Числові нерівності та їх властивості

1. На практиці часто доводиться порівнювати величини. Наприклад, площа
України (603,7 тис. км2
) більша за площу Франції (551 тис. км2
), висота гори
Роман-Кош (1554 м) менша від висоти гори Говерла (2061 м), відстань від Києва
до Харкова (450 км) дорівнює 0,011 довжини екватора.
Коли ми порівнюємо величини, нам доводиться порівнювати числа.
Результати цих порівнянь записують у вигляді числових рівностей або
нерівностей, використовуючи знаки: =, >, <.
Якщо число а більше за число b, то пишуть а > b; якщо число а менше від
числа b, то пишуть а < b.
Очевидно, що 12 > 7, -17 < 3,
15 11
23 23
> . Справедливість цих нерівностей випливає з правил
порівняння раціональних чисел, які вивчали в попередніх класах.
Проте є й інший спосіб, більш універсальний, заснований на таких очевидних міркуваннях: якщо різниця
двох чисел є число додатне, то зменшуване більше за від'ємник, а якщо різниця від'ємна, то зменшуване менше
ніж від'ємник.
Ці міркування підказують, що зручно прийняти таке означення.
Означення. Число а вважають б і л ь ш и м за число b, якщо різниця
а — b є додатним числом. Число а вважають м е н ш и м від числа b, якщо різниця а — b є від'ємним
числом.
Це означення дозволяє задачу про порівняння двох чисел звести до задачі про
порівняння їх різниці з нулем. Наприклад, щоб порівняти значення виразів 3 - 4π і
6 - 5π , розглянемо їх різницю:
1. Порівняння чисел. Поняття числової нерівності.
Основні властивості числових нерівностей.

2. (3 - 4π ) - (6 - 5π )=3 - 4π - 6 + 5π =π -3.
Оскільки π -3 > 0, то 3 - 4π > 6 - 5π .
Зауважимо, що різниця чисел а і b може бути або додатною, або від'ємною, або дорівнювати нулю. Тоді для
будь-яких чисел а і b справедливе одне і тільки одне з таких співвідношень: а > b, а < b, а = b.
b a>b a Якщо a>b, то точка, яка відповідає числу
a на координатній прямій , знаходиться
Рис.1 справа від точки , яка відповідає числу b.
Для вислову «не більше» використовують знак ≤ ( читають : «менше або
дорівнює»), а для вислову «не менше» - знак ≥ ( читають : «більше або дорівнює»).
Якщо a < b або a = b,то нерівність a b≤ є правильною.
Якщо a > b або a = b,то нерівність a b≥ є правильною.
Наприклад, нерівності 7 ≤ 7, 7 ≤ 15, - 3 ≥ - 5 є правильними. Знаки < і > називають знаками строгої
нерівності, а знаки ≤ і ≥ - знаками нестрогої нерівності.
Розглянемо властивості числових нерівностей , які часто використовують при
розв’язуванні задач.
Властивість1. Якщо a > b, b > с, то a > с.
Доведення. Оскільки за умовою a > b і b > с, то різниця a-b і b-с є додатними
числами . Тоді додатною буде їх сума (a-b)+( b-с). Маємо(a-b)+( b-с)= a- с.
Отже, різниця a- с є додатним числом , а тому a > с. ▲
Аналогічно доводиться властивість: якщо a < b, b < с, то a < с.
С(с) B(b) A(a) Властивість1 можна проілюструвати
геометрично: якщо на координатній
Рис.2 прямій точка A(a) лежить праворуч від точки B(b) , а точка B(b) - праворуч
від точки С(с), то точка A(a) лежить праворуч від точки С(с) ( рис.2)
Властивість2. Якщо a > b і с – будь - яке число , то a+c > b+c.

3. Доведення . Розглянемо різницю (a+с)-( b+с). Маємо: (a+с)-( b+с)= a- b.
Оскільки за умовою a>b, то різниця a-b є додатним числом. Отже,
а+c>b+c. ▲
Аналогічно доводять властивість: якщо a < b і с - будь - яке число , то
а + c < b +с.
Оскільки дію віднімання можна замінити дією додавання (а- с = а+(-с)), то,
ураховуючи властивість2, можна зробити такий висновок .
Якщо до обох частин правильної нерівності додати або від обох частин правильної
нерівності відняти одне й те саме число, то отримаємо правильну нерівність .
Наслідок. Якщо будь-який доданок перенести з однієї частини правильної нерівності в другу,
замінивши знак доданка на протилежний, то отримаємо правильну нерівність.
Доведення. Нехай нерівність a > b + с є правильною. Віднімемо від обох її
частин число с. Отримаємо: a - с > b +с - с, тобто a - с > b . ▲
Властивість3. Якщо a > b і с – додатне число , то ас > bс . Якщо
a>b і с- від’ємне число, то ас < bc .
Доведення. Розглянемо різницю ас - bc. Маємо: ас - bc =с(а-b) .
За умовою a > b, отже, різниця а- b є додатним числом.
Якщо с > 0, то добуток с(а-b) додатний, а отже, різниця ас - bc є
додатною, тобто ас > bc .
Якщо с < 0 , то добуток с(а-b) від’ємний, а отже, різниця ас- bc є
від’ємною, тобто ас<bc . ▲
Аналогічно доводять властивість: якщо а<b і с - додатне число, то ас< bc ;
якщо а < b і с - від’ємне число , то ас > bc.
Оскільки дію ділення можна замінити дією множення
1
,a c a
c
 
÷ = • ÷
 
то
ураховуючи властивість 3 можна зробити такий висновок.
Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити
на одне й те саме додатне число, то отримаємо правильну нерівність.

4. Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити
на одне й те саме від’ємне число і поміняти знак нерівності на протилежний, то
отримаємо правильну нерівність.
Наслідок. Якщо аb > 0 і a > b, то
1 1
.
a b
<
Доведення. Поділимо обидві частини нерівності a > b на додатне число ab. Отримаємо
правильну нерівність ,
a b
ab ab
> тобто
1 1
.
b a
< Звідси
1 1
.
a b
< ▲
Звернемо увагу: вимога, щоб числа a і b були однакового знака (ab>0), є
суттєвою. Справді, нерівність 5>-3 є правильною, проте нерівність
1 1
5 3
<
−
є
неправильною.
Аналогічні властивості мають і нестрогі нерівності. Наприклад, якщо а ≥ b і с- будь - яке число, то a+
с ≥ b +с.
Приклад. Відомо , що 4 2.a− ≤ < − Доведіть, що
7
7 1.
3 5a
− < ≤ −
+
Розв’язання. Маємо: 4 2.a− ≤ < − Тоді за властивістю 3 отримуємо 12 3 6.a− ≤ < − Застосовуючи
властивість 2, одержимо 7 3 5 1.a− ≤ + < − Користуючись наслідком з властивості 3, можна записати, що
1 1
1
7 3 5a
− ≥ > −
+
, тобто
1 1
1
3 5 7a
− < ≤ −
+
. Звідси
7
7 1.
3 5a
− < ≤ −
+
Приклад 1. Порівняйте числа: і ;
Доведення.
• =
2. Розв’язування вправ на порівняння чисел і доведення
числових нерівностей.

5. Відповідь: > .
Приклад 2. Доведіть нерівність:
(5 – 3y)2
≥ 3y (y - 2) + 1;
Доведення.
(5 – 3y)2
– (3y (y - 2) + 1) = 25 – 30y + 9y2
– 3y2
+ 6y – 1 = 6y2
- 24y + 24 =
= 6 (y - 2)2
≥0;
(5 – 3y)2
≥ 3y (y - 2) + 1.
Нерівність доведено.
Приклад 3. Доведіть нерівність:
x2
+ 6x + y2
- 2y + 10 ≥ 0;
Доведення.
x2
+ 6x + y2
- 2y + 10 = (x2
+ 6x + 9) + (y2
– 2y + 1) = (x+3)2
+ (y - 1)2
≥ 0. Нерівність
доведено.
Приклад 4. Доведіть нерівність:
5а2
+ 4а – 2ab + b2
+ 2 > 0;
Доведення.
5а2
+ 4а – 2ab + b2
+ 2 = (a2
– 2ab + b2
) + (4a2
+ 4a +1) + 1 = (a - b)2
+ (2a + 1)2
+ 1> 0.
Нерівність доведено.
Приклад 5. Доведіть нерівність:

6. Доведення.
= =
Нерівність доведено.
Приклад 6. Порівняйте числа a і d, якщо:
b – a < 0 і d – b < 0.
Розв’язання.
d < b; b < a. Тому d > a, тобто a > d.
Приклад 7. Порівняйте числа і , якщо :
0 < b < a i c > 0.
Розв’язання.
0 < b < a; c > 0.
Приклад 8. Доведіть твердження:
1) якщо a < b i b ≤ c, то a < c;
Доведення.
a – b < 0; b – c < 0; c – d < 0;

7. a – d = (a - b) + (d - c) < 0; a < d.
Твердження доведено.
2) якщо a < b, b < c i c < d < 0;
Доведення.
a – d = (a - b) + (b - c) + (c - d) < 0; a<d.
Твердження доведено.
3) якщо a ≥ b i c < 0, то ac ≤ bc.
Доведення.
a – b ≥ 0; c < 0; ac – bc = (a - b) ∗ c ≤ 0; ac ≤ bc.
Твердження доведено.
4) якщо a < 0; b < 0; a< b, то .
Доведення.
.
Відмітимо, що b – а > 0 (оскільки a < b);
ab > 0 (оскільки a < 0; b < 0). Таким чином
Твердження доведено.
Приклад 9. Доведіть нерівність:
a3
+ 8 ≥ 2a2
+ 4a, де а ≥ -2.

8. Доведення:
(a3
+ 8) – (2a2
+ 4a) = a3
– 2a2
+ 8 – 4a = a2
(a - 2) – 4( a – 2) = (a2
- 4) (a - 2) = (a - 2)2
(a
+ 2) ≥ 0, бо (a - 2)2
(a + 2) ≥ 0; a + 2 ≥ 0 (оскільки a ≥ -2).
a3
+ 8 ≥ 2a2
+ 4a.
Нерівність доведено.
Приклад 10. Довести нерівність:
якщо a>0, b>0.
Доведення.
Утворимо різницю лівої і правої частин нерівності й перетворимо її:
=
Різницю ми подали у вигляді дробу, чисельник якого невід’ємний, бо є квадратом
деякого числа, а знаменник – додатний як добуток додатних чисел. Тому цей дріб,
а значить і різниця, невід’ємні : Отже, нерівність є
правильною для будь-яких додатних чисел a і b.
Якщо в доведеній нерівності взяти b=1, то матимемо правильну нерівність:
, де a>0.
Отже, сума двох додатних взаємно обернених чисел не менша від 2.
Приклад 11. Довести, що нерівність 10а2
– 6а + 2ab + b2
+ 2 > 0 є правильною для
будь-яких дійсних чисел a і b.

9. Доведення.
10а2
– 6а + 2ab + b2
+ 2 = (9а2
– 6а + 1) + (а2
+ 2ab + b2
) +1 = (3а - 1)2
+ (a + b)2
+ 1.
Оскільки (3а - 1)2
≥ 0, (a + b)2
≥0 для будь-яких дійсних чисел a і b, то (3а - 1)2
+ (a
+ b)2
+ 1 > 0.

10. Доведення.
10а2
– 6а + 2ab + b2
+ 2 = (9а2
– 6а + 1) + (а2
+ 2ab + b2
) +1 = (3а - 1)2
+ (a + b)2
+ 1.
Оскільки (3а - 1)2
≥ 0, (a + b)2
≥0 для будь-яких дійсних чисел a і b, то (3а - 1)2
+ (a
+ b)2
+ 1 > 0.