MATRIKS_SEDERHANA

PPG Daljab 2 Tahun 2023 UNIMUS
LUSI IRAWATI,S.Pd
MATEMATIKA SMA/SMK
KELAS XI SEMESTER !

PENDAHULUAN
 Petunjuk Pengunaan
Para siswa sekalian,agar bahan ajar dapat digunakan secara maksimal serta kalian dapat
mencapai kompetensi yang diharapkan, maka lakukan langkah – langkah berikut:
1. Pelajari dan pahami peta konsep yang disajikan dibagian awal modul ini.
2. Pelajari dan pahami tujuan yang tercantum dalam setiap kegiatan pembelajaran.
3. Pelajari uraian materi secara sistematis dan mendalam dalam setiap kegiatan
pembelajran.
4. Lakukan latihan soal di akhir kegiatan pembelajaran untuk mengetahui tingkat
penguasaan materi.
5. Diskusi dengan guru atau teman jika mengalami kesulitan dalam pemahaman materi.
 Tujuan Pembelajaran
Setelah melakukan kegiatan pembelajaran melalui model pembelajaran Problem Based
learning dan Project Based Learning berpendekatan saintifik, maka :
1. Peserta didik mampu mengidentifikasi unsur – unsur matriks dari analisis matriks yang
diberikan
2. Peserta didik mampu membuat bentuk matriks dari analisis masalah konstektual yang
diberikan.
3. Peserta didik mampu menentukan operasi matriks dalam bentuk
penjumlahan,pengurangan dan transpost matriks berordo 2 x 2 dan berordo 3 x 3.
4. Peserta didik mampu menentukan operasi matriks dalam bentuk perkalian matriks
berordo 2 x 2 dan berordo 3 x3 .
5. Peserta didik mampu menentukan operasi matriks dalam bentuk determinan matriks
berordo 2 x 2 dan berordo 3 x 3.
6. Peserta didik mampu menetukan operasi matriks dalam bentuk invers matriks berordo 2
x 2.
7. Peserta didik mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan bentuk
matriks dalam kehidupan sehari – hari.

MATERI
Pengertian dan Notasi Matriks
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom
berebentuk persegi panjang.
Susunan bilangan-bilangan itu dibatasi oleh kurva biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”
Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf besar dan ditulis secara umum
sebagai berikut:





















mn
m
m
n
n
mxn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
22
21
1
12
11
m
ke
baris
ke
baris
ke
baris






.
2
.
1
.
kolom ke-n
kolom ke-2
kolom ke-1
Amxn artinya matriks A mempunyai baris sebanyak m dan mempunyai kolom
sebanyak n. Setiap bilangan yang terdapat pada baris dan kolom dinamakan anggota
atau elemen matriks dan diberi nama sesuai dengan nama baris dan nama kolom serta
dinotasikan dengan huruf kecil sesuai dengan nama matriknya.
a11 artinya elemen a baris 1 kolom 1
a12 artinya elemen a baris 1 kolom 2
.
.
.
amn artinya elemen baris ke-m kolom ke-n.
Contoh:
A =










10
6
7
9
5
2
8
3
4
artinya
6 = elemen baris ketiga kolom kedua.
5 = elemen baris kedua kolom kedua.
9 = elemen baris kedua kolom ketiga.
10 = elemen baris ketiga kolom ketiga.
dan seterusnya.

2. Ordo Matriks
Ordo suatu matriks adalah banyakna elemen-elemen suatu matriks atau perkalian
antara baris dan kolom.
Contoh:
A = 







1
4
2
5
; A berordo 2x2 atau A2x2.
B = 







 0
1
3
5
2
3
; B berordo 2x3 atau B2x3.
C =










5
2
1
; C berordo 3x1 atau C3x1.
D = ( 6 7 8 ) ; D berordo 1x3 atau D1x3.
B. Jenis –Jenis Matriks
1. Matriks nol.
Contoh:
O2x2 = 







0
0
0
0
O2x3 = 







0
0
0
0
0
0
2. Matriks bujur sangkar (persegi).
Matriks bujur sangkar (persegi) adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.
Contoh:
A = 







3
1
2
4
B =










8
9
7
6
5
4
3
2
1
3. Matriks baris.
Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris.
Contoh:
A = ( 2 5 ) B = ( 1 2 3 5 )
4. Matriks kolom.
Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom.
Contoh:

A = 







2
4
C =










6
4
2
D =














7
6
5
1
5. Matriks diagonal.
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali pada
diagonal utamanya ada yang tidak nol.
Contoh:
A = 







1
0
0
2
B =










1
0
0
0
2
0
0
0
2
6. Matriks identitas.
Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya
bernilai satu, dilambangkan dengan “I” .
Contoh:
I2 = I3 =










1
0
0
0
1
0
0
0
1
C. Transpos Matriks
Jika pada matriks A setiap baris ditempatkan pada setiap kolom maka matriks itu
merupakan matriks transpos. Jika diketahui matriks A berordo mxn maka matriks
transpos dari A dilambangkan dengan At
yang berordo nxm.
Contoh:
A =










 1
3
2
3
0
2
3
1
5
6
5
4
maka matriks transposnya At
=















1
0
5
3
2
6
2
3
5
3
1
4
D. Kesamaan Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama jika kedua matriks itu berordo sama dan elemen-
elemen yang seletak besarnya sama.
Contoh:
Jika A = 







1
5
2
3
dan B = 







1
5
2
3
maka dikatakan A = B.








1
0
0
1

Jika M = 







8
1
7
5
3
2
dan N = 







8
1
7
5
3
2
maka dikatakan M = N.
Memahami Operasi Sederhana Matriks serta Menerapkannya dalam Pemecahan
Masalah
A. Operasi Hitung pada Matriks
a. Penjumlahan Matriks
Perhatikan permasalahan berikut:
Jika kita misalkan biaya matriks di Surabaya, sebagai matriks S dan biaya matriks di
Jakarta sebagai matriks J, maka biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk
kedua pabrik tersebut dapat diperoleh, sebagai berikut.
♦ Total biaya bahan untuk baju = 200 + 125 = 325
♦ Total biaya bahan untuk jas = 600 + 450 = 1050
♦ Total biaya buruh untuk baju = 20 + 25 = 45
♦ Total biaya buruh untuk jas = 80 + 90 = 170
Jika keempat total biaya tersebut dinyatakan dalam matriks, adalah sebagai berikut:
Total Biaya Pabrik
(dalam Jutaan)
Penjumlahan kedua matriks biaya di atas dapat dioperasikan diakibatkan kedua
matriks biaya memiliki ordo yang sama, yaitu 2 × 2. Seandainya ordo kedua matriks
biaya tersebut berbeda, kita tidak dapat melakukan operasi penjumlahan terhadap
kedua matriks
Baju Jas
Bahan 325 1050
Buruh 45 170

Maka dapat diambil kesimpulan pengertian /definisi penjumlahan matriks adalah
Contoh:
Diketahui matriks A = dan B =
a. Tentukan A + B
b. Tentukan B + A
Jawab:
a. A + B = + = 











1
4
6
3
7
2
5
1
= 







5
9
9
6
b. B + A = + 







4
3
2
1
= 











4
1
3
6
2
7
1
5
= 







5
9
9
6
Dari contoh di atas, ternyata A + B = B + A. Jadi pada matriks berlaku sifat komutatif
penjumlahan. Juga dapat kita buktikan bahwa pada matriks berlaku sifat assosiatif
penjumlahan yaitu (A+B)+C = A+(B+C).
b. Pengurangan Matriks
Contoh:
1) Jika P = 







2
3
7
4
dan Q = 







 2
3
1
2
, maka tentukan P – Q !
Jawab:
P – Q = - = 







2
3
7
4
+ 










2
3
1
2
= 







4
0
6
2








4
3
2
1








1
6
7
5








4
3
2
1








1
6
7
5








1
6
7
5








2
3
7
4








 2
3
1
2

2) Jika X matriks ordo 2x2, tentukan matriks X jika diketahui persamaan :
X + 






 
4
2
3
5
= 









2
3
4
1
X = - = 









2
3
4
1
+ 










4
2
3
5
= 









6
1
7
6
Jadi matriks X = 









6
1
7
6
c. Perkalian Suatu Bilangan Real Dengan Matriks
Contoh:
Jika A = dan B = , tentukan :
a. 3A c. 3A + 4B
b. 4B d. 2
1
A + 2
1
B
Jawab:
a. 3A = 3 







 9
5
6
4
=
b. 4B = 4 







4
3
2
1
= 







16
12
8
4
c. 3A + 4B = 







 27
15
18
12
+ 







16
12
8
4
= 







 43
3
26
16










2
3
4
1







 
4
2
3
5








 9
5
6
4








4
3
2
1








 27
15
18
12

d. A + 2
1
B = 2
1








 9
5
6
4
+ 2
1








4
3
2
1
= 







 2
9
2
5
3
2
+ 







2
1
2
3
2
1
= 







 2
13
2
5
1
4
d. Perkalian Suatu Perkalian dua matriks
Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A sama dengan
jumlah baris matriks B. Hasil perkaliannya adalah matriks baru yang ordonya adalah
jumlah baris matriks A kali jumlah kolom matriks B. Secara umum ditulis :
Amxp x Bpxn = Cmxn
Cara mengalikan kedua matriks tersebut adalah dengan jalan mengalikan setiap baris
pada matriks A dengan setiap kolom pada matriks B, kemudian dijumlahkan.
Contoh:
1) Jika A = dan B = , tentukan A x B !
Jawab:
A x B = 







1
2
3
4








2
3
= 









2
.
1
3
.
2
2
.
3
3
.
4
= 







8
18
2) Jika A = dan B = 







 6
2
1
3
, tentukan A x B !
Jawab:
A x B = 







 6
2
1
3
= 













6
.
1
1
.
4
)
2
.(
1
3
.
4
6
.
5
1
.
2
)
2
.(
5
3
.
2
= 











6
4
2
12
30
2
10
6
= 







10
10
32
4
3) Jika C = 







6
5
4
1
2
3
dan D = , tentukan C x D !
Jawab:
C x D = 







6
5
4
1
2
3
= 











1
.
6
2
.
5
6
.
4
1
.
1
2
.
2
6
.
3
= 







40
23
2
1








1
2
3
4








2
3








1
4
5
2








1
4
5
2










1
2
6










1
2
6

4) Jika M =










1
5
3
2
6
4
dan N = , tentuakn M x N !
Jawab:
M x N tidak dapat dikalikan karena tidak memenuhi definisi Amxp x Bpxn = Cmxn
Pengertian Determinan Matriks
Determinan matriks merupakan suatu nilai yang dihitung dari unsur-unsur matriks persegi.
Ingat, ya, hanya matriks persegi yang bisa dihitung determinannya. Kalo matriksnya
enggak persegi, maka sudah pasti tidak akan punya determinan. Lalu apa sih sebenarnya
matriks persegi itu?
Nah, yang dimaksud dengan matriks persegi adalah matriks yang jumlah kolom dan barisnya
itu sama. Jadi kalau jumlah barisnya 2, jumlah kolomnya pun 2. Kalau jumlah barisnya 3,
kolomnya pun harus tiga, begitupun seterusnya. Gimana, sudah cukup paham sampai sejauh
ini? Oke mari kita lanjut!
Rumus Determinan Matriks
Setelah kamu paham dengan pengertiannya. Pasti kamu penasaran dong bagaimana, sih,
rumus untuk menghitung determinan matriks ini? Akan tetapi, kamu harus tahu dulu, nih,
kalau determinan dari suatu matriks itu biasanya akan ditulis dengan det A, det (A), ataupun
det |A|.
Adapun rumus untuk menghitung determinan matriks ini akan bergantung dari ordo matriks
yang dimilikinya. Sebab rumus determinan untuk ordo matriks 2x2 akan berbeda dengan
ordo matriks 3x3. Nah biar makin paham, yuk mari kita bahas satu per satu.
1. Rumus Determinan Matriks Ordo 2x2
Misalkan saja kita punya sebuah matriks A berordo 2x2 sebagaimana berikut:
Nah dari matriks tersebut kita akan punya dua diagonal sebagaimana berikut:
 Diagonal utama: p dan s
 Diagonal kedua : q dan r
Determinan matriks ordo 2x2 dapat diperoleh dengan cara mengurangkan hasil kali diagonal
utama dengan hasil kali diagonal kedua. Kalau dituliskan ke dalam rumus maka akan seperti
ini :










5
3
4

2. Rumus Determinan Matriks Ordo 3x3
Berbeda dengan matriks ordo 2x2, pada matriks ordo 3x3 ini ada dua rumus yang bisa kamu
gunakan untuk mencari nilai determinan pada suatu matriks. Pertama menggunakan aturan
Sarrus dan kedua memakai metode minor kofaktor. Apa sih perbedaan keduannya? Yuk kita
simak!
Misalkan nih kamu punya matriks Q berordo 3x3 sebagai berikut:
Seperti inilah rumus untuk menghitung determinannya menggunakan kedua metode tersebut
a. Aturan Sarrus
Untuk menggunakan aturan sarrus, kamu harus menambahkan kolom pertama yang berisikan
a,d,g dan kolom kedua kedua yang berisikan b,e,h di sebelah matriks utama seperti berikut.

Setelah itu seperti menghitung determinan matrik pada ordo 3x3, kamu tinggal
menjumlahkan seluruh perkalian diagonal utama kemudian dikurangkan penjumlahan matriks
diagonal kedua seperti rumus berikut:
2. Contoh Soal Determinan Matriks Ordo 3x3
Jika kita punya matriks X ordo 3x3 seperti berikut
Maka mari kita hitung determinannya menggunakan dua metode yang rumusnya sudah
dijelaskan sebelumnya.
Aturan Sarrus
Untuk menggunakan aturan sarrus maka menggunakan rumus sarrus

Lalu terapkan pada soal
Jadi determinan matriksnya adalah -1.
INVERS MATRIKS
Sebuah matriks dapat memiliki nilai invers apabila matriks tersebut adalah matriks
persegi. Matriks persegi tersebut adalah matriks yang jumlah kolomnya sama
dengan jumlah barisnya. Jadi jik matriks nya bukan merupakan matriks persegi,
maka matriks tersebut tidak memiliki invers. Disamping itu beberapa kondisi lain
agar sebuah matriks dapat dicari nilai inversnya.
Syarat sebuah matriks mempunyai invers:
• Matriksnya harus matriks persegi (jumlah baris dan kolom sama jumlahnya).
• Jika |A| = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers. Oleh karena itu,
dikatakan matriks A sebagai matriks singular.
• Jika A ≠ 0, maka matriks A mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan
matriks A sebagai matriks nonsingular
INVERS MATRIKS ORDO 2X2
Jika diketahui sebuah matriks A seperti dibawah ini :
A = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] maka invers matriks A adalah
A -1
=
1
det(𝐴)
[
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
]
A -1
=
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
[
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
]
Contoh :
Carilah invers matriks A = [
2 1
3 4
]

pembahasan :
A -1
=
1
det(𝐴)
[
4 −1
−3 2
]
A -1
=
1
8−3
[
4 −1
−3 2
]
A -1
=
1
5
[
4 −1
−3 2
]
INVERS MATRIKS ORDO 3X3
Untuk mencari invers matriks ordo nxn seperti untuk matriks 3x3 digunakan rumus
seperti berikut:
A -1
=
1
det(𝐴)
. Adj(A)
Sedangkan untuk mengetahui matriks adjoint yang sering disingkat dengan Adj(A),
kita harus mengetahui terlebih dahulu matriks kofaktor.
Matriks Kofaktor adalah matriks yang elemennya diganti dengan nilai determinan
yang unsurnya tidak sebaris dan tidak sekolom dengan unsur asal. Kemudian
dilanjutkan dengan memberikan tanda positif negatif saling bergantian.
+ − +
− + −
+ − +
Contoh:
Carilah invers matriks dari matriks ordo 3x3 berikut ini :
A= [
3 1 0
2 1 1
6 2 2
]
1. Langkah pertama mencari matriks kofaktornya :
Kof A =
[
+ [
1 1
2 2
] − [
2 1
6 2
] + [
2 1
6 2
]
− [
1 0
2 2
] + [
3 0
6 2
] − [
3 1
6 2
]
+ [
1 0
1 1
] − [
3 0
2 1
] + [
3 1
2 1
]]
Kof A = [
0 2 −2
−2 6 0
1 −3 1
]
2. Langkah berikutnya adalah mencari matriks ADJOIN nya :
Kof A = [
0 2 −2
−2 6 0
1 −3 1
]

Maka matriks adjoin nya menjadi :
Matriks Adj A = [
0 −2 1
2 6 0
−2 −3 1
]
3. Langkah ketiga mencari determinan dari matriks A:
det (A) = [
3 1 0
2 1 1
6 2 2
]
3 1
2 1
6 2
det (A) = (3.1.2) + (1.1.6) + (0.2.2) – (0.1.6) – (3.1.2) – (1.2.2)
= 6 + 6 + 0 – 0 – 6 – 4
= 2
4. Langkah terakhir adalah mencari invers matriksnya :
A-1
=
1
2
[
0 −2 1
2 6 0
−2 −3 1
] Maka matriknya menjadi : A-1
=
[
0 −1
1
2
1 3 −
3
2
−1 0
1
2 ]
1. Contoh soal untuk Invers Matriks 2 x 2
Tentukan Inverse dari data berikut :
Jawab :
Kita cari adjointnya dengan cara cepat.
Dengan cara cepat kita hanya tinggal memindahkan atau menukar posisi elemen
yang ada pada baris pertama kolom pertama dengan baris ke-dua kolom ke-dua.
Kemudian elemen baris pertama kolom ke-dua dan elemen baris kedua kolom
pertama dikali dengan (-1)
Maka menjadi adjoin matriks di atas adalah :

Kemudian kita cari determinan seperti biasa yaitu
det = (1 x 4 ) - (2 x 3 )
= 4 - 6
= -2
Maka invers dari matriks di atas adalah :

2. Contoh soal untuk Invers Matriks Ordo 3 x 3 dan pembahasannya !

Pembahasan : Diketahui suatu matriks,
P = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
]
P = [
1 6
9 3
]
P-1
=
1
1.3−6.9
[
3 −6
−9 1
]
P-1
=
1
−51
[
3 −6
−9 1
]
P-1
= [
3
−51
−6
−51
−9
−51
1
−51
]
P-1
= [
1
17
−2
17
−3
−17
1
−51
]
2. Berikan 1 contoh soal untuk invers matriks ukuran 3x3 beserta detail
caranya.
Jawab :
A-1 = 𝟏
𝐝𝐞𝐭(𝑨)
. Adj (A)
Diketahui suatu matriks Q,
Q = [
3 1 4
2 6 5
2 1 4
]
Sebelum mendapatkan invers matriksnya ada beberapa lagkah yang harus dahulu
dicari, yaitu :
1. Langkah pertama : Mencari determinan matriks
2. Langkah Kedua : Mencari Minor
3. Langkah Ketiga : Mencari Kofaktor
4. Langkah Keempat: Menentukan Adjoin matriks

5. Langkah Kelima: Menentukan Invers matriks
Pembahasan :
1. Determinan
Rumus :
Q = [
3 1 4
2 6 5
2 1 4
]
|𝑄| = |
3 1 4
2 6 5
2 1 4
|
|𝑄| = 3.6.4 + 1.5.2 + 4.2.1 – 4.6.2 – 3.5.1 – 1.2.4
|𝑄| = 72 + 10 + 8 – 48 – 15 – 8
|𝑄| = 19
2. Minor
Q = [
𝟑 𝟏 𝟒
𝟐 𝟔 𝟓
𝟐 𝟏 𝟒
]
M 1 1 = [
6 5
1 4
] = 6.4 – 5.1 = 19
M 2 1 = [
1 4
1 4
] = 1.4 – 4.1 = 0
M 3 1 = [
1 4
6 5
] = 1.5 – 4.6 = -19
M 1 2 = [
2 5
2 4
] = 2.4 – 5.2 = -8
M 2 2 = [
3 4
2 4
] = 3.4 – 4.2 = 4
M 3 2 = [
3 4
2 5
] = 3.5 – 4.2 = 7
M 1 3 = [
2 6
2 1
] = 2.1 – 6.2 = -10

M 2 3 = [
3 1
2 1
] = 3.1 – 1.2 = 1
M 3 3 = [
3 1
2 6
] = 3.6 – 1.2 = 16
3. Kofaktor
K 1 1 = (-1) 1+1
. 19 = 19
K 2 1 = (-1) 2+1
. 0 = 0
K 3 1 = (-1) 3+1
. -19 = -19
K 1 2 = (-1) 1+ 2
. -8 = 8
K 2 2 = (-1) 2+2
. 4 = 4
K 3 2 = (-1) 3+2
. 7 = -7
K 1 3 = (-1) 1+3
. -10 = -10
K 2 3 = (-1) 2+3
.1 = -1
K 3 3 = (-1) 3+3
. 16 = 16
Matriks Kofaktor [ Qij] = [
19 8 −10
0 4 −1
−19 −7 16
]
4. Adjoin (Transpose)
Adjoin Matriks [Qij]T
= [
19 0 −19
8 4 7
−10 −1 16
]
5. Invers Matriks
Q-1
=
𝟏
𝐝𝐞𝐭(𝑨)
. Adj (Q)
Q-1
=
1
19
.
[
19 0 −19
8 4 7
−10 −1 16
]
Q-1
=
1
19
.
[
19
19
0
19
−19
19
8
19
4
19
7
19
−10
19
−1
19
16
19 ]

Q-1
= [
1 0 −1
8
19
4
19
7
19
−10
19
−1
19
16
19
]

Glosarium
 Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam
suatu jajaran yang berbentuk persegi atau persegi panjang.
 Ordo suatu matriks adalah banyakna elemen-elemen suatu matriks atau perkalian
antara baris dan kolom.
 Sebuah matriks A ditransposkan menghasilkan At
dengan entry baris matrik A
berubah menjadi entri kolom matriks At
. Dengan demikian matriks At
ditransposekan
kembali, hasilnya menjadi matriks A ( At
y = A ).
 Penjumlahan sembarang matriks dengan matriks identitas penjumlahan hasilnya
matriks itu sendiri. Mtriks identitas penjumlahan adalah matriks nol
 Hasil kali sebuah matriks dengan suatu skalar atau suatu bilangan real k akan
menghasilkan sebuah matriks baru yang berordo sama dan memiliki entry – entry k
kali entry – entry matriks semula
 Dua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila banyaknya kolom matriks yang
dikali sama dengan banyaknya matriks pengalinya.
 Asil perkalian matriks A dengan matriks identitas perkalian hasilnya adalah matriks
A.
 Mtriks yang memiliki invers adalah matriks persegi dengan nilai determinannya tidak
nol ( 0 ).

Daftar Pustaka
Anton. Howard, Rorres. Cris. (2005). Elementary Linear Algebra with Aplications.John
Wiley & Sons,Inc.
Ball,Deborah Loewenberg. (2003). Mathematical Proficiencyfor All Students(Toward a
Strategic Research and Development Program in Matematics education ) United States
of America : RAND.
Sinaga, Bornok.(2007). Pengembangan Model Pembelajaran Matematika berdasarkan
Masalah Berbasis Budaya Batak. Surabaya: Program Pascasarjana UNESA

TERIMAKASIH

MATRIKS_SEDERHANA

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to MATRIKS_SEDERHANA

Similar to MATRIKS_SEDERHANA (20)

More from LusiIrawati1

More from LusiIrawati1 (10)

Recently uploaded

Recently uploaded (10)

MATRIKS_SEDERHANA