Transpos matriks adalah pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris pada suatu matriks. Transpos dari matriks A dinotasikan dengan AT. Determinan suatu matriks memberikan informasi apakah matriks tersebut memiliki invers atau tidak.
1. TRANSPOS MATRIKS
Pengertian Transpos Matriks
Transpos dari suatu matriks merupakan
pengubahan baris menjadi kolom dan kolom
menjadi baris.
Transpos dari matriks A dinotasikan dengan AT
atau At atau .
Jika matriks A dinyatakan dengan :
A
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
1
2. Maka tranpos dari matriks tersebut dinyatakan
dengan :
AT =
Contoh :
Jika
Tentukanlah transpos dari matriks diatas ( AT) ?
8
7
4
3
2
9
A
mn
n
n
m
m
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
12
1
21
11
2
3. Jawab :
maka AT =
Jika A = AT maka A disebut matriks Simetri.
Contoh :
Jika , Tentukanlah AT ?
Jawab :
AT =
Karena A = AT maka matriks A tersebut
merupakan matriks simetris.
8
7
4
3
2
9
A
8
3
7
2
4
9
7
4
3
4
5
2
3
2
1
A
7
4
3
4
5
2
3
2
1
3
4. KESAMAAN MATRIKS
Defenisi :
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, Jika
dan hanya jika kedua matriks itu mempunyai ordo
yang sama dan elemen-lemen yang bersesuaian
bernilai sama.
Diketahui : dan
Jika A = B maka sama
d
c
b
a
d
c
b
a
A
s
r
q
p
B
s
r
q
p
4
5. Contoh :
Diantara matriks-matriks berikut ini
manakah yang sama ?
Jawab :
Karena ada elemen yang bersesuaian
tidak sama maka matriks A tidak sama
dengan matriks B ( )
5
4
3
1
A
5
1
4
3
B
5
4
3
1
C
5
4
3
1
A
5
1
4
3
B
B
A
5
7. DETERMINAN MATRIKS
Pengertian Determinan :
Determinan suatu matriks dinyatakan
dengan Selisih Jumlah hasil kali antara
diagonal utama dengan diagonal
sekundernya.
Jadi matriks yang memiliki nilai
determinan hanyalah matriks yang
berbentuk bujur sangkar.
7
8. Jika nilai determinan suatu matriks bernilai nol,
maka matriks tersebut disebut matriks
Singuler.
Matriks singuler tdk memiliki invers / kebalikan.
Determinan suatu matriks A dinyatakan dengan
det (A) atau
Untuk matriks yang berordo 2x2 :
Jika maka determinan dari
matriks Tersebut dinyatakan dengan :
det (A) = (axd) – (bxc)
A
d
c
b
a
A
8
10. Untuk matriks yang berordo 3x3 :
Jika maka determinannya
dinyatakan dengan :
(-) (-) (-)
a b c a b
A = d e f d e
g h i g h
(+) (+) (+)
Dimana :
Det (A) = + (axexi) + (bxfxg) + (cxdxh) - (cxexg) - (axfxh) - (bxdxi)
Det (A) = ((axexi)+(bxfxg)+(cxdxh))-((cxexg)+(axfxh)+(bxdxi))
i
h
g
f
e
d
c
b
a
A
10
13. 2. Matriks segitiga atas :
Matriks berordo 2x2
Matriks berordo 3x3
ac
c
b
a
0
adf
f
e
d
c
b
a
0
0
0
13
14. 3. Matriks segitiga bawah :
Matriks berordo 2x2
Matriks berordo 3x3
ac
c
b
a
0
acf
f
e
d
c
b
a
0
0
0
14
15. 4. Matriks Singuler :
Matriks berordo 2x2
Matriks berordo 3x3
0
b
a
b
a
0
f
e
d
cd
bd
ad
c
b
a
15
16. 5. Matriks Simetri :
Defenisi : Matriks simetri adalah matriks
bujursangkar dimana nilai elemen-elemen
yaitu eij=eji
Contoh :
Dari matriks diatas dapat kita lihat bahwa :
e11 = 2, e12 = e21= 3, e13 = e31 = 4, e22 = 1, e33 =4
4
8
4
8
1
3
4
3
2
A
16
17. 7. INVERS MATRIKS
1. Pengertian invers matriks.
Jika suatu matrik A dikalikan dengan
matriks B yang berordo sama sehingga
diperoleh hasil perkaliannya merupakan
matriks identitas, maka matriks B tersebut
disebut invers dari matriks A.
Invers dari matriks A dapat dituliskan
dengan bentuk A-1.
17
18. Untuk matriks berordo 2x2
Jika matriks A dinyatakan dengan :
Maka invers dari matriks tersebut
dinyatakan dengan :
Jadi suatu matriks mempunyai invers jika
matriks tersebut bukan matriks singuler.
d
c
b
a
A
a
c
b
d
A
A
det
1
1
18
19. Contoh 16 :
Tentukanlah invers dari matriks :
Jawab :
Det (A) = 4.3 – 2.5= 12 – 10 = 2
3
5
2
4
A
2
1
4
5
2
3
2
1
det
1
2
5
2
3
1
a
c
b
d
A
A
19
20. 2. Dua Matriks saling Invers.
Defenisi :
Jika A dan B masing-masing adalah
matriks persegi dan mempunyai ordo
yang sama, serta berlaku hubungan
maka B adalah invers dari A dan A juga
invers dari B, dengan demikian kedua
vektor disebut saling Invers.
I
A
B
B
A
20
21. Contoh 17 :
Diketahui matriks - matriks :
dan
Perlihatkanlah bahwa B adalah invers dari A dan A
adalah invers dari B ?
Jawab :
Dari perhitungan diatas dapat dilihat bahwa
oleh karena itu dapat dikatakan
bahwa matriks A invers dari B dan B juga invers
dari A
4
7
5
9
A
9
7
5
4
B
I
B
A
1
0
0
1
9
7
5
4
4
7
5
9
I
A
B
1
0
0
1
4
7
5
9
9
7
5
4
I
A
B
B
A
21
22. SIFAT-SIFAT INVERS PADA
MATRIKS
Jika A dan B adalah matriks persegi
berordo dua yang tak singuler, A-1 dan B-1
berturut-turut adalah invers dari A dan B
maka berlaku :
1
1
1
1
1
1
B
A
A
B
ii
A
B
B
A
i
22
23. 8. PERSAMAAN MATRIKS
Defenisi :
Jika A, B, dan X adalah matriks-matriks
persegi berordo dua, A adalah matriks tak-
singuler dengan invers A-1, maka
penyelesaian persamaan matriks :
1
1
A
B
X
atau
B
A
X
dan
B
A
X
atau
B
X
A
23
24. Contoh 18 :
Diketahui matriks-matriks :
dan
Tentukanlah matriks X berordo (2x2) yang
memenuhi persamaan
a) b)
Jawab :
a) Untuk persamaan matriks
penyelesaiannya adalah :
5
7
2
3
A
3
2
1
5
B
B
X
A
B
A
X
3
7
2
5
,
1
14
15
5
7
2
3
det 1
A
sehingga
A
B
X
A
24
26. Contoh 19 :
Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem
persamaan linier dua peubah berikut :
Jawab :
Untuk menentukan himpunan penyelesaian
sistem persamaan linier itu, dapat dilakukan
dengan langkah-langkah berikut :
1) ubah sistem linier kebentuk matriks, 2)
selesaikan secara matriks.
11
3
2
17
5
4
y
x
y
x
26
