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LIMITICreato da: Rosangela Mapelliwww.nonsolomatematica.itLicenza Cretive Commons:Sei libero di modificare e pubblicare qu...
UN PO’ DI STORIA Già attorno alla metà del XVIII secolo, la voce limite appare nellEncyclopedy di Diderot e dAlembert. DAl...
Cauchy                “1800”Come data di nascita del concetto di limite siconsidera il 1821, perché in quellanno L. A. Cau...
L’ultima parola nell’opera diconsolidamento delle fondamentadell’analisi matematica la scrissero ilmatematico tedesco Karl...
APPROCCIO AL CONCETTO DI LIMITE  Consideriamo la seguente funzione:                          Il dominio è dato da tutti i ...
IL GRAFICO    Risulta facile costruire il grafico della    funzione y = x + 2 per x ≠ 1    y                              ...
TABELLA                                                       x      y Nella funzione y = x + 2 per               x ≠1    ...
Ritorniamo alla funzione di partenza                   x2 + x − 2             lim              =3              x →1    x −...
IL CONCETTO INTUITIVO DI LIMITE y = f(x) ammette limite l per xLa funzionetendente a x0 se tutte le x0 situate nelle“immed...
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PER X CHE TENDE A UN VALOREFINITO      lim f ( x) = +∞       x → x0                                                       ...
FUNZIONE PER X CHE TENDE ALL’INFINITO        Si dice che una funzione y=f(x) ha per         limite +∞ per x che tende a +...
IL LIMITE INFINITO DI UNA FUNZIONEPER X CHE TENDE ALL’INFINITO     lim f ( x) = +∞      x → +∞                            ...
LIMITE DESTRO O SINISTRO DI UNAFUNZIONE IN UN PUNTOUna funzione y=f(x) può non avere il limite in  un punto.Può esistere, ...
LIMITE DESTROSi dice che una funzione y = f(x), per x chetende a x0 ha per limite destro il numero realel e si scrive:    ...
LIMITE SINISTROSi dice che una funzione y = f(x), per x chetende a x0 ha per limite destro il numero realel e si scrive:  ...
ESERCIZI ∀ε > 0 ∃ δ > 0 / ∀x con 1 < x < 1 + δ ⇒ |f(x) – 2|< ε           lim f ( x) = 2                                   ...
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Limiti

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concetto di limite

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Limiti

  1. 1. LIMITICreato da: Rosangela Mapelliwww.nonsolomatematica.itLicenza Cretive Commons:Sei libero di modificare e pubblicare questa Presentazione apatto di indicare lautore, non trarne guadagno e devicondividere i derivati sotto la stessa licenza.
  2. 2. UN PO’ DI STORIA Già attorno alla metà del XVIII secolo, la voce limite appare nellEncyclopedy di Diderot e dAlembert. DAlembert, che compila la voce assieme allAbbé de la Cappelle, sostiene la necessità di porre la teoria del limite alla base del calcolo differenziale, calcolo che era stato scoperto da Leibniz e Newton alla fine del XVII secolo, basato sulluso degli infinitesimi. 2prof. Rosangela Mapelli
  3. 3. Cauchy “1800”Come data di nascita del concetto di limite siconsidera il 1821, perché in quellanno L. A. Cauchy(1789 – 1857) pubblica il suo Cours danalyse, cioèlopera che raccoglie le sue lezioni di analisi tenutepresso lÉcole Polytechnique di Parigi. Qui Cauchy dàuna definizione di limite in questi terminiEgli formulò una definizione, relativamenteprecisa, di limite:"Quando i valori successivi attribuiti a una variabile si avvicinanoindefinitamente a un valore fissato così che finiscono con ildifferire da questo per una differenza piccola quanto si vuole, 3questultimo viene detto il limite di tutti gli altri ". .prof. Rosangela Mapelli
  4. 4. L’ultima parola nell’opera diconsolidamento delle fondamentadell’analisi matematica la scrissero ilmatematico tedesco Karl Weierstrass(1815 -1897) e i suoi allievi. Weierstrass Il matematico Weierstrass formalizza,con il concetto di limite, il fatto che: una serie infinita di termini può “tendere” a un numero finito. Su queste fondamenta , Weierstrass costruì l’edificio dell’analisi matematica che resiste ancora ai nostri 4 giorni.prof. Rosangela Mapelli
  5. 5. APPROCCIO AL CONCETTO DI LIMITE Consideriamo la seguente funzione: Il dominio è dato da tutti i x + x−2 2 numeri reali, escluso 1 cioè y= x −1 D: ( - ∞; 1 ) U ( 1; + ∞)Vogliamo studiare il comportamento dellafunzione nelle vicinanze del valore 1, sostituiamoal posto della x valori vicini a 1 Scomponendo il numeratore: y = ( x − 1)( x + 2) x −1 Quindi la funzione, per x ≠ 1, è equivalente alla funzione di equazione y = x+2 5prof. Rosangela Mapelli
  6. 6. IL GRAFICO Risulta facile costruire il grafico della funzione y = x + 2 per x ≠ 1 y •nel punto x=1 la funzione non esiste3 •per x= 0 y= 2 •per valori di x molto vicini a 1 la 2 funzione si avvicina a 3. o 1 x Costruiamo una tabella con i valori che la 6 funzione assume quando la x si avvicina a 1prof. Rosangela Mapelli
  7. 7. TABELLA x y Nella funzione y = x + 2 per x ≠1 0,9 2,9sostituiamo al posto della x valori, che 0,99 2,99si avvicinano sempre di più a 1, per 0,999 2,999difetto e per eccesso e costruiamo una . .tabella 0,9 1 1,1 . . . . 1 ∃Dalla tabella si vede che avvicinandoci . . . . . .sia da sinistra che da destra a 1, il 1,0001 3,0001corrispondente valore di y si avvicina 1,001 3,001a 3 ( rispettivamente per difetto e per 1,01 3,01eccesso) 1,1 3,1In simboli lim f ( x ) = 3 si legge x→1 7Il limite per x che tende a 1 di f(x) è 3.prof. Rosangela Mapelli
  8. 8. Ritorniamo alla funzione di partenza x2 + x − 2 lim =3 x →1 x −1Osservando il grafico, consideriamo sull’asse y i punti 3-ε e 3+ε dove ε è un numero positivo, 3+ε f ( x) piccolo. In corrispondenza ad esso è 3 possibile trovare un intorno I(1). Se 3−ε prendiamo un qualsiasi valore di x 2 appartenente a questo intorno, o diverso da 1, il corrispondente 1 x valore f(x) è compreso tra I(1) 3 - ε e 3 + ε ovvero: 3 − ε < f ( x) < 3 + ε f (x) − 3 < ε 8prof. Rosangela Mapelli
  9. 9. IL CONCETTO INTUITIVO DI LIMITE y = f(x) ammette limite l per xLa funzionetendente a x0 se tutte le x0 situate nelle“immediate vicinanze” di x = x0 ( a partex=x0 stesso, di cui ci disinteressiamo)hanno come corrispondente delle y che sitrovano nelle “immediate vicinanze” di y=l.Scriveremo allora: lim f ( x) = l x →c 9prof. Rosangela Mapelli
  10. 10. PER X CHE TENDE A UN VALORE FINITO  Si dice che una funzione y=f(x) ha per limite il numero reale l per x che tende a x0 e si scrive: lim f ( x) = l x → x0 quando comunque si scelga un numero reale positivo ε si può determinare un introno completo di x0 tale che risulti |f(x)–l|<ε per ogni x appartenente ad I, diverso (al più) da x0 . 10prof. Rosangela Mapelli
  11. 11. IL LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE PER X CHE TENDE A UN VALORE FINITO lim f ( x) = l x → x0 l+ε l l–ε I x0 ∀ε > 0 ∃ I(x0) / ∀x ∈ I ⇒ |f(x) – l|< ε 11 Per ogni esiste tale che allora appartenenteprof. Rosangela Mapelli
  12. 12. IL LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONEPER X CHE TENDE ALL’INFINITO  Si dice che una funzione y=f(x) ha per limite il numero reale l per x che tende a x0 e si scrive: lim f ( x) = l x → +∞ quando comunque si scelga un numero reale positivo ε si può determinare un intorno I di + ∞ tale che risulti |f(x)–l|<ε per ogni x appartenente ad I. 12prof. Rosangela Mapelli
  13. 13. IL LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE PER X CHE TENDE ALL’INFINITO lim f ( x) = l x → +∞ l+ε y=l l asintoto l–ε orizzontale c ∀ε > 0 ∃ c / ∀ x > c ⇒ |f(x) – l|< ε 13 Per ogni esiste allora tale cheprof. Rosangela Mapelli
  14. 14. IL LIMITE INFINITO DI UNAFUNZIONE PER X CHE TENDE A UNVALORE FINITO  Si dice che una funzione y=f(x) tende a +∞ per x che tende a x0 e si scrive: lim f ( x) = +∞ x → x0 quando per ogni numero reale M si può determinare un intorno completo di x0 tale che risulti f(x)>M per ogni x appartenente ad I, diverso da x0. 14prof. Rosangela Mapelli
  15. 15. PER X CHE TENDE A UN VALOREFINITO lim f ( x) = +∞ x → x0 x = x0 M asintoto verticale x0 ∀ M > 0 ∃ I(x0) / ∀x ∈ I ⇒ f(x) > M 15 Per ogni esiste tale che allora appartenenteprof. Rosangela Mapelli
  16. 16. FUNZIONE PER X CHE TENDE ALL’INFINITO  Si dice che una funzione y=f(x) ha per limite +∞ per x che tende a +∞ e si scrive: lim f ( x) = +∞ x → +∞ quando per ogni numero reale M si può determinare un intorno completo di +∞ tale che risulti f(x)>M per ogni x appartenente ad I. 16prof. Rosangela Mapelli
  17. 17. IL LIMITE INFINITO DI UNA FUNZIONEPER X CHE TENDE ALL’INFINITO lim f ( x) = +∞ x → +∞ M c ∀ M > 0 ∃ c / ∀ x > c ⇒ f(x) > M 17 Per ogni esiste allora tale cheprof. Rosangela Mapelli
  18. 18. LIMITE DESTRO O SINISTRO DI UNAFUNZIONE IN UN PUNTOUna funzione y=f(x) può non avere il limite in un punto.Può esistere, allora il limite destro o il limite sinistro, cioè, il limite della funzione per valori della x che si avvicinano da destra o da sinistra. 18prof. Rosangela Mapelli
  19. 19. LIMITE DESTROSi dice che una funzione y = f(x), per x chetende a x0 ha per limite destro il numero realel e si scrive: lim f ( x) = lx → xo +se preso ε positivo, piccolo a piacere, èpossibile determinare un intorno destro H di,x0 tale che: ∀ε > 0 ∃ I(x0+) / ∀x ∈ I ⇒ |f(x) – l|< ε 19Per ogni esiste tale che allora intorno appartenenteprof. Rosangela Mapelli destro
  20. 20. LIMITE SINISTROSi dice che una funzione y = f(x), per x chetende a x0 ha per limite destro il numero realel e si scrive: lim f ( x) = l x → xo −se preso ε positivo, piccolo a piacere, èpossibile determinare un intorno destro H di,x0 tale che: ∀ε > 0 ∃ I(x0-) / ∀x ∈ I ⇒ |f(x) – l|< ε 20Per ogni esiste tale che allora intorno appartenenteprof. Rosangela Mapelli sinistro
  21. 21. ESERCIZI ∀ε > 0 ∃ δ > 0 / ∀x con 1 < x < 1 + δ ⇒ |f(x) – 2|< ε lim f ( x) = 2 x →1+ ∀M > 0 ∃ I(-4) / ∀x ∈ I(-4), x ≠ - 4 ⇒ f(x) < - M lim f ( x) = −∞ x → −4∀ε > 0 ∃ δ > 0 / ∀x con |x| < δ, x ≠ 0 ⇒ |f(x) – 3|< lim f ( x) = −3 x →0 ε∀ε > 0 ∃ δ > 0 / ∀x con – 2 - δ < x < - 2 ⇒ |f(x) +5|< ε lim f ( x) = −5 x → −2 − ∀ε > 0 ∃ c > 0 / ∀x > c ⇒ |f(x) < ε lim f ( x) = 0 x → +∞ ∀M > 0 ∃ c > 0 / ∀x con x > c ⇒ f(x) < -M lim f ( x) = −∞ x → +∞ 21prof. Rosangela Mapelli

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