1. Rifki C Nugraha adalah pemateri webinar GMOM 2022-2023 dan mengundang peserta untuk berpartisipasi dalam challenge unggahan Instagram.

1. Oleh Rifki C. Nugraha

2. Rifki C Nugraha, S.Pd.
Mathematics Enthusiast
• Pemateri GMOM 2022-2023
• Tutor Matematika 2019-2023
• Anggota Tim UPI dalam KNMIPA
dan KNMIPA LPTK 2021

3. 1. Mengikuti Webinar GMOM
2. Membuat Instagram Story berisikan dokumentasi mengikuti rangkaian
webinar kegiatan GMOM
3.Sertakan caption/kesan mengikuti webinar hari ini dan mention akun
@penma.10 dan @rifki.cn
4.Bagi yang terpilih akan mendapatkan hadiah berupa uang tunai
sebesar Rp150.000,00 untuk 3 orang pemenang.
5.Batas akhir upload Rabu, 27 September 2023 pukul 18.00 WIB,
pengumuman pemenang challenge diumumkan via WhatsApp Group
pada Kamis pukul 18.00 WIB
6.Ditunggu partisipasinya.

4. - Carl Friedrich Gauss

5. Keterbagian Faktor Positif Fungsi Tau (τ)
Perkalian
Faktor Positif
Penjumlah
Faktor Positif
Fungsi Phi
Euler
Sifat Bilangan
Kuadrat

6. Suatu 𝑏 ∈ ℤ dikatakan dapat dibagi oleh 𝑎 ∈ ℤ, 𝑎 ≠
0, disimbolkan dengan
𝑎|𝑏
jika ∃𝑘 ∈ ℤ, sedemikian sehingga
𝑏 = 𝑎𝑘
Jika 𝑎 tidak membagi 𝑏, dinotasikan dengan
𝑎 ∤ 𝑏
𝑎 disebut juga faktor dari 𝑏.

7. 12 = 22
. 3
Faktor dari 12 berbentuk 2𝑎
. 3𝑏
0 ≤ 𝑎 ≤ 2 3 𝑘𝑒𝑚𝑢𝑛𝑔𝑘𝑖𝑛𝑎𝑛
0 ≤ 𝑏 ≤ 1 2 𝑘𝑒𝑚𝑢𝑛𝑔𝑘𝑖𝑛𝑎𝑛
1, 2, 3, 4, 6, 12
20
30
, 21
. 30

8. Misalkan 𝑛 ∈ ℕ, dengan faktorisasi prima sebagai berikut
𝑛 = 𝑝1
𝑘1
× 𝑝2
𝑘2
× ⋯ × 𝑝𝑚
𝑘𝑚
= ෑ
𝑖=1
𝑚
𝑝𝑖
𝑘𝑖
Maka banyaknya faktor positif dari 𝑛 (dinotasikan 𝜏(𝑛))
adalah
𝜏 𝑛 = 𝑘1 + 1 𝑘2 + 1 … 𝑘𝑚 + 1 = ෑ
𝑖=1
𝑚
𝑘𝑖 + 1
(𝝉)

9. Faktorisasi prima dari 12
12 = 22
. 3
Maka banyaknya faktor positif dari 12 adalah
𝜏 12 = 2 + 1 1 + 1 = 6

10. Soal 1:
Banyaknya faktor positif dari 𝟗𝟎𝟐
yang lebih kecil dari
𝟗𝟎 adalah …
5, 45, 9, 44, 11, 12,15,45
Faktorisasi prima dari
90 = 2.32
. 5 → 902
= 22
34
52
Sehingga banyaknya faktor positif dari 902
adalah
𝜏 902
= 2 + 1 4 + 1 2 + 1 = 45
Perhatikan bahwa faktor positif dapat dipasangkan
1 × 902
, 2 × 4050
902
2
, … , 90 × 90
Karena 90 berpasangan dengan dirinya, maka sisa faktor 902
ada 44 faktor
Sehingga faktor positif <90 ada 22

11. 1. Banyaknya faktor positif pada
bilangan :
- Kuadrat adalah ganjil
- Non-Kuadrat adalah genap
Contoh
- 36 = 22
. 32
→ 𝜏 36 = 9
- 20 = 22
. 5 → 𝜏 20 = 6
Jika 𝑎 bilangan kuadrat, maka
𝜏 𝑎 ganjil
2. Suatu bilangan kuadrat jika
dibagi 4 maka akan bersisa 0
atau 1
Contoh
- 4 = 4.1 + 0
- 9 = 4.2 + 1
- 36 = 4.9 + 0
- 81 = 4.20 + 1

12. Diberikan bilangan asli 𝑎, 𝑏, 𝑐 < 100, sedemikian sehingga
𝑎 = 4𝑏 + 3, 𝑏 = 4𝑐 + 3
Jika nilai 𝜏(𝑎) + 𝜏(𝑏) + 𝜏(𝑐) adalah ganjil, maka banyak pasangan
𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah …
9, 5 ,11
𝜏 𝑛 = 𝑘1 + 1 𝑘2 + 1 …
Perhatikan bahwa 𝑎 dan 𝑏 jika dibagi 4 bersisa 3, artinya 𝑎 dan 𝑏
bilangan non kuadrat. Sehingga 𝜏 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝜏 𝑏 genap
Diketahui nilai 𝜏(𝑎) + 𝜏(𝑏) + 𝜏(𝑐) ganjil, maka haruslah 𝜏 𝑐 ganjil
Akibatnya 𝑐 bilangan kuadrat kurang dari 100, kemungkinannya
yaitu 1,4,9, … , 81
Soal 2

13. 𝑐 = 1
𝑏 = 7, 𝑎 = 31 → 31,7,1
𝑐 = 4
𝑏 = 19, 𝑎 = 79 → 79,19,4
𝑐 = 9
𝑏 = 39, 𝑎 > 100 → 𝑇𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖
Jadi ada berapa pasang? Ada 2 pasang
Soal 2

14. Contoh: 12
Faktor : 1,2,3,4,6,12,
dipasangkan menjadi
1 × 12 = 12
2 × 6 = 12
3 × 4 = 12
Jika ketiga
persamaan tersebut
dikalikan, maka
didapat ….
1.2.3.4.6.12 = 123
Setiap faktor
positif bilangan
non-kuadrat
memiliki pasangan.

15. Diberikan 𝑛 ∈ ℤ, hasil kali
semua faktor positif 𝑛
adalah
𝑛
𝜏 𝑛
2

16. Berapa hasil kali faktor positif dari 12
𝑛
𝜏 𝑛
2 = 12
6
2 = 123
Berapa hasil kali faktor positif dari 36
36 = 2.3 2
𝑛
𝜏 𝑛
2 = 36
9
2 = 69

17. Soal 3:
Misalkan 𝒏 = 𝟐𝒂
𝟑𝒃
, dengan 𝒂, 𝒃 ∈ ℕ. Jika hasil kali semua
faktor positif dari 𝒏 adalah 𝟏𝟐𝟗𝟎
, maka nilai 𝒂𝒃 adalah …
72, 70, 270, 180, 85, 120, 360, 41, 32, 20, 153, 45, 44, 16200
Berdasarkan teorema didapat
𝑛
𝜏 𝑛
2 = 1290
2𝑎
. 3𝑏
𝑎+1 𝑏+1
2 = 1290
2
𝑎 𝑎+1 𝑏+1
2 3
𝑏 𝑎+1 𝑏+1
2 = 22
. 3 90
= 2180
. 390
𝑎 𝑎 + 1 𝑏 + 1
2
= 180 𝑑𝑎𝑛
𝑏 𝑎 + 1 𝑏 + 1
2
= 90
𝑎 𝑎 + 1 𝑏 + 1 = 360 𝑑𝑎𝑛 𝑏 𝑎 + 1 𝑏 + 1 = 180
Bagi persamaan kiri dengan kanan sehingga didapat
𝑎
𝑏
= 2 → 𝑎 = 2𝑏

18. 𝑏 𝑎 + 1 𝑏 + 1 = 180
𝑏 2𝑏 + 1 𝑏 + 1 = 180
𝑏 2𝑏 + 1 𝑏 + 1 − 180 = 0
Cari nilai b dengan cara pemfaktoran ataupun cara lainnya
𝑏 = 4 → 𝑎 = 8
Artinya
𝑎𝑏 = 32

19. Misalkan 𝑛 ∈ ℕ, dengan faktorisasi prima sebagai berikut
𝑛 = 𝑝1
𝑘1
× 𝑝2
𝑘2
× ⋯ × 𝑝𝑚
𝑘𝑚
= ෑ
𝑖=1
𝑚
𝑝𝑖
𝑘𝑖
Maka hasil penjumlahan faktor positifnya adalah
𝜎 𝑛 =
𝑝1
𝑘1+1
− 1
𝑝1 − 1
𝑝2
𝑘2+1
− 1
𝑝2 − 1
…
𝑝𝑚
𝑘𝑚+1
− 1
𝑝𝑚 − 1
𝜎 𝑛 = ෑ
𝑖=1
𝑚
𝑝𝑖
𝑘𝑖+1
− 1
𝑝𝑖 − 1
𝝈

20. Misalkan 12
12 = 22
. 3
Faktornya adalah 1,2,3,4,6,12, jumlahkan
semua
1 + 2 + 3 + ⋯ + 12
20
. 30
+ 21
. 30
+ 20
31
+ ⋯ + 22
3
20
+ 21
+ 22
30
+ 31
Dihitung menggunakan deret geometri
𝜎 12 =
1 23
− 1
2 − 1
.
1 32
− 1
3 − 1
= 28
𝜎 𝑛 =
𝑝1
𝑘1+1
− 1
𝑝1 − 1
𝑝2
𝑘2+1
− 1
𝑝2 − 1
…

21. Soal 4:
Jumlah semua faktor positif genap dari 𝟗𝟎𝟐
adalah
Faktorisasi prima dari 902
= 22
34
52
, maka semua faktor positifnya adalah
𝜎 902
= 20
+ ⋯ + 22
30
+ ⋯ + 34
50
+ ⋯ + 52
Yg diinginkan adalah yg genap saja, perhatikan bentuk
2𝑎
3𝑏
5𝑐
3 dan 5 jika dipangkatkan akan bernilai ganjil, sehingga penentunya adalah 2𝑎
. Tetapi
hanya 21
dan 22
yang bernilai genap, sehingga 20
kita buang
Maka hasilnya menjadi
21
+ 22
30
+ ⋯ + 34
50
+ ⋯ + 52
= 6
35
− 1
3 − 1
53
− 1
5 − 1
= 22506

22. Bentuk faktor dari 902
adalah 2𝑎
3𝑏
5𝑐
Perhatikan bahwa 3𝑏
5𝑐
ganjil, maka perlu dikali 2, 4 (didapat dari 2𝑎
)

23. Fungsi ini menghitung banyaknya
bilangan bulat positif yang kurang dari
dan relative prima dari suatu bilangan
bulat.
Contoh
𝜙 12
1,2,3,…,11
Relatif prima
𝝓

24. 𝜙 12
Bilangan positif kurang dari 12 adalah
1,2,3,…,11
Suatu bilangan bulat a dan b dikatakan
relative prima, jika 𝐹𝑃𝐵 𝑎, 𝑏 = 1
Bilangan yang Relatif prima dengan 12
adalah 1, 5, 7, 11
Ada 4 bilangan

25. 𝜙 𝑛 = 𝑛 1 −
1
𝑝1
1 −
1
𝑝2
…
Menghitung banyaknya bilangan bulat
positif yang kurang dari 12 dan relative
prima dengan 12
𝜙 12 = 12 1 −
1
2
1 −
1
3
= 4

26. Soal 5
Suatu bilangan bulat positif 𝒏 memiliki 𝟒 faktor positif sedemikian
sehingga 𝝈 𝒏 = 𝟐𝟏𝟏𝟐. Banyaknya faktor positif yang kurang dari dan
relative prima terhadap n adalah 𝝓 𝒏 = 𝟏𝟗𝟑𝟐 . Hitunglah hasil
penjumlahan semua semua faktor positif 𝒏 selain 𝒏 (proper divisor).
Stanford Mathematics Tournament (SMT) 2021
Diketahui 𝑛 memiliki 4 faktor positif, maka 𝑛 berbentuk 𝑛 = 𝑝3
atau 𝑛 = 𝑝𝑞,
dengan 𝑝 dan 𝑞 bilangan prima yang berbeda.
Kasus 1. misalkan 𝑛 = 𝑝3
Perhatikan bahwa 𝜙 𝑛 < 𝑛 < 𝜎 𝑛
Karena
𝜙 𝑛 = 𝑛 1 −
1
𝑝
= 𝑝3
1 −
1
𝑝
< 𝑝3
= 𝑛
𝜎 𝑛 =
𝑝4
− 1
𝑝 − 1
= 𝑝3
+ 𝑝2
+ ⋯ > 𝑝3
= 𝑛

27. Sehingga
113
= 1331 < 1932 = 𝜙 𝑛 < 𝑛 = 𝑝3
< 𝜎 𝑛 = 2112 < 2197 = 133
113
< 𝑝3
< 133
→ 11 < 𝑝 < 13
Karena 𝑝 prima, maka tidak ada 𝑝 yang memenuhi 11 < 𝑝 < 13
Maka kesimpulannya 𝑛 ≠ 𝑝3
Case 2. misalkan 𝑛 = 𝑝𝑞
𝜎 𝑛 = 1 + 𝑝 + 𝑞 + 𝑝𝑞
𝜙 𝑛 = 𝑛 1 −
1
𝑝
1 −
1
𝑞
= 𝑝𝑞 − 𝑝 − 𝑞 + 1
Yang kita cari adalah penjumlahan proper divisornya, yaitu 1 + 𝑝 + 𝑞
𝑝 + 𝑞 + 1 =
𝜎 𝑛 − 𝜙 𝑛
2
+ 1 =
2112 − 1932
2
+ 1 = 91

28. 1. Banyaknya bilangan bulat diantara barisan
berikut
2023
1
,
2022
2
,
2021
3
,
2020
4
, … ,
1
2023
adalah
…….[Hint: 2024]
2. Diberikan 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 < 100, bilangan 𝑛
terbesar sehingga jumlah faktor positifnya
bernilai ganjil adalah … [Hint: tidak perlu
berpikir terlalu jauh, terkadang coba-coba
juga membuahkan hasil]

29. Diberikan sembarang 𝑑 ∈ ℤ, 𝑑 > 0, misalkan 𝑓(𝑑)
adalah bilangan bulat terkecil yang memiliki tepat
𝑑 faktor positif.
Contoh:
𝑓 1 = 1, 𝑓 2 = 2, 𝑓 5 = 16, dan 𝑓 6 = 12.
Buktikan bahwa untuk setiap 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 ≥ 0 berlaku
𝑓 2𝑞
membagi 𝑓 2𝑞+1
.
Diambil dari buku Problem Shortlist IMO – No. N1

30. Panduan ini berdasarkan jawaban resmi IMO,
diterjemahkan dan disertai penjelasan alur
menggunakan gaya bahasa saya. Saya sarankan Bapak
dan Ibu mencoba mengerjakan soal terlebih dahulu
sebelum melihat panduan ini. Saya selalu terbuka
untuk koreksi dan perbaikan. Mari bersama-sama
meningkatkan pemahaman matematika siswa
Indonesia.
Terimakasih
Rifki C Nugraha
Disclaimer

31. Pendahuluan
Karena akan membuktikan 𝑓 2𝑞
| 𝑓 2𝑞+1
, kita perlu melihat sedikit
gambaran soalnya terlebih dahulu.
Perhatikan
𝑞 = 0 → 𝑗𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎 𝑓 20
|𝑓 21
Maksudnya
𝑓 1 = 1|𝑓 2 = 2 → 1|2
Jelas bahwa 1 membagi 2
Selanjutnya kita coba 𝑞 = 2
→ 𝐴𝑝𝑎𝑘𝑎ℎ 𝑓 22
|𝑓 23
?
𝑓 4 = ⋯ |𝑓 8 = ⋯ → … | …
Apakah sudah cukup jelas? Jika belum silahkan pilih 𝑞 lainnya.

32. Bukti:
Akan ditunjukan bahwa untuk setiap 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 ≥ 0 berlaku
𝑓 2𝑞
| 𝑓 2𝑞+1
.
Misalkan faktorisasi prima dari 𝑛 adalah
𝑛 =…………………………………………………………(1)[Bentuk umum faktorisasi prima]
Maka nilai dari 𝜏(𝑛) adalah
𝜏(𝑛) =………………………………………………….(2)[Bentuk umum fungsi τ]
Karena 𝑓 2𝑞
, maka nilai
𝜏(𝑛) =…………(3)[Jumlah faktor positif dari 𝑛]

33. Agar 𝜏(𝑛) bernilai seperti pada isian nomor (3), maka ada bilangan
bulat 𝑏𝑖 ≥ 0 sedemikian sehingga
𝑘𝑖 = 2𝑏𝑖 − 1 = 1 + 2 + 4 + ⋯ + 2𝑏𝑖−1
(4) Mengapa 𝑘𝑖 = 2𝑏𝑖 − 1?
……………………………………………………………………………………………………………
(5) Mengapa 2𝑏𝑖 − 1 = 1 + 2 + 4 + ⋯ + 2𝑏𝑖−1
?
……………………………………………………………………………………………………………
Berdasarkan hal tersebut, didapat
𝑛 = ෑ
𝑖=1
𝑚
𝑝𝑖
𝑘𝑖
= ෑ
𝑖=1
𝑚
ෑ
𝑗=0
𝑏𝑖−1
𝑝…
2…
6 , 𝜏(𝑛) = ⋯ (3), Σ𝑏𝑖 = ⋯ (7)
(7) Jelaskan bagaimana menemukan nilai Σ𝑏𝑖

34. Misalkan 𝑆 adalah himpunan bilangan yang berbentuk 𝑝2𝑟
dengan 𝑝 prima dan 𝑟 bilangan bulat non-negatif.
Maka 𝜏(𝑛) = ⋯ (3) jika dan hanya jika 𝑛 adalah perkalian
berhingga dari anggota himpunan 𝑇 ⊂ 𝑆,
𝑛 =……………………………(8)[Faktorisasi prima menggunakan anggota 𝑇]
Yang memenuhi kondisi berikut:
Untuk semua 𝑡 ∈ 𝑇 dan 𝑠 ∈ 𝑆 dengan 𝑠|𝑡, maka 𝑠 ∈ 𝑇.
………………………………………………………………………...(9) Buktikan kalimat tersebut.
Lebih jauh lagi, jika 𝜏(𝑛) = ⋯ (3) maka himpunan 𝑇 yang
bersesuaian memiliki 𝑞 anggota.

35. Berdasarkan kondisi tersebut, himpunan 𝑇𝑞 memuat
element 𝑞 terkecil dari 𝑆. Sehingga, untuk suatu 𝑞, nilai 𝑛
terkecil dengan 𝜏(𝑛) = ⋯ (3) adalah perkalian dari
anggota himpunan 𝑇𝑞. 𝑛 tersebut adalah 𝑓 2𝑘
Jelas bahwa 𝑇𝑞 ⊂ 𝑇𝑞+1, akibatnya
𝑓 2𝑘
|𝑓 2𝑘+1
…………………………………………………….………………………Q.E.D.
(Quod Erat Demonstrandum)