5 ___

Розробки уроків
по темі
«Степенева функція»

Тема уроку: Корінь п-го степеня. Арифметичний корінь п -го степеня і його властивості.
Мета уроку: Повторити відомості про квадратний корінь. Формування понять корінь п-го степеня і
арифметичний корінь п -го степеня. Вивчення властивостей коренів п -го степеня.
Розвивати пізнавальну активність учнів,логічне мислення.
Виховувати пізнавальний інтерес до предмета,позитивну мотивацію до навчання.
Комплексно-методичне забезпечення:таблиці,плакати.
Тип уроку: Урок засвоєння нових знань.
Метод проведення:пояснювально-ілюстративний.
Хід уроку
І. Організаційний етап
Учитель. Якіасоціації викликає увасслово«урок»?
У—успіх...
Р—радість...
О—обдарованість…
К—компетентність...
Сподіваюся, що сьогодні на нас чекає і успіх, і радість.Визможетепродемонструвативласнуобдаро-
ваність і компетентність.
ІІ.Мотивація навчання.
При вивченні наступної теми ми широко користуватимемося степенями з дійсними показниками .
Властивості степенів з дійсними показниками не можна обгрунтувати без знань властивостей
коренів, тому необхідно повторювати відомості про корені.

IIІ. Повторення відомостей про квадратний корінь.
Повторити відомості про квадратний корінь можна у вигляді фронтальної бесіди з
використанням таблиці .
Питання до класу
1. Що називається квадратним коренем з числа?
2. Чому дорівнює квадратний корінь з чисел:
а) 25; б) 16; в) 100; г) 0; д) -10?
3. Чому квадратний корінь з від'ємного числа не існує?
4. Що називається арифметичним квадратним коренем з числа а?
IV. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу (таблиця).
Коренем п -го степеня із дійсного числа а називається число, п -й степінь якого дорівнює а.
Наприклад: корінь третього степеня із числа 8 дорівнює 2, бо 22
= 8. Корінь четвертого степеня з
числа 81 є числа 3 і -3, бо 34
= 81, (-3)4
= 81.
Згідно даного означення, корінь п -го степеня — це корінь рівняння хп
= а. Число коренів цього
рівняння залежить від п і а.
Якщо п — парне, тобто п = 2к, к Є N, то рівняння х2к
= а має два корені, якщо а > 0; один корінь,
якщо а = 0; не має коренів, якщо а < 0.
Якщо п — непарне, тобто п = 2к + 1, к Є N, то рівняння х2к+х
= а

завжди має лише один корінь.
Невід'ємний корінь рівняння хп
.= а називають арифметичним коренем п -го степеня із числа
а.
Арифметичним коренем п -го степеня із невід'ємного числа а називається таке невід'ємне
число, п -й степінь якого дорівнює а.
Арифметичний корінь п -го степеня із числа а позначають так:
n
à. Число п називають показником кореня, число а — підкореневим числом (виразом).
Якщо п = 2, то замість 2
à пишуть à і називають арифметичним квадратним
коренем.
Арифметичний корінь третього степеня називають кубічним коренем.
У тих випадках, коли зрозуміло, що мова йде про арифметичний корінь п-го степеня,
коротко говорять «корінь п -го степеня».
Приклад. Знайдемо значення:

а) 3
8 ; б) 4
81 ; в) 5
1 ; г) 100
0 .
а) 3
8 =2, оскільки 23
= 8 і 2 > 0;
б) 4
81 = 3, оскільки З4
= 81 і 3 > 0;
в) 5
1 = 1 .оскільки 15
= 1 і 1 > 0;
г) 100
0 = 0, оскільки 0100
= 0.
Корінь парного степеня існує лише з невід'ємних чисел, отже,
вираз κ2
.à має смисл, якщо а > 0 і набуває невід'ємних значень.
Корінь непарного степеня існує а будь-якого дійсного числа і до того ж тільки один.
Для коренів непарного степеня справедлива рівність
Приклад. Знайдемо значення:
а) 3
8− ; 6) 5
32− ; в) 3
27− .
а) 3
8− = - 3
8 = -2; б) 5
32− = - 5
32 = -2; в) 3
27− = -3
27 = -3.
Отже, вираз 12 +κ
à має смисл для будь-якого а Є R і може
набувати будь-яких значень. ,
Виконання вправ_________________________________________
1.Розв'яжіть рівняння:
а) х3
= 64; б) х5
=-
32
1
. в) х4
= 81;
г) х6
= -64; д) х3
= І5; е) х4
= 15.
Відповідь: а) 4; б) -
2
1
; в) 3; -3; г) немає коренів; д) 3
15 ;
е) 4
15 ; - 4
15 .
2. Знайдіть область визначення функцій:
а) 4
2−= õó ; б) 3
4−= õó ; в) 6
3 õó −=
г) 33
11
õõ
ó
−
+= ; д) 46
õõó −+= ; е) 106
11
õõ
ó
−
+=
Відповідь: а) х ≥ 2; б) х Є R; в) х ≤ 3; г) х ≠ 6; д) 0; е) не визначена.

- - ■ ■ - ■' ■ ■
;
Ми згадали властивості квадратного кореня. Аналогічні властивості мають і корені п-
го степеня.
Властивість 1. Для невід'ємних чисел а і в добуток коренів п-го степеня із чисел а і в
дорівнює кореню п -го степеня із їх добутку: ïïï
àââà =⋅ .
Властивість 2. Для невід'ємного числа а і додатного числа в
частка коренів п -го степеня із чисел а і в дорівнює кореню
п -го степеня із їх частки: ï
ï
ï
â
à
â
à
= .
Властивість 3. Будь-який цілий степінь κ кореня п -го степеня із невід'ємного числа а
дорівнює кореню п -го степеня із степеня κ числа а:
( ) ï
ê
ï
àà κ
=
Властивість 4. Щоб добути корінь із кореня із невід'ємного числа можна перемножити
показники коренів, а підкореневий вираз залишити без змін: mïï mm ï
ààà == .
Властивість 5. Значення кореня із степеня невід'ємного числа не зміниться, якщо
показник кореня і показник підкореневого; виразу помножити (або поділити) на одне
і те саме : натуральне число: ï mïð mð
àà = . ïïï
àââà =⋅
Властивості 1, 2 доводяться аналогічно тому, як це зроблено для квадратних коренів.
Доведемо властивості 3—5:
3) Так як а > 0, то ліва і права частини формули невід'ємні. Тому для доведення цієї рівності
досить впевнитися в тому, що п-ий степінь лівої частини дорівнює ак
. Згідно з властиво-
стями степенів з цілим показником маємо:
5) Згідно з означенням кореня ïð mð
à — це таке невід’ємне число
п-й, степінь якого дорівнює mð
à , тобто досить довести ( ) mð
ïð
ï m
àà = .
Маємо ( ) ( ) ( ) mððm
ðï
ï mmð
ïð
ï m
ààààà ==




==

V. Підсумок проведення уроку.
Повторили означення поняття кореня п-го степеня з числа, систематизували властивості
арифметичних коренів та їх застосування при перетвореннях виразів, порівнянні чисел,
обчисленнях виразів.
VІ. Домашнє завдання.
Розділ IІІ § 1 (1—2). Запитання і завдання для повторення розділу III № 1—12, 17—24.
Вправи № 14 (1, 2,4—6), № 15.
Тема уроку: Перетворення коренів.
Мета уроку: Познайомити учнів з найпростішими перетвореннями радикалів: винесення множника
за знак радикала; внесення множника під знак радикала; зведення радикалів до
найпростішого (нормального) вигляду; ознайомлення з поняттям подібних радикалів.
Розвивати пізнавальну активність учнів, логічне мислення.
Комплексно-методичне забезпечення:таблиця,плакат.
Тип уроку: формування умінь і навичок.
Метод проведення:пояснювально-практичний.
Хід уроку
І. Перевірка домашнього завдання.
1. Фронтальна бесіда за № 1—12, 17—24 із «Запитання і завдання для повторення до розділу III.
1. Виконання вправ № 9, 19 до розділу III.
II. Сприймання і усвідомлення матеріалу про винесення множника за знак радикала і
внесення множника під знак радикала.

Вивчені властивості коренів дають змогу виконувати перетворення коренів.
1. Винесення множника з під знака радикала.
В деяких випадках підкореневий вираз розкладається на множники так, що із одного чи
декількох із них можна добути точний корінь. Добувши корені із цих множників, одержані чис-
ла можна записати перед знаком кореня. Таке перетворення називається винесенням множника
за знак радикала.
Виконання вправ
1. Винесіть множники за знак радикала:
а) 4
162 ; б) 4
1250 ; в) ( )4
4
521−
;
г) ( )5 5
521 − .
Відповідь: а) 4
23 ; б) 5 4
2 ; в) ( )4
512 − ; г) ( )4
521− .
2. Винесіть множники за знак кореня, якщо а > 0, в > 0:
а)
3 118
64 âà ; б)
4 612
5 âà ; в)
3 10
128à− ; г)
3 9
54à .
Відповідь: а) 4а2
в3 3 22
âà ; б) а3
в
4 2
5â ; в) -4а3 3
2à ; г) 3а3 3
2 .
3. Винесіть множники за знак кореня:
а)
3 118
64 âà ; б)
4 612
64 âà ; в)
6 6
âà ; г)
3 10
128à− .
Відповідь: а) 4а2
в3 3 22
âà ; б) 4 23
42 ââà ; в) 6
âà ; г) -4а3 3
2à .

III. Сприймання і усвідомлення зведення радикалів до найпростішого вигляду,
поняття подібних радикалів.
Будемо вважати, що радикал приведено до простішого вигляду, якщо: підкореневий
вираз не містить дробів; раціональні множники винесено за знак кореня, показник
кореня і показник степеня підкореневого виразу скорочено на їхній найбільший
спільний множник.
Приклад. Приведемо радикали до простішого вигляду:

Радикали називаються подібними, якщо після приведення їх до простішого вигляду
вони мають рівні підкореневі вирази і однакові показники.
Наприклад, подібними є радикали:
Раціональний множник, який стоїть перед знаком радикала,
називається коефіцієнтом. Наприклад, 53 цьому виразі 3 є
коефіцієнтом.
Щоб стверджувати, що радикали подібні чи ні, їх треба при-' вести до простішого
вигляду.
Наприклад, 3
54 і 3
16 подібні, оскільки 333
2322754 =⋅= ,
а 333
222816 =⋅= .
1. Виконання вправ № 49, 50 до розділу III.
IV. Підведення підсумків уроку.
Познайомилися з найпростішими перетвореннями радикалів: винесення множника за знак
радикала; внесення множника під знак радикала; зведення радикалів до найпростішого
(нормального) вигляду; ознайомилися з поняттям подібних радикалів.
Оголошення оцінок.
V. Домашнє завдання.
Розділ III § 1(3; 4). Запитання і завдання для повторення розділу III № 25-^37. Вправи №
28, 33 (1—3), 48X1— 3).
Тема уроку: Порівняння радикалів.
Мета уроку: Формування умінь учнів порівнювати радикали.
Розвивати пізнавальну активність учнів, логічне мислення,увагу.
Виховувати акуратність ведення записів, впевненість в своїх силах , позитивну
мотивацію до навчання.
Комплексно-методичне забезпечення:картки з завданнями для самостійної роботи.
Тип уроку: комбінований.
Хід уроку
1. Фронтальна бесіда за № 25—37 із «Запитання і завдання для повторення» до розділу
III.
2. Самостійна робота.

II. Сприймання і усвідомлення матеріалу про порівняння радикалів.
Для порівняння радикалів застосовується теорема:
Теорема: Якщо а> в ≥ 0, то ï
à > ï
â , тобто більшому додатному підкореневому виразу
відповідає і більше значення кореня.
Доведення
Проведемо доведення методом від супротивного; Припустимо,
ï
à < ï
â . Тоді за властивістю степенів з натуральним показником маємо ( ï
à )п
< ( ï
â )п
, Тобто а < в. А це суперечить умові а >в.
Приклад. Порівняємо числа 3
2 і 5
3
Подамо 3
2 і 5
3 у вигляді коренів з одним і тим самим показни-
ком: 1515 53
3222 == , а 1515 35
2733 == . Згідно з доведеною
теоремою, так як 32 > 27, то15
32 >15
27 , а отже, 3
2 > 5
3 .

Підведення підсумків уроку.
III. Домашнє завдання.
Запитааня і завдання для. повторення до розділу III №13—15, 47. Вправи № 22, 26, 38.

Тема уроку: Дії над радикалами.
Мета уроку: Познайомити учнів з діями над радикалами: додавання і віднімання, множення і
ділення; піднесення радикаладостепеня;добуваннякоренів радикалів , зведення
до раціонального вигляду членів дробових ірраціональних виразі в.
Комплексно-методичне забезпечення:таблиця,плакат.
Тип уроку: засвоєння нових знань.
Метод проведення:пояснення.
Хід уроку
1. Три учні відтворюються розв'язування вправ № 22, 26 і 38 на дошці.
2. У цей час клас порівнює (усно) вирази, подані в таблиці 15.

3. Відповіді на запитання учнів, що виникли в процесі виконання домашнього завдання. '
II. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу.
1. Додавання і віднімання радикалів виконуєшся так само, як і додавання і віднімання
раціональних одночленів (многочленів).
Приклади:
2. Примноженні (діленні) радикалів з різними показняками спо
чатку їх треба привести до одного показника, а потім перемно
жити (поділити) підкореневі вирази і записати добуток (час
тку) під знак кореня з тим самим показником.
Приклади:
3.При піднесенні радикала до степеня, можна підвести до цього
степеня підкореневий вираз, залишивши той самий показник кореня.
Наприклад:
4. Щоб добути корінь із радикала, можна із підкореневого виразу
добути корінь з показником, що дорівнює добутку двох даних
показників.
5.У деяких задачах корисно звільнятися від ірраціональних виразів у
знаменнику дробу.
Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу — це означає

перетворити дріб, знаменник якого містить корені, до нового
дробу, тотожно рівному даному, знаменник якого коренів не
містить.
Якщо знаменник дробу являє собою радикал чи добуток радикала
на раціональний множник, то слід чисельник і знаменник дробу
домножити на таку степінь кореня того-самогО показника, щоб
отримати степінь з показником, що дорівнює по-казнику кореня.
Якщо знаменник дробу є сума (або різниця) Квадратних ра-
дикалів, то дріб можна привести до раціонального вигляду,
помноживши чисельник і знаменник на різницю (або на суму) тих
самих радикалів.
Якщо знаменник дробу є сума (різниця) кубічних: радикалів, то, щоб
позбутися ірраціональності в знаменнику, слід домножити чисельник
і знаменник дробу на неповний квадрат різниці (суми) тих самих
радикалів.
Наприклад:
Виконання вправ № 57 (2, 6), 58 (4, 5)..
Ш. Підведення підсумків уроку.
IV. Домашнє завдання.
Розділ Ш § 1 (5). Запитання і завдання для повторення розділу ІіШ
38—46. Вправи № 19 (б), 40, 57 (1, 5), 58 (1).

Тема:Ірраціональні рівняння.
Мета:Познайомити учнів з методами розв’язування ірраціональних
рівнянь. Формування умінь розв’язувати ірраціональних рівнянь.
Розвивати пізнавальну активність учнів, логічне мислення,
уміння аналізувати, робити висновки.
Виховувати пізнавальний інтерес до предмета,позитивну
мотивацію до навчання, увагу, спостережливість.
Комплексно-методичне забезпечення:таблиця,плакат
Хід уроку
І.Організаційний етап.
Учитись не легко буває,
Та наука завжди хороша.
Кожна в світі людина знає,
Що знання – то найлегша
І найцінніша ноша.
ІІ. Перевірка домашнього завдання.

1.Фронтальна бесіда за запитаннями № 38—46 із «Запитання і
завдання для повторення до розділу III».
2.Розв'язування вправ, аналогічних до домашніх.
а) Обчислити .552552 33
+⋅−
Відповідь: 3.
б) Обчислити .116116
2




 ++−
Відповідь: 22.
в)ІІозбутися ірраціональності в знаменнику дробу:
22
22
+
−
.
Відповідь: 223 − .
г) Позбутися ірраціональності в знаменнику дробу: 3
21
1
−
.
Відповідь: .142 33
−−−
ІІІ.Мотивація навчання.
Рівняння — одна з провідних тем шкільного курсу математики,
оскільки розв'язування багатьох практичних задач зводиться до
складання й розв'язування рівнянь. Причому багато задач,
різноманітних за змістом і з різних галузей діяльності людини,
зводяться до рівняння певного типу, яке служить знаковою моделлю цієї
групи задач. Уміння розв'язувати певний тип рівнянь дає можливість
розв'язувати цілу групу задач. Метод рівнянь — один з математичних
методів пізнання реальної дійсності.
ІV. Сприймання і усвідомлення методів розв'язування
ірраціональних рівнянь
Означення. Рівняння, що містять невідоме під знаком кореня, на-
зивається ірраціональними.
Наприклад,
õõõõõ −=−−=−= 31,232,43
Розв'язання ірраціональних рівнянь, як правило, зводиться до
переходу від ірраціонального до раціонального рівняння шляхом:
а) піднесення обох частин рівняння до одного степеня;
б) спеціальних замін.

(Оскільки а2к
>0, то ОДЗ вихідного рівняння врахована автоматично)
Розв'язування ірраціональних рівнянь ґрунтується на приве-
денні їх за допомогою деяких перетворень до раціонального рів-
няння. Як правило, це досягається піднесенням обох частин ірра-
ціонального рівняння до одного і того самого степеня (інколи
декілька разів).
При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня одер-
жане рівняння може мати корені, що не задовольняють даному
рівнянню. Такі корені називаються сторонніми для даного рівняння.
(Це відбувається тому, що із рівності парних степенів двох чисел
не слідує рівність цих чисел. Наприклад: (-5)2
= 52
, але (-5) ≠ 5).
Тому слід обов'язково робити перевірку одержаних коренів.
Приклад 1. Розв'яжіть рівняння 31 −=+õ .
Якщо рівняння містить корені другого степеня, то перед підне-
сенням обох частин рівняння до квадрата один з коренів відокрем-
люється.
Приклад 4. Розв'яжіть рівняння
6315 =−+− õõ
Розв'язання
6315 =−+− õõ
Перенесемо вираз õ−3 до правої частини рівняння та піднесемо
обидві його частини до квадрата.

Дістанемо:
( ) ( )22
3615 õõ −−=−
15-х = 39-х-12 õ−3
12 õ−3 = 24
õ−3 = 2
х = -1
Перевірка
.6416
;6)1(3)1(15
=+
=−−+−−
Оскільки здобута рівність правильна, то х = -1 — корінь рівняння.
Відповідь.-1.
V. Формування умінь розв'язувати ірраціональні рівняння.
Виконання вправ №6 62 (2), 63 (2), 64 (2), 67 (1, 2).
VІ.Підведення підсумків уроку.
Повторили поняття ірраціонального рівняння, рівносильних рівнянь.
Систематизували знання правил утворення рівносильних рівнянь,
з'ясували випадки, коли необхідно обов'язково перевіряти одержані
розв'язки підстановкою їх в дане рівняння. Розглянули приклади
розв'язування найпростіших ірраціональних рівнянь. Набули навичок і
вмінь розв’язувати ірраціональні рівняння.
VІІ. Домашнє завдання.
Розділ ІН § 2 (1). Запитання і завдання до розділу III № 49—53.
Вправи № 62 (1), 63 (1), 71 (1), 65.

Тема уроку: Розв'язування ірраціональних рівнянь, систем з ірра-
ціональними рівняннями.
Мета уроку: Формування умінь розв'язувати ірраціональні рівняння,
системи з ірраціональними рівняннями.
Комплексно-методичне забезпечення:таблиця,плакат
Хід уроку
1. Відповіді на запитання учнів, що виникли в процесі виконання
домашніх завдань.
2. Фронтальна бесіда за питаннями № 49—53 із «Запитання і
завдання для повторення» до розділу III.
3. Усне розв'язування рівнянь (таблиця 16).

II. Формування умінь розв'язувати ірраціональні рівняння.
Колективне розв'язування вправ
1. Розв'яжіть рівняння х2
+ Зх -18 + 4 0632
=−+ õõ .
Домножимо чисельник і знаменник дробу лівої частини рівняння на
õõ −++ 2121 .

Звідси х = 0,х = 7
Перевіркою впевняємося, що обидві корені є коренями даного
рівняння.
Відповідь: 0; 7.
ІІІ. Формування умінь розв'язувати системи з ірраціональними
рівняннями.
Колективне розв'язування вправ
1. Розв'яжіть систему рівнянь




=−
=+
2
4
óõ
óõ
Розв’язання
Додавши почленно ліві і праві частини
рівнянь, одержуємо ,62 =õ звідси õ = 3 ,
х = 9.
Віднявши почленно ліві і праві частини рівнянь, одержуємо
22 =ó , звідси 1=ó .
Відповідь:(9; 1).

ІП. Підведення підсумків уроку.
IV. Домашнє завдання.
Розділ ПІ § 2 (2). Запитання і завдання для повторення розділу Ш №
54. Вправи № 71 (3), 67 (1), 79 (1).

Тема:Розв'язування ірраціональних рівнянь
Мета: узагальнити і систематизувати знання учнів про ірраціональні
рівняння; ознайомити з новими способами їх розв'язання; формувати
вміння застосовувати набуті знання вновихситуаціях;
творче мислення.
мотивацію до навчання,швидкість реакції, вміння
вболівати за команду.
Комплексно-методичне забезпечення:картки з завданнями, таблички з
назвами команд, матеріали для повідомлень учнів.
Тип уроку: узагальнення та систематизація знань умінь і навичок.
Метод проведення:урок- гра «Щасливий випадок».
Хід уроку
I. Вступ
Учитель.Напопередніхуроках ми вчилися розв'язувати ірраціональні
рівняння. Сьогодні ми підіб'ємо підсумок вивченого. Урокпроведемо
уформігри-змагання«Щасливийвипадок».
Грапроходитьу7геймів.Угріберуть участь три команди: õ , ó , z .
Заправильнувідповідькожна команда отримує жетон. За кількістю
зібраних жетонів визначаютькоманду-переможницю.
II.Проведення гри
Гейм1«Теоретичний»
1. Які рівняння називаються ірраціональними?
2. Які ви знаєте способи розв'язання ірраціональних рівнянь?
3. Який учений запропонував спосіб розв'язання рівнянь, зводячи їх до
раціональних?
4. Розв'яжіть рівняння (усно):
а) õ =-2;
б) 1+õ =1;
в) 313
=+õ ;

Гейм2«Історичний»
Ми маємо справу з ірраціональними виразами, ірраціональними
рівняннями. Хто увів термін «ірраціональні» числа? Запропонував метод
розв'язування ірраціональних рівнянь? Учні кожної групи підготували
повідомлення за цією темою.
Група « õ » —проірраціональні числа.
Ірраціональні числа
Термін «раціональне число» з латини ratio — відношення, є перекладом
грецького слова «логос», а нераціональне число —-«алогос». У V—VI
століттях римські авториМ..КапеллаіКасиодорперекладали ці терміни на
латинь словами rationalis та irrationalis.
Математики Індії, Близького та Середнього Сходу, розвиваючи алгебру,
тригонометрію і астрономію, не могли обійтися без ірраціональних
величин,якідовгий час невизнавалися за числа.
Араби переклали цей термін як «асамм», пізніше європейські перекладачі
з арабської на латинь переклалияк«сурдус»—глухий.
Нідерландський математик Симон Стевін писав: «Ми доходимо висновку,
шо немає абсурдних, ірраціональних, неправильних, непояснених або
глухих чисел, але серед чисел є така досконалість і згода, що нам треба
мислитиднііночінадїхвражаючою закономірністю».
Групаг
« ó » —проісторіюпоходження знака кореня.
З історії походження кореня
Назва «радикал» походить від латинських слів radix — корінь та radicals —
корінний.
Починаючи з ХІІІ ст., європейські математики позначали корінь цим

словом,або скорочено r . У1525р.у книжці чеського математика Христофа
Рудольфа (1500-1545) «Швидка і красива лічба за допомогою вправних
правил алгебри» з'явилося позначення для знака квадратного
кореня, корінь кубічний позначався .
У1626 р. голландський математик Альберт Жирар (1595-1632) увів
позначення 3
— корінь у степені, при цьому над підкореневим виразом
ставили горизонтальну риску.
Сучасне позначення кореня вперше з'явилося в книжці французького
філософа, математика і фізикаРенеДекарта(1596—1650)«Геометрія», виданій
у1637році.
Група « z » — про ірраціональні рівняння.
Ірраціональне рівняння
Французький математик Нікола Шюке (1445-1500) у рукописній праці
«Наука про числа у 3-х частинах» запропонував правила обчислень з
раціональними та ірраціональними числами, вчення про рівняння. Праця
Шюке залишилася рукописною і не була поширена. П'єр Ферма (1601-
1665) у середині XVII ст. запропонував загальний метод розв'язування
ірраціональних рівнянь, зводячи їх досистеми цілих алгебраїчних рівнянь.
Гейм3«Домашнєзавдання»
Кожна група, готуючись до уроку, отримала завдання розв'язати рівняння
6315 =−+− õõ різними способами.
Послухаємовиступиучнів.
Група« ó »
Спосіб1.Піднесеннядостепеня:
6315 =−+− õõ
Перенесемо вираз õ−3 до правої частини рівняння та піднесемо
обидві його частини до квадрата.
Дістанемо:
( ) ( )22
3615 õõ −−=−
15-х = 39-х-12 õ−3
12 õ−3 = 24
õ−3 = 2
х = -1
Перевірка

.6416
;6)1(3)1(15
=+
=−−+−−
Оскільки здобута рівність правильна, то х = -1 — корінь рівняння.
Відповідь.-1.
Група« z »
Спосіб II. Зведеннядосистеми раціональних рівнянь:
Група« õ »
Спосіб III. Помножимо обидві частини рівняння на вираз, спряжений лівій
частині:
( )⋅−+− õõ 315 ( ) ( ),3156315 õõõõ −−−=−−−
Перевірка.
Відповідь.- 1.
Гейм 4 «Практичний»
На одному прикладі ви проілюстрували, як ірраціональне рівняння
можна розв'язати різними способами. Але необхідно вибрати

найпростіший, найцікавіший спосіб.
Запропоновані вправи розв'яжіть одним зі способів.
Колективне розв'язування вправ:
1.х-1 = .13 2
−− õõ
Відповідь.0 і 2.
2. .24848 33
=+−+ õõ
Відповідь. .
2
1
;
2
1
3. .53054
−−=− õõ
Відповідь. 630.
Гейм 5 «Темна конячка»
Розв'яжіть самостійно рівняння і розшифруйте слово.
Група« õ »
а) [ ].18;393
−−=−õ
б) [ ]4.44 −−−=+ õõ
Група« ó »
а) [ ].66;2283 2
−=− ³õ
6) [ ]0.42 +=+ õõ
Гейм 6 «Ерудити»
Сьогодні ми зупинимось на розв'язуванні складних ірраціональних
рівнянь, ознайомимося з нестандартними способами їх розв'язання.
Повідомлення учнів.
1. Розглянемо рівняння, в розв'язуванні яких використовується
теорема Вейєрштрасса.
Теорема. Якщо послідовність монотонна та обмежена, то вона має
границю.

22 =+++ õõõ
Замість числа 2, що стоїть під знаком кореня, підставимо його
значення.
22 =++++++ õõõõõõ .
Продовжуючи цей процес, дістанемо ряд, який містить нескінченну
кількість членів
4... =++++ õõõõ ,
де 2... =++++ õõõõ
Застосовуючи теорему Вейєрштрасса, дістанемо:
х+2 = 4, х=2.
Відповідь. 2.
2. Застосування властивостей функції до розв'язання ірраціо-
нальних рівнянь.
.
2
cos1 4040 õ
õõ =++
Гейм 7 «Поетичний»
Кожна група повинна скласти сенкан про ірраціональні рівняння.
Група« õ »
Ірраціональні рівняння.
Гарні, потрібні.

Розв'язуємо, мислимо,застосовуємо.
Розв'язуємо з великим задоволенням.
Група« ó »
Важливі, захоплюючі.
Розв'язувати, думати, розбирати. .
Розв'язуємо рівняння для тренування.
Група« z »
Чудові, необхідні.
Розв'язувати, зводити, підносити.
Ірраціональні рівняння розв'язуємо легко.
III. Підсумок уроку-гри
Мидорослі тасерйозні,
МиприйшлинаІкурс,
Часудоситьприділяєм—
Нелегкінауки внас.
Клас9-йзакінчили,
Всіекзамениздали,
Ітепердорослістали,
Внасзавданнянелегкі.
Математику—царицю,
Требавчитиденьініч,
Аякщолінитисьбудем,
Трапитьсяжахливаріч;
Всезагубимо,забудем,
Бобезнеїнікуди!
Всенасвітіпідкорилось
Ційнауціназавжди!

Тема уроку: Розв'язування ірраціональних нерівностей;
Мета уроку: Познайомити учнів з узагальненим методом інтервалів.
Формування умінь розв'язуватиірраціональні
нерівності.
Комплексно-методичне забезпечення:картки з завданнями для
самостійної роботи, таблиці з малюнками.
Хід уроку
1. Перевірити розв'язування вправ № 71 (3), 67 (І), 79.(1) за .
розв'язаннями на дошці, заготовленими до уроку.
2. Самостійна робота.
II. Сприймання і усвідомлення узагальненого методу
інтервалів розв'язування нерівностей.
Розв'язком нерівності f(х) > 0
(f(х) < 0) можуть бути тільки числа, що входять в область визначення
функції у = f(х) . Розв'язком нерівності f(х) > 0 є ті інтервали області
визначення функції у = f(х) , на яких ця функція додатна. З'ясуємо,
яким чином довільна функція може змінити свій знак.
На рис. зображено графіки двох функцій. На рис. 1 графік
розривається в точках х = - 1і х = 1 і
Рис. 1

знак функції змінюється при переході
через точки -1 і 1. На рис. 2 знак
функції змінюється при переході графі-
ка з нижньої півплощини .у верхню (і
навпаки), тобто в тих точках, де графік
перетинає вісь ОХ. На осі ОХ значення
функції дорівнює нулю, тому значення Рис.2
аргумента, при яких функція дорівнює 0, називаються нулями функції.
Отже,будь-яка функція може змінювати свій знак тільки в точках, де
розривається графік функції, або в нулях.
Отже, щоб розв'язати нерівність f(х) > 0 (f(х) < 0) треба:
1.Знайти область визначення функції у = f(х) . (Коли ми знаходимо область
визначення функції, то при цьому виділяються і точки, у яких розривається
графік функції).
2.Знайти нулі функції (розв'язати рівняння f(х) = 0).
3.На координатній,прямій позначити нулі функції на області визначення
функції і визначити знак функції на кожному інтервалі, на які розбивають
нулі область визначення (у кожному із цих інтервалів функція зберігає знак,
і його можна визначити в якій-небудь точці цього інтервалу).
4. Записати відповідь (вибрати інтервали, де функція має потрібний знак).
Розв'язування нерівності таким чином називається розв'язуванням нерівності методом
інтервалів.
Розв'яжемо нерівність із вправи 85 (6): ( )( )52 −+ õõ < 8 - х.
Приведено нерівність до вигляду ( )( )52 −+ õõ - 8 + х < 0 .
Введемо функцію у = ( )( )52 −+ õõ - 8 + х і знайдемо значення х,
при яких у < 0. Для цього:
1.Знайдемо область визначення функції:
(х + 2)(х-5) ≥ 0 D(у) = ( ] [ ∞∪−∞− ;52; )
(рис. 3).
Рис. 3
2. Знайдемо нулі функції:
( )( )52 −+ õõ - 8 + х = 0. ( )( )52 −+ õõ = 8 - х.
(х + 2)(х - 5) = 64 - 16х + х2
, х2
– 3х - 10 = 64 – 16х + х2
13х = 74, х =
13
9
5 .
3. Наносимо нуль функції на область
визначення функції:
Знаходимо знак на кожному з
трьох інтервалів, на які розбивається
область визначення нулем функції:

Розв'язування вправи №85(2;3).
III. Підведення підсумків уроку.
ІV.Домашнє завдання.Вправа № 85 (І, 3) до розділу Ш.
Тема уроку: Узагальнення поняття степеня.
Мета уроку: Формування поняття степеня з раціональним показником,
степінь з ірраціональним показником.
Комплексно-методичне забезпечення:таблиця,плакати.
Хід уроку
1. Відповіді на запитання, що виникли в учнів при розв'язуванні
домашнього завдання.
2. Колективне розв'язування неівності 2
4 õõ − <4-х.
Відповідь: 0 < х < 2.
II. Повторення і систематизація знань учнів про степінь а
натуральним і цілим показником.
Повторення І систематизацію знань учнів про степінь із нату
ральним і цілим показником рекомендується провести шляхом
бесіди з використанням таблиці 1.
Питання до класу:
1. Що називається л-м степенем числа а, якщо п Є N? якщо n = 1? п
= 0?
1. Що таке степінь, основа степеня, показник степеня?
2. Що називається п -м степенем числа а, якщо п Є Z?
3. Сформулюйте основні властивості Степенів.
Таблиця 1

ІІІ. Формування поняття степеня з дробовим показником.
Введемо поняття степеня з дробовим показником. Вводячи це
поняття, хотілося би, щоб степінь з раціональним показником мав
ті самі властивості, що й степінь із цілим показником. Зо-
крема, п -й степінь числа а n
m
повинен дорівнювати ат
. Якщо ця
властивість виконується, то( а n
m
)n
= а ï
n
m
⋅
= ат
- а це означає (за
Степінь, числа 0 визначений тільки для додатних показників; за
означенням 0r
= 0 для будь-якого r > 0.І
Виконаннявправ
IV. Вивчення властивостей степенів з раціональним
показником.

Для будь-яких раціональних чисел р і q і будь-яких додатних
а і в справедливі рівності:
Виконання вправ № 99 (2), 100 (2), Ш (2), 103 (3, 4).
V. Сприймання поняття про степінь з ірраціональним
показником.
Розглянемо степінь 10 2 з ірраціональним показником 2
Ірраціональне число 2 можна подати у вигляді нескінченного
неперіодичного десяткового дробу.
Розглянемо послідовність наближень числа
1< 2 <2,
1,4 < 2 < 1,5,
1,41< 2 <1,42,
1,414 < 2 < 1,415,
1,4142 < 2 < 1,4143,
Наведені значення з недостачею і надлишком наближаються
ідо одного і того самого числа 10 2 = 25,9..., яке і прийнято вва-

жати степенем числа 10 з показником 2 .
Таким чином, ми розширили поняття степеня на будь-які дійсні
показники, зберігаючи при цьому властивості степенів.
VI. Підведення підсумків уроку.
VII.Домашнє завдання.
Розділ ІII § 3 (1—3). Запитання 1 завдання для повторення до .
розділу ПІ №56—66. Вправи №№ 99 (1), 100 (1), 108 (1, 2).
Тема уроку: Степенева функція.
Метауроку: Познайомитиучнів ізстепеневоюфункцією,їївластивостями
і графіками.
Розвивати пізнавальну активність учнів,логічне мислення.
Комплексно-методичне забезпечення:таблиці,плакати.
Тип уроку: Урок засвоєння нових знань.
Метод проведення:пояснювально-ілюстративний.
1. Перевірити наявність виконаного домашнього завдання.
2. Розв'язування вправ.
II. Сприймання і усвідомлення матеріалу про степеневу функцію.
Степеневою функцією називається функція виду у = хр
, де —
постійне дійсне число, а х (основа) -— змінна. Згадаємо властивості
степеневих функцій, їхні графіки. Результати наших досліджень
будемо записувати в таблицю .

Коментарі вчителя
1. Якщо р = 2k, k Є Z, то функція у = х2k
. Якщо k = 1, то ця
функція має вигляд у = х2
. Згадаємо її основні властивості.
Функція у =х2
:
—визначена для будь-якого дійсного х;
— додатна при х ≠ 0 і дорівнює 0 при х = 0;
— приймає всі невід'ємні значення;
— парна (графік симетричний відносно осі ОУ);
— спадає, якщо х є ( ]0;∞− і зростає, якщо х є[ ∞−+;0 ).
Такі саме властивості має функція у = х2k
.
2. Якщо р = 1, то функція має вигляд у = х (графік— пряма,
що проходить.через початок координат і ділить перший і
третій координатний кути пополам). Якщо р = 3, то ця функція має вигляд у =

х3
.Функція у = х3
:
— визначена, для будь-якого дійсного х;
— додатна при х>0 відємна прих < 0 і дорівнює 0 при х = 0;
— зростаюча;
— приймає всі дійсні значення;
— непарна (графік симетричний відносно початку координат), Такі самі властивості має
степенева функція у = х2k+1
, k є N.
3. Розглянемо функцію у= 2
1
õ
. Ця функція визначена при х ≠ 0
і приймає всі додатні значення. Функція парна (графік симетричний відносно осі 0У).При
х < 0 функція зростає, а при х > 0 — спадає. Такі саме властивості має степенева функція
у = κ
κ
2
2 1
õ
õ =−
, k Є N .
4. Якщо р= -1, то функція має вигляд у =
õ
õ
11
=−
. Ця функ-
ція визначена при х ≠ 0. ІІри х > 0 функція у =
õ
1
— приймає додатні значення, а
при х<0 - від'ємні. При х > 0 функція у =
õ
1
спадає, і при х <0 спадає.
Такі саме властивості має степенева функція у= 12
)12( 1
−
−−
= κ
κ
õ
õ , k Є N .
5-6. Згадаємо властивості функції у = õ . Отже, функція у= õ :
— визначена при 0≥õ ;
— додатна при х > 0 і дорівнює нулю при х =0;
— зростає,на всій області визначення;
— приймає всі невід'ємні значення.
Якщо р —додатне раціональне число, то степенева функція у=хр
визначена при
0≥õ і має такі саме властивості, які
функція у= õ .
III.Осмислення вивченого матеріалу.
Виконання № 78—85 із «Запитання і завдання для повторення» розділу III.
IV. Підсумок уроку.
V. Домашнє завдання.
Розділ ІП § 3(4). Запитання і завдання для повторення розді-
лу III № 67-77. Підготуватися до тематичного оцінювання.
Тема:Тематичне оцінювання з теми « Степенева функція».
Мета: Перевірити якість засвоєння учнями основних понять і властивостей теми,
виявити рівень вмінь і навичок застосування їх на практиці;

Розвивати пізнавальну активність учнів,логічне мислення,розвивати техніку
обчислень, творчу та розумову активність, виховувати впевненість у своїх
силах, колективізм та самостійність.
Виховувати пізнавальний інтерес до предмета,позитивну мотивацію до
навчання,швидкість реакції, вміння вболівати за команду.
Комплексно-методичне забезпечення: Круг-рулетка. поділений на п'ять секторів, колір
яких відповідає кольору запитань, мішечок з бочечками-номерами, підкова, таблиці.
Тип уроку: Перевірки, оцінки і корекції знань, умінь і навичок.
Метод проведення: Урок-інтелектуальна гра «Щасливий випадок».
Хід уроку
І.Актуалізація опорах звань.
Клас поділений на дві команди За кожним геймом стежить суддівська колегія (2 учні — по
1-му з кожної команди) та оголошує результати.
І гейм «Далі, далі...»
Представник команди на рулетці визначає колір запитань, а вчитель я» свій розсуд ставить
команді 4-5 запитань із числа запропонованих для підготовки.
Якщо випав сектор з підковою, команда має право вибору кольору запитань і номерів.
Правильна відповідь — 1 бал.
Червоний колір
1. Що називається коренем п-го стереня з числа а?
2. Як добути корінь п -го степеня з добутку невід'ємних множників?
3. Як піднести радикал до степеня?
4.Що означає вираз «звести радикал до нормального вигляду»?
5. Як звільнитись від ірраціональності у чисельнику?
6.Що називають степенем числа а з натуральним показником п > 1 ?
7. Як піднести до степеня дріб?
Зелений колір
1. Який знак має корінь непарного степеня з додатного числа?
2. Чому дорівнює добуток коренів п -го степеня з
невід'ємних чисел а і в?
3. Сформулюйте основну властивість арифметичного
кореня п -го степеня?
4.Які радикали називають подібними?
5.Які рівняння називають ірраціональними?
6. Як перемножити степені з однаковою основою а ≠ 0?
7.Як піднести до степеня степінь?
Синій колір
1.Для якої дії добування кореня є оберненою дією?
2.Чому дорівнює частка коренів п -го степеня з чисел а і в?
3.Як винести множник за знак радикала?
4.Як добути корінь з кореня?
5.Як розв'язати ірраціональне рівняння?
6.Як поділити степені з однаковою основою?
7.Дайте означення степеня з раціональним показни-
ком.

Жовтий колір
1. Що називається арифметичним коренем п -го степеня з невід'ємного числа а ?
2. Як добути корінь п -го степеї я з частки від ділення невід'ємного числа а на додатне
число в?
3.Як внести множник під знак радикала?
4.Як звільнитись від ірраціональності у знаменнику?
5.Як розв'язати систему ірраціональних рівнянь?
6.Як піднести до степеня добуток?
7.Яку функцію називають степеневою?
II бліц-геим.
Протягом 1 хв команда повинна відповісти на якомога більшу кількість запитань. Колір
запитань визначається рулеткою. Сектор з підковою — запитання запитання з повторення.
Правильна відповідь — 1 бал.
П.Тренувальні вправи.
ІІІ гейм «Заморочкн з бочки».
Представники команд вибирають бочечку з номером завдання. Команди виконують
завдання. Кількість балів за правильне виконання оголошується перед кожним
завданням. Сектор з підковою -право вибору кольору й номера завдання.
Бочечка з підковою — «щасливий випадок» — команда автоматично отримує максимальні
3 бали і передає хід другій команді.

П.Тренувальні вправи.
ІІІ гейм «Заморочкн з бочки».
Представники команд вибирають бочечку з номером завдання. Команди виконують
завдання. Кількість балів за правильне виконання оголошується перед кожним
завданням. Сектор з підковою -право вибору кольору й номера завдання.
Бочечка з підковою — «щасливий випадок» — команда автоматично отримує максимальні
3 бали і передає хід другій команді.
IV гейм «Двобій команд».
Команда розв'язує, завдання, яке їй пропонує друга команда. Якщо команда не
справляється із завданням, отримує 0 балів, якщо свого завдання команда — від її не
розв'язує рахунку віднімають 3 бали.
ІІІ. Підсумок уроку.
ІV. Домашнє завдання.

5 ___

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (6)

Similar to 5 ___

Similar to 5 ___ (20)

5 ___