1. Limiti di funzione
DEFINIZIONI TOPOLOGICHE
1. Si chiama intorno di un numero reale xo un intervallo del tipo {x/a<x<b} a
cui appartiene xo. Un intorno di xo si indica con U(xo)
2. Si chiama intorno di +∞un sottoinsieme di numeri reali del tipo {x/x>a}.
Un intorno di +∞si indica con U(+∞).
3. Si chiama intorno di -∞un sottoinsieme di numeri reali del tipo {x/x<a}.
Un intorno di -∞si indica con U(-∞).
Possiamo ora dare le definizioni di limite per le funzioni da R in R
a bxo
a
a
+∞=+∞→ )(lim xfx
−∞=+∞→ )(lim xfx
Axfx =+∞→ )(lim
+∞=−∞→ )(lim xfx
−∞=−∞→ )(lim xfx
Axfx =−∞→ )(lim
+∞=→ )(lim xfoxx
−∞=→ )(lim xfoxx
Axfoxx =→ )(lim

2. Limiti per x che tende a +∞ di f(x) uguale a +∞
K
H
Definizione metrica (analoga a quelle delle successioni)
0>∀K HxKH >∀∃ /)( kxf >)(
Definizione topologica
)(+∞∀V )(/)( +∞∈∀+∞∃ UU x )()( +∞∈Vxf
Definizione mista
0>∀K )(/)( +∞∈∀+∞∃ UU x kxf >)(
+∞=+∞→ )(lim xfx
)(+∞V
)(+∞U

3. Limiti per x che tende a +∞ di f(x) uguale a -∞
−∞=+∞→ )(lim xfx
H
-K
)(+∞U
)(−∞V
Definizione metrica (analoga a quelle delle successioni)
0>∀K HxKH >∀∃ /)( kxf −<)(
Definizione topologica
)(−∞∀V )(/)( +∞∈∀+∞∃ UU x )()( −∞∈Vxf
Definizione mista
0>∀K )(/)( +∞∈∀+∞∃ UU x kxf −<)(

4. Limiti per x che tende a +∞ di f(x) uguale ad A
Axfx =+∞→ )(lim
A
H
A+ε
A-ε
)(+∞U
)(AV
Definizione metrica (analoga a quelle delle successioni)
0>∀ε HxH >∀∃ /)(ε εε +<<− AxfA )(
Definizione topologica
)(AV∀ )(/)( +∞∈∀+∞∃ UU x )()( Axf V∈
Definizione mista
0>∀ε )(/)( +∞∈∀+∞∃ UU x εε +<<− AxfA )(

5. Limiti per x che tende a -∞ di f(x) uguale a +∞
+∞=−∞→ )(lim xfx
H
K
Definizione metrica (analoga a quelle delle successioni)
0>∀K HxKH <∀∃ /)( kxf >)(
Definizione topologica
)(+∞∀V )(/)( −∞∈∀−∞∃ UU x )()( +∞∈Vxf
Definizione mista
0>∀K )(/)( −∞∈∀−∞∃ UU x kxf >)(
)(−∞U
)(+∞V

6. Limiti per x che tende a -∞ di f(x) uguale a
-∞
−∞=−∞→ )(lim xfx
H
-K
)(−∞U
)(−∞V
Definizione metrica (analoga a quelle delle successioni)
0>∀K HxKH <∀∃ /)( kxf −<)(
Definizione topologica
)(−∞∀V )(/)( −∞∈∀−∞∃ UU x )()( −∞∈Vxf
Definizione mista
0>∀K )(/)( −∞∈∀−∞∃ UU x kxf −<)(

7. Limiti per x che tende a -∞ di f(x) uguale a A
Axfx =−∞→ )(lim
A
H
A+ε
A-ε
)(AV
)(−∞U
Definizione metrica (analoga a quelle delle successioni)
0>∀ε HxKH <∀∃ /)( εε +<<− AxfA )(
Definizione topologica
)(AV∀ )(/)( −∞∈∀−∞∃ UU x )()( Axf V∈
Definizione mista
0>∀ε )(/)( −∞∈∀−∞∃ UU x εε +<<− AxfA )(

8. Limiti per x che tende a xo di f(x) uguale a +∞
+∞=→ )(lim xfoxx
xo-δ xo+δxo
K
)(+∞V
)( oxU
Definizione metrica (analoga a quelle delle successioni)
0>∀K ooo xetxxxxK ≠+<<−∀∃ δδδ /)( kxf >)(
Definizione topologica
)(+∞∀V ooo xetxxxx ≠∈∀∃ )(/)( UU )()( +∞∈Vxf
Definizione mista
0>∀K ooo xetxxxx ≠∈∀∃ )(/)( UU kxf >)(

9. Limiti per x che tende a xo di f(x) uguale a -∞
−∞=→ )(lim xfoxx
-K
xo-δ xo+δxo
)( oxU
)(−∞V
Definizione metrica (analoga a quelle delle successioni)
0>∀K ooo xetxxxxK ≠+<<−∀∃ δδδ /)( kxf −<)(
Definizione topologica
)(−∞∀V ooo xetxxxx ≠∈∀∃ )(/)( UU )()( −∞∈Vxf
Definizione mista
0>∀K ooo xetxxxx ≠∈∀∃ )(/)( UU kxf −<)(

10. Limiti per x che tende a xo di f(x) uguale a A
Axfoxx =→ )(lim
A+ε
A-ε
xo-δ xo+δxo
A
)( oxU
)(AV
Definizione metrica (analoga a quelle delle successioni)
0>∀ε ooo xetxxxxK ≠+<<−∀∃ δδδ /)( εε +<<− AxfA )(
Definizione topologica
)(AV∀ ooo xetxxxx ≠∈∀∃ )(/)( UU )()( Axf V∈
Definizione mista
0>∀ε ooo xetxxxx ≠∈∀∃ )(/)( UU εε +<<− AxfA )(