Dott.ssa Donatella Cocca
Definizione di IntervalloPrima di definire cosa è il Limite di una funzione, dobbiamo capirecosa è un punto di accumulazio...
Punto di accumulazioneDef (Punto di accumulazione): Si dice che x0 è punto diaccumulazione se ogni intervallo I di centro ...
Limite finito di una funzioneCi proponiamo, quindi, di esaminare l’insieme dei valori che assume lafunzione f(x), quando l...
Limite finito di una funzioneUna definizione rigorosa del concetto di limite è la seguente.Def.(Limite finito di una funzi...
Limite di una funzioneEsempio1: Verificare che: lim( x + 2 ) = 8                           x→6Bisogna verificare che in un...
Limite infinito di una funzioneConsideriamo la funzione f(x)=1/(x2) definita per x ≠ 0 e semprepositiva. Si può osservare ...
Limite destro/sinistro di una funzioneDef.(Limite destro/sinistro di una funzione) Diremo che L èlimite sinistro della fun...
Proprietà sui Limiti• Siano f, g ed h tre funzioni definite in un intorno I di x0 , e tale che   per ogni x∈I risulti f(x)...
Proprietà sui Limiti
Proprietà sui Limiti
Proprietà sui LimitiLo schema seguente mostra il valore di limiti noti:
Proprietà sui LimitiAncora altri limiti noti:
Proprietà sui Limiti
Esercizi sui LimitiEsempio1: Calcolare il valore del seguente limite:                                           A(x)      ...
Esercizi sui LimitiEsempio2: Calcolare il valore del seguente limite:                         x − x −6                    ...
Esercizi sui LimitiEsempio3: Calcolare il valore del seguente limite:                        3 x3 + 4 x 2 + x − 1         ...
Esercizi sui LimitiEsempio4: Calcolare il valore del seguente limite:                               x +1                  ...
Esercizi sui LimitiEsempio5: Calcolare il valore del seguente limite:                                  x −1               ...
Esercizi sui LimitiEsempio6: Calcolare il valore del seguente limite:                   lim x                   x → +∞    ...
Esercizi sui Limitiche risulta ancora indeterminato ma della forma ∞/∞. Poichè però ilgrado del numeratore e del denominat...
Esercizi sui LimitiEsempio7: Calcolare il valore del seguente limite:                           x+4 −2                    ...
Definizione di rapporto incrementaleSia y = f(x) una funzione definita in un intervallo (a, b) e siano x e x + hdue punti ...
Definizione di derivataSi dice derivata di una funzione y = f(x), definita nell’intervallo aperto(a, b), nel punto c ∈ (a,...
Definizione di ordine superioreSe la funzione f(x) ammette la derivata finita per ogni x ∈ (a, b) si dicederivabile in (a,...
Significato geometrico della derivataI problemi che diedero origine al concetto di derivata furono quelli delletangenti ad...
Significato geometrico della derivataPossiamo definire la tangente alla curva nel punto x, la posizione limitese esiste, a...
Significato geometrico della derivatab)    Significato cinematico della derivata: Dal punto di vistacinematico la nozione ...
Proprietà sulle derivateConsideriamo le seguenti proprietà sulle derivate:    Derivata di una costante:y = k ⇒ y′ = 0    D...
Principali regole di derivazioni
Proprietà sulle derivate
Proprietà sulle derivate
Esercizi sulle derivateEsempio1: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione:                          y=x3...
Esercizi sulle derivateEsempio4: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione:                              ...
Esercizi sulle derivateEsempio6: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione:                              ...
Esercizi sulle derivateEsempio8: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione:                              ...
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Limiti deriv

  1. 1. Dott.ssa Donatella Cocca
  2. 2. Definizione di IntervalloPrima di definire cosa è il Limite di una funzione, dobbiamo capirecosa è un punto di accumulazione.Def (Intervallo): Si definisce intervallo chiuso di centro x0 e raggiod un insieme del tipo: I={x∈R: x∈[x0-d, x0+d]}Si definisce intervallo aperto di centro x0 e raggio d un insieme deltipo: I={x∈R: x∈ ] x0-d, x0+d[ }Dunque un intervallo è detto chiuso se contiene gli estremi, aperto senon li contiene. Un intervallo può contenere buchi, ad esempio essendodefinito privo del proprio punto centrale.
  3. 3. Punto di accumulazioneDef (Punto di accumulazione): Si dice che x0 è punto diaccumulazione se ogni intervallo I di centro x0 contiene infiniti punti.Il concetto di punto di accumulazione è uno strumento per studiare ilcomportamento delle funzioni in un intorno infinitamente piccolo di unpunto. Affermare che un punto è di accumulazione significa assicurarsil’esistenza di tutti i punti infinitamente vicini a quel punto e, quindi, dipoter operare su di essi. Nozione di limite finito di una funzione in un puntoData una funzione reale y = f(x) definita in un insieme X⊆R, detto c unpunto d’accumulazione per X, appartenente o no a X, vogliamo studiareil comportamento della funzione in un intorno di c, cioè in prossimità dic.
  4. 4. Limite finito di una funzioneCi proponiamo, quindi, di esaminare l’insieme dei valori che assume lafunzione f(x), quando la x si “avvicina indefinitamente” a c.Precisamente, se avviene che il corrispondente valore di f(x) si“avvicina indefinitamente” ad una costante L, all’avvicinarsiindefinitamente di x a c, si dice che L è il limite della funzione y = f(x),per x tendente a c nell’intorno di c, e si scrive: lim f ( x ) = L x→cLa precedente definizione ci dà una cognizione intuitiva del concetto dilimite.Volendo precisare tale concetto in modo rigoroso, dobbiamo valutare diquanto la x dovrà avvicinarci a c affinché il valore della funzione siavvicini a L di quel tanto stabilito.
  5. 5. Limite finito di una funzioneUna definizione rigorosa del concetto di limite è la seguente.Def.(Limite finito di una funzione) Sia y = f(x) una funzionedefinita in un insieme X e sia c un punto d’accumulazione per X. Si diceche la funzione f(x) tende a L (o ha per limite L ), per x che tende a c,se la f(x) assume valori che differiscono da L, in valore assoluto, pernon più di ε, ossia:lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃δ c > 0 : ∀x ∈ (c − δ c , c + δ c ) − {c} x→c si ha f(x) - L < εPer verificare se un dato numero L è il limite di f(x) per x→c si deverisolvere la disequazione |f(x)-L|<ε : se le soluzioni di questacostituiscono, qualunque sia ε >0, un intorno completo di c, escluso alpiù c, allora L è il limite di f(x) per x→c; mentre se la disequazione nonè verificata in un intorno di c, oppure non è mai verificata, L non èlimite di f(x) per x→c.
  6. 6. Limite di una funzioneEsempio1: Verificare che: lim( x + 2 ) = 8 x→6Bisogna verificare che in un intorno di c = 6 la disequazione: |(x+2)-8|<εè soddisfatta per ogni scelta di ε>0. Si ha: (x + 2 ) − 8 < ε ⇒ x + 2 − 8 < ε ⇒ x − 6 < ε cioè -ε < x -6 < ε ⇒ 6 -ε < x < 6 +εEssendo l’intervallo 6-ε<x<6+ε un intorno di c = 6, con δc=ε, segueche la disequazione |(x+2)-8|<ε è verificata intorno a 6. Pertanto illimite proposto è vero.
  7. 7. Limite infinito di una funzioneConsideriamo la funzione f(x)=1/(x2) definita per x ≠ 0 e semprepositiva. Si può osservare che i valori della funzione diventano semprepiù grandi man mano che x si avvicina a zero, cioè lim f ( x ) = ∞ . x→0Ciò significa che se scegliamo ad arbitrio un numero positivo E, grandea piacere, la disequazione 1 x > E è soddisfatta in un intorno di 0. 2Def.(Limite infinito di una funzione) Siano y = f(x) unafunzione definita nell’insieme e c un punto d’accumulazione per X. Sidice che la f(x) tende a + ∞ ( -∞ ), o ha per limite + ∞ (-∞ ), per x → c,e si scrive lim f ( x ) = +∞ (-∞ ) se: x →c ∀E > 0 (grande a piacere) ∃ I c : ∀x ∈ I c − {c}, risulta f(x) > E (f(x) < E)
  8. 8. Limite destro/sinistro di una funzioneDef.(Limite destro/sinistro di una funzione) Diremo che L èlimite sinistro della funzione y = f(x) per x tendente da sinistra a c e siscrive lim − f ( x ) = L , se: x→ c ∀ε > 0 ∃δ c > 0 : ∀x ∈ (c − δ c ,c ) si ha f(x) - L < εAnalogamente, si dice che L è limite destro e si scrive lim+ f ( x ) = L, se: x →c ∀ε > 0 ∃δ c > 0 : ∀x ∈ (c , c + δ c ) si ha f(x) - L < εProprietà:• Se una funzione annette limite per x→x0 tale limite è unico (Teorema dell’unicità del limite).
  9. 9. Proprietà sui Limiti• Siano f, g ed h tre funzioni definite in un intorno I di x0 , e tale che per ogni x∈I risulti f(x)≤g(x)≤h(x) . Se: lim f ( x ) = lim h ( x ) = l allora x → x0 x → x0 risulterà lim g ( x ) = l x → x0 (Teorema del confronto)• Se lim f ( x ) = l ≠ 0 esiste un intorno I di x0 , privato al più del x → x0 punto x0 , in cui la funzione assume lo stesso segno di l. Viceversa, se esiste un intorno I di x0 , privato al più del punto x0 , in cui risulta f(x)>0 (f(x)<0), e se esiste il lim f ( x ) = l , si avrà: x → x0 l≥0 (l≤0). (Teorema della permanenza del segno)
  10. 10. Proprietà sui Limiti
  11. 11. Proprietà sui Limiti
  12. 12. Proprietà sui LimitiLo schema seguente mostra il valore di limiti noti:
  13. 13. Proprietà sui LimitiAncora altri limiti noti:
  14. 14. Proprietà sui Limiti
  15. 15. Esercizi sui LimitiEsempio1: Calcolare il valore del seguente limite: A(x) x − 3x + 2 2 lim 2 x→2 x + x − 6 B(x)Poiché A(2) = B(2) = 0 la forma è indeterminata ma per lo stessomotivo, i due polinomi risultano divisibili per 2, cioè x = 2 è uno zerodei polinomi A(x) e B(x). Scomponendo allora con il metodo di Ruffinisi ottiene: x − 3 x + 2 = lim (x − 2 )(x − 1) = lim x − 1 = 1 2 lim 2 x →2 x + x − 6 x →2 ( x − 2 )( x + 3 ) x →2 x + 3 5
  16. 16. Esercizi sui LimitiEsempio2: Calcolare il valore del seguente limite: x − x −6 2 lim 3 x →−2 x + 5 x 2 + 8 x + 4Il limite rientra nella forma 0/0 per cui scomponendo numeratore edenominatore si trova: lim 3 x − x −6 2 = lim (x + 2 )(x − 3) = x →−2 x + 5 x + 8 x + 4 2 x →−2 ( x + 2 )2 ( x + 1) ± x−3 lim ± = ±∞ x →−2 ( x + 2 )( x + 1)
  17. 17. Esercizi sui LimitiEsempio3: Calcolare il valore del seguente limite: 3 x3 + 4 x 2 + x − 1 lim 4 x →∞ xRaccogliendo la potenza x3 al numeratore otteniamo:  4 1 1  4 1 1 x 3 + + 2 − 3  3 + + 2 − 3  3 3x + 4 x + x −1 3 2  x x x   x x x lim 4 = lim 4 = lim =0x →∞ x →∞ x →∞ x x xInfatti abbiamo che: 4 1 1 lim = lim 2 = lim 3 = 0 x →∞ x x →∞ x x →∞ x
  18. 18. Esercizi sui LimitiEsempio4: Calcolare il valore del seguente limite: x +1 3 lim x → ±∞ x −1Raccogliendo la potenza x3 al numeratore ed x ad denominatoreotteniamo:  1 2 1 x 1 + 3  x 1 + 3  3 x + 1 = lim  x  = lim  x  = +∞ 3 lim x → ±∞ x − 1 x→ ±∞  1 x → ±∞  1 x 1 −  1 −   x  xInfatti abbiamo che: lim x = +∞ 2 x →±∞
  19. 19. Esercizi sui LimitiEsempio5: Calcolare il valore del seguente limite: x −1 lim x →1 x −1Questo limite lo risolviamo in due modi diversi: razionalizziamo il numeratore della funzione: x −1 x +1 x −1 x −1 ⋅ = ⇒ lim = x −1 x + 1 ( x − 1) x + 1 ( x →1 ) x −1 x −1 1 1 1 = lim = lim = = x →1 ( ) (x − 1) x + 1 x→1 x + 1 1 + 1 2 si scompone il denominatore come una differenza di quadrati: x −1 x −1 1 1 1 = lim = lim = =lim x →1 x −1 x →1 ( )( x − 1 x + 1 x→1) ( ) x +1 1+1 2
  20. 20. Esercizi sui LimitiEsempio6: Calcolare il valore del seguente limite: lim x x → +∞ ( x − 1+ x )Il limite si presenta nella forma indeterminata +∞−∞. Convienepertanto trasformare la funzione tramite una razionalizzazione del tipo: x + 1+ x ( x − 1+ x = x − 1+ x ⋅ x + 1+ x ) = x −1− x −1 = = x + 1+ x x + 1+ xPertanto: −1 − xlim xx →+∞ ( ) x − 1 + x = lim x ⋅ x →+∞ = lim x + 1 + x x→+∞ x + 1 + x
  21. 21. Esercizi sui Limitiche risulta ancora indeterminato ma della forma ∞/∞. Poichè però ilgrado del numeratore e del denominatore sono uguali ad 1/2 ci siaspetta un limite finito. Difatti: − x −1 −1 1lim = lim = =−x →+∞  1 + x  x→+∞  1+ x  1+1 2 x1 +   1 +   x     x 
  22. 22. Esercizi sui LimitiEsempio7: Calcolare il valore del seguente limite: x+4 −2 lim x →0 xRazionalizzando il numeratore: x+4 −2 x+4 +2 x+4−4 ⋅ = lim = lim x →0 x ( x + 4 + 2 x→0 x x + 4 + 2 ) 1 1 = lim = x →0 x+4 +2 4
  23. 23. Definizione di rapporto incrementaleSia y = f(x) una funzione definita in un intervallo (a, b) e siano x e x + hdue punti dello stesso intervallo (a, b), in cui la funzione assumerispettivamente i valori f(x) e f(x+h).Def: Si definisce incremento della variabile indipendente x ilsegmento P’Q’ (indicato generalmente con ∆x), e incremento dellafunzione f il segmento AQ (indicato con ∆y). Si chiama, quindi,rapporto incrementale della funzione f il rapporto tra l’incrementodella variabile dipendente e l’incremento della variabile indipendente,cioè: ∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ∆x ∆x
  24. 24. Definizione di derivataSi dice derivata di una funzione y = f(x), definita nell’intervallo aperto(a, b), nel punto c ∈ (a, b) il valore, se esiste ed è finito, del rapportoincrementale per h (o ∆x) tendente a zero, cioè: f (x + h) − f (x ) lim h→0 hE si scrive: f (x + h) − f (x ) y′ = lim (1) h →0 hLa derivata di una funzione si può indicare anche con uno dei seguentisimboli: df dy y′, f ′( x ), f (1 ) ( x ), Df ( x ), , dx dxLa (1) può essere scritta nei seguenti modi: f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ( x ) − f (c ) lim oppure lim ∆x →0 ∆x x →c x−c
  25. 25. Definizione di ordine superioreSe la funzione f(x) ammette la derivata finita per ogni x ∈ (a, b) si dicederivabile in (a, b), e in questo caso la derivata prima è ancora unafunzione di x. Si dice derivata seconda di f(x) la derivata della derivataprima: f (x ) = D f (x ) (2 ) (1 )e di conseguenza risulta: f (x) = D f (x ) (n ) ( n −1 )cioè la derivata d’ordine n di f(x) è uguale alla derivata della derivatad’ordine n – 1.
  26. 26. Significato geometrico della derivataI problemi che diedero origine al concetto di derivata furono quelli delletangenti ad una curva e della velocità.a) Problema delle tangenti: Se si vuol definire la retta tangente aduna circonferenza, diciamo che è la retta che la tocca in un sol punto;ma tale definizione non si può estendere ad una curva qualsiasi, perchépossono presentarsi anche casi di questo tipo:Quindi per definire, in una maniera rigorosa la tangente ad una curva inun punto , consideriamo una curva d’equazione y = f(x) definita in unintervallo (a, b) e un punto x di tale intervallo.
  27. 27. Significato geometrico della derivataPossiamo definire la tangente alla curva nel punto x, la posizione limitese esiste, a cui tende la secante passante per P e per Q, quando il punto f (x + h) − f (x )Q tende a P. Cioè si ha: y′ = lim = h →0 h = lim tgα = tgβ h →0 Diciamo, quindi che la derivata f ′( x ) = tgβ = mè il coefficiente angolare della retta tangente alla curva y = f(x) nel suopunto d’ascissa x. Di conseguenza la retta t tangente alla curvad’equazione y = f(x) nel punto P d’ascissa c ha equazione: y − f (c ) = f ′(c )( x − c ) con P(c, f (c ))
  28. 28. Significato geometrico della derivatab) Significato cinematico della derivata: Dal punto di vistacinematico la nozione di derivata può essere interpretata come lavelocità di un punto in un certo istante. Precisamente, la velocità v di unpunto P0 all’istante t0 , in moto rettilineo secondo la legge oraria s=s(t),è il valore che assume la derivata s′(t) per t = t0 , ossia: v (t 0 ) = [s ′(t )] t =t 0Inoltre, l’accelerazione dello stesso punto P0 all’istante t0 coincide con ilvalore che assume la derivata seconda della funzione (legge oraria)s=s(t) per t = t0, ossia: a(t 0 ) = [s′′(t )]t =t = [v′(t )]t =t 0 0
  29. 29. Proprietà sulle derivateConsideriamo le seguenti proprietà sulle derivate: Derivata di una costante:y = k ⇒ y′ = 0 Derivata della funzione: y = x ⇒ y′ = 1 Derivata della funzione : y = x ⇒ y′ = 2 x 2 Derivata della funzione: y=x ⇒y n ′ = nx n−1 ……..Di seguito è riportato uno schema sulle principali regole di derivazione,oltre ad uno schema sulle derivate fondamentali.
  30. 30. Principali regole di derivazioni
  31. 31. Proprietà sulle derivate
  32. 32. Proprietà sulle derivate
  33. 33. Esercizi sulle derivateEsempio1: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione: y=x3+4x+1La derivata è: y′=3x2+4Esempio2: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione: y=xsenxDerivata di un prodotto per cui abbiamo: y′=1senx+xcosxEsempio3: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione: y=5x3sen2xcosxDerivata di un prodotto per cui abbiamo: y′=5[3x2sen2xcosx +x32senxcos2x+x3sen2x(-senx)]= =5(3x2sen2xcosx +2x3senxcos2x-x3sen3x )
  34. 34. Esercizi sulle derivateEsempio4: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione: 1 y= 2 x −5 1 f ′( x ) 2xRicordando che: D =− ⇒ y′ = − 2 f (x ) [ f (x )]2 (x − 5 )2Esempio5: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione: 1 y= senx + cos xLa derivata è: cos x − senx y′ = − (senx + cos x )2
  35. 35. Esercizi sulle derivateEsempio6: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione: x −1 2 y′ = 2 x +1Ricordando che: D f ( x ) = f ( x ) ⋅ f ( x ) − f ( x ) ⋅ f ′ ( x ) ′ 1 1 2 1 2 ⇒ f (x ) 2 [ f (x )] 2 2 2 x(x2 + 1) − 2 x(x2 − 1) 4x y′ = = 2 (x + 1) 2 2 (x + 1)2Esempio7: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione: y = sen2 xLa derivata è: ′ ′ y′ = (2 x ) ⋅ (sen2 x ) = 2 cos 2 x
  36. 36. Esercizi sulle derivateEsempio8: Calcolare il valore della derivata della seguente funzione:  π sen 2 x +  y= e  4La derivata è: ′ ′ π ′  π   π   sen 2 x +    y′ =  2 x +  ⋅  sen 2 x +   ⋅  e  4 =  4    4        π  π sen  2 x +  = 2 cos 2 x +  e  4  4

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