1. Kongruensi Linear Simultan
Di susun Oleh :
Tengku Hafinda ( 1006103060043)
Lisa Ramadhanni (10061030600 )
Satriadi (10061030600 )

2. Kongruensi Linear Simultan
Sistem kongruensi simultan adalah sistem kongruesi linear dengan
permasalahan mencari penyelesaian simultan.
1. Cara iterasi
Secara umum kongruensi linear simultan:
x a (mod m)
x b (mod n)
dapat diselesaikan secara iterasi jika:
x a (mod m) → x = a +mk (k Z)
{ x = (a +mk) dan x a (mod m) } → (a +mk) b (mod n) → mk (b-a) (mod n)
Menurut dalil, jika d = (m,n) maka kongruensi mk b-a (mod n) dapat
diselesaikan jika d │(b-a), atau a b (mod d) atau a b (mod [m,n]).
Jadi dua kongruensi simultan dapat diselesaikan dengan syarat:
a b (mod d), d │ (b-a) , d │ (a-b), (m,n)│(b-a) ,(m,n) │ (a-b)
d = (m,n) → (d │ m dan d │n).
m n (b a )
Jika d | m , d │n dan d │(b-a) maka , , Z.
d d d
m n (b a ) mk (b a ) n
{ , , Z dan mk b-a (mod n) → ( mod )}
d d d d d d
m n
Dari teorema sebelumnya jika d = (m,n) maka ( , )=1
d d
m n mk (b a ) n
Jika ( , ) = 1 dan ( mod ), maka
d d d d d

3. mk (b a ) n
( mod ) mempunyai 1 selesaian.
d d d
Misalkan selesaian yang dimaksud adalah k = ko sehingga selesaian kongruensi
adalah
n n
k ko (mod ) atau k = ko + r, r Z.
d d
n
Karena x = (a + mk) dan k = ko + r, maka
d
x = a + mk
n
= a + m (ko + r)
d
mn
= ( a + m ko + r)
d
= ( a + m ko ) + [m,n].r ; sebab [m,n](m,n) = m.n
= xo + [m,n]r, sebab xo = ( a + m ko )
= xo (mod [m,n])
Jadi x ≡ xo (mod [m,n])
Contoh :
Selesaikan dua kongruensi linear simultan:
x ≡ 3(mod 8)
x ≡ 7(mod 10)
Penyelesaian :
Karena x ≡ 3(mod 8) , maka x = 3 + 8t (t Z) , sehingga: x = 3 + 8t di
subsitusikan ke x ≡ 7(mod 10).
3 + 8t ≡ 7(mod 10)
8t ≡ (7-3)(mod 10)

4. 8t ≡ 4(mod 10)
Karena d = (8,10) = 2│4 atau 2 │(7-3) , maka kongruensi 8t ≡ 4(mod 10)
mempunyai dua penyelesaian modulo 10.
8t ≡ 4(mod 10)
4t ≡ 2(mod 5)
t ≡ 3(mod 5)
jadi : t ≡ 3(mod 5) atau t ≡ 8(mod 10)
dari t ≡ 3(mod 5) atau t = 3 + 5r ( r Z ), dan x = 3 +8t, maka dapat dicari :
x = 3 +8t
= 3 + 8(3 + 5r)
= 3 + 24 + 40r
x = 27 + 40r ( r € Z ) atau x ≡ 27(mod 40)
sehingga :
penyelesaian sistem kongruensi simultan adalah :
x ≡ 27(mod 40) atau x 27 (mod [8,10])
Selesaikan dua kongruensi linear simultan:
x 15 (mod 51)
x 7 (mod 42)
Penyelesaian :
Karena (51,42) = 3 dan 15 7 (mod 3) atau 3 ┼ 15 –7 , maka kongruensi
simultan di atas tidak mempunyai selesaian.
Selesaikan dua kongruensi linear simultan:
x 13 (mod 16)
x 5 (mod 14)
Penyelesaian :

5. Karena 13 5 (mod 2) atau 2 │(13-5), maka ada dua kongruensi linear
simultan mempunyai penyelesaian.
x 13 (mod 16) → x = 13 + 16s (s Z)
{x = 13 + 16s dan x 5 (mod 14) } → 13 + 16s 5 (mod 14)
→ 16s (5 -13) (mod 14)
→ 16s -8 (mod 14)
→ 16s 6 (mod 14)
→ 8s 3 (mod 7)
→ s 3 (mod 7)
→ s = 3 +7r (r Z)
{x = (13 + 16s) dan s = 3 +7r } → x = 13 + 16(3 +7r)
= 13 + 48 +112r
= 61 +112r
x ≡ 61 (mod 112)
x ≡ 61 (mod [16,14])
Jadi penyelesaian kongruensi linear simultan adalah x ≡ 61 (mod 112)
Cara lain yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian kongruensi
linear simultan adalah dengan menentukan nilai-nilai yang memenuhi masing-
masing kongruensi dan kemudian mencari nilai persekutuan dari kedua
kongruensi. Cara ini praktis dan sederhana namun menjadi sulit bila bilangan
yang dioperasikan dalam kongruensi adalah bilangan-bilangan yang besar.
x 13 (mod 16) → x ≡ (13,29,45,61,77,93,109,125,...)(mod 16)
x 5 (mod 14) → x ≡ (5,19,33,47,61,75,89,103,...)(mod14)
Dari nilai-nilai x bagian kanan dapat diketahui bahwa nilai persekutuannya
adalah 61 sehingga penyelesaian simultan adalah x ≡ 61 (mod [16,14])
Selesaikan dua kongruensi linear simultan :
x ≡ 5 (mod 11)
x ≡ 3 (mod 23)

6. Penyelesaian :
x ≡ 5 (mod 11) → x = 5 +11m (m Z)
{x = 5 + 11m dan x 3 (mod 23) } → 5 + 11m 3 (mod 23)
→ 11m (3 -5) (mod 23)
→ 11m -2 (mod 23)
→ 22m -4 (mod 23)
→ -m -4 (mod 23)
→ m 4 (mod 23)
→ m = 4 +23m (m Z)
{x = (5 + 11s) dan m = 4 +23m } → x = 5 + 11(4 +23m)
= 13 + 44 +253m
= 49 +253m
x ≡ 49 (mod 253)
x ≡ 49 (mod [11,23])
Jadi penyelesaian kongruensi linear simultan adalah x ≡ 49 (mod 253)
Cara lain :
x 5 (mod 11) → x ≡ (5,16,27,38,49,60,71,82,...)(mod 11)
x 3 (mod 23) → x ≡ (3,26,49,72,95,118,141,...)(mod23)
Dari nilai-nilai x bagian kanan dapat diketahui bahwa nilai persekutuannya
adalah 49 sehingga penyelesaian simultan adalah x ≡ 49 (mod [11,23]).
Selesaikan dua kongruensi linear simultan :
12x ≡ 3 (mod 15)
10x ≡ 14 (mod 8)
Penyelesaian :
12x ≡ 3 (mod 15) → 4x ≡ 1 (mod 5) → x ≡ 4 (mod 5)
10x ≡ 14 (mod 8) → 5x ≡ 7 (mod 4) → x ≡ 3 (mod 4)

7. x ≡ 4 (mod 5) → x = 4 +5p (p Z)
{x = 4 +5p dan x ≡ 3 (mod 4) } → 4 +5p 3 (mod 4)
→ 5p (3 -4) (mod 4)
→ 5p -1 (mod 4)
→ p 3 (mod 4)
→ p = 3 +4q (q Z)
{x = (4 +5p) dan p = 3 +4q } → x = 4 +5(3 +4q)
= 4 + 15 +20q
= 19 +20q
x ≡ 19 (mod 20)
Karena [15,8] = 120, maka x ≡ (19,39,59,79,99,119)(mod 20)
Cara lain :
x ≡ 4 (mod 5) → x ≡ (4,9,14,19,24,29,34,39,...)(mod 5)
x ≡ 3 (mod 4) → x ≡ (3,7,11,15,19,23,27,31,35,...)(mod 4)
Jadi penyelesaian kongruensi linear simultan adalah x ≡ 19 (mod [5,4])
Selesaikan tiga kongruensi linear simultan :
x ≡ 17 (mod 504)
x ≡ -4 (mod 35)
x ≡ 33 (mod 16)
Penyelesaian :
Dari : x ≡ 17 (mod 504)
x ≡ -4 (mod 35)
dapat ditentukan bahwa d1 = (504,35) = 7
karena 17 ≡ -4 (mod 7) atau 7│17-(-4), maka kongruensi diatas dapat
diselesaikan.
x ≡ 17 (mod 504) → x = 17 +504m (m Z)
{ x = (17 +504m) dan x ≡ -4 (mod 35)} → (17 +504m) ≡ -4 (mod 35)

8. → 504m ≡ -21 (mod 35)
→ 72m ≡ -3 (mod 5)
→ 2m ≡ 2 (mod 5)
→ m ≡ 1 (mod 5)
→ m = 1 + 5n (n Z)
{ x = (17 +504m) dan m = (1 + 5n)} → x = 17 +504(1 + 5n)
= 17 + 504 + 2520n
= 521 + 2520n
x ≡ 521 (mod 2520)
Dari: x ≡ 33 (mod 16)
x ≡ 521 (mod 2520)
Dapat di tentukan d2 = (16,2520) = 8
karena 521 ≡33 mod 8 atau 8│(521-33) atau 8│488 , maka kongruensi dapat
diselesaikan.
x ≡ 521 (mod 2520) → x = 521 +2520n (n Z)
{ x = (521 +2520n) dan x ≡ 33 (mod 16)} → (521 +2520n) ≡ 33 (mod 16)
→ 2520n ≡ -488 (mod 16)
→ 315 n ≡ -61 (mod 2)
→ n ≡ -61 (mod 2)
→ n ≡ 1 (mod 2)
→ n = 1 +2p (p Z)
{ x = (521 +2520n) dan n = 1 +2p} → x = 521 +2520(1 +2p)
= 521 +2520 +5040p
= 3041 + 5040p
x ≡ 3041 (mod 5040)
Jadi penyelesaian kongruensi linear simultan adalah x ≡ 3041 (mod 5040).