  sin 3 ( x)  x 2 tg ( x) lim x  x  x 3  xsin( x )confrontando al numeratore si verifica facilmente che x5 è un infinito di ordinesuperiore rispetto a xsin2(x)+sin3(x), –x2tg(x). Analogamente al denominatore –x3 è uninfinito di ordine superiore rispetto ad x, xsin2(x). E quindi per principiofondamentale di sostituzione segue che: x 2 sin ( x )  x 5  sin 3 ( x)  x 2 tg ( x) x5 lim = lim = lim x2=+ x  x  x 3  xsin( x ) x  x3 x Esercizi 3Risolvere i seguenti limiti facendo uso del principio fondamentale di sostituzione. 2x 7  2 x 2 (1  sin 2 ( x ))  11. lim 9. lim x 0 x5  x x 0 x x 5  2x 2  x 32 x 5  1  cos( x)  tg 3 ( x)2. lim 10. lim x 0 x5  x x 0 tg 2 ( x) ln(1  x)  8 xDott. S. Caltabiano 36
  39. 39. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 6x 5  2 x 2  x ln(1  x 3 )3. lim 11. lim x  x 5  3x x 0 sin(5 x)  3 x 4 sin ( x ) x8  2x 2  x  8 3 arctg( x )  (1  cos(2 x)) sin 2 ( x)4. lim 12. lim x  5x 4  x  3 x 0 27 x 4  5sin ( x ) 1  21 / x (1  cos(5 x))tg (3 x)5. lim 1/ x 13. lim x 0 32 x 0 ( sin( x)  x 3 ) 3 x  5  cos( x ) (1  cos(3 x))  7 x 36. lim 14. lim x  x2  1 x 0 sin 2 (5 x)  15 x 6 (1  cos( x))tg ( x)  5 x7. lim x 3  x 2 sin( x)  sin 2 ( x) x 0 3 2 x  x2 3 15. lim x 0 x 4  x 3 sin ( x )  xsin( x) x 2 ln( x  1)  tg ( x ) 1  cos( x)  ln(1  x)8. lim 16. lim x 0 sin( x)  3 x x 0 ex 1 Il seguente semplice teorema è uno strumento validissimo per uscire dallaforma indeterminata +– quanto gli infiniti non sono dello stesso ordine.Teorema 12 ~Sia p R , siano f,gAp due funzioni infinite per xp con f infinito di ordinesuperiore rispetto a g e supponiamo che f sia non nulla in un intorno di pTs: lim f(x)+g(x)= lim f(x) x p x pDimIl teorema si può dimostrare a partire dal principio di sostituzione e del Teorema7,(d), tuttavia e sufficiente osservare che:  g f+g= f 1    fEsercizi 4Dott. S. Caltabiano 37

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