2. DEREAT (SERIES/SEQUENCES)…..(1)
• Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur
dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu.
• Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk
sebuah deret dinamakan suku.
3. DEREAT (SERIES/SEQUENCES)…..(2)
JENIS-JENIS DERET
• Dilihat dari Jumlah Suku
• Deret terhingga
• Deret tak terhingga
• Deret dilihat dari segi pola perubahan bilangan pada suku:
• Deret hitung
• Deret ukur
• Deret harmoni
4. DERET HITUNG (ARITMATIKA
Suku ke-n dari DH
a : suku pertama atau S n : indeks suku
b : pembeda
Jumlah n suku
𝑠𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏
𝐽𝑛 =
𝑖=1
𝑛
𝑆𝑖 𝐽𝑛 =
𝑛
2
2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏
𝐽𝑛 =
𝑛
2
𝑎 + 𝑆𝑛 𝐽𝑛 = 𝑛𝑎 +
𝑛
2
𝑛 − 1 𝑏
5. DERET UKUR (Geometri)
Suku ke-n dari DU
a : suku pertama n : indeks suku
p : pengganda
Jumlah n suku
𝑺𝒏 = 𝒂𝒑𝒏−𝟏
𝐽𝑛 =
𝑎 1 − 𝑃𝑛
1 − 𝑃
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑎 𝑃𝑛 − 1
𝑃 − 1
8. Model Perkembangan Usaha
Prinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis
perkembangan variabel jika perkembangan variabel-variabel
tertentu dalam kegiatan usaha (misal:
produksi,biaya,pendapatan,penggunaan tenaga kerja, atau
penanaman modal) berpola seperti deret hitung.
9. Model Perkembangan Usaha
KASUS 1 :
Perusahaan genteng “Sokajaya” menghasilkan 3.000 buah genteng pada bulan pertama
produksinya. Dengan penambahan tenaga kerjadan peningkatan produktivitas,perusahaan
mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan
produksinya konstan,berapa buah genteng yang dihasilkannya pada bulan kelima? Berapa
buah yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?
a = 3.000 𝑆5 = 3.000 + 5 − 1 500 = 5000
b = 500
n = 5 𝐽5 =
5
2
3.000 + 5000 = 20.000
Jumlah produksi pada bulan kelima adalah 5.000 buah, sedangkan jumlah
seluruh genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut adalah
20.000 buah,
10. Model Perkembangan Usaha
Dalam Jutaan : 𝑆7 = 980 → 𝑎 + 6𝑏 = 980
𝑆5 = 720 → a + 4b = 720
2𝑏 = 260 → 𝑏 = 130
Perkembangan penerimaan per tahun sebesar Rp 130 juta.
𝑎 + 4𝑏 = 720 → 𝑎 = 720 − 4𝑏 = 720 − 4 130 = 200
Penerimaan pada tahun pertama sebesar Rp 200 juta.
𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 → 460 = 200 + 𝑛 − 1 130
460 = 200 + 130𝑛 − 130
390 = 130𝑛 → 𝑛 = 3
Penerimaan sebesar Rp 460 juta diterima pada tahun ketiga.
KASUS 2 :
Besarnya penerimaan PT “Cemerlang” dari hasil penjualan barangnya Rp 720 juta pada
tahun kelima dan Rp 980 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan
penjulan tersebut nerpola seperti deret hitung,berapa perkembangan penerimannya per
tahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa
penerimaanya sebesar Rp 460 juta?
12. Model Bunga Majemuk
Model ini merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan-pinjam
dan kasus investasi. Misalnya , besarnya pengembalian kredit di masa
datang berdasarkan tingkat bunganya. Atau untuk mengukur nilai
sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima di masa
datang.
Jumlah di masa datang dari suatu
jumlah sekarang adalah :
𝐹𝑛 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
P : jumlah sekarang
I : tingkat bunga per tahun
n : jumlah tahun
Apabila bunga diperhitungkan dibayarkan
lebih dari satu kali (misalkan m kali, masing-
masing i/m per termin) dalam setahun, maka
jumlah di masa datang menjadi :
𝐹𝑛 = 𝑃(1 +
𝑖
𝑚
)𝑚𝑛
m : frekuensi pembayaran bunga dalam
setahun
13. Model Bunga Majemuk
Suku 1 + 𝑖 𝑑𝑎𝑛 (1 +
𝑖
𝑚
)𝑚𝑛
dalam dunia bisnis dinamakan “faktor bunga
majemuk” (compounding interest factor), yaitu suatu bilangan lebih besar dari 1
yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah di masa datang dari suatu jumlah
sekarang.
𝑃 =
1
(1 + 𝑖)𝑛 ∙ 𝐹 𝑃 =
1
(1 +
𝑖
𝑚
)𝑚𝑛
∙ 𝐹
ATAU
Suku
1
(1+𝑖)𝑛 dan
1
(1+
𝑖
𝑚
)𝑚𝑛
dinamakan “faktor diskonto” (discount factor) , yaitu
suatu bilangan lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung nilai
sekarang dari suatu jumlah di masa datang.
14. Model Bunga Majemuk
P = 5.000.000 𝐹𝑛 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
n = 3 𝐹3 = 5.000.000(1 + 0,02)3
i = 2% = 0,02 = 5.000.000 1,061208 = 5.306.040
Jadi pada saat pelunasan, setelah tiga tahun, nasabah tadi secara keseluruhan harus
mengembalikan sebanyak Rp 5.306.040,00. seandainya bunga di perhitungkan dibayarkan
tiap semester, m=2, maka :
𝐹𝑛 = 𝑃(1 +
𝑖
𝑚
)𝑚𝑛
→ 𝐹3 = 5.000.000(1 + 0,01)6
= 5.000.000 1,06152 = 5.307.600
Jumlah yang harus dikembalikan menjadi lebih besar, Rp 5.307.600,00.
KASUS 3 :
Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak Rp 5 juta untuk jangka waktu 3 tahun,
dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus
dikembalikannya pada saat pelunasan ? Seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan
tiap tahun,melainkan tiap semester berapa jumlah yang harus ia kembalikan ?
15. Model Bunga Majemuk
F : 532.400 𝑃 =
1
(1+𝑖)𝑛 ∙ 𝐹
n : 3 =
1
(1+0,1)3 ∙ 532.400 = 400.000
i : 10% = 0,1
Jadi besarnya tabungan sekarang adalah Rp 400.000,00.
KASUS 4 :
Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi sebesar Rp 532.400,00 tiga tahun yang akan
datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10% per tahun, berapa tabungan mahasiswa
tersebut pada saat sekarang ini ?
16. Model Pertumbuhan Penduduk
Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal
penaksiran jumlah penduduk. Sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk
dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Secara Matematik,hal ini dapat dirumuskan
sebagai :
𝑃1 ∶ jumlah pada tahun pertama basis
𝑃𝑡 ∶ jumlah pada tahun ke − 𝑡
Dimana R=1+r 𝑟 ∶ persentase pertumbuhan per tahun
𝑡 ∶ indeks waktu (tahun)
𝑷𝒕 = 𝑷𝟏𝑹𝒕−𝟏
17. Model Pertumbuhan Penduduk
𝑃1 = 1 𝑗𝑢𝑡𝑎 𝑃 tahun 2006 = 𝑃16 = 1 juta (1,04)15
𝑟 = 0,04 = 1 juta(1,800943)
𝑅 = 1,04 = 1.800.934 jiwa
𝑃1 = 1.800.934 𝑃 11 tahun kemudian = 𝑃11
𝑟 = 0,025 𝑃11 = 1.800.934(1,025)10 = 2.305.359 jiwa
𝑅 = 1,025
KASUS 5 :
Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat pertumbuhannya 4
persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006. jika mulai
tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5%, berapa jumlahnya 11 tahun
kemudian?
