Math101 lecture5

Ä
Ò × Ò

½º

ÙÙÐ

Ó Ö Ù

Ö

Ö Ñ

Ò ÑÙÖÙ ÒÙÙ

º

• ÌÓ ÖÓ º
• ÐÐ Ô×º
• Ô Ö ÓÐ
• È Ö ÓÐ
• ÌÙ ÐÝÒ ÓÓÖ Ò ØÝÒ × ×Ø Ñ
• Ð Ò Ö ÓÓÖ Ò ØÝÒ × ×Ø Ñ
• Ë Ö ÓÓÖ Ò ØÝÒ × ×Ø Ñ
• ÃÓÓÖ Ò ØÝÒ ÜÙÛ Ö ÐØ

½

ÌÓ ÖÓ
Ì Û

Ò ÖÐ

Ò ÓÐÓÒÐÓ

Ö

Ü Ø Ñ

Ü

Ð

ÜÐ

ØÓ ÖÓ

Ò

×

Ð Þ

Ò

ÓÖ

Ü Ü ÛØ

Ò

Ü

º

Ü

C(a, b) ØÓ Ö Ò Ø Û
R ØÓ Ö Ò òÑ Ö Ò
M (x, y) ØÓ Ö Ò ÙÖÝÒ
Ó Ö

× Ò Ò

Ò ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Þ

Ü ÖØ ÐÜ Þ
Ò

ÓÐÓÜ ØÓÑ

R = |CM | =

Ó

×ÓÓÖ

(x − a)2 + (y − b)2

´½µ

ÙñÙ

R ØÓ Ö
O(0, 0)

Ò

Ò Ö

Ù×º

Ö Ø ÛØ

(x − a)2 + (y − b)2 = R2

´¾µ

Û Ð

x2 + y 2 = R 2
¾

´¿µ

ÐÐ Ô×
Ó Ù×
Ü

Ò ÖÐ

Ü

ÜÐ

× Ò ÜÓ Ö

Ò ÓÐÓÒÐÓ

F1, F2 Ó Ù×ÙÙ
|F1F2| Ü ÖÕÑ Ò
F1, F2 ÜÓ Ö
M (x, y) ÐÐ Ô×

ÐÐ Ô×

ÙÒ

Ö
Ö× Ò

Ò

∀

ÓÓÖ
ÙÐÙÙÒ

Ò

Ü ÖØ ÐÜ Þ

Ò Ò

Ð

Ö Òð ØÓ ØÑÓÐ

º

Ò ØÝÒ

Ox

Ü

Ü

Ø ÒÜÐ

Òð

ÓÐÓÜ

º

y

y

M (x,y)
·
r2
x
G
·
O F2(c, 0)

*
mmm **
mmm
**
mm
**
mmm
mmm
1
m
**
mmm
m
**
mmm
mm

r

·
F1(−c, 0)
|F1M | = r1, |F2M | = r2

Û Ð

r1 =
r1 + r2 = 2a

(x + c)2 + y 2,

ÓÐÓÜ

a

(x − c)2 + y 2.

r2 =

ØÓ ØÑÓÐ Ü Ñ
¿

Ü

Ò

Ò

º

´ µ

(x + c)2 + y 2 +
´

µ

ÜòÐ

×ÓÒ ÓÒ
ÖÕ Ð

Û× Ò

ÓÓÖ

Ò ØÝÒ × ×Ø Ñ

(x − c)2 + y 2 = 2a
Ü

ÐÐ Ô×

Ò Ø

´ µ
Ø

Ð

ÓÐÒÓº

(2a > 2c)

Ø Ñ

Ð

Ü

Û Ð

x2 y 2
+ 2 =1
2
a
b

´
Ø

µÑ

µ

Ò

ÐÐ Ô×

ÒØ

Ø

Ð

ÓÐÒÓº

´

(−a; 0), (a; 0), (0; −b), (0; b),
x, y
Ü ÑØ

µ

Ð

a 2 − c 2 = b2

´

´

Òð

Û
Ò

º

Ö Ø Þ Ö

Ø

µ

´ µ

× ÓÖÓ Ò

− a ≤ x ≤ a;

ÓÖ×ÓÒ ÙÕÖ

×

Ox, Oy

ÜòÐ

ÖÜ Ò ÓÐ ÓÒÓº

− b ≤ y ≤ b.
Ø ÒÜÐ

Ò ÜÙÛð

y

y

x = −a
ε

x= a
ε

D(0, b) M (x,y)
· mmm_** _ _ _ _ _ _d _
_
**
mmm
m
**
r1mmmmmmm
**r2
mmm
**
mmm
x
m
*
G
mmm
·
·
·
·
A(−a,0) F1(−c, 0)
F2(c, 0) B(a, 0)
·

C(0, −b)

AB ¹ Ü Ø ÒÜÐ
CD¹
Ø ÒÜÐ
Ò º
c
c
r1 = a + · x, r2 = a − · x
Ü
a
a
r1 = a + εx ,
ÓÐÒÓº
ÐÐ Ô×
Ø

Ò

Ò

Ó Ù×ÙÙ ÝÒ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Þ

×
ÒØÖ × Ø Ø

Ò

c
=ε
× Ò
a
r2 = a − εx
Ü Ø ÒÜÐ

Ø Ñ

Ü

Û Ð

Ø Òð Ü Öð
ÙÙÐ× Ò Ü Öð

º

2c c
ε=
= ,
2a a

Ð

0 ≤ ε < 1.

´ µ

ÐÐ Ô×
Ø Û

×

a
ε

ÒØ Û
Þ

Ò ÜÙÛð

ÓÖ

Ø

Ü ÜÓ Ö

¸

Ü ÑØ
ÙÐÙÙÒÝ

Ü Ø ÒÜÐ

ÐÐ Ô×

x=±
Ì

Ö

Ö Û

Ø Ö

r

Òð

×

Ò

ÐÐ Ô×

0≤ε<1
ε→1

ÐÐ Ô×

Ò

Ó Ù×Ø Ü Ö
Ò

ÙÖÝÒ
ÐÞ Ü

×
ÒØÖ × Ø Ø

Ü

×

ε→0

Ö

Ò

Ö

ØÖ ×

ÙÐòÖ¸
Ò

ÐÐ Ô×

Ò

º

a
ε
Ðð Ò

Ø Ò

ÐÐ Ô× Ü Ð
ÓÐÒÓº

¸ d Òð Ñ Ò
r
ÓÐ
Òð ØÓ ØÑÓÐ
dr
º ε=
d

Ó Ù× Ü ÖØ ÐÜ Þ

ØÖ × Ü ÖØ ÐÜ Þ

ε¹Ø

ÐÐ Ô× ÙÐ Ñ ÞÙ Û Ò

Ø Ô ÖÔ Ò

ØÓÓ

Ö

Ö

Ò

ØÓ ÖÓ Ø

ÜÒ

¸

Â

ÃÓÓÖ

ÜÓÓÖÓÒ ÝÒ Þ

Ó ÓÐØ

Ì

Òð

Ò ØÝÒ Ø ÒÜÐ

2c = 24¸

ÃÓÓÖ

Ò ÜÙÛð

Ü Ø ÒÜÐ

Ò ØÝÒ ÜÙÛð

Òð

Ø

Ø

2a = 30

Ü ÑØ

Ü ÑØ

ÓÐ Ø

ÐÐ Ô×

Ø

ÐÐ Ô×
Ð

Ò Ø

Òð
Ø

Ò

Ó Ù×

Õº

Ð

Û Ð

⇒

2a = 30

⇒

2c = 24
Á Ñ

b2 = a 2 − c 2

Û Ð

c = 12
⇒

b=9

x2 y 2
+ 2 =1
2
15
9

Â

25x2 + 169y 2 = 4225

Ó Ù× ÜÓÓÖÓÒ ÝÒ Þ
ØÖ ×

a = 15

Ò Ø

Ó ÓÐØ

Ø

Ð

¸

Ó Ù×ÙÙ ÝÒ

Ø

Ø
ÓÓÖ

ÐØ
Ò Ø¸

ÐÐ Ô×

Ò

×
ÒØÖ × Ø Ø

Õº

x2
y2
+
=1
169 25
a = 13, b = 5,
⇒
c = a2 − b2 = 12

Ø ÒÜÐ

Ü
ÓÐº

¸

Ö

¹

ÁÜ Ø ÒÜÐ

Òð

2a = 26
Ø ÒÜÐ

Òð

2b = 10
Ó Ù× ÜÓÓÖÓÒ ÝÒ Þ

2c = 24
Ó Ù×ÙÙ ÝÒ

ÓÓÖ

Ò Ø Òð

F1(−12, 0),
×
ÒØÖ × Ø Ø Òð

ε=
Ö

ØÖ ×

Ò Ø

Ø

F2(12, 0)

c 12
=
a 13

Ð Òð

a
a2
169
x=− =− =− ,
ε
c
12

a a2
169
x= =
=−
ε
c
12

√
√
√
√
√
c
2
a = 5, b = 3, F1(− 2, 0), F2( 2, 0), ε = = √
a
5

Ô Ö ÓÐ
Ó Ù×

Ò ÖÐ

Ü Ñ

Ü

´æÐ
¸Ø

Û ÖÝ
× òÐ

Ox

× Ò ÜÓ Ö

Ü Ü ÛØ

Ø
Ð

Ø ÒÜÐ

|F1M | = r1 =

òÐ

ÜÐ
Ò

×ÓÐñØ Ü Ñ

ÐÐ Ô×Ø
ÐÙÙÒÝ

Ò

Ü

ÖÕÐ Ò

Ö

ºµ

F1, F2, M
ÓÐ ÓÒ

Ü
Ö Òð

ÞÒ

ÛÕ

Û Ü

(2c > 2a)

Û Ö Òð ØÓ ØÑÓÐ
Ô Ö ÓÐ

Ò

º


×ÓÒ ÓÒ¸

F1, F2 ÜÓ Ö
|r1 −r2| = 2a Ø

|F1F2| = 2c,

(x + c)2 + y 2 −

Ò òÐ

Ò ÓÐÓÒÐÓ

(x + c)2 + y 2,

c 2 − a 2 = b2

Ü ÖØ ÐÜ Þ

|F2M | = r2 =
(x − c)2 + y 2 = ±2a
Ø Ñ

Ð

Ü

Ò

Ö× Ò
Ñ

Ð

Ü

×

Ù¹

º

(x − c)2 + y 2
´ µ

Û Ð

b 2 x2 − a 2 y 2 = a 2 b 2

ÙñÙ

x2 y 2
− =1
a 2 b2

´ µ

´

µ

Ø

x, y
º

Ü ÑØ

Òð Ø

Ò

Û

Ö Ø Þ Ö

Ø

Ò ÖÐ

Ô Ö ÓÐÝÒ
ÜÙÙÖÑ

Ü

b
y= ·
a
Ø

ÜÙÛð

¸

Ö
×

Ø Ü

× Ø ÒÜÐ

x2 − a 2

Ô Ö ÓÐÝÒ
ÙÐÙÙÒ

Ó

Ð

ÓÓÖ

Ò

º

x→∞

Ox, Oy

Ø ÒÜÐ

¸

Ò ÜÙÛð

Ó ØÐÓÐ
ÓÐÝÒ

º

× Ø ÒÜÐ
Ò

Ó ØÐÓÜ

Ö Ó ØÐÓÒÓº

º

º

x=a
Ò ØÝÒ

Ó ÖØÓÒÓº

A(a; 0), B(−a; 0)

º

y=0
Ü

Y − y → 0.

ÓÐÓÜ

× ÜÓÐ ÓÜ ØÙ× Ñ

ºÜ

b
b
Y −y = x−
a
a
×

×

Ô Ö ÓÐÝÒ Ø ÒÜÐ

x = ±a ØÙÐ Ox Ø ÒÜÐ
y2
− 2 = 1 ØÙÐ Oy Ø ÒÜÐ
b

x=0

Ò

ÓÖ×ÓÒ ÙÕÖ

Ö Ø ÒÜÐ

Ø Û

y=0

a¹
b¹

Òð

x2 − a 2 =

x

× Ü

y

Òð

×Ò

b
Y = ·x
a

ab
√
⇒
2 − a2
x+ x

ÓÐÒÓº Á Ñ Õ Ò ÖØ

½¼

Òð

ÙÐÙÙÒÝ

× ÑÔØÓØ

º

b
Y =± ·x
a

ÙÐÙÙÒ Òð

Ô Ö ÓÐÝÒ

× ÑÔØÓØÙÙ

y

ÓÐÒÓº

y
a
a o
OOO
OOO
ooo
b
OOO
ooob
OOO
oo
OOO
2 fffoooo
OOO
oofff
1 ffffff o
OOO
oo
OOO _ _ _ _ffffffffooooo
_O
_ _ _o
_

ff
OOOff
2
ooo
fffffOO

ffff
OOOoooo
fffff

G
oooOOOO
o
OOO
ooo
o
1
ooo_ _ _ _ _ _ _ OOOOO 2
_
_
ooo
OOO
o
OOO
ooo
oo
OOO
ooo
oo
a
a OOOOOOO
o
ooo
OOO
o
ε
ε
ooo

y=− x

y= x

r d

b

A

F (−c; 0)
B

O
−b

x=−

Ô Ö ÓÐÝÒ
Ü Öð

×
ÒØÖ × Ø Ø

2c
c
ε=
= .
2a a

ÓÐ

a=b


ÓÐ

Ð Ø ÐØ

x

F (c; 0)

x=

ÓÖÓ ÒÙÙ ÝÒ ÜÓÓÖÓÒ ÓÜ Þ

Ü Öð
ÙÙÐ× Ò

Ò

b2
= ε2 − 1
a2

Ô Ö ÓÐÝÒ × Ð

r

Ø ÒÜÐ

Ô Ö ÓÐ

Ü

Ó ÖØÓÒÓº

Ö

Ò

ε

º

½½

Ü ØÙ× Ñ

(ε 1)

b
a

Òð

Ó Ù×ÝÒ Ö

•

Ù×ÙÙ Ý

ÖÙÙÒ × Ð

Ö
ÓÒ Ð

Ð ÖÜ

Ð

Ð

ÒÝ ÜÙÛð

r1 = εx + a
r2 = εx − a

•

Ò × Ð

ÒÝ ÜÙÛð

r1 = −(εx + a)
r2 = −(εx − a)

ÓÐÒÓº
Ô Ö ÓÐÝÒ Ø Û
Ô Ö ÓÐÝÒ Ø Û

´

µ

Ò ÜÙÛð

r1 = d1ε, r2 = d2ε

Â

Ó Ù×¸

Ø

Ö

Ø

Ò ÜÙÛð

a
×
¹
ε
a
x=
ε

Ø

Þ

ÓÖ

Òð Þ

Ð

ÓÐ

Ü ÜÓ Ö

a
Ò¸ x = −
ε

16x2 − 9y 2 − 144 = 0

×
ÒØÖ × Ø Ø

¸

Ü ÑØ

¸

Ó

Ø Ø ÒÜÐ
ÙÐÙÙÒÝ

Òð

Ô Ö ÓÐÝÒ Ü
× ÑÔØÓØ¸

Õº
½¾

Ö

Ø Ô ÖÔ Ò
Ô Ö ÓÐÝÒ

ÖÙÙÒ × Ð

× Ø ÒÜÐ
Ø¹Ö ×¸ Ø

Ö

ÙÐòÖ¸
Ö

ØÖ ×

ØÖ ×
ÓÐÒÓº

Ò ÙÖØ¸ ÓÖÓ
Ü Ñ

Ò

Ò Ø ÒÜÐ

¸ Ø Û¸
Ò

º

x2 y 2
16x2 − 9y 2 − 144 = 0 ⇐⇒
−
= 1 =⇒ a = ±3, b = ±4,
9
16
√
√
√
2 + b2 =
2 + 42 =
3
25 = 5 ⇒
c= a
c 5
|a| = 3, |b| = 4, B(−3; 0), A(3; 0), ε = =
a 3
a
9
3
b
4
y = ± a x = ± 3 x, d = ± = ± 5 = ±
ε
5
3
Ö Ù
|a| = 3, |b| = 4, B(−3; 0), A(3; 0), O(0; 0),
5
4
9
F1(−5; 0), F2(5; 0), ε = , y = ± x, d = ± , y = 0
3
3
5

½¿

È Ö ÓÐ
Ó Ù×

Ò ÖÐ

Ü

Ò

ÓÐ

× Ò Ò

ÒÙÙ

Ò

Ó Ù×

Ü ÖØ ÐÜ Þ

Ö

ØÖ ×

Ü Ü ÛØ

Ò ÖÐ
Ò

Ü

Ü

ÜÐ

× Ò

Ò ÓÐÓÒÐÓ

º

×
×× Ø ÒÜÐ
Ü

¸

Òð Ø Ò

ÙÐÙÙÒ Ü ÖØ ÐÜ Þ

Ô Ö

ÜÐ

Ö
Ô Ö

Òð

ÖÕ¸

Ó Ù×Ý

ØÖ × ÜÓ ÖÝÒ

ÓÐ

ÓÐÝÒ Ô Ö Ñ ØÖ

K(− p ; y)
2

Ö
Ü

ØÖ ×Ø Ô ÖÔ Ò
Ö ×ÓÒ ÓÒ

p¹ ÖØ Ñ
y y
M (x, y)

Û òº
Ð

ÓÐÝÒ

ÓÓÖ

Ó Ù×

×

º

x
G

Òð Ô Ö

ÙÐòÖ¸

p
O F ( 2 ; 0)

x = −p
2
p
p
F
;0 , x = − ¹
2
2

Ö

ØÖ ×º

M (x, y)

½

ÙÖÝÒ

º

Ò ØÝÒ
Ö

ØÖ ×

Ì

Û Ð

|KM | = |M F |

×

´

µ

Òð

Æ
È Ö

p
K ;y
2
Ox Ø ÒÜÐ

Ö Ñ Õ
ÓÐÝÒ ÜòÐ

p
x+
2

⇒
Ò ÜÙÛð

y=

√

Ö Ø

+ y 2 ⇒ y 2 = 2px.

x

Ü

´½½µ

× Ü

y

×Ò

º

Ð

x2 = 2py

F
O

½

x2 = −2py

y
y

´½¼µ

º

Ü ÑØ

y

K
x
G
FO
---

Ø

2px
Ø

y

=

2

y 2 ≥ 0, p ≥ 0 ⇒ x ≥ 0.

y 2 = −2px
M
--

p
x−
2

2

y

m
mmm
mmm

M
x
G

K

yK

x
O
G
OOO
F OOOO
M

Â

Ô Ö

ÃÓÓÖ
ÓÐ

M (3, 4)
Ox Ø

Ó ÓÐØ

ÓÐÓÜ Ø

Ø

Ð

Ò ØÝÒ

Ü
Ö

ÒÜÐ

ÓÐ Ø

Ò ÜÙÛð

Ò Ü Ð

Ox

Ö ÓÖÓ ØÓ
Ø

Ø

Ø ÒÜÐ

Ø

Ü ÑØ

ÞÓÜ Óº

Ð

¸M

Ü ÑØ

Ò ÜÙÛð

Á

Ñ Õ

ÓÖ

ÒÓ

×

Ö Òð

y 2 = 2px
ÓÐÒÓº

M

Ô Ö

ÓÐ

Ö ÓÖ

ÒÓ

×

42 = 2p3 = 6p = 16
Ò

×

⇒

p=

8
3

8 16
y = 2px = 2 = x
3
3
2

Â

ÓÐÒÓº

Ò ØÝ

y 2 = 6x
ÓÐ

Ó ÓÐØ

¸

Ø

2

Ô Ö

Ü Ñ

ÓÐÝÒ Ô Ö Ñ ØÖ
Ò Ø ÒÜÐ

2

y = 6x ⇒ y = 2 · 3x
Ö Ù

p = 3, F

Ö

ÙñÙ

Ò ØÓÓÒ ÙØ
ØÖ ×

p = 3, F

3
3
− ; 0 , O(0; 0), x = − ,
2
2
½

Ø

Ò Ø

¸

ÓÖÓ
Ø

Ó Ù×ÝÒ
Ð

ÓÓÖ¹

Õº

3
3
− ;0 , d = − ,
2
2
Ü Ñ

Ò Ø ÒÜÐ

−Ox, y = 0

ÌÃË Òð ØÙ Ð
Ò ÖÐ Ü
ÙÖØ Ò
Òð Ü Ñ Ü Ò

ÌÙ ÐÝÒ ÓÓÖ Ò ØÝÒ × ×Ø Ñº

ØÙ ÐÝÒ Ø ÒÜÐ
Ò ÖÐ
× Ò Ö ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ ÓÒÓ

O

¸

M
Ì

Ü

Òð Ü ÛØ

Ò

Ü

¸

Ou

Ö

º

º

ÙÖÝÒ

Û Ð

ρ, ϕ¹

|OM | = ρ, (M, Ou) = ϕ

Òð Å

Ou¹

×

Ø Ñ

Ø

Ò ØÙ ÐÝÒ
Ò Þ
Ö

ÛÒ

Ò

ÓÓÖ

×Ö

Ò ØÙÙ

Ü Ñ

Û Ð

Ö

º

ÌÃË¸ Ì ÃË¹ Ò ÜÓÐ ÓÓ M (x, y)
y

y

M(x,y)
t
_
y _ _ _ _ _ ttt_tttt
tt M(ρ,ϕ)

tt
tt
mt
tt
x
ρ
ttϕ
t
G G
tt
t
tt
x
u
tt O
½

¸

M (ρ, ϕ)
ÙÙ Ü Ñ

Ø Ñ
Û Ð × Ö

Ð Ò

º

¸

x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ
ρ=

ÂÓ ÓÐØ

A(2; −2)

Ò ÌÃ¹Ý

x2 + y 2
y
tgϕ =
x

ÓÐº

√
√
−2
π
7π
= −1 ⇒ ϕ1 = , ϕ2 =
ρ = 4 + 4 = 2 2 , tgϕ =
2
4
4
√ 7π
7π
A(2; −2)
Òð IV Ñ Õ ÓÖ
ØÙÐ
ϕ=
⇒ A 2 2;
4
4

½

´½¾µ
´½¿µ

Ð Ò Ö ÓÓÖ Ò ØÝÒ × ×Ø Ñº

Ç ØÓÖ Ù È Ü ÛØ Ø Ò Ô ÖÔ Ò ÙÐòÖ Oz Ø ÒÜÐ Û ò Ì Û Ð
È Ü ÛØ
Ö Ç
Ø ØÙ ÐØ ÌÃË Û×Ò Ö ÃË ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ ÓÒÓ
¸

º

º

M Ó ØÓÖ Ù Ò ÙÖÝÒ
º
N Òð M
Ò È Ü ÛØ
N Òð N (ρ, ϕ)
M z Òð M
Ò Oz Ø ÒÜÐ
z
OM z Õ Ð ÐØ Ü ÖÕÑ Ò Ü
ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ

×ÓÒ

ρ, ϕ, z

ÖÜ ÔÖÓ

Ö ÔÖÓ

º

º

Ñ

ØÓÓÒÙÙ Ý

Å

M (ρ, ϕ, z) , 0 ≤ ρ ∞ , 0 ≤ ϕ 2π ,
ρ
ϕ
z

ØÓ ØÑÓÐ

Ü

Ð Ò Ö

ØÓ ØÑÓÐ

ÓÐ Ü

ØÓ ØÑÓÐ

ÓÐ

È

×Ò

º

Ò

Ã¹ÙÙ

Ò

−∞z ∞

× Ü ÛØ
Ü ÛØ

Ø

Ô ÖÔ Ò

½

ÙÐòÖ Ü ÛØ

×Ò

º

º

M (x, y, z)

Û Ð

x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , z = z ÓÐÒÓº


2 + y2 
ρ= x
x = ρ cos ϕ 
y
y = ρ sin ϕ
tgϕ =

x

z=z
z=z

¾¼

´½ µ

M
N
Ì

Ó ØÓÖ Ù Ò
Òð

M

ÙÖÝÒ
Ò

È

º

Ë Ö´ Ñ Ð

Ü ÛØ

ÖÜ ÔÖÓ

µ

ÓÓÖ Ò ØÝÒ × ×Ø Ñº

º

Û Ð

× Ò ØÓÓÒÙÙ Ý

|OM | = ρ, (ON, Ou) = ϕ,

M (ρ, ϕ, θ).

Ò ×

Ö

(OM, Oz) = θ
ÓÓÖ

Ò ØÙÙ

Ò

º

Ò

Ò

0 ≤ ρ ∞ , 0 ≤ ϕ 2π , 0 ≤ θ π

º

M (x, y, z)

Û Ð


x = ρ sin θ cos ϕ 
y = ρ sin θ sin ϕ

z = ρ cos θ

cos θ =

¾½

ρ=
z

x2

+

x2 + y 2 + z 2

y2

+

tgϕ =

z2




y

x

´½ µ

(O, i, j) (O ′, i′, j ′)

ÃÓÓÖ Ò ØÝÒ ÜÙÛ Ö ÐØº
ÜÓ Ö

Ö Ì
y

ÃË òÑ Ö ÜÓÐ ÓÓØÓ

ÛÕ

Þð

y

‘
7
M w′
_
77
y _ _ _ _ _ _ _7y7′_ _ _ _ _ _w _w7 7 wwxYw
77
w
w
ww ′
w
77
77 w w wwww x
w
77
w
′ 77wwwww
y 7
b _ _ _ _ _ _ _ _ _ww_ww_w7 7O ′
w

d
ww
w
wα Ù

xG
ww
ww
a x
O wwwww

Oxy
O ′ x′ y ′
Oxy

M (x, y)
M (x′, y ′)
Òð

ÓÓÖ

Ò ØÝÒ × ×Ø Ñ

O ′(a, b)

ÓÓÖ

Ò ØØ

− −→
→ −′
(Ox, O ′x ) = α
−′
−
− → −→ −′ →
−
OM = OO + O M = ai + bj + x′i′ + y ′j ′

¾¾

º

ÙÒ

Ì

Û Ð

Ö

Ü ØÓÑ

µ

µ ´
Ò

µ

ÖÐ

Ð Û

¸

ØÓÑ

Ó

´½ µ
´½ µ

Ü ÛØ

ÖÜ

ÓÓÖ

Ò ØÝ

ÜÙÛ Ö

Ü

Ö ÒÜ

ØÓÑ

Ó

Ò

º

×

½º α = 0

´

º ´

x′ = (x − a) cos α + (y − b) sin α
y ′ = −(x − a) sin α + (y − b) cos α

ÓÐÒÓº

´

Ò

x = x′ cos α − y ′ sin α + a
y = x′ sin α + y ′ cos α + b

×Û Ð

´

Ó Ü Õ ÒØ

µ

µ

Þð

º α = 0 ⇐⇒ (i, i′) = 0◦

×

x = x′ + a
y = y′ + b

´½ µ

x′ = x − a
y′ = y − b

´½ µ

ÓÓ×

¾¿

´

µ ´

µ

¾º O = O ′
´

´

´

µ

µ

Ô Ö ÐÐ Ðð Þ

=⇒

ÐØ

Ò ØÓÑ

a=b=0

Ó

ÓÐ

×

x = x′ cos α − y ′ sin α
y = x′ sin α + y ′ cos α

´¾¼µ

x′ = x cos α + y sin α
y ′ = −x sin α + y cos α

´¾½µ

ÓÓ×

µ ´

µ

Ö

Ð ÐØ

Ò ØÓÑ

Ó

Ò

¾

º

Math101 lecture5

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Viewers also liked

Viewers also liked (12)

Math101 lecture5