Mekanika Benda Langit (TPOA 2013).ppt

Mekanika Benda Langit
Tim Pembina Olimpiade Astronomi
2013
Tim Pembina Olimpiade Astronomi 2013

Hukum Gerak Benda Langit
(Kepler; Newton)
Hukum Kepler 1:
Planet-planet mengelilingi Matahari dalam lintasan berbentuk elips dengan Matahari di
salah satu titik fokusnya.
Hukum Kepler 2:
Garis hubung Matahari dan planet menyapu luas yang sama dalam selang waktu yang
sama.
Hukum Kepler 3:
Jarak rata-rata planet dari Matahari pangkat tiga berbanding lurus dengan kuadrat
periode orbit.

Penjelasan Hukum Kepler 1
Gbr. Orbit planet mengelilingi Matahari berbentuk elips dengan Matahari sebagai salah satu titik fokusnya.

PF1 + PF2 = 2a
Misalkan F2 ditempati Matahari dan e eksentrisitas.
Jarak perihelion, dari titik B ke F2 adalah q= a-ae = a (1-e).
Jarak aphelion, dari titik A ke F2 adalah, Q= a+ae = a (1+e).
a semi major dan b semi minor.
Orbit Elips

Geometri Orbit
Pada eksentrisitas e =0, orbit berupa lingkaran.
Orbit elips jika 0 < e <1.

CONIC SECTIONS
Elips merepresentasikan salah satu dari keluarga conic sections.

Conic Orbits
Circle Ellipse Parabola Hyperbola
Pada eksentrisitas e =0, orbit berupa lingkaran.
Orbit elips jika 0 < e <1.
Orbit parabola jika e = 1.
Orbit hiperbola jika e > 1. Tim Pembina Olimpiade Astronomi 2013

Orbit Total energy
Circle, ellipse E<0
Parabola E=0
Hyperbola E>0
Hubungan Total Energi dan Geometri Orbit

Penjelasan Hukum Kepler 2
Jika M adalah Matahari, jarak AB ditempuh dalam jangka waktu yang sama dengan jarak CD, luas AMB
sama dengan luas CMD. Konsekuensi dari hukum ini adalah saat planet berada dekat dengan Matahari
kecepatan liniernya lebih tinggi dibandingkan dengan saat jauh dari Matahari. Hal ini juga sesuai
dengan hukum kekekalan momentum sudut. Selama planet mengelilingi Matahari momentum
sudutnya konstan. Penurunan hukum ini dari hukum Newton juga membutuhkan kalkulus sehingga
tidak dibahas disini.
Gbr. Luas daerah yang disapu garis hubung Matahari-Planet per satuan waktu tetap
A
B
D
C
M

2
2
r
Mm
G
r
v
m 
GM
r
r
r

2
2
2

GM
T
r

2
3
2
4
2
2
3
4
GM
T
r

Penjelasan Hukum Kepler 3:
Jika orbit planet lingkaran atau dianggap lingkaran (pada kenyataannya eksentrisitas atau
kelonjongan orbit planet tidak besar sehingga masih cukup dekat dengan lingkaran), hukum Kepler 3
dapat diturunkan dari hukum Newton sebagai berikut :
Yang berperan sebagai gaya sentripetal di dalam sistem Matahari – planet adalah gaya gravitasi,
maka kita dapat memformulasikan gaya sentripetal sebagai berikut :
dengan
G konstanta gravitasi
m massa planet,
M Massa Matahari
v kecepatan orbit planet
r radius orbit

Karena M adalah massa Matahari, harganya sama untuk
semua planet, maka ruas kanan persamaan diatas
konstan. Jadi terbukti bahwa jarak pangkat tiga sebanding
dengan perioda kuadrat. Hukum Kepler 3 ini berlaku juga
untuk lintasan elips, bukan hanya lingkaran. Jika
diterapkan untuk elips, radius orbit r harus diganti dengan
setengah sumbu panjang a.
2
2
3
4
GM
T
r

2
2
3
4
GM
P
a


p2 = a3
p = perioda orbit planet, dalam tahun.
a = semimajor planet, dalam SA
Hukum Ketiga Kepler
Bentuk Newton dari Hukum Ketiga Kepler:
p2 = [4π2/(G(m1 + m2))]a3
(sudah memasukkan hukum gravitasi)

No Satelit P a a (SA) P(Tahun)
1 Deimos 30h18m=1d2625
234
9
0
0.000157 0.00351
2 Phobos 7h39m=0d31875 ? ?
0.000884
8
3
1 2
2 2
( )
4
G m m
a
P 


3
2 mars
a
M
P

 
   
3
3 3 3
1 2 2
2 2
2 2
1 2
0.000157
0.00351 0.0008848
a a a
P P
  
Soal OSN 2007
•Mars mempunyai dua buah satelit Phobos dan Deimos. Jika diketahui Deimos bergerak
mengelilingi Mars dengan jarak a = 23490 km dan periode revolusinya P = 30jam 18 menit.
Berapakah massa planet Mars bila dinyatakan dalam satuan massa Matahari? Jika Periode
revolusi Phobos 7jam 39menit, berapakah jaraknya dari Mars?
Jawab:
•Gunakan hukum harmonik;
Nyatakan dulu besaran dalam Satuan Astronomi untuk jarak, tahun untuk waktu dan Massa Matahari untuk
massa planet/satelit , agar G/42 = 1.
Massa satelit (m2) dapat diabaikan terhadap massa planet m1
Dari Deimos;
Mmars = 3.148 10-7 massa matahari
a2 = 6.265610-5
Jadi jarak Phobos dari Mars adalah = 6.265610-5 SA = 9397.585 km.

Pengertian
 Gerak periodik adalah gerak yang berulang
 Contoh : gerak melingkar beraturan, gerak eliptik
 Banyak fenomena periodik sehari-hari disebabkan
gerak periodik benda langit
Contoh fenomena
periodik:
Siang malam
Musim
Fase bulan
Contoh gerak
periodik:
Rotasi Bumi
Revolusi Bumi
Revolusi Bulan

Besaran pada gerak melingkar
 Pada gerak periodik dikenal perioda dan frekuensi
 Pada gerak periodik benda langit dikenal juga
kecepatan sudut dan kecepatan linier
 Kecepatan sudut adalah sudut yang ditempuh tiap
satuan waktu
 Kecepatan linier adalah jarak yang ditempuh
r
v 

T
r
v

2


Contoh Soal
Lintasan gerak planet-planet umumnya elips,
tapi karena eksentrisitasnya kecil, dapat
dianggap lintasan lingkaran.
Jika jarak Bumi-Matahari rata-rata 149,6 juta
km dan satu tahun adalah 365,25 hari,
berapakah kecepatan rata-rata gerak Bumi
mengelilingi Matahari?

Percepatan sentripetal
 Di dalam gerak melingkar ada percepatan
sentripetal
r
v
acp
2

 Jika percepatan sentripetal itu disebabkan
gravitasi benda bermassa M, maka :
2
2
r
GM
r
v

 Dapat diperoleh :
2
3
2
4 T
r
GM



Rotasi Bumi
 Kecepatan gerak suatu titik di permukaan Bumi
karena rotasi Bumi berbeda-beda tergantung
lintangnya. Semakin tinggi lintang suatu tempat
semakin lambat geraknya.

Bumi dilihat dari arahKutub
A
vA
vB

cos
A
B v
v 

Bumi dilihat dari arah Khatulistiwa
A
φ
Kutub Bumi
Khatulistiwa
B

cos
A
B v
v 

Soal Rotasi Asteroid
 Ada asteroid radiusnya 100 km dan massanya 2 ×
1019 kg, maka percepatan gravitasi di
permukaannya adalah 0,14 m/dt2. Jika periode
rotasi asteroid itu 80 menit, apakah pesawat dapat
mendarat di asteroid itu?

Rotasi Matahari
 Berbeda dari Bumi dan asteroid, Matahari berupa
gas, maka kecepatan sudut rotasi di titik yang
berbeda di permukaan Matahari bisa berbeda
pula.
 Periode rotasi di khatulistiwa matahari sekitar
24,47 hari
 Periode rotasi di lintang 26º adalah sekitar 27,275
hari
 Fenomena ini disebut rotasi diferensial

Revolusi Bulan
 Bulan bergerak mengelilingi Bumi dalam lintasan
elips dengan eksentrisitas yang kecil dengan
periode 27,3 hari, atau lebih tepatnya 27 hari 7 jam
43 menit.
 Periode fase bulan (sejak purnama hingga
purnama lagi) : 29,5 hari
 Mengapa berbeda?
 Karena Bumi sebagai pusat revolusi Bulan tidak
diam, melainkan bergerak mengelilingi Matahari

Skema Revolusi Bulan
Fase
Purnama
Bumi
Bulan
Ke arah
Matahari

Skema Revolusi Bulan
Setelah 27,3 hari
Purnama berikutnya
Setelah 29,5 hari
Δθ
Δθ

Periode Sideris dan Sinodis
 Periode revolusi Bulan sebenarnya disebut periode
sideris
 Periode fase bulan menurut pengamat di Bumi
disebut periode sinodis
 Adanya periode sideris dan sinodis ini seperti
peristiwa layangan yang disebabkan adanya dua
sumber bunyi yang sedikit berbeda frekuensi

Hubungan periode sideris - sinodis
 Jika Ts adalah periode sinodis Bulan dan ωL adalah
kecepatan sudut revolusi Bulan, maka:
S
LT


 


2
 Jika ωB adalah kecepatan sudut revolusi Bumi, maka
S
L
S
B T
T 

 

2
L
B
S T
T
T
1
1
1



Gerak Planet
 Bintang-bintang bergerak di langit dalam formasi yang
tetap
 Jika Bumi tidak berotasi, bintang-bintang akan berada
pada posisi yang tetap di langit
 Lain halnya dengan planet. Planet selalu berpindah
tempat di langit relatif terhadap bintang-bintang
 Seandainya Bumi tidak berotasi, planet-planet akan
bergerak perlahan di langit
 Jalur peredaran planet dan matahari di langit disebut
ekliptika
 Rasi-rasi bintang yang dilalui planet dan matahari
disebut rasi zodiak

Gerak Planet
 Mengapa matahari dan planet-planet beredar di
langit relatif terhadap bintang-bintang di dalam
suatu jalur tertentu saja sehingga hanya 13 rasi
yang dilalui?
 Bidang orbit semua planet hampir berimpit
kecuali Pluto

Soal Gerak Planet
 Jika radius orbit Mars 1,5 kali radius orbit Bumi,
berapakah kecepatan linier Mars mengelilingi
Matahari?
 Jika 27 Agustus 2003 adalah saat Mars oposisi,
hitunglah waktu-waktu oposisi Mars berikutnya
hingga tahun 2014.
 Carilah hubungan antara periode revolusi Mars,
periode oposisi Mars dan periode revolusi Bumi!

Hukum Kekekalan Energi Mekanik
 Pada sebuah benda yang dilemparkan di
dekat permukaan Bumi berlaku hukum
kekekalan energi mekanik
2
2
1
2
2
1
B
B
A
A mv
mgh
mv
mgh 


kB
B
p
kA
pA E
E
E
E 


 Rumus ini adalah rumus pendekatan yang
hanya berlaku jika benda bergerak di dekat
permukaan Bumi saja sehingga g konstan

Gerak jauh dari permukaan Bumi
 Jika benda bergerak jauh ke angkasa sehingga selama
gerakannya g tidak dapat dianggap konstan, maka
rumus yang lebih baik untuk energi potensial adalah
r
m
M
G
EP



 Apa bedanya rumus ini dengan rumus berbentuk
mgh?

Orbit Satelit
 Sebuah satelit yang mengelilingi Bumi dalam orbit elips
mempunyai energi mekanik yang tetap meskipun
jaraknya berubah-ubah.
r
mM
G
mv
a
mM
G
E B
B



 2
2
1
2
 Kecepatan orbit:








a
r
GM
v B
1
2

Orbit Satelit
 Jika orbit satelit berupa lingkaran, a=r, maka
kecepatannya:
r
GM
v B


Orbit Planet
 Rumus kecepatan orbit planet yang berbentuk elips
sama dengan orbit satelit.
 Bagaimana menghitung kecepatan orbit planet di
perihelion dan aphelion jika eksentrisitas diketahui?
 Rumus jarak perihelion adalah :
)
1
( e
a
rp 

 Masukkan ke rumus kecepatan orbit











a
e
a
GM
v Mh
1
)
1
(
2

Orbit Planet
 Sebagai contoh : jika eksentrisitas orbit Bumi
mengellingi Matahari 0,017, berapa kecepatan orbit
Bumi di perihelion ?

Contoh : berapakah kecepatan gerak Bumi mengelilingi Matahari saat Bumi di Perihelion jika eksentrisitas
orbit Bumi 0,017?
)
1
( e
a
rp 












a
e
a
GM
v
1
)
1
(
2
Jawab : Jarak perihelion adalah :
Maka kecepatan dapat dituliskan :
Dengan menggunakan :
G = 6,67 x 10-11Nm2/kg2 ; M =Massa Matahari = 1,99×1030kg
Maka diperoleh v = 30,30 km/s.
Berapa kecepatan gerak Bumi di aphelion? Dengan menggunakan rumus yang sama, dengan jarak aphelion
)
1
( e
a
ra 

Diperoleh :











a
e
a
GM
v
1
)
1
(
2
v=29,28 km/s

Kecepatan Lepas
Ada beberapa kemungkinan yang terjadi pada sebuah benda yang berada di dalam medan
gravitasi benda lain, bergantung pada kecepatannya. Mungkin benda itu jatuh ke pusat gravitasi,
mungkin mengorbit, mungkin terlepas dari medan gravitasi itu.
Untuk bisa terlepas dari medan gravitasi kecepatan gerak benda harus cukup tinggi, melebihi suatu
batas tertentu. Batas kecepatan itu disebut kecepatan lepas. Jika kecepatan gerak benda sama
atau melebihi kecepatan lepas itu, maka benda akan lepas dari medan gravitasi benda pertama
untuk selamanya kecuali kalau arah geraknya tepat menuju pusat gravitasi. Untuk mencari
besarnya kecepatan lepas ini dapat digunakan konsep energi. Berdasarkan definisi, di tempat tak
berhingga, energi potensial gravitasinya nol. Jadi kecepatan yang diperlukan adalah kecepatan
yang dapat membuat benda mencapai tak berhingga, untuk itu energi total benda minimum nol.
0
2
2
1

 
r
m
M
G
mv
r
m
M
G
mv 

2
2
1
r
GM
vesc


2

Contoh :
Berapakah kecepatan minimum sebuah benda dilontarkan dari permukaan Bumi
agar dapat lepas dari pengaruh medan gravitasi Bumi?
Jawab :
Massa Bumi : 5,98 × 1024 kg, radiusnya : 6378 km, G = 6,67 × 10-11 Nm2/kg2.
6378000
10
98
,
5
10
67
,
6
2 24
11






esc
v ≈ 11 km/s
Jadi untuk meluncurkan pesawat ke angkasa luar diperlukan roket yang bisa
mendorong pesawat hingga mencapai kecepatan lebih dari 11 km/s.

Bintang Ganda
Djoni N. Dawanas

Periastron
Apastron
 Bintang ganda (double stars) adalah dua buah
bintang yang terikat satu sama lain oleh gaya tarik
gravitasi antar kedua bintang tersebut.
 Apabila sistem bintang ini lebih dari dua, maka
disebut bintang majemuk (multiple stars).
Bintang
primer
Bintang
sekunder




Dalam gerak orbitnya, kedua komponen bintang ganda
bergerak mengitari pusat massanya dalam lintasan
yang berupa elips dengan titik pusat massanya berada
pada titik fokus elips orbit tersebut.
orbit bintang
bermassa besar
orbit bintang
bermassa kecil
pusat massa
Bintang primer
Bintang sekunder



 




CM
Titik pusat massa selalu berada pada garis lurus yang
menghubungkan kedua bintang.
M1 = massa bintang kesatu
Misalkan,
M2 = massa bintang kedua
r1 = jarak bintang kesatu ke titik
pusat massa
r2 = jarak bintang kedua ke titik
pusat massa
r1 r2
M1
M2



Maka, M1 r1 = M2 r2 . . . . . . . . . . . . . . . (7-1)
Jika orbit dianggap lingkaran maka,
P
Vr =
2πr1
1 P
Vr =
2πr2
2
dan,
Periode
Kec. Radial btg-1 Kec. Radial btg-2
. . . . . . . (7-2)
Dari gerak sistem dua benda kita tahu bahwa orbit
kedua bintang dalam sistem bintang ganda terletak
dalam satu bidang yang disebut bidang orbit. Suatu
orbit bintang ganda akan dapat digambarkan secara
lengkap apabila komponen orbitnya dapat diketahui.

ω = bujur periastron (sudut di bidang orbit mulai dari garis node ke
periastron
 = kedudukan garis node (sudut di bidang langit dari utara ke garis
node)
i
Ω
ω
periastron
utara
pengamat
a = setengah sumbu besar
Komponen orbit bintang
ganda
a
i = inklinasi bidang orbit terhadap bidang langit
titik fokus
garis node :
garis potong antara bidang
orbit dengan bidang langit
yang melewati titik fokus
elips.

T = saat bintang melewati periastron
e = eksentrisitas
P = periode orbit atau kalaedar
i
Ω
ω
periastron
utara
pengamat
a
titik fokus

Macam bintang ganda :
 Bintang ganda visual
 Bintang ganda astrometri
 Bintang ganda spektroskopi
 Bintang majemuk (lebih dari dua bintang)
 Bintang ganda gerhana

Bintang Ganda Visual
Bintang ganda visual adalah bintang ganda yang jarak
antara kedua anggotanya cukup besar sehingga
apabila dilihat melalui teleskop akan tampak sebagai
dua bintang.
 Jarak antara komponen bintang ganda visual
mencapai ratusan satuan astronomi, sehingga kala
edarnya (periode orbitnya) sangat lama, mencapai
beberapa puluh sampai beberapa ratus tahun.

Pasangan bintang ganda visual gerak orbitnya sangat
sukar diamati, karena gerakannya yang terlalu lambat.
 Bukti bahwa pasangan ini adalah bintang ganda,
terlihat dari gerak dirinya yang bersama-sama.
Contoh :
Bintang ganda visual
 Centauri
P = 79,92 th ~ 80 th
Jarak  Cen-A dan
 Cen-B = 11 ~ 35 AU

 Cen-A  Cen-B
Warna Kuning Oranye
Kls. Spektrum G2 K1
Temperatur 5800 K 5300 K
Massa 1.09 R 0.90 R
Radius 1.2 M 0.8 M
Luminositas 1.54 L 0.44 L
Jarak (light-years) 4.35 4.35
Magnitudo visual -1,58 8,44
Umur (milyaran tahun) 5 - 6 5 - 6
Data Bintang  Centaurus

2060
2050
Pada pasangan bintang ganda visual, bintang primer
dipilih sebagai titik acu (pusat koordinat). Lintasan
bintang sekunder ditentukan relatif terhadap bintang
primer. Dalam hal ini lintasan bintang sekunder akan
berupa lintasan elips dengan bintang primer terletak
pada titik fokus elips.
Contoh :
Lintasan bintang ganda
 Centauri
90o
0o
180o
270o
2040
2045
2055
2065
2070
2000
2005
2010
2015
2020
2025
2030
2035
α Cen-A
α Cen-B berada pada titik
fokus lintasan

Orbit yang diamati pada pasangan bintang ganda visual
adalah proyeksi orbit sebenarnya pada bidang langit.
 Pada orbit sebenarnya, bintang primer terletak pada
titik fokus lintasan elips bintang sekunder.
 Pada proyeksi orbit yang juga berupa elips, bintang
primer pada umumnya tidak lagi berada pada titik
fokus proyeksi elips.

Dari pengamatan terhadap bintang ganda visual, dapat
ditentukan beberapa komponennya, yaitu :
 sudut inklinasi (i)
 sudut setengah sumbu besar ( )
 eksentrisitas orbit (e)
 periode orbit (P )
Penentuan Massa Komponen Bintang Ganda
Visual

a =  d
jarak sistem bintang ganda
. . . . . . . . . . . . . . . . . (7-3)
dalam radian
a
d
α
pengamat
untuk α <<
Hubungan antara sudut setengah sumbu besar 
dengan setengah sumbu besar a adalah,
Apabila α dinyatakan dalam detik busur, maka
a = α d / 206265 . . . . . . . . . . . . . (7-4)

Pers. (3-11) : p = 206 265/d
a = α / p . . . . . . . . . . . . . . . . . (7-5)
dalam detik busur
dalam AU
Apabila jarak dinyatakan dalam AU dan dengan
mensubtitusikan
ke pers. (7-4) : a =  d / 206265
diperoleh,
Dari Hukum Kepler III (pers. 1-57) diperoleh :
a3
P2 4 2
G (M1 + M2)
= . . . . . . . . . . . (7-6)
M1 = massa bintang ke-1
M2 = massa bintang ke-2

= (M1 + M2)P2

p
3
Apabila massa bintang dinyatakan dalam massa
matahari, jarak dalam satuan astronomi, dan waktu
dalam tahun, maka pers. (7-6) dituliskan menjadi :
a3
P2
= (M1 + M2) . . . . . . . . . . . . (7-7)
Selanjutnya subtitusikan pers. (7-5) :
ke pers. (7-7), diperoleh :
a =  / p
. . . . . . . . . (7-8)
dari pengamatan
dari paralaks trigonometri
dari pengamatan
dapat ditentukan

Untuk menentukan massa masing-masing bintang,
perlu ditentukan orbit setiap komponen relatif terhadap
pusat massanya.
M1
M2
a1
a2
titik pusat
massa
a1 dan a2 adalah setengah
sumbu panjang orbit masing-
masing bintang
a = a1 + a2
. . . . . . . . . . (7-9)

M1
M2
M1
M2
s1
s2
Apabila S1 dan S2 adalah amplitudo
masing-masing bintang maka,
M1
M2
=
S2
S1
. . . . . (7-10)
Apabila sudut setengah sumbu
panjang masing-masing bintang
adalah 1 dan 2, maka
S1  1  a1
S2  2  a2
. . . . . . . . . . . . (7-11)
. . . . . . . . . . . . (7-12)
 = 1 + 2
dan . . . . . . . . . . . . (7-13)

Dari pers. (7-10), (7-11) dan (7-12) diperoleh,
M1a1 = M2a2
. . . . . . . . . (7-14)
Contoh :
Untuk Bintang  Centauri : P = 79,92 tahun,  = 17,66
Dari persamaan (7-7) :
3
(M1 + M2) =
p3 P2
(17.66)3
=
(0,74)3 (79,92)2
= 2,13 M
(1,22 + 1)M2 = 2,13 M M2 = 0,96 M
dan M1 = 1,17 M
p = 0,74 dan M1 /M2 = 1,22

Hubungan Massa - Luminositas
Pada sistem bintang ganda visual, magnitudo semu
bintang (magnitudo B dan V) dapat ditentukan.
 dari hubungan antara koreksi bolometrik dan indeks
warna, BC dapat ditentukan
 dari hubungan V  mbol = BC, magnitudo bolometrik
dapat ditentukan.
 dari hubungan mbol  Mbol = 5 + 5 log d, magnitudo
bolometrik mutlak dapat ditentukan.
 dari hubungan magnitudo mutlak bolometrik dan
luminositas, Mbol Mbol = 2,5 log L/L,
luminositas bintang dapat ditentukan.

Dari hasil pengamatan, untuk bintang normal tampak
adanya hubungan antara massa dengan luminositas.
+1
2
1
0
log L/L
log M/M
1 0,5 0 0,5
Kedudukan
Matahari

Hubungan massa-luminositas ini dapat didekati dengan
rumus empiris berikut,
log ( L / L ) = 4,1 log (M /M ) - 0,1 . . . (7-15)
dengan mensubtitusikan pers (4-15)
untuk log(L/L) > 1,2 (atau Mbol < 7,8)
Mbol Mbol = 2,5 log L/L,
ke pers (7-15), diperoleh
Mbol=  10,2 log (M /M ) + 4,9 . . . . . (7-16)

Keberadaan hubungan massa-luminostas
bintang ini telah diramalkan oleh
Eddington pada tahun 1926 berdasarkan
perhitungan struktur dalamnya bintang.
Secara umum hubungan massa-luminosi-
tas dinyatakan oleh :
L = a Mp . . . . . . . . . . . . . . (7-17)
parameter a dan p bergantung pada sifat fisis di dalam
bintang (komposisi kimia, mekanisme pembangkit
energi, dll)
A.S. Eddington
1882 - 1944
Beberapa pengamat mendapatkan hasil a dan p yang
berbeda-beda :

 untuk M 1,0 M a ≈ 1, p < 3,1 - 4,0
>
~
 untuk M 1,0 M a = 0,3 - 0,4 p ≈ 2
<
~
Tidak semua bintang mengikuti hubungan massa-lumi-
nositas.
✪ Bintang katai putih, menyimpang dari hubungan
massa-luminositas yang berlaku untuk bintang
normal.
✪ Juga beberapa bintang ganda berdekatan jaraknya,
ternyata massanya terlalu kecil bila ditinjau dari
luminositasnya
 disebut bintang berbobot kurang (undermassive)
atau terlampau terang (overluminous).

Apabila dari hubungan massa-luminositas dapat
ditentukan massa komponen bintang ganda, maka
paralaksnya dapat ditentukan, yaitu dari
pers. (7-8) : = (M1 + M2)P2

p
3

Paralaks Dinamika
Cara lain menentukan paralaks (jarak) dan massa
komponen bintang ganda adalah dengan paralaks
dinamika. Caranya adalah dengan mengiterasikan
persamaan (7-8) dan persamaan Pogson
mbol – Mbol = -5 + 5 log d . . . . . . . (7-18)
Untuk penetuan paralaks dinamika ini, harga , P, mbol1
dan mbol2 harus sudah diketahui (dari pengamatan), dan
langkah-langkah yang harus dilakukan adalah,

Tentukan paralaks sistem bintang ganda
p dengan menggunakan pers. (7-8)
(/p)3 = (M1 + M2)P2
Tentukan magnitudo mutlak bolometrik
untuk setiap bintang dengan mengguna-
kan persamaan Pogson (pers. 7-18)
Langkah 2 :
Langkah 3 :
mbol1 – Mbol1 = -5 + 5 log d
mbol2 – Mbol2 = -5 + 5 log d
Sebagai pendekatan pertama, ambil
massa total bintang M1 + M2 = 2
Langkah 1 :

Tentukan massa bintang ke-1 dan ke-2
dengan menggunakan hubungan massa-
luminositas (pers. 7-16)
Langkah 4 :
Mbol1=  10,2 log (M 1/M ) + 4,9
Mbol2=  10,2 log (M 2/M ) + 4,9
Langkah 5 : Ulangi langkah 2
Demikian seterusnya sampai beda harga p, M1 dan M2
dengan hasil yang diperoleh sebelumnya cukup kecil
(konvergen)
Contoh :

Bintang Ganda Astrometri
Bintang ganda visual yang pasangannya sangat lemah
sehingga tidak terlihat dengan mata, sehingga hanya
tampak sebagai bintang tunggal.
 Bukti bahwa bintang ini adalah bintang ganda,
terlihat dari gerakan bintang primer yang berkelok-
kelok, karena bintang tersebut mengelilingi titik pusat
massanya sendiri yang bergerak lurus dalam ruang.
gerak titik
pusat massa
gerak bintang primer

bintang primer 10.000 kali lebih
terang daripada bintang sekunder.
Contoh : Bintang Sirius
P = 50 tahun
m1 = - 1,58
m2 = 8,44
 Penentuan massa untuk bintang ganda visual
berlaku juga untuk bintang ganda Astrometri.
Barat
Utara
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
Sirius-A
Sirius-B

Bintang Sirius yang diabadikan dalam panjang
gelombang
Sirius-A
Sirius-B
Sirius-A
Sirius-B
Visual (kiri) Sinar-X (kanan)

Bintang Ganda Spektroskopi
Bintang ganda spektroskopi adalah bintang ganda yang
jaraknya antara dua komponennya sangat berdekatan
sehingga teleskop yang paling kuat pun tidak dapat
memisahkannya :
 tampak sebagai bintang tunggal
 periode orbitnya hanya beberapa hari.
 untuk mendeteksinya, digunakan pengamatan
spektroskopi.

Karena jarak kedua bintang berdekatan, menurut
Hukum Kepler ke-III, kecepatan orbit kedua bintang
sangat besar (beberapa ratus km/det.)
 Kedua bintang mempunyai komponen yg mendekati
dan menjauhi pengamat secara bergantian
Akibat gerakan orbit ini, garis spektrum mengalami efek
Doppler :
 garis bergerak ke arah merah
 garis bergerak ke arah biru
bintang menjauh
bintang mendekat

Kecepatan radial bintang ganda spektroskopi dapat
ditentukan dari pergeseran Doppler-nya (pers. 6-9)


Vr
c
=
Akibat gerak orbitnya, Vr selalu berubah terhadap waktu,
 Kurva yang menunjukkan perubahan kecepatan
radial terhadap waktu disebut kurva kecepatan
radial.
Bentuk kurva kecepatan radial bergantung pada
eksentrisitas orbit (e) dan bujur periastron (ω).

Dengan menganalisis kurva kecepatan radial, dapat
ditentukan :
i  tidak dapat ditentukan secara langsung
e = eksentrisitas orbit
 = bujur periastron
T = saat bintang lewat di periastron
P = periode orbit
a1 sin i = proyeksi a1 pada bidang langit
a2 sin i = proyeksi a2 pada bidang langit

http://www.sumanasinc.com/webcontent/anisamples/RadialVelocityCurve.h
Animasi Kurva Kecepatan Radial :
Kurva Kecepatan Radial :

Bentuk kurva radial
untuk orbit dengan
berbagai harga e
dan ω.
a
b
c
d
a
b
c
d
b
a
C
b
c
d 0
e = 0,5
ω =
45o
a
b
c
d
b
D
a
b
c
d
0
e = 0,5
ω =
90o
a
b
c
d
b
b
B
a
b
d
e = 0,5
ω = 0o
0
c
A
a
b
c
d 0
e = 0,0
ω = 0o

Animasi bintang ganda spektroskopi bergaris ganda
2. http://instruct1.cit.cornell.edu/courses/astro101/java/binary/binary.htm
1. http://www.astronomynotes.com/starprop/specbin-anim.gif

Bintang ganda spektroskopi dibagi dua :
 Bintang ganda spektroskopi bergaris tunggal
Jika salah satu komponen bintangnya merupakan
bintang yang sangat lemah cahayanya
akibatnya, hanya spektrum bintang terang saja
yang tampak.

 Bintang ganda spektroskopi bergaris ganda
Jika spektrum kedua komponen bintang ganda dapat
diamati.

Dalam pengamatan bintang ganda spektoskopi, gerak
bintang ditinjau relatif terhadap titik pusat massa.
a2 = setengah sumbu besar bintang sekunder
Misal : a1 = setengah sumbu besar bintang primer
M1 M2
CM
a1 a2
a = a1 + a2 a1 = a  a2
a2 = a  a1
. . . . . . . . . (7-19)

M1a1 = M2a2
Dari pers. (7-14) :
Diperoleh, a2 = a1
M2
M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . (7-20)
Dari pers. (7-19) : a2 = a  a1
dan pers. (7-20), diperoleh,
a1 = a
M1 + M2
M2
. . . . . . . . . . . . . . . (7-21)
Dengan cara yang sama diperoleh
a2 = a
M1 + M2
M1
. . . . . . . . . . . . . . . (7-22)

Penentuan Massa Komponen Bintang Ganda
Spektroskopi
 Bintang ganda spektroskopi bergaris ganda
Informasi massa komponen dapat ditentukan
sebagai berikut :
a3
P2
= (M1 + M2)
ke pers. (7-7) :
Subtitusikan pers. (7-14) : M1a1 = M2a2
diperoleh,
a3
P2
= (M1 + M2)
a1
a2
. . . . . . . (7-23)

P2 1 +
a1
a2
a3
M1 =
P2 1 +
a1
a2
(a1 + a2)3
=
atau . . . . . . (7-24)
Karena yang dapat diamati adalah a1 sin i dan a2 sin i ,
maka kalikan ruas kiri dan kanan pers. (7-24) dengan
sin3i, diperoleh :
M1 sin3 i =
P2 1 +
a1 sin3 i
a2 sin3 i
(a1 sin i + a2 sin i)3
. . . . . . (7-25)
Dengan demikian, M1 sin3i dapat dihitung

Dengan cara yang sama diperoleh :
M2 sin3 i =
P2 1 +
a2 sin3 i
a1 sin3 i
(a1 sin i + a2 sin i)3
. . . . . . . (7-26)
M1 dan M2 tidak dapat dipisahkan dari i. Karena sin i 
1, maka informasi yang diperoleh adalah batas bawah
harga M1 dan M2.
Sebagai contoh, apabila untuk suatu bintang ganda
diperoleh M1 sin3i = 10 M, maka massa bintang
tersebut > 10 M.

 Bintang ganda bergaris tunggal
Informasi yang diperoleh hanya dari pengamatan
satu komponen saja.
a3
P2
= (M1 + M2)
Dari pers. (7-7) :
a1 = a
M1 + M2
M2
dan pers. (7-21) :
diperoleh =
P2
a1
3 sin3 i
M2
3 sin3 i
(M1 + M2)2
. . . . . . . . (7-27)
Karena a1 sin i dan P dapat diamati, maka ruas kiri
dapat dihitung.

f(M1, M2) =
M2
3 sin3 i
(M1 + M2)2
. . . . . . . . (7-28)
fungsi massa
=
P2
a1
3 sin3 i
M2
3 sin3 i
(M1 + M2)2
. . . . . . . . (7-27)

Bintang Ganda Gerhana
Bintang ganda gerhana adalah bintang ganda yang
berdekatan dimana salah satu komponennya melintasi
dan menutupi pasangannya secara bergantian
Karena ada bagian bintang yang tertutup, maka cahaya
bintang akan tampak lebih redup pada saat gerhana.
 Akibatnya, cahaya pasangan bintang ini tampak
berubah-ubah secara berkala: redup, terang
(variabel).

bintang
sekunder
A
B
C
D
A
B
bintang
premier
A
B
C
D
kurva
cahaya
Perubahan cahaya bintang ganda gerhana dapat
diamati dengan fotometri
 Kurva yang menunjukkan perubahan kuat cahaya
terhadap waktu disebut kurva cahaya
I
t
satu periode orbit (P)

Seperti halnya kecepatan radial, kurva cahaya juga
dapat memberikan informasi mengengenai e dan ω.
 Analisis yang cermat pada kurva cahaya, juga
memberikan informasi mengenai sudut inklinasi i.
 Gambar a dan b kurva
cahaya untuk bintang ganda
gerhana yang radius kedua
komponennya sama besar
 Gambar c dan d kurva cahaya
untuk bintang ganda gerhana
yang radius kedua kompo-
nennya berbeda
i = 90o
i < 90o
Periode
i = 90o
i < 90o
a
b
c
d

 Jarak yang dekat menyebabkan kecepatan orbit
besar. Karena itu, sebagian besar bintang ganda
gerhana adalah juga bintang ganda spektroskopi.
Kemungkinan terjadi gerhana pada pasangan bintang
ganda lebih besar jika jarak antara kedua bintang
berdekatan.
 Bila jaraknya cukup dekat, gerhana dapat terjadi
walaupun inklinasi (kemiringan) orbit terhadap
bidang langit (sudut i) berbeda cukup besar (> 90o).
Animasi Bintang Ganda Gerhana
1. http://instruct1.cit.cornell.edu/courses/astro101/java/eclipse/eclipse.htm
2. Starlight Project

RA
Penentuan Radius Komponen Bintang Ganda
Gerhana
2RB
dt
de
te
tt
t
I
Perhatikanlah gambar di samping.
dt = 2RA 2RB
de = 2RA + 2RB
dt = ?
de = ?
 de ditempuh dalam waktu te
te dan tt dapat ditentukan
dari kurva cahaya
 dt ditempuh dalam waktu tt
Bintang A
Bintang B
. . . . . . (7-29)
. . . . . . (7-30)

Misalkan bintang B mengorbit bintang A dalam lintasan
yang berupa lingkaran dengan radius rB
Bintang A
Bintang B
rB
Jika P adalah periode orbit
bintang B, maka kecepatan
radial bintang B adalah,
Vr = 2π rB / P . . . . . . . . (7-31)
Dapat ditentukan dari
spektrumnya (pergeseran
Doppler)
dapat ditentukan dari
kurva cahaya
dapat dicari

(2RA  2RB)
2π rB
tt
P
= . . . . . . . . . . . . . . (7-32)
(2RA + 2RB)
2π rB
te
P
=
. . . . . . . . . . . . . . (7-33)
Periode orbit bintang B (P) sebanding dengan tt dan te,
sehingga
dan
Kurangkan pers. (7-33) dengan (7-32) diperoleh,
π rB (te  tt)
2P
RB = . . . . . . . . . . . . . . . (7-34)

Selanjutnya tambahkan pers. (7-33) dengan (7-32)
diperoleh,
π rB (te + tt)
2P
RA = . . . . . . . . . . . . . . (7-34)
Karena te, tt, rB dan P dapat ditentukan, maka RA dan RB
dapat dicari.

http://www.astronomynotes.com/starprop/eclipse-size.gif
Animasi kurva cahaya

Penentuan Massa Bintang Ganda Gerhana
Karena bintang ganda gerhana termasuk juga bintang
ganda spektroskopi, maka :
 a1 sin i dan a2 sin i dapat diamati
 sehingga M1 sin3i dan M2 sin3i dapat ditentukan.
Catatan : Untuk bintang ganda gerhana i > 75o
sehingga sin3i ≥ 0,90  Jika ada kesalahan dalam
penentuan i, kesalahannya paling besar 10%
 karena i dapat ditentukan dari kurva cahayanya
maka M1 dan M2 dapat ditentukan.
 Karena M1, M2, R1 dan R2 dapat ditentukan, maka
volume kedua bintang juga dapat ditentukan.

Kurva cahaya dan kurva kecepatan radial bintang
ganda gerhana ζ Phoenicis

Bintang ganda 61 Cygni adalah bintang yang pertama
diukur parallaksnya. Dari hasil pengukuran tersebut
diperoleh : parallaks p = 0,”29, separasi sudut  = 30”,
magnitudo semunya m1 = 5,2 dan m2 = 6,0, dan
periodenya P = 722 tahun. Tentukanlah massa total
sistem bintang ganda ini.
Contoh Soal :

Jawab :
Jarak 61 Cygni adalah r = 1/p = 1/0,29 = 3,448 pc
Karena  = 30” = (30/3600)(0,0175) = 0,0001454 rad
<<, maka jarak kedua bintang adalah,
a = r  = 3,448(0,0001454) = 0,00050 pc = 103,1 AU
Massa kedua bintang dapat ditentukan dari pers
.m1 + m2 = a3/P2 = (103,1)2/(722)2 = 2,1 M

Mekanika Benda Langit (TPOA 2013).ppt

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Mekanika Benda Langit (TPOA 2013).ppt

Similar to Mekanika Benda Langit (TPOA 2013).ppt (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Mekanika Benda Langit (TPOA 2013).ppt