2. Apa yang akan dibahas
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Pendahuluan dan motivasi
Analisis Kesalahan
Persamaan Tidak Linier
Persamaan Linier Simultan
Interpolasi
Integrasi Numerik
Solusi Persamaan Differensial Biasa
Metode Numerik
2
3. Daftar Pustaka
• Chapra, S. C. and Canale, R. P. (1991): Metode
Numerik untuk Teknik. Penerbit Universitas
Indonesia, Jakarta.
• Hanselman, D. and Littlefield, B. (1997): Matlab
Bahasa Komputasi Teknis. Penerbit Andi,
Yogyakarta.
• Scheid, F. (1983), Numerical Analysis, McGrawHill International Editions, Singapore.
• Conte, S. D. and de Boor, C. (1993), Dasar-Dasar
Analisis Numerik, Penerbit Erlangga, Jakarta.
Metode Numerik
3
4. Pendahuluan
• Metode Numerik: Teknik menyelesaikan
masalah matematika dengan pengoperasian
hitungan.
• Pada umumnya mencakup sejumlah besar
kalkulasi aritmetika yang sangat banyak dan
menjenuhkan
• Karena itu diperlukan bantuan komputer
untuk melaksanakannya
Metode Numerik
4
5. Motivasi
Kenapa diperlukan?
• Pada umumnya permasalahan dalam sains
dan teknologi digambarkan dalam
persamaan matematika
• Persamaan ini sulit diselesaikan dengan
“tangan” analitis sehingga diperlukan
penyelesaian pendekatan numerik
Metode Numerik
5
6. Penyelesaian persoalan numerik
• Identifikasi masalah
• Memodelkan masalah ini secara matematis
• Identifikasi metode numerik yang diperlukan
untuk menyelesaikannya
• Implementasi metode ini dalam komputer
• Analisis hasil akhir: implementasi, metode,
model dan masalah
Metode Numerik
6
9. Sumber Kesalahan
• Kesalahan pemodelan
contoh: penggunaan hukum Newton
asumsi benda adalah partikel
• Kesalahan bawaan
contoh: kekeliruan dlm menyalin data
salah membaca skala
• Ketidaktepatan data
• Kesalahan pemotongan (truncation error)
• Kesalahan pembulatan (round-off error)
Metode Numerik
9
10. Kesalahan pemotongan (i)
• Kesalahan yang dihasilkan dari penggunaan
suatu aproksimasi pengganti prosedur
matematika yang eksak
Contoh: approksimasi dengan deret Taylor
∆x
∆x 2
∆x n
f ( xi +1 ) = f ( xi ) + f ′( xi )
+ f ′′( xi )
+ + f n ( xi )
+ Rn
1!
2!
n!
∆x = xi +1 − xi
Kesalahan:
Metode Numerik
f ( n +1) (ξ ) ( n +1)
Rn =
∆x
(n + 1)!
10
11. Kesalahan pemotongan (ii)
• Aproksimasi orde ke nol (zero-order appr.)
f ( xi +1 ) ≈ f ( xi )
• Aproksimasi orde ke satu (first-order appr.)
f ( xi +1 ) ≈ f ( xi ) + f ′( xi )
∆x
1!
• Aproksimasi orde ke dua (second-order appr.)
∆
x
∆2
x
′
f ( xi + ) = f ( xi ) + f ′ xi )
(
+ f ′( xi )
1
1
!
2!
Metode Numerik
11
12. Motivasi Dari Persamaan Non Linear
Dalam desain tikungan jalan lingkar, terdapat
rumusan berikut:
R=
R2
R +T
2
2
+M
R = jari-jari kurva jalan
T = jarak tangensial = 273.935 m
M = ordinat tengah = 73.773 m
Metode Numerik
12
13. Motivasi Dari Persamaan Non Linear (ii)
Dari suatu perhitungan tentang kebutuhan akan
produksi optimal suatu komponen struktur didapat
persamaan biaya yang dibutuhkan untuk pengadaaan
produksi dalam satu hari sebagai berikut:
C = 13000 N −1 + 158.11 N −0.5 + N + 0.0025 N 2
dengan
C = biaya per hari
N = jumlah komponen yang diproduksi
Metode Numerik
13
14. Solusi Persamaan Non Linear (i)
1) Metode Akolade (bracketing method)
Contoh: • Metode Biseksi
(Bisection Method)
• Metode Regula Falsi
(False Position Method)
Keuntungan: selalu konvergen
Kerugian: relatif lambat konvergen
Metode Numerik
14
15. Solusi Persamaan Non Linear (ii)
2) Metode Terbuka
Contoh: • Iterasi Titik-Tetap
(Fix Point Iteration)
• Metode Newton-Raphson
• Metode Secant
Keuntungan: cepat konvergen
Kerugian: tidak selalu konvergen
(bisa divergen)
Metode Numerik
15
16. Metode Bagi Dua (i)
Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval [ a0 ,b0 ]
f (a0 ) f (b0 ) < 0
do n = 0,1,…
m = (an + bn ) / 2
an +1 = an , bn +1 = m
if f (a n ) f (m) < 0, then
else an +1 = m, bn +1 = bn
if bn +1 − an +1 ≤ ε or
end do
Metode Numerik
f ( m) = 0
exit
16
18. Regula Falsi (i)
Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval [ a0 ,b0 ]
f (a0 ) f (b0 ) < 0
do n = 0,1,…
w = [ f (bn )an − f (an )bn ] /[ f (bn ) − f (an )]
an +1 = an , bn +1 = w
if f (an ) f ( w) < 0, then
else an +1 = w, bn +1 = bn
if
bn +1 − an +1 ≤ ε
or
f ( w) = 0
exit
end do
Metode Numerik
18
20. Regula Falsi Termodifikasi (i)
Inisialisasi: F = f (a0 )
do n = 0,1,…
G = f (b0 ) w0 = a0
wn +1 = [Gan − Fbn ] /[G − F ]
if f (an ) f ( wn +1 ) ≤ 0, then
an +1 = an , bn +1 = wn +1 ,
if
G = f ( wn +1 )
f ( wn ) f ( wn +1 ) > 0, then F = F / 2
else an +1 = wn +1 , bn +1 = bn , F = f ( wn+1 )
if f ( wn ) f ( wn +1 ) > 0, then F = F / 2
exit
if bn +1 − an +1 ≤ ε
end do
Metode Numerik
20
27. Akar Ganda (iii)
• Metode akolade tak bisa digunakan, krn fungsi tak
berubah tanda
• f (x) dan
f ′(x)
menuju nol disekitar akar
Modifikasi metode Newton-Raphson:
Bentuk alternatif:
Hasil akhir:
Metode Numerik
f ( x)
u ( x) =
f ′( x)
f ( xi ) f ′( xi )
xi +1 = xi −
[ f ′( xi )]2 − f ( xi ) f ′′( xi )
27
28. Motivasi Persamaan Linier
• Persamaan linier simultan sering muncul dalam
sains dan teknik (sekitar 75 %):
– Analisis struktur
– Analisis jaringan
– Interpolasi
– Riset Operasi
– Teknik Transportasi
– Manajemen Konstruksi
– Penyelesaian numeris persamaan diferensial biasa
– Penyelesaian numeris persamaan diferensial parsial
Metode Numerik
28
29. Persamaan Linier Simultan
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1
a21 x1 + a 22 x2 + + a2 n xn = b2
an1 x1 + a n 2 x2 + + ann xn = bn
dalam notasi matriks
a11 a12 a1n
a
a22 a2 n
21
an 2 ann
an1
A
Metode Numerik
x1 b1
x b
2 = 2
xn bn
x
b
29
30. Pandangan Secara Geometri
• Secara geometri, solusi persamaan linier
simultan merupakan potongan dari hyperplane
• 2 persamaan dan 2 variabel tidak diketahui
– Hyperplane: garis
– Potongan hyperplane: titik potong
• 3 persamaan dan 3 variabel tidak diketahui
– Hyperplane: bidang
– Potongan hyperplane: garis potong
Metode Numerik
30
31. Matriks Bujursangkar (i)
a) Matriks Simetris aij = a ji
b) Matriks Diagonal aii ≠ 0,
aij = 0
untuk i ≠ j
c) Matriks Identitas aii = 1,
aij = 0
untuk i ≠ j
≠ 0 untuk i ≤ j
d) Matriks segitiga atas aij
= 0 untuk i > j
≠ 0 untuk i ≥ j
e) Matriks segitiga bawah aij
= 0 untuk i < j
Metode Numerik
31
32. Matriks Bujursangkar (ii)
f) Matriks pita
Lebar pita 3 tridiagonal matriks
≠ 0 untuk i − j ≤ 1
aij
selainnya
= 0
Lebar pita 5 tridiagonal matriks
≠ 0 untuk i − j ≤ 2
aij
selainnya
= 0
Metode Numerik
32
33. Matriks Segitiga
Ide dasar: Transformasi persamaan linier asal
menjadi persamaan linier berbentuk segitiga
sehingga mudah diselesaikan
u11x1 +u12 x 2 + + u1nxn = c1
u 22 x2 + + u2nxn = c2
unnxn = cn
Dalam notasi matriks
Ux = c
Metode Numerik
33
34. Syarat Regularitas
• Sebuah matriks bujursangkar A yang
mempunyai dimensi n x n dikatakan tidak
singular jika salah satu syarat di bawah ini
terpenuhi:
– A dapat diinversikan
– Semua nilai eigen dari matriks A tidak sama dengan
nol
• det (A) ≠ 0
Metode Numerik
34
38. Interpolasi
• Tujuan: Mencari nilai di antara beberapa titik
data yang telah diketahui nilainya
• Metode Interpolasi yg paling populer: Interpolasi
Polinom
• Polinom berbentuk:
Pn ( x) = an x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0
Metode Numerik
38
39. Metode Lagrange (i)
Jika (x0,y0), (x1,y1),…, (xn,yn) merupakan sepasang
nilai x dan y, dengan y = f(x); maka jika f(x)
diaproksimasi dengan polinomial derajat ke-n akan
diperoleh:
Pn ( x) = a 0 ( x − x1 )( x − x 2 )...( x − x n ) +
+ a1 ( x − x0 )( x − x 2 )...( x − x n ) + ... +
+ a n ( x − x0 )( x − x1 )( x − x 2 )...( x − x n −1 )
Metode Numerik
39
40. Metode Lagrange (ii)
Dimana syarat interpolasi harus dipenuhi
Pn ( x0 ) = y 0
Pn ( x1 ) = y1
...................
Pn ( x n ) = y n
Dengan mensubstitusi x = xi dan P(xi) = yi maka
yi
ai =
( xi − x0 )( xi − x1 )...( xi − xi −1 )...( xi − xi +1 )...( x0 − x n )
Metode Numerik
40
41. Metode Lagrange (iii)
Dengan memakai fungsi Lagrange
(x − x j )
( x − x0 )( x − x1 )...( x − xi −1 )...( x − xi +1 )...( x − x n )
Li = ∏
=
( xi − x0 )( xi − x1 )...( xi − xi −1 )...( xi − xi +1 )...( x0 − x n )
j =0 ( xi − x j )
n
j ≠i
maka
n
Pn ( x) = ∑ Li y i = L0 y 0 + L1 y1 + + Ln y n
i =0
Metode Numerik
41
42. Motivasi untuk interpolasi (i)
Sejumlah uang didepositokan dengan tingkat bunga
tertentu. Tabel berikut menguraikan perkiraaan uang
deposito pada masa yang akan datang, berupa nilai
uang pada 20 tahun mendatang dibandingkan dengan
nilai sekarang.
Tingkat suku bunga
F/P (n = 20 tahun)
15
20
25
30
Metode Numerik
16,366
38,337
86,736
190,050
42
43. Motivasi Interpolasi (ii)
Jika Rp. 100.000.000,- didepositokan sekarang dengan
suku bunga 23,6%, berapa nilai uang tersebut pada 20
tahun yang akan datang. Gunakan interpolasi linear,
kuadratik, dan Lagrange bagi penyelesaian, kemudian
bandingkan hasil perhitungan ketiga metode tersebut.
Metode Numerik
43
44. Motivasi untuk Interpolasi (iii)
Viskositas air dapat ditentukan dengan
menggunakan tabel berikut ini:
T(ºC)
0
10
30
50
70
90
100
Metode Numerik
µ(10-3 Ns/m2)
1,792
1,308
0,801
0,549
0,406
0,317
0,284
44
45. Motivasi untuk Interpolasi (iv)
Perkirakan harga viskositas air pada temperatur 25ºC.
Gunakan interpolasi Lagrange. Perkirakan juga
kisaran kesalahan dari hasil yang didapat.
Metode Numerik
45
46. Pengintegralan Numerik
b
Integral:
I = ∫ f ( x ) dx
a
Jika f ( x) > 0
tafsiran geometrik: luas daerah
y
f(x)
I
0
a
b
x
Jika fungsi primitif F (x) yaitu f ( x) =
dF ( x )
dx
diketahui
b
I = ∫ f ( x) dx = F (b) − F (a )
a
tidak diketahui
Metode Numerik
⇒
Pengintegralan Numerik
46
47. Formula Integrasi Newton-Cotes
Ide: Penggantian fungi yang rumit atau data yang
ditabulasikan ke fungsi aproksimasi yang mudah
diintegrasikan
Jika fungsi aproksimasi adalah polinomial berorde n,
maka metode ini disebut metode integrasi Newton-Cotes
b
b
a
a
I ( f ) = ∫ f ( x ) dx ≈ ∫ f n ( x ) dx = I n ( f )
Dibagi atas
i) bentuk tertutup, batas integrasi a dan b dimasukkan ke
dalam perhitungan
ii) Bentuk terbuka, a dan b tidak termasuk
Metode Numerik
47
48. Kaidah Segiempat
Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi tangga (fungsi
konstan sepotong-potong)
I ( f ) ≈ I 0 ( f ) = h[ f ( x0 ) + f ( x1 ) + f ( xn −1 )]
I ( f ) ≈ I 0 ( f ) = h[ f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( xn )]
Metode Numerik
48
49. Kaidah Trapesium (i)
Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi linier
sepotong-potong
a) Satu pias
f ( x0 ) + f ( x1 )
I ( f ) ≈ I1 ( f ) = ( x1 − x0 )
2
y=f(x)
Kesalahan:
Metode Numerik
1
Et = − f ′′(ξ ) ( x1 − x0 )3
12
49
50. Kaidah Trapesium (ii)
b) Banyak
pias
n −1
( xn − x0 )
I ( f ) ≈ I1m ( f ) =
f ( x0 ) + f ( xn ) + 2∑ f ( xi )
2n
i =1
y=f(x)
…
b
Kesalahan:
Metode Numerik
1
Et = −
f ′′( xn − x0 )3 ,
12n 2
dimana
n
∑ f ′′(ξ )
i =1
50
51. Kaidah Simpson 1/3 (i)
Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi kuadratik
sepotong-potong
a) Satu pias
f ( x0 ) + 4 f ( xi ) + f ( x2 )
I ( f ) ≈ I 2 ( f ) = ( xn − x0 )
6
Kesalahan:
( xn − x0 )5 ( 4 )
Et = −
f (ξ )
2880
Metode Numerik
51
52. Kaidah Simpson 1/3 (ii)
b) Banyak Pias:
n −1
n−2
( xn − x0 )
f ( x0 ) + f ( xn ) + 4 ∑ f ( xi ) + 2 ∑ f ( xi )
I ( f ) ≈ I m ( p2 ) =
3n
i =1, 3, 5
i = 2, 4, 6
Kesalahan:
A1
Metode Numerik
A3
A5
An-1
( xn − x0 )5 ( 4 )
Et = −
f
4
180n
52
