Penyelesaian Persamaan Matriks Bentuk AX=B dan XA=B dengan Invers Matriks dan aturan Cramer

1. 1

2. 1. Penyelesaian Persamaan Matriks Bentuk
AX=B Dan XA= B
2
Dalam menyelesaikan persamaan matriks
bentuk AX=B dan XA=B digunakan konsep
invers matriks.
Jika A dan B merupakan matriks berordo sama
dengan A matriks non singular (|A|  0) maka
untuk mencari matriks X sebagai berikut :
1. Persamaan AX=B  X=A-1B
2. Persamaan XA=B  X=BA-1

3. Contoh :
Misalkan A= dan B= , tentukan matriks X yang
memenuhi persamaan :
a. A X = B
b. X A = B
Jawab :
A= maka |A|=
3








1
4
1
5







 
1
0
2
1








1
4
1
5
1
4
5
1
4
1
5


























5
4
1
1
5
4
1
1
1
1
)
A
(
adj
A
1
A 1
-

4. a. AX=B  X=A-1B b. XA=B  X=BA-1
4













































3
4
1
1
5
8
0
4
1
2
0
1
1
0
2
1
5
4
1
1
X












































5
4
11
9
5
0
4
0
10
1
8
1
5
4
1
1
1
0
2
1
X

5. 2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Dua Variabel dengan Invers Matriks
5
Perhatikan bentuk umum :
a1x+ b1y = c1
a2x+ b2y = c2
Bentuk diatas dapat ditulis dalam bentuk
perkalian matriks koefisien dengan variabelnya,
yaitu :

























2
1
2
2
1
1
c
c
y
x
b
a
b
a

6. 6
Langkah-langkah dalam menyelesaikan sistem
persamaan linier dengan menggunakan invers
matriks sebagai berikut:
1. Nyatakan sistem persamaan linier tersebut
kedalam bentuk matriks
2. Tentukan matriks koefisien dari sisitem
persamaan linier tersebut
3. Tentukan invers dari matriks koefsien
4. Gunakan konsep AX=B

7. Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
linier berikut dengan menggunakan metode invers matriks
2x – 3y = –4
–x + 2y = 3
Jawab :
Langkah 1
7







 



















3
4
2
1
3
2
y
x
A X B
=
Langkah 2
Matriks koefisien dari sistem
persamaan tersebut adalah











2
1
3
2
A

8. 8
Langkah 3
Akan dicari invers matriks A








































2
1
3
2
2
1
3
2
1
1
2
1
3
2
3
4
1
)
A
(
adj
A
1
A
2
1
3
2
A
1
-
Langkah 4
A X = B  X = A-1 B





































 









2
1
6
4
9
8
3
4
2
1
3
2
X
y
x
Jadi HP = {(1, 2)}

9. 3. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Dua Variabel dengan Aturan Cramer
9
Perhatikan bentuk umum :
a1x+ b1y = c1
a2x+ b2y = c2
Bentuk diatas dapat ditulis dalam bentuk
perkalian matriks koefisien dengan variabelnya,
yaitu :

























2
1
2
2
1
1
c
c
y
x
b
a
b
a

10. 10
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
dengan
c
a
c
a
D
b
c
b
c
D
b
a
b
a
D
y
x



D
D
y
D
D
x
y
x

 dan

11. 11
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
dibawah dengan menggunakan Aturan Cramer
2x – 3y = –4
–x + 2y = 3
Jawab :

























3
4
2
1
-
3
-
2
:
matriks
bentuk
y
x
2
4
6
3
1
4
2
D
1
9
8
)
9
(
8
2
3
3
4
D
1
3
4
2
1
-
3
-
2
D
y
x





















2
1
2
1
1
1






D
D
y
D
D
x
y
x

12. 12
LATIHAN
1. Zoel dan Ade pergi ke kios pulsa. Zoel membeli
3 buah kartu perdana A dan 2 buah kartu
perdana B. Untuk itu, Zoel harus membayar Rp.
53.000,-. Ade membeli 2 buah kartu perdana A
dan sebuah kartu perdana B, untuk itu Ade
harus membayar Rp. 32.500,-. Tentukan harga
sebuah kartu perdana A dan sebuah kartu
perdana B ! (gunakan metode invers)
2. Harga 3 baju dan 2 kaos adalah Rp. 280.000,-
sedangkan harga 1 baju dan 3 kaos adalah Rp.
210.000,-. Tentukan harga 6 baju dan 5 kaos !
(gunakan metode cramers)

13. 3. Seorang pedagang menjual dua jenis
komoditas campuran. Komoditas jenis
pertama merupakan campuran dari 10
kg kualitas A dan 30 kg kualitas B,
sedangkan komoditas jenis kedua
merupakan campuran dari 20 kg
kualitas A dan 50 kg kualitas B. Harga
komoditas jenis pertama Rp. 100.000,-
dan jenis kedua Rp. 170.000,-.
Tentukan harga masing-masing
kualitas per kilogram!
13

14. 14