Pembahasan dasar perancangan filter digital dengan metode IIR

1. PERANCANGAN FILTER IIR
Bersama:
Tri Budi Santoso
Laboratorium Multimedia Commmunication
Lantai 10, Gedung Pasca sarjana Terapan
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya,
tribudi@pens.ac.id

2. Outline:
o Gambaran Umum Filter IIR
o Pengujian Kestabilan
o Realisasi Topologi untuk Filter IIR
 Realisasi dengan Direct Form
 Realisasi dengan Cascade
o Approximation Filter IIR
 Metode IIR
 Metode BZT

3. 4. Approximation Filter IIR
Ada tiga metode approximation pada filter IIR yang cukup
populer, yaitu:
• Metode IIR
• Metode BZT
• Least Pth-norm method
Pada penyampaian kuliah ini, kita akan
membahas dua metode yang pertama

4. 4.1. Metode IIR (Invariant Impulse Response)
Approximation Filter IIR
Metode IIR diturunkan dari respon impulse ekivalen analog filter.
Metode ini sering digunakan untuk LPF dan BPF, tetapi jarang
digunakan HPF dan BSF.
Secara umum langkah-langkahnya adalah sbb:
1. Dapatkan H(s), fungsi transfer waktu kontinyu dari suatu filter
analog yang memenuhi persyaratan magnitude response yang
diinginkan
2. Invers Laplace pada H(s) untuk mendapatkan responi mpulse, h(t)
3. Turunkan versi diskrit dari h(t)  h(nT)
4. Aplikasikan transformasi Z pada h(nT) untuk memperoleh H(Z).

5. Contoh (example 6.17)
Approximation Filter IIR
Suatu filter IIR diformulasikan dengan sebuah
mapping bidang-s seperti pada Gambar.
Lakukan proses approximation dengan metode
Invariant Impulse Response (IIR method).
Penyelesaian:
1. Mendapatkan G(s)
Dari gambaran tersebut, bisa disusun fungsi
transfer domain-s
Dengan ekspansi pecah parsial, diperoleh:
  00
)(


jSjS
S
SH



   00
2/12/1
)(
 jSjS
SH





6. 2. Mendapatkan respon impulse, h(t):
Dengan operasi invers Laplace, maka:
 
   
   
)(
2
1
2
1
2/12/1
)()(
00
0
1
0
1
1
tuee
jS
L
jS
L
SHLth
tjtj



































0;0
0;1
)(
t
t
tu
3. Mendapatkan versi diskrit, h(t)  h(nT):
   






  nTjnTj
eenTh 00
2
1
2
1
)( 

7. 4. Domain-Z diperoleh dengan mapping melalui transformasi-Z:
 
   
   
221
0
1
0
11
..cos21
.cos1
1
2/1
1
2/1
2
1
2
1
)()(
00
00



















ZeZTe
ZTe
ZeZe
eeZ
nThZZH
TT
T
nTjnTj
nTjnTj






Bisa ditetapkan untuk:
a0 = 1; a1 = eT cos 0T; b1 = 2eT cos 0T; b2 = e2T;
Realisasi dalam Canonical form (direct form II), seperti berikut:

8. Approximation Filter IIR
• Dalam realisasi tidak selalu menggunakan direct form II (Canonical
Form), tetapi didasarkan yang paling efisien dan memungkinkan.
• Sehingga bisa menggunakan bentuk realisasi yang lain.
• Berikutnya adalah analisa kestabilan sistem……

9. Approximation Filter IIR
Analisa Kestabilan Sistem:
Kita modifikasi bentuk H(Z) menjadi sbb:
Dengan metode faktoriasai diperoleh:
Kita dapatkan nilai zero: Z1 = 0; Z2 = eTcos0T
Nilai pole: P1,2 = eT cos 0T + j eT sin0T
TT
T
eZTeZ
ZTeZ
ZH 








.cos2
.cos
)(
0
2
1
0
2
 
     TjTeZTjTeZ
TeZZ
ZH TT
T
0000
0
1
sincossincos
cos
)(






 


11. 4.2. Metode BZT (Bilinear Z-Transform)
• Metode BZT dianggap lebih efisien, dengan melakukan
mapping langsung ke domain Z.
• Konsep diawali dengan memodifikasi bidang-S.
Approximation Filter IIR
S S1
band unlimited menjadi band limited

12. Approximation Filter IIR
2/2/
2/2/
1
11
11
2
2
tanh
2
TSTS
TSTS
ee
ee
T
TS
T
S 










Subtitusi fekuensi analog S  j untuk frekuensi digital, didapatkan S1  jW,
maka:
Memberikan: atau:
Dengan menerapkan:
Maka diperoleh:
Yang merupakan persamaan BZT





 W



 WW
WW
2
tan
22
2/2/
2/2/
T
j
Tee
ee
T
j TjTj
TjTj






 W

2
tan
2 T
T
 





W 
2
tan
2 1 T
T

TS
eZ 1

1
1
1
12





Z
Z
T
S

13. Approximation Filter IIR
Mapping frekuensi analog ke frekuensi digital akan memunculkan
masalah, linear hanya terjadi pada nilai W kecil:
- Menimbulkan distorsi frekuensi atau ‘warping’
- Perlu dilakukan prewarping:
Proses design menggunakan BZT dapat diringkas sbb:
1. Proses prewarp frekuensi Wi dengan pers:
2. Gunakan pole-zero hasil prewarp untuk menyusun fungsi transfer
3. Gunakan BZT untuk mendapatkan:





 W

2
tan
2 T
T

1
1
1
12)()(






Z
Z
T
S
SHZH

14. Contoh:
Suatu first order LPF memiliki frekuensi cut-off 100 Hz. Anggap frekuensi
sampling senilai 1000 Hz, Gunakan metode BZT untuk approximation.
Penyelesaian:
Freq cut off: WC =100 x 2 x p = 628 rad/s dan T = 0,001 s
Maka: WC T =0,628 rad.
1. Prewarping memberikan:
2. Menyusun fungsi transfer:
Fungsi transfer pada suatu first order LPF ternormalisasi :
Untuk normalisasi H(Z), subtitusikan S dengan S/C
3247,0314,0tan
2
2
tan
2

W

T
T
T
C
C
1
1
)(


S
ZHn
C
C
d
S
ZH



)(

15. 3. Aplikasikan BZT:
Dengan langkah ini akan diperoleh formulasi BZT sbb:
Selanjutnya kita peroleh:
Bagi kedua bag dengan,
akan memberikan:
Dari hal ini kita dapat disimpulkan bahwa perkalian (2/T) di dalam prewarping
dan formula BZT dapat dihilangkan, dan langkah denormalisasi dan
transformasi-Z dapat dipenuhi dengan substitusi S menggunakan:
1
1
1
12





Z
Z
T
S
 
 2/tan)/2(
1
1
)/2(
2/tan)/2(
)(
1
1
TT
Z
Z
T
TT
ZH
C
C
W









W



 2/tan)/2( TT CW
  1
1
1
2/cot
1
)(
1
1










W



Z
Z
T
ZH
C
1
1
1
11





Z
Z
S
C

16. Pada kasus LPF yang dirancang memberikan:
 
1
1
1
1
1
1
5097,01
1
245,0
6752,03247,1
13247,0
1
1
1
3247,0
1
1
)(





























Z
Z
Z
Z
Z
Z
ZH
Memberikan zero: Z = 1 dan pole: Z=0,5097
Realisasi dengan canonical..

17. Metode BZT Untuk filter non LPF
Metode BZT memberikan langkah-langkah sbb:
1. Prewarp semua frekuensi kritis yang diperlukan pada filter digital.
2. Susun fungsi transfer terkait dengan LPF
3. Transformasikan fungsi transfer LPF ternormalisasi menjadi fungsi
filter yang diinginkan lihat Tabel
4. Aplikasikan metode BZT untuk memperoleh H(Z)
5. Tentukan koefisien-koefisien filter dari fungsi transfer tsb.
Tipe Transformasi Persamaan Transformasi
LPFHPF
LPFBPF
LPFBSF
SS c /
 WSSS o
22

 22
oSWSS 
Tabel Basic Filter Transformation
21 o 12  W

18. Contoh
Rancang sebuah filter Butterworth HP dengan spesifikasi seperti pada Gambar
Penyelesaian:
Dari gambar tersebut diperoleh informasi bahwa fs= 2 x 500 = 1000 Hz
Periode sampling T= 1/fs = 0,001 s

19. Prewarp memberikan
Ripple factornya adalah:
Orde filter didapatkan sbg:
Normalisasi second order analog LP Butterworth memberikan:
325,01,0tan
2
001,01002
tan
2
tan
37638,13,0tan
2
001,03002
tan
2
tan



W




W

p
p

p
p

T
T
r
r
p
p
75,17110
1110
5,2
301,0


r
p


 
  2992,1
235,4log
2493,1log
/log
/log

rp
pr
HPN


12
1
)( 2


SS
SHHP

20. Dengan memanfaatkanTabel, bisa diperoleh
transformasi LPF ke HPF
Sehingga persamaan sebelumnya menjadi:
Aplikasikan Metode BZT, kita subtitusikan
Sehingga memberikan:….
S
S c

    2
2
2
211/12/1
1
)(
SS
S
SS
SHHP




1
1
1
11





Z
Z
S
p

21. Sehingga memberikan:
   
       
 
      
     
21
21
212221
21
2111212
21
2122111
21221
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1958,0369,01
21
2065,0
1121
21
11121
1
111121
11
1
11
1
11
21
1
11
)(


















































































ZZ
ZZ
ZZZ
ZZ
ZZZZ
Z
ZZZZ
ZZ
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ZH
p
p
pp
p
pp
p







22. Realisasinya dalam bentuk canonical form
Dengan Matlab:
[N,wc]=buttord(.6, .2, -3.02, -25);
>> [num,den]=butter(N,wc,'high');
>> [z,p,k]=tf2zp(num,den);
>> sos=zp2sos(z,p)
sos = 1.0000 -2.0000 1.0000 1.0000 0.3635 0.1950
fvtool(num,den)
figure();
>> zplane(num,den);grid on

23. Respon frekuensi yang dihasilkan

24. Gambaran bidang-Z

25. Soal Latihan
1. Anda lakukan analisa kestabilan pada filter IIR yang memiliki fungsi transfer sbb:
a) Dalam hal ini anda bisa memanfaatkan perangkat lunak Matlab atau penghitungan
matematik untuk menentukan posisi pole-zero pada bidang-z.
b) Berikan realisasi diagram blok dengan direct form 1.
2. Gunakan BZT method untuk merancang suatu filter IIR LPF dengan algoritma
Butterworth. Parameter filter adalah: fc =100 Hz, fs =1000 Hz. Gambarkan posisi
pole dan zero pada bidang-Z.
3. Rancang sebuah filter HPF dengan parameter fc = 100 Hz dan fs=1000. Dalam hal
ini anda dapat memanfaatkan bentuk dasar pada kasus no.1, dan lakukan
transformasi ke bentuk HPF.
Approximation Filter IIR
5432
2
54321
1
)(
ZZZZZ
Z
ZH




26. 4. Suatu filter digital dinyatakan dalam bentuk persamaan beda sbb:
y(k) = x(k) –2x(k-1) – 3x(k-2) + 4x(k-3) - y(k-1)
a) Tentukan tipe filter (IIR atau FIR), dan tentukan nilai koefisien dan ordenya.
b) Turunkan persaman fungsi transfer H(z)
c) Dapat kan posisi pole dan zero pada bidang-z unit circle
d) Analisa kestabilan filter, jika stabil tentukan region of convergence (ROC) nya
e) Berikan gambaran respon frekuensi dengan Matlab
f) Gambarkan realisasi dalam bentuk diagram blok direct form 1.
5. Suatu filter digital dinyatakan dalam bentuk persamaan beda sbb:
y(k) = 3x(k) –2x(k1) –x(k2) + 2y(k 1)  y(k1)
a) Jika x(k) = 0 2 3 2 0, berikan gambaran luaran filter tersebut untuk k = 0 s/d 6
b) Tentukan nilai koefisien dan ordenya.
c) Turunkan persaman fungsi transfer H(z)
d) Dapat kan posisi pole dan zero pada bidang-z unit circle
e) Analisa kestabilan filter, jika stabil tentukan region of convergence (ROC) nya
f) Berikan gambaran respon frekuensi dengan Matlab
g) Gambarkan realisasi dalam bentuk diagram blok canonical form.

27. 6. Suatu filter IIR ditujukan untuk memenuhi persyaratan BPF seperti pada Gambar
berikut:
Lakukan perancangan dengan metode Butterworth, dan berikan gambaran realisasinya
dalam diagram blok.